高斯求和讲解

第 3 讲 高斯求和 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一 道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于 5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100 正好可以分成这样的 50 对数，每对数的和都相等。于是，小 高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地 适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一 项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差 数列，后项与前项之差称为公差。例如： （1）1，2，3，4，5，…，100； （2）1，3，5，7，9，…，99； （3）8，15，22，29，36，…，71。 其中（1）是首项为 1，末项为 100，公差为 1 的等差数列；（2）是 首项为 1，末项为 99，公差为 2 的等差数列；（3）是首项为 8，末项为 71，公差为 7 的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： 和=（首项+末项）×项数÷2。 例 1 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 分析与解：这串加数 1，2，3，…，1999 是等差数列，首项是 1，末项是 1999，共有 1999 个数。由等差数列求和公式可得 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是 否构成等差数列。 例 2 11＋12＋13＋…＋31＝？ 分析与解：这串加数 11，12，13，…，31 是等差数列，首项是 11，末项 是 31，共有 31-11＋1＝21（项）。 原式=（11+31）×21÷2=441。 在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需 要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到 项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。 例 3 3＋7＋11＋…＋99＝？ 分析与解：3，7，11，…，99 是公差为 4 的等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。 例 4 求首项是 25，公差是 3 的等差数列的前 40 项的和。 解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。 利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差 数列求和有关的问题。 例 5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是 12 厘米 2，边长是 1 根 火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由 多少根火柴棍摆成？ 分析：最大三角形共有 8 层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及 所用火柴数目如下表： 由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差 数列。 解：（1）最大三角形面积为 （1＋3＋5＋…＋15）×12 ＝［（1＋15）×8÷2］×12 ＝768（厘米 2）。 （2）火柴棍的数目为 3＋6＋9+…+24 ＝（3＋24）×8÷2=108（根）。 答：最大三角形的面积是 768 厘米 2，整个图形由 108 根火柴摆成。 例 6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球， 将它变成 3 只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球 各变成 3 只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各 变成 3 只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？ 分析与解：一只球变成 3 只球，实际上多了 2 只球。第一次多了 2 只球， 第二次多了 2×2 只球……第十次多了 2×10 只球。因此拿了十次后，多 了 2×1＋2×2＋…＋2×10 ＝2×（1＋2＋…＋10） ＝2×55＝110（只）。 加上原有的 3 只球，盒子里共有球 110＋3＝113（只）。 综合列式为： （3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3 ＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。