第一讲 乘除法数字谜（一）
专题简析：
解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点：
1.认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特
征的部分作出局部判断；
2.利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字；
3.试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达
到快速而准确的目的；
4.算式谜解出后，要验算一遍。
例 1.在下面的方框中填上合适的数字。
分析：由积的末尾是 0，可推出第二个因数的个位是 5；由第二
个因数的个位是 5，并结合第一个因数与 5 相乘的积的情况考虑，可
推出第一人个因数的百位是 3；由第一个因数为 376 与积为 31□□0，
可推出第二个因数的十数上是 8。题中别的数字就容易填了。
练习一
第二讲 乘除法数字谜（二）
例 1.下面算式中的 a、b、c、d 这四个字母各代表什么数字？
分析：因为四位数 abcd 乘 9 的积是四位数，可知 a 是 1；d 和 9
相乘的积的个位是 1，可知 d 只能是 9；因为第二个因数 9 与第一个
因数百位上的数 b 相乘的积不能进位，所以 b 只能是 0（1 已经用过）；
再由 b＝0，可推知 c＝8。
练习二
第三讲 图形的个数
例 1.下面图形中有多少个正方形？
分析：图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小正方形组成
的有 6×3＝18 个，2×2 的正方形有 5×2＝10 个，3×3 的正方形有
4×1＝4 个。因此图中共有 18＋10＋4＝32 个正方形。
例 2.下图中共有多少个三角形？
分析：为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然
后再把数出的各类三角形的个数相加。
（1）图中共有 6 个小三角形；
（2）由两个小三角形组合的三角形有 3 个；
（3）由三个小三角形组合的三角形有 4 个；
（4）由六个小三角形组合的三角形有 1 个。
所以共有 6＋3＋4＋1＝14 个三角形。
练习三
1.下图中共有多少个正方形？
2.下图中共有多少个正方形？
3.下图中共有多少个正方形，多少个三角形？
4.下面图中共有多少个三角形？
第四讲 找出数字的排列规律（一）
找规律是我们在生活、学习、工作中经常使用的一种思想方法，
在解数学题时人们也常常使用它，下面我们利用找规律的方法来解一
些简单的数列问题。
（一）思路指导
例 1.在下面数列的（ ）中填上适当的数。
1，2，5，10，17，（ ），（ ），50
分析与解：这个数列从第二项起，每一项都等于它的前一项依次
分别加上单数 1，3，5，7，9……，这样我们就可以由第五项算出括
号内的数了，即：第一个括号里应填；第 2 个括号里应填。
例 2.自 1 开始，每隔两个整数写出一个整数，这样得到一个数
列：1，4，7，10……问：第 100 个数是多少？
分析与解：第 1 项是 1，第二项比第一项多 3，第三项比第一项
多 2 个 3，第四项比第一项多 3 个 3，……依次类推，第 100 项就比
第一项多 99 个 3，所以第 100 个数是。
由此我们可以得出这样的规律：等差数列的任一项都等于：第一
项＋（这项的项数－1）×公差
我们把这个公式叫做等差数列的通项公式。利用通项公式可以求
出等差数列的任一项。
练习四
1.找规律填数：
（1）1，3，7，15，______；
（2）l，4，13，40，121，____，____。
2.按规律找出下面两列数里□中应填写的数：
（1）2，6，18，54，□，486，1458；
（2）l，4，9，16，□，36，49
3.看规律填数：
（l）0，3，7，12，______，25，33；
（2）l，2，5，10，17，____，______，50。
4. 按规律填数：
（l）2，4，7，11，16，
（2）3，5，9，17，33，65，
5.按每组数的排列规律，填写最后一个数：
（1）2，4，16，256，______；
（2）12，19，33，61，117，______。
6.数列 5，8，11，14，17，…的第 25 项是______，第 100 项是
____。
第五讲 找出数的排列规律（二）
例 3.已知一列数：2，5，8，11，14，……，44，……，问：44
是这列数中的第几个数？
分析与解：显然这是一个等差数列，首项（第一项）是 2，公差
是 3。我们观察数列中每一个数的项数与首项 2，公差 3 之间有什么
关系？
以首项 2 为标准，第二项比 2 多 1 个 3，第三项比首项多 2 个 3，
第四项比首项多 3 个 3，……，44 比首项 2 多 42，多 14 个 3，所以
44 应排在这个数列中的第 15 个数。
由此可得，在等差数列中，每一项的项数都等于：
（这一项－首项）÷公差＋1
这个公式叫做等差数列的项数公式，利用它可以求出等差数列中
任意一项的项数。
试试看：数列 7，11，15，……195，共有多少个数？
练习五
1.按规律填数：
（1）3，5，9，17，______，65。
（2）1，2，4，7，______，16。
2.数列 2，9，16，23，30，…，135，…中的 135 是这列数的第
____个数。
3.数列 2，4，8，…的第 10 项是______。
4.数列 7，11，15，19，23，…，119，共有______个数。
5.下面一组数是按某种规律排列的，请你仔细观察，找出规律并
在横线上填写适当的数：
2，97，1，4，98，3，6，99，5，____，____，7，10，101，____，
12，102，11，…。
第六讲 数列求和（一）
专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为
一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称
为项数。从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为
等差数列，后项与前项的差称为公差。
通项公式：第 n 项＝首项＋（项数－1）×公差
项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1
例 1.有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少
项？
分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为 6，首项是 4，
末项是 52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数＝（52－4）÷6＋1＝9，即这个数列共有 9 项。
例 2.有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第
100 项是多少？
分析与解答：这个等差数列的首项是 3，公差是 4，项数是 100。
要求第 100 项，可根据“末项＝首项＋公差×（项数－1）”进行计算。
第 100 项＝3＋4×（100－1）＝399
练习六
1.等差数列中，首项＝1，末项＝39，公差＝2，这个等差数列共
有多少项？
2.有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有
多少项？
3.已知等差数列 11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共
有多少项？
4.一等差数列，首项＝3，公差＝2，项数＝10，它的末项是多少？
5.求 1，4，7，10……这个等差数列的第 30 项。
第七讲 数列求和（二）
例 3.有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。请求出这个
数列所有项的和。
分析与解答：如果我们把 1，2，3，4，…，99，100 与列 100，
99，…，3，2，1 相加，则得到（1＋100）＋（2＋99）＋（3＋98）
＋…＋（99＋2）＋（100＋1），其中每个小括号内的两个数的和都是
101，一共有 100 个 101 相加，所得的和就是所求数列的和的 2 倍，
再除以 2，就是所求数列的和。1＋2＋3＋…＋99＋100＝（1＋100）
×100÷2＝5050
上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可
以用下面的公式求和：等差数列总和＝（首项＋末项）×项数÷2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
例 4.求等差数列 2，4，6，…，48，50 的和。
分析与解答：这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：
项数＝（末项－首项）÷公差＋1＝（50－2）÷2＋1＝25
首项＝2，末项＝50，项数＝25
等差数列的和＝（2＋50）×25÷2＝650
练习七
计算下面各题。
1.1＋2＋3＋…＋49＋50
2.6＋7＋8＋…＋74＋75
3.100＋99＋98＋…＋61＋60
4.2＋6＋10＋14＋18＋22
5.5＋10＋15＋20＋…＋195＋200
6.9＋18＋27＋36＋…＋261＋270
第八讲 数列求和（三）
例 5.计算（2＋4＋6＋…＋100）－（1＋3＋5＋…＋99）
分析与解答：容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，
可以先分别求出它们各自的和，然后相减。
进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把 1～100 这 100 个
数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有 50 个项。因此，
我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到 50 个差，
再求出所有差的和。
（2＋4＋6＋…＋100）－（1＋3＋5＋…＋99）
＝（2－1）＋（4－3）＋（6－5）＋…＋（100－99）
＝1＋1＋1＋…＋1
＝50
练习八
计算下面各题
1.（2001＋1999＋1997＋1995）－（2000＋1998＋1996＋1994）
2.（2＋4＋6＋…＋2000）－（1＋3＋5＋…＋1999）
3.（2＋4＋6＋…＋1998）－（1＋3＋5＋…＋1997）
4.（1＋3＋5＋…＋999）－（2＋4＋6＋…＋998）
5.（1＋3＋5＋…＋1999）－（2＋4＋6＋…＋1998）
第九讲 数阵图（一）
专题简析：填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻
方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。这里，和同
学们讨论一些数阵的填法。解答数阵问题通常用两种方法：一是待定
数法，二是试验法。待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件
的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为
解答数阵问题提供方向。试验法就是根据题中所给条件选准突破口，
确定填数的可能范围。把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可
能情况，确定应填的数。
例 1.把 5、6、7、8、9 五个数分别填入下图的五个方格里，如
图 a 使横行三个数的和与竖行三个数的和都是 21。
先把五格方格中的数用字母 A、B、C、D、E 来表示，根据题意可
知：A＋B＋C＋D＋E＝35，A＋E＋B＋C＋E＋D＝21×2＝42。
把两式相比较可知，E＝42－35＝7，即中间填 7。然后再根据 5
＋9＝6＋8 便可把五个数填进方格，如图 b。
练习九
1.把 1～10 各数填入“六一”的 10 个空格里，使在同一直线上
的各数的和都是 12。
2.把 1～9 各数填入“七一”的 9 个空格里，使在同一直线上的
各数的和都是 13。
3.将 1～7 七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个
数的和相等。
第十讲 数阵图（二）
例 2.将 1～10 这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的
和是 30。
分析：设中间两个圆中的数为 a、b，则两个
大圆的总和是 1＋2＋3＋……＋10＋a＋b＝30×
2，即 55＋a＋b＝60，a＋b＝5。在 1～10 这十个数中 1＋4＝5，2＋3
＝5。
当 a 和 b 是 1 和 4 时，每个大圆上另外四个数分别是（2，6，8，
9）和（3，5，7，10）；当 a 和 b 是 2 和 3 时，每个大圆上另外四个
数分别为（1，5，9，10）和（4，6，7，8）。
例 3.将 1～6 这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个
圆内数的和相等、且最大。
分析：设中间三个圆内的数是 a、b、c。因为计
算三条线上的和时，a、b、c 都被计算了两次，根
据题意可知：1＋2＋3＋4＋5＋6＋（a＋b＋c）除
以 3 没有余数。1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，21÷3＝7 没有余数，那么 a
＋b＋c 的和除以 3 也应该没有余数。在 1～6 六个数中，
只有 4＋5＋6 的和最大，且除以 3 没有余数，因此 a、
b、c 分别为 4、5、6。
练习十
1.把 1～8 八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内
数的和相等。
2.把 1～10 这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的
○内四个数的和都相等，且和最大。
3.将 1～6 六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数
的和相等。
4.将 1～9 九个数分别填入下图○内，使每边上四个○内数的和
都是 17。
第十一讲 合理安排
专题简析：我们每天的生活、学习都离不开时间，但是你知道时
间有大学问吗？合理地安排时间，往往会达到事半功倍的效果。科学
地安排时间的方法，就叫做最佳安排。小朋友在进行最佳安排时，要
考虑以下几个问题：（1）要做哪几件事：（2）做每件事需要的时间；
（3）要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪些事可以同
时做。在学习、生产和工作中，只有尽可能地节省时间、人力和物力，
才能发挥出更大的效率。
例 1.明明早晨起来要完成以下几件事情：洗水壶 1 分钟，烧开
水 12 分钟，把水灌入水瓶要 2 分钟，吃早点要 8 分钟，整理书包 2
分钟。应该怎样安排时间最少？最少要几分钟？
思路导航：经验表明：能同时做的事尽量要同时去做，这样节省
时间。水壶不洗，不能烧开水，因而洗水壶不能和烧开水同时进行；
而吃早点和整理书包可以和烧开水同时进行。这一过程可用方框图表
示：
从图上可以看出，洗水壶要 1 分钟，接着烧开水要 12 分钟，在
等水开的同时吃早点、整理书包，水开了就灌入水瓶，共需 15 分钟。
练习十一
1.红红早晨起来刷牙洗脸要 4 分钟，读书要 8 分钟，烧开水要
10 分钟，冲牛奶 1 分钟，吃早饭 5 分钟。红红应怎样合理安排？起
床多少分钟就能上学了？
2.玲玲想给客人烧水沏茶。洗水壶要 2 分钟，烧开水要 12 分钟，
买茶叶 5 分钟，洗茶杯要 1 分钟，冲茶要 1 分钟。要让客人尽早喝上
茶，你认为最合理的安排需要多少分钟客人就能喝上茶了？
3.用一个平底锅烙饼，锅上只能同时放两个饼。烙第一面需要 2
分钟，烙第二面需要 1 分钟。现在在烙三个饼，最少需要多少分钟？
4.烤面包的架子上一次最多只能放两个面包，烤一个面包每面需
要 2 分钟，那么烤三个面包最少需要多少分钟？
第十二讲 最大与最小
专题简析：在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用
最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论
怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内
求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法：
1.枚举比较法。当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现
的情形一一举出再比较；2.着眼于极端情形，即充分运动已有知识和
生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。
例 1.把 1、2、3、…、16 分别填进图中 16 个三角形里，使每边
上 7 个小三角形内数的和相等。问这个和最大值是多少？
分析：为了方便描述，我们把图中部分三角形注上字母，从图中
可以看出：中心处 D 中填的数和三条边上的和没有关系，因此，应填
最小的数 1。而三个角上的 a、b、c 六个三角形中的数都被用过两次，
所以要尽可能填大数，即填 11——16。然后根据“三角形三边上 7
个小三角形内数的和相等”这一条件，就可以计算出这个和的最大值
了。（2＋3＋4＋…＋16＋11＋12＋13＋14＋15＋16）÷3＝72
练习十二
1.将 1、2、3、4、5、6 六个数分别填入圆圈内，使三角形每条
边上的和相等，这个和最大是多少？
2.将 5、6、7、8、9、10 六个数分别填入圆圈内，使三角形每条
边上的和相等，这个和最大是多少？
3.把～8 分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相
等，并且最大。
4.把 2～9 分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相
等，并且最大。
第十三讲 长方形面积（一）
专题简析：
我们已经学会了计算长方形、正方形的面积，知道长方形的面积
＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长。利用这些知识我们能解决许
多有关面积的问题。
在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生
搬硬套公式往往不能奏效，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题
技巧。因此，敏锐的观察力和灵活的思维在解题中十分重要。
例 1.把一张长为 4 米，宽为 3 米的长方形木板，剪成一个面积
最大的正方形。这个正方形木板的面积是多少平方米？
思路导航：要使剪成的正方形面积最大，就要使
它的边长最长（如图），那么只能选原来的长方形宽为
边长，即正方形的边长是 3 米。正方形的面积：3×3
＝9 米。
例 2.学校里有一个正方形花坛，四周种了一圈绿篱，绿篱总长
20 米。花坛的面积是多少平方米？
思路导航：要求正方形花坛的面积，必须知道花坛的边长是多少。
根据绿篱总长是 20 米，可求出花坛的边长为 20÷4＝5 米，所以花坛
的面积是：5×5＝25 平方米。
3米
4米
练习十三
1.把一张长 6 厘米，宽 4 厘米的长方形纸剪成一个面积最大的正
方形，这张正方形纸的面积是多少平方厘米？
2.把一块长 2 米、宽 6 分米的长方形铁板切割成一个面积最大的
正方形，这个正方形铁板的面积是多少？
3.将一张长 10 厘米、宽 8 厘米的长方形纸片剪成一个面积最大
的正方形，那么剪下的另一个小长方形的面积是多少？
4.一个正方形的周长为 36 厘米，那么这个正方形的面积是多少
平方厘米？
第十四讲 长方形面积（二）
例 3.求下面图形的面积。（单位：厘米）
1
3
2
4
思路导航：这个图形无法直接求出它的面积，我们可以画一条辅
助线，将这个图形分割成两个长方形。如下图：
1
3
2
4
从图上可以看出，左边长方形的长为 4 厘米，宽为 2 厘米，面积
为 4×2＝8 平方厘米；右边长方形的长为 3 厘米，宽为 1 厘米，面积
为 3×1＝3 平方厘米。
所以，这个图形的面积为：8＋3＝11 平方厘米。
想一想：这道题还可以怎样画辅助线，分割后求面积呢？
练习十四
1.运动场有一个正方形的游泳池，在游泳池四周粘上瓷砖，瓷砖
总长 400 米，求游泳池的面积是多少平方米。
2.在公园里有两个花圃，它们的周长相等。其中长方形花圃长
40 米，宽 20 米，求另一个正方形花圃的面积。
3.计算下面图形的面积。（单位：厘米）
(1)
15
20
30
40
(2)
3
1
1
2
2
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