四年级上册找规律（二）例题讲解

第 8 讲 找规律（二） 整数 a 与它本身的乘积，即 a×a 叫做这个数的平方，记作 a2，即 a2 ＝a×a；同样，三个 a 的乘积叫做 a 的三次方，记作 a3，即 a3＝a×a×a。 一般地，n 个 a 相乘，叫做 a 的 n 次方，记作 an，即 本讲主要讲 an 的个位数的变化规律，以及 an 除以某数所得余数的变 化规律。 因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关，所以 an 的个位数只与 a 的个位数有关，而 a 的个位数只有 0，1，2，…，9 共十 种情况，故我们只需讨论这十种情况。 为了找出一个整数 a 自乘 n 次后，乘积的个位数字的变化规律，我们 列出下页的表格，看看 a，a2，a3，a4，…的个位数字各是什么。 从表看出，an 的个位数字的变化规律可分为三类： （1）当 a 的个位数是 0，1，5，6 时，an 的个位数仍然是 0，1，5，6。 （2）当 a 的个位数是 4，9 时，随着 n 的增大，an 的个位数按每两个 数为一周期循环出现。其中 a 的个位数是 4 时，按 4，6 的顺序循环出现； a 的个位数是 9 时，按 9，1 的顺序循环出现。 （3）当 a 的个位数是 2，3，7，8 时，随着 n 的增大，an 的个位数按 每四个数为一周期循环出现。其中 a 的个位数是 2 时，按 2，4，8，6 的 顺序循环出现；a 的个位数是 3 时，按 3，9，7，1 的顺序循环出现；当 a 的个位数是 7 时，按 7，9，3，1 的顺序循环出现；当 a 的个位数是 8 时， 按 8，4，2，6 的顺序循环出现。 例 1 求 67999 的个位数字。 分析与解：因为 67 的个位数是 7，所以 67n 的个位数随着 n 的增大， 按 7，9，3，1 四个数的顺序循环出现。 999÷4＝249……3， 所以 67999 的个位数字与 73 的个位数字相同，即 67999 的个位数字是 3。 例 2 求 291+3291 的个位数字。 分析与解：因为 2n 的个位数字按 2，4，8，6 四个数的顺序循环出现，91 ÷4＝22……3，所以，291 的个位数字与 23 的个位数字相同，等于 8。 类似地，3n 的个位数字按 3，9，7，1 四个数的顺序循环出现， 291÷4＝72……3， 所以 3291 与 33 的个位数相同，等于 7。 最后得到 291+3291 的个位数字与 8+7 的个位数字相同，等于 5。 例 3 求 28128-2929 的个位数字。 解：由 128÷4＝32 知，28128 的个位数与 84 的个位数相同，等于 6。由 29 ÷2＝14……1 知，2929 的个位数与 91 的个位数相同，等于 9。因为 6＜9， 在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为 16－9＝7。 例 4 求下列各除法运算所得的余数： （1）7855÷5； （2）555÷3。 分析与解：（1）由 55÷4＝13……3 知，7855 的个位数与 83 的个位数相同， 等于 2，所以 7855 可分解为 10×a＋2。因为 10×a 能被 5 整除，所以 7855 除以 5 的余数是 2。 （2）因为 a÷3 的余数不仅仅与 a 的个位数有关，所以不能用求 555 的个位数的方法求解。为了寻找 5n÷3 的余数的规律，先将 5 的各次方除 以 3 的余数列表如下： 注意：表中除以 3 的余数并不需要计算出 5n，然后再除以 3 去求，而 是用上次的余数乘以 5 后，再除以 3 去求。比如，52 除以 3 的余数是 1， 53 除以 3 的余数与 1×5=5 除以 3 的余数相同。这是因为 52＝3×8+1，其 中 3×8 能被 3 整除，而 53=（3×8+1）×5=（3×8）×5+1×5， （3×8）×5 能被 3 整除，所以 53 除以 3 的余数与 1×5 除以 3 的余 数相同。 由上表看出，5n 除以 3 的余数，随着 n 的增大，按 2，1 的顺序循环 出现。由 55÷2=27……1 知，555÷3 的余数与 51÷3 的余数相同，等于 2。 例 5 某种细菌每小时分裂一次，每次 1 个细茵分裂成 3 个细菌。20 时后， 将这些细菌每 7 个分为一组，还剩下几个细菌？ 分析与解：1 时后有 1×3=31（个）细菌，2 时后有 31×3=32（个）细菌…… 20 时后，有 320 个细菌，所以本题相当于“求 320÷7 的余数”。 由例 4（2）的方法，将 3 的各次方除以 7 的余数列表如下： 由上表看出，3n÷7 的余数以六个数为周期循环出现。由 20÷6＝3…… 2 知，320÷7 的余数与 32÷7 的余数相同，等于 2。所以最后还剩 2 个细菌。 最后再说明一点，an÷b 所得余数，随着 n 的增大，必然会出现周期 性变化规律，因为所得余数必然小于 b，所以在 b 个数以内必会重复出现。