数字谜（一）讲解

第 9 讲 数字谜（一） 我们在三年级已经学习过一些简单的数字谜问题。这两讲除了复习巩 固学过的知识外，还要学习一些新的内容。 例 1 在下面算式等号左边合适的地方添上括号，使等式成立： 5+7×8+12÷4-2＝20。 分析：等式右边是 20，而等式左边算式中的 7×8 所得的积比 20 大 得多。因此必须设法使这个积缩小一定的倍数，化大为小。 从整个算式来看，7×8 是 4 的倍数，12 也是 4 的倍数，5 不能被 4 整除，因此可在 7×8+12 前后添上小括号，再除以 4 得 17，5＋17-2=20。 解：5+（7×8+12）÷4-2=20。 例 2 把 1～9 这九个数字填到下面的九个□里，组成三个等式（每个数字 只能填一次）： 分析与解：如果从加法与减法两个算式入手，那么会出现许多种情形。如 果从乘法算式入手，那么只有下面两种可能： 2×3＝6 或 2×4＝8， 所以应当从乘法算式入手。 因为在加法算式□+□=□中，等号两边的数相等，所以加法算式中的 三个□内的三个数的和是偶数；而减法算式□-□=可以变形为加法算式□ =□+□，所以减法算式中的三个□内的三个数的和也是偶数。于是可知， 原题加减法算式中的六个数的和应该是偶数。 若乘法算式是 2×4＝8，则剩下的六个数 1，3，5，6，7，9 的和是 奇数，不合题意； 若乘法算式是 2×3＝6，则剩下的六个数 1，4，5，7，8，9 可分为 两组： 4＋5＝9，8-7＝1（或 8-1＝7）； 1＋7＝8，9－5＝4（或 9－4＝5）。 所以答案为 例 3 下面的算式是由 1～9 九个数字组成的，其中“7”已填好，请将其 余各数填入□，使得等式成立： □□□÷□□=□-□=□-7。 分析与解：因为左端除法式子的商必大于等于 2，所以右端被减数只能填 9，由此知左端被除数的百位数只能填 1，故中间减式有 8-6，6-4，5-3 和 4-2 四种可能。经逐一验证，8-6，6-4 和 4-2 均无解，只有当中间减 式为 5-3 时有如下两组解： 128÷64=5-3=9-7， 或 164÷82＝5-3＝9-7。 例 4 将 1～9 九个数字分别填入下面四个算式的九个□中，使得四个等式 都成立： □+□=6， □×□=8， □-□=6， □□÷□=8。 分析与解：因为每个□中要填不同的数字，对于加式只有两种填法：1＋5 或 2＋4；对于乘式也只有两种填法：1×8 或 2×4。加式与乘式的数字不 能相同，搭配后只有两种可能： （1）加式为 1＋5，乘式为 2×4； （2）加式为 2+4，乘式为 1×8。 对于（1），还剩 3，6，7，8，9 五个数字未填，减式只能是 9-3， 此时除式无法满足； 对于（2），还剩 3，5，6，7，9 五个数字未填，减式只能是 9-3， 此时除式可填 56÷7。答案如下： 2＋4＝6， 1×8＝8， 9－3＝6， 56÷7＝8。 例 2～例 4 都是对题目经过初步分析后，将满足题目条件的所有可能 情况全部列举出来，再逐一试算，决定取舍。这种方法叫做枚举法，也叫 穷举法或列举法，它适用于只有几种可能情况的题目，如果可能的情况很 多，那么就不宜用枚举法。 例 5 从 1～9 这九个自然数中选出八个填入下式的八个○内，使得算式的 结果尽可能大： [○÷○×（○+○）]-[○×○+○-○]。 分析与解：为使算式的结果尽可能大，应当使前一个中括号内的结果尽量 大，后一个中括号内的结果尽量小。为叙述方便，将原式改写为： [A÷B×（C＋D）]-[E×F＋G－H]。 通过分析，A，C，D，H 应尽可能大，且 A 应最大，C，D 次之，H 再 次之；B，E，F，G 应尽可能小，且 B 应最小，E，F 次之，G 再次之。于 是得到 A=9，C=8，D=7，H=6，B=1，E=2，F=3，G=4，其中 C 与 D，E 与 F 的值可互换。将它们代入算式，得到 [9÷1×（8＋7）]－[2×3＋4－6]=131。