数字谜例题讲解（二）

第 10 讲 数字谜（二） 例 1 把下面算式中缺少的数字补上： 分析与解：一个四位数减去一个三位数，差是一个两位数，也就是说被减 数与减数相差不到 100。四位数与三位数相差不到 100，三位数必然大于 900，四位数必然小于 1100。由此我们找出解决本题的突破口在百位数上。 （1）填百位与千位。由于被减数是四位数，减数是三位数，差是两 位数，所以减数的百位应填 9，被减数的千位应填 1，百位应填 0，且十 位相减时必须向百位借 1。 （2）填个位。由于被减数个位数字是 0，差的个位数字是 1，所以减 数的个位数字是 9。 （3）填十位。由于个位向十位借 1，十位又向百位借 1，所以被减数 十位上的实际数值是 18，18 分解成两个一位数的和，只能是 9 与 9，因 此，减数与差的十位数字都是 9。 所求算式如右式。 由例 1 看出，考虑减法算式时，借位是一个重要条件。 例 2 在下列各加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代 表不同的数字，求出这两个算式： 分析与解：（1）这是一道四个数连加的算式，其特点是相同数位上 的数字相同，且个位与百位上的数字相同，即都是汉字“学”。 从个位相同数相加的情况来看，和的个位数字是 8，有两种可能情况： 2＋2＋2＋2＝8 与 7＋7＋7＋7＝28，即“学”＝2 或 7。 如果“学”＝2，那么要使三个“数”所代表的数字相加的和的个位 数字为 8，“数”只能代表数字 6。此时，百位上的和为“学”＋“学” ＋1＝2＋2＋1＝5≠4。因此“学”≠2。 如果“学”＝7，那么要使三个“数”所代表的数字相加再加上个位 进位的 2，和的个位数字为 8，“数”只能代表数字 2。百位上两个 7 相 加要向千位进位 1，由此可得“我”代表数字 3。 满足条件的解如右式。 （2）由千位看出，“努”=4。由千、百、十、个位上都有“努”， 5432-4444=988，可将竖式简化为左下式。同理，由左下式看出，“力” =8，988-888=100，可将左下式简化为下中式，从而求出“学”=9，“习” =1。 满足条件的算式如右下式。 例 2 中的两题形式类似，但题目特点并不相同，解法也不同，请同学 们注意比较。 例 3 下面竖式中每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字， 求被乘数。 分析与解：由于个位上的“赛”ד赛”所得的积不再是“赛”，而是另 一个数，所以“赛”的取值只能是 2，3，4，7，8，9。 下面采用逐一试验的方法求解。 （1）若“赛”＝2，则“数”＝4，积=444444。被乘数为 444444÷2 ＝222222，而被乘数各个数位上的数字各不相同，所以“赛”≠2。 （2）若“赛”＝3，则“数”=9，仿（1）讨论，也不行。 （3）若“赛”＝4，则“数”＝6，积=666666。666666÷4 得不到整 数商，不合题意。 （4）若“赛”＝7，则“数”＝9，积=999999。被乘数为 999999÷7 ＝142857，符合题意。 （5）若“赛”＝8 或 9，仿上讨论可知，不合题意。 所以，被乘数是 142857。 例 4 在□内填入适当的数字，使左下式的乘法竖式成立。 分析与解：为清楚起见，我们用 A，B，C，D，…表示□内应填入的数字 （见右上式）。 由被乘数大于 500 知，E=1。由于乘数的百位数与被乘数的乘积的末 位数是 5，故 B，C 中必有一个是 5。若 C＝5，则有 6□□×5=（600+□□）×5=3000+□□×5， 不可能等于□5□5，与题意不符，所以 B=5。再由 B=5 推知 G=0 或 5。 若 G=5，则 F=A=9，此时被乘数为 695，无论 C 为何值，它与 695 的积不 可能等于□5□5，与题意不符，所以 G=0，F=A=4。此时已求出被乘数是 645，经试验只有 645×7 满足□5□5，所以 C=7；最后由 B=5，G=0 知 D 为偶数，经试验知 D=2。 右式为所求竖式。 此类乘法竖式题应根据已给出的数字、乘法及加法的进位情况，先填 比较容易的未知数，再依次填其余未知数。有时某未知数有几种可能取值， 需逐一试验决定取舍。 例 5 在□内填入适当数字，使左下方的除法竖式成立。 分析与解：把左上式改写成右上式。根据除法竖式的特点知，B=0，D=G=1， E=F=H=9，因此除数应是 99 的两位数的约数，可能取值有 11，33 和 99， 再由商的个位数是 5 以及 5 与除数的积是两位数得到除数是 11，进而知 A ＝C-9。至此，除数与商都已求出，其余未知数都可填出（见右式）。 此类除法竖式应根据除法竖式的特点，如商的空位补 0、余数必须小 于除数，以及空格间的相互关系等求解，只要求出除数和商，问题就迎刃 而解了。 例 6 把左下方除法算式中的*号换成数字，使之成为一个完整的式子（各 *所表示的数字不一定相同）。 分析与解：由上面的除法算式容易看出，商的十位数字“*”是 0，即商 为 。 因为除数与 8 的积是两位数，除数与商的千位数字的积是三位数，知 商的千位数是 9，即商为 9807。 因为“除数×9”是三位数，所以除数≥12；又因为“除数×8”是两 位数，所以除数≤12。推知除数只能是 12。被除数为 9807×12＝117684。 除法算式如上页右式。