弃九法讲解

第 5 讲 弃九法 从第 4 讲知道，如果一个数的各个数位上的数字之和能被 9 整除，那 么这个数能被 9整除；如果一个数各个数位上的数字之和被9 除余数是几， 那么这个数被 9 除的余数也一定是几。利用这个性质可以迅速地判断一个 数能否被 9 整除或者求出被 9 除的余数是几。 例如，3645732 这个数，各个数位上的数字之和为 3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30， 30 被 9 除余 3，所以 3645732 这个数不能被 9 整除，且被 9 除后余数 为 3。 但是，当一个数的数位较多时，这种计算麻烦且易错。有没有更简便 的方法呢？ 因为我们只是判断这个式子被 9 除的余数，所以凡是若干个数的和是 9 时，就把这些数划掉，如 3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把这些数划掉 后，最多只剩下一个 3（如下图），所以这个数除以 9 的余数是 3。 这种将和为 9 或 9 的倍数的数字划掉，用剩下的数字和求除以 9 的余 数的方法，叫做弃九法。 一个数被 9 除的余数叫做这个数的九余数。利用弃九法可以计算一个 数的九余数，还可以检验四则运算的正确性。 例 1 求多位数 7645821369815436715 除以 9 的余数。 分析与解：利用弃九法，将和为 9 的数依次划掉。 只剩下 7，6，1，5 四个数，这时口算一下即可。口算知，7，6，5 的和是 9 的倍数，又可划掉，只剩下 1。所以这个多位数除以 9 余 1。 例 2 将自然数 1，2，3，…依次无间隔地写下去组成一个数 1234567891011213…如果一直写到自然数 100，那么所得的数除以 9 的余 数是多少？ 分析与解：因为这个数太大，全部写出来很麻烦，在使用弃九法时不能逐 个划掉和为 9 或 9 的倍数的数，所以要配合适当的分析。我们已经熟知 1＋2＋3＋…＋9＝45， 而 45 是 9 的倍数，所以每一组 1，2，3，…，9 都可以划掉。在 1～ 99 这九十九个数中，个位数有十组 1，2，3，…，9，都可划掉；十位数 也有十组 1，2，3，…，9，也都划掉。这样在这个大数中，除了 0 以外， 只剩下最后的 100 中的数字 1。所以这个数除以 9 余 1。 在上面的解法中，并没有计算出这个数各个数位上的数字和，而是利 用弃九法分析求解。本题还有其它简捷的解法。因为一个数与它的各个数 位上的数字之和除以 9 的余数相同，所以题中这个数各个数位上的数字之 和，与 1＋2＋…＋100 除以 9 的余数相同。 利用高斯求和法，知此和是 5050。因为 5050 的数字和为 5＋0＋5＋ 0=10，利用弃九法，弃去一个 9 余 1，故 5050 除以 9 余 1。因此题中的数 除以 9 余 1。 例 3 检验下面的加法算式是否正确： 2638457＋3521983＋6745785＝12907225。 分析与解：若干个加数的九余数相加，所得和的九余数应当等于这些加数 的和的九余数。如果不等，那么这个加法算式肯定不正确。上式中，三个 加数的九余数依次为 8，4，6，8+4+6 的九余数为 0；和的九余数为 1。因 为 0≠1，所以这个算式不正确。 例 4 检验下面的减法算式是否正确： 7832145-2167953＝5664192。 分析与解：被减数的九余数减去减数的九余数（若不够减，可在被减数的 九余数上加 9，然后再减）应当等于差的九余数。如果不等，那么这个减 法计算肯定不正确。上式中被减数的九余数是 3，减数的九余数是 6，由 （9+3）-6＝6 知，原题等号左边的九余数是 6。等号右边的九余数也是 6。 因为 6＝6，所以这个减法运算可能正确。 值得注意的是，这里我们用的是“可能正确”。利用弃九法检验加法、 减法、乘法（见例 5）运算的结果是否正确时，如果等号两边的九余数不 相等，那么这个算式肯定不正确；如果等号两边的九余数相等，那么还不 能确定算式是否正确，因为九余数只有 0，1，2，…，8 九种情况，不同 的数可能有相同的九余数。所以用弃九法检验运算的正确性，只是一种粗 略的检验。 例 5 检验下面的乘法算式是否正确： 46876×9537＝447156412。 分析与解：两个因数的九余数相乘，所得的数的九余数应当等于两个因数 的乘积的九余数。如果不等，那么这个乘法计算肯定不正确。上式中，被 乘数的九余数是 4，乘数的九余数是 6，4×6＝24，24 的九余数是 6。乘 积的九余数是 7。6≠7，所以这个算式不正确。 说明：因为除法是乘法的逆运算，被除数=除数×商+余数，所以当余 数为零时，利用弃九法验算除法可化为用弃九法去验算乘法。例如，检验 383801÷253=1517 的正确性，只需检验 1517×253=383801 的正确性。