数的整除性（二）讲解

第 6 讲 数的整除性（二） 这一讲主要讲能被 11 整除的数的特征。 一个数从右边数起，第 1，3，5，…位称为奇数位，第 2，4，6，… 位称为偶数位。也就是说，个位、百位、万位……是奇数位，十位、千位、 十万位……是偶数位。例如 9 位数 768325419 中，奇数位与偶数位如下图 所示： 能被 11 整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数 字之和的差（大数减小数）如果能被 11 整除，那么这个数就能被 11 整 除。 例 1 判断七位数 1839673 能否被 11 整除。 分析与解：奇数位上的数字之和为 1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和 为 8＋9＋7=24，因为 24-13=11 能被 11 整除，所以 1839673 能被 11 整除。 根据能被 11 整除的数的特征，也能求出一个数除以 11 的余数。 一个数除以 11 的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的 数字之和所得的差除以 11 的余数相同。如果奇数位上的数字之和小于偶 数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加 11 的整数倍， 使其大于偶数位上的数字之和。 例 2 求下列各数除以 11 的余数： （1）41873； （2）296738185。 分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11 =7÷11＝0……7， 所以 41873 除以 11 的余数是 7。 （2）奇数位之和为 2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为 9＋7＋8＋8 ＝32。因为 17＜32，所以应给 17 增加 11 的整数倍，使其大于 32。 （17+11×2）-32＝7， 所以 296738185 除以 11 的余数是 7。 需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了 计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以 11， 所得余数与 11 的差即为所求。如上题（2）中，（32-17）÷11＝1……4， 所求余数是 11-4=7。 例 3 求 除以 11 的余数。 分析与解：奇数位是 101 个 1，偶数位是 100 个 9。 （9×100-1×101）÷11 =799÷11=72……7， 11-7=4，所求余数是 4。 例 3 还有其它简捷解法，例如每个“19”奇偶数位上的数字相差 9-1 ＝8， 奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相差 8×99=8×9 ×11，能被 11 整除。所以例 3 相当于求最后三位数 191 除以 11 的余数。 例 4 用 3，3，7，7 四个数码能排出哪些能被 11 整除的四位数？ 解：只要奇数位和偶数位上各有一个 3 和一个 7 即可。有 3377，3773， 7337，7733。 例 5 用 1～9 九个数码组成能被 11 整除的没有重复数字的最大九位数。 分析与解：最大的没有重复数字的九位数是 987654321，由 （9＋7＋5＋3＋1）-（8＋6＋4＋2）＝5 知，987654321 不能被 11 整除。为了保证这个数尽可能大，我们尽 量调整低位数字，只要使奇数位的数字和增加 3（偶数位的数字和自然就 减少 3），奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差就变为 5＋3×2=11， 这个数就能被 11 整除。调整“4321”，只要 4 调到奇数位，1 调到偶数 位，奇数位就比原来增大 3，就可达到目的。此时，4，3 在奇数位，2，1 在偶数位，后四位最大是 2413。所求数为 987652413。 例 6 六位数 能被 99 整除，求 A 和 B。 分析与解：由 99=9×11，且 9 与 11 互质，所以六位数既能被 9 整除又能 被 11 整除。因为六位数能被 9 整除，所以 A+2+8+7+5+B ＝22+A+B 应能被 9 整除，由此推知 A＋B＝5 或 14。又因为六位数能被 11 整除， 所以 （A＋8＋5）－（2＋7＋B） ＝A-B＋4 应能被 11 整除，即 A-B+4=0 或 A-B+4=11。 化简得 B-A＝4 或 A-B＝7。 因为 A+B 与 A-B 同奇同偶，所以有 在（1）中，A≤5 与 A≥7 不能同时满足，所以无解。 在（2）中，上、下两式相加，得 （B＋A）＋（B-A）＝14＋4， 2B＝18， B=9。 将 B=9 代入 A＋B=14，得 A＝5。 所以，A=5，B＝9。