2015年烟台市数学中考题试题及答案解析

2015 年烟台市初中学业水平考试 数学试题 （后有答案解析） 一、选择题(本题共 12 各小题，每小题 3 分，满分 36 分) 1. 2 3  的相反数是（ ） A． 2 3  B. 2 3 C. 3 2  D. 3 2 2. 剪纸是我国最古老的民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》，下列剪纸作品 中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） 3. 如图，讲一个圆柱体放置在长方体上，其中圆柱体的底面直径与长方体的宽相等，则该几何体的左视 图是（ ） 4. 下列式子不一定成立的是（ ） A． ( 0)a a bb b   B. 3 5 2 1 ( 0)a a aa    C. 2 24 ( 2 )( 2 )a b a b a b    D. 3 2 6( 2 ) 4a a  5. 李华根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15 如果要去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ） A．平均数 B. 众数 C. 方差 D.中位数 6. 如果，那么 x 的值为（ ） A．2 或-1 B. 0 或 1 C. 2 D. -1 7. 如图，BD 是菱形 ABCD 的对角线，CE⊥AB 于点 E，且点 E 是 AB 的中点，则 tan BFE 的值是 A． 1 2 B. 2 C. 3 3 D. 3 8.如图，正方形 ABCD 的边长为 2，其面积标记为 1S ，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角 形的一条直角边为边向外做正方形，其面积标记为 2S ，…，按照此规律继续下去，则 2015S 的值为（ ） A． B. C. D. 9.等腰三角形三边长分别为 2a b、 、 ，且 a b、 是关于 x 的一元二次方程 2 6 1 0x x n    的两根，则 n 的值为（ ） A．9 B. 10 C. 9 或 10 D. 8 或 10 10.A、B 两地相距 20 千米，甲、乙两人都从 A 地去 B 地，图中 1l 和 2l 分别表示甲、乙两人所走路程 S (千 米)与时刻t (小时)之间的关系。下列说法：○1 乙晚出发 1 小时；○2 乙出发 3 小时后追上甲；○3 甲的速度是 4 千米/小时；○4 乙先到达 B 地。其中正确的个数是（ ） A．1 B. 2 C. 3 D. 4 11.如图，已知顶点为(-3，-6)的抛物线 2y ax bx c   经过点(-1，-4)，则下列结论中错误的是（ ） A． 2  4b ac B. 2 6ax bx c    C. 若点(-2， m )，(-5， n ) 在抛物线上，则 m n D. 关于 x 的一元二次方程 2 4ax bx c    的两根为-5 和-1 12.如图， RT ABC⊿ ， 90oC  ， 30oBAC  ，AB=8，以 2 3 为边长的正方形 DEFG 的一边 GD 在直 线 AB 上，且点 D 与点 A 重合。现将正方形 DEFG 沿 A→B 的方向以每秒 1 个单位的速度匀速运动，当点 D 与点 B 重合时停止，则在这个运动过程中，正方形 DEFG 与⊿ABC 的重合部分的面积 S 与运动时间t 之间的 函数关系图像大致是（ ） 二、填空题(本大题共 6 个小题，每小题 3 分，满分 18 分) 13.如图，数轴上点 A，B 所表示的两个数的 和的绝对值是_____________。 14.正多边形的一个外角是 72o ，则这个多边形的内角和的度数是___________________。 15.如图，有四张不透明的卡片除正面的函数关系式不同，其余相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机 抽取一张卡片，则抽到函数图像不经过第四象限的卡片的概率为____________。 16.如图，将弧长为 6 ，圆心角为120o 的扇形纸片 AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径 OA 与 OB 重 合(接缝粘结部分忽略不计)，则圆锥形纸帽的高是____________。 17.如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 的 坐标分别是(4，0)(0，2)，反比例 函数 ( 0)ky kx   的图像过对角线 的交点 P 并且与AB，BC 分别交 于 D，E 两点，连接 OD，OE，DE， 则⊿ODE 的面积为_____________。 18. 如图，直线 1: 12l y x   与坐标轴交于 AB 两点，点 ( ,0)M m 是 x 轴上一动点，一点 M 为圆心，2 个单位长度为半径作⊙M，当⊙M 与直线l 想切时， m 的值为__________________。 三、解答题(本大题共 7 个小题，满分 66 分) 19.(本题满分 6 分) 先化简 2 2 2 1( )2 1 1 x x x x x x      ，再从 2 3x   的范围内选取一个你喜欢的 x 值代入求值。 20.(本题满分 8 分) “切实减轻学生课业负担”是我市作业改革的一项重要举措。某中学为了解本校学生平均每天的课外 作业时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为 A、B、C、D 四个等级。A：1 小时以内，B： 1 小时-1.5 小时，C：1.5 小时-2 小时，D：小时以上。根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计 图。请根据图中信息解答下列问题： (1)该校共调查了_________名学生； (2)请将条形统计图补充完整； (3)表示等级 A 的扇形圆心角 的度 数是____________； (4)在此次问卷调查中，甲、乙两班 各有 2 人平均每天课外作业时间都 是 2 小时以上，从这 4 人中任选 2 人 去参加座谈，用列表或树状图的方法 求选出的 2 人来自不同班级的概率。 21．(本题满分 8 分) 2014 年 12 月 28 日“青烟威荣”城际铁路正式开通，从烟台到北京的高铁里程比普快里程缩短了 81 千米，运行时间减少了 9 小时，已知烟 台到北京的普快列车里程月 1026 千米，高铁平均时速是普快平均 时速的 2.5 倍。 (1)求高铁列车的平均时速； (2)某日王老师要去距离烟台大约 630 千米的某市参加 14:00 召开的会议，如果他买到 当日 8:40 从烟台到该是的高铁票，而且从该市火车站到会议地点最多需要 1.5 小时。试问在高铁列车准 点到达的情况下他能在开会之前赶到吗？ 22.(本题满分 9 分) 如图 1，滨海广场装有可利用风能、太阳能发电的风光互补环保路灯，灯杆顶端装有风力发电机，中 间装有太阳能板，下端装有路灯。该 系统工作过程中某一时刻的截面图如图 2，已知太阳能板的支架 BC 垂直于灯杆 OF，路灯顶端 E 距离地面 6 米，DE=1.8 米， 60oCDE  ，且根据我市的地理位置设定太阳 能板 AB 的倾斜角为 43o ，AB=1.5 米，CD=1 米。为保证长为 1 米的风力发电机叶片无障碍旋转，叶片与太 阳 能 板 顶 端 A 的 最 近 距 离 不 得 少 于 0.5 米 ， 求 灯 杆 OF 至 少 要 多 高 ？ ( 利 用 科 学 计 算 器 可 求 得 sin 43 0.6820o  ， cos43 0.7314o  ， tan 43 0.9325o  ，结果保留两位小数) x§k§b 1 23.(本题满分 9 分) 如图，以⊿ABC 的一边 AB 为直径的半圆与其它两边 AC，BC 的交点分别为 D，E，且  DE BE 。 (1)试判断⊿ABC 的形状，并说明理由； (2)已知半圆的半径为 5，BC=12，求sin ABD 的值。 24.(本题满分 12 分) 如图，在平面直角坐标系中， 抛物线 2y ax bx c   与⊙M 相交于 A、B、C、D 四点。其中 AB 两点 的坐标分别为(-1，0)，(0，-2)，点 D 在 x 轴上且 AD 为⊙M 的直径。点 E 是⊙M 与 y 轴的另一个交点，过 劣弧 DE 上的点 F 作 FH⊥AD 于点 H，且 FH=1.5。 (1)求点 D 的坐标及该抛物线的表达式； (2)若点 P 是 x 轴上的一个动点，试求出⊿PEF 的周长最小时点 P 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使⊿QCM 是等腰三角形？如果存在，请直接写出点 Q 的坐标； 如果不存在，请说明理由。 25.(本题满分 14 分) 【问题提出】 如图○1 ，已知⊿ABC 是等边三角形，点 E 在线段 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 DE=EC，将⊿BCE 绕点 C 顺时针旋转 60o 至⊿ACF，连接 EF。 试证明：AB=DB+AF。 【类比探究】 (1)如图○2 ，如果点 E 在线段 AB 的延长线上，其它条件不变，线段 AB、DB、AF 之间又有怎样的数量 关系？请说明理由。 (2)如果点 E 在线段 BA 的延长线上，其他条件不变，请在图○3 的基础上将图形补充完整，并写出 AB， DB，AF 之间数量关系，不必说明理由。 参考答案 1. B 2. D 3. A 4. A 5. D 6. 7. D 8 9. B 10. C 11. C 12. A 13. 1。 14. 540o 。 15. 3 4 。 16. 6 2 。 17. 15 4 。 18. 2 2 5 。 19. 解： 20.从条形图中我们可以看得出 A 的人数为 60，B 的人数为 80，D 的人数为 20；从扇形统计 图中我们能看到 B 占的比例 40%，这样我们很容易就能得出共调查了 200 人，进而就能得出 C 的人数 40 人(图形可以自行补充)。A 占的比重即扇形圆心角 的度数为：108o 。甲乙两班的 学生我们分别标示为甲 A、甲 B、乙 A、乙 B，则一共有甲 A 和甲 B、甲 A 和乙 A、甲 A 和乙 B、 甲 B 和乙A、甲 B 和乙 B、乙 A 和乙 B。这样我们就很容易得出两人来自不同班级的概率为：2 3 21． 路程 速度 时间 高铁 1026-81 2.5x 1026 81 2.5x  普快 1026 x 1026 x 根据上表，我们可以轻易得出方程： 1026 81 1026 92.5x x    解得： 72x  所以 2.5x 即高铁的平均速度是 180 千米/小时。 第(2)问：从烟台到某市 630 千米，按照我们求出的高铁的速度，他需要 3.5 个小时到达 2 2 2 2 2 2 1( )2 1 1 ( 1) 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                     A 地，再加上 1.5 个小时，也就是说他至少需要 5 个小时到达会场。因此他购买 8:40 的票， 则在 13:40 就能到达会场，所以在开会前是能够赶到的。 22. AB 是直径，则我们很容易知道 90oADB  ，同时也是 90oCDB  。进而就有 C CBD CDE BDE       ，而又  DE BE ，则 DE=BE，进而 CBD BDE   ，所以 C CDE   ，而 ABED 可以看成是个圆内接四边形，则 CDE CBA   ，所以 C CBA   ， 即⊿ABC 为等腰三角形。 第(2)问要求的是 ABD 的正弦值，由图知， ABD 在 RT ABD⊿ 中，AB=10，要求正弦值， 就必须求得 AD 的值，在 ABC⊿ 中，我们可以利用等腰三角形一腰上的高求出 AD=2.8， 这样我们就能求出 7sin 25ABD  。 24.第(1)问求抛物线的解析式，我们知道的条件就是 AB 两点的坐标，要想求得抛物线的解析 式，必须再有一个点才行。根据题意，设点 M 的坐标为( m ，0)，根据两点间的距离公式(半 径相等)可以求得 3 2m  ，则点 D 的坐标为(4，0)，这样就可以根据交点式来求解抛物线的解 析式： 21 1 3( 1)( 4) 22 2 2y x x x x      第(2)问其实是我们初中阶段经常练习的一个轴对称问题。要在 x 轴上的找到一点 P，使得⊿ PEF 的周长最小，我们先来看 E，F 两点，这是两个定点，也就是说 EF 的长度是不变的，那 实际上这个题目就是求 PE+PF 的最小值，这就变成了轴对称问题中最为经典的“放羊问题”， 要解决这一问题首先我们看图中有没有 E 或 F 的对称点，根据题意，显然是有 E 点的对称点 B 的，那么连接 BF 与 x 轴的交点就是我们要求的点 P(2，0)。 第(3)问要在抛物线的对称轴上找点 Q，使得⊿QCM 是等腰三角形，首先点 M 本身就在抛物线 对称轴上，其坐标为 3( ,0)2 ；点 C 是点 B 关于抛物线对称轴的对称点，所以点 C 的坐标为(3， -2)；求 Q 点的坐标，根据题意可设 Q 点为( 3 ,2 n )。⊿QCM 是等腰三角形，则可能有三种情况， 分别是 QC=MC；QM=MC；QC=QM。根据这三种情况就能求得 Q 点的坐标可能是 3 5( , )2 2  或 3 25( , )2 16  或 3( , 4)2  25.第一问是个明显的旋转问题，根据旋转的特点，我们能够得出 CE=CF， 60oECF  ， 即 CEF⊿ 是等边三角形； BE AF ； 60oEBC FAC    ，进而： AFE ACE   ，再有 60oDEB D ACE BCE        又 由 已 知 DE=CE ， 知 D BCE   ， 所 以 有 DEB ACE AFE     ， 这 样 就 能 得 出 AEF BDE⊿ ≌⊿ 则有 AE=BD，所以 AB=AE+BE=BD+AF。第(2)问，根据第一问的做法，我们应该像第(1)问那样 去证明 AEF BDE⊿ ≌⊿ ，全等的条件都是有 AF=BE(旋转得出)，DE=EF，这样关键就在于说明 AFE DEB   。要想说明这两个角相等，我们可以像第(1)问一样去证出 BCE ACF   ， BEC AFC FCB     ，这样我们就能得出 AF∥CD，此时我们需要把 BD 和 EF 的交点标示 为 G 点，这样就有 AFE CGE   ，接下来我们可以想办法证明 BDE BEG⊿ ∽⊿ (条件有一个 公用角和小角)，这样就得出了 BGE BED   ，所以就有 AFE BED   ，也就得出了三角 形全等，这样就有 AE=BD，所以这时 AB=AE-BE=BD-AF。第(3)问画图略过，理由可以参考第(2) 问。 2015 年烟台市初中学业水平考试数学试题 一、选题题 1．B 【解析】如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，所以有－ 2 3 的相反数 是－（－ 2 3 ）= 2 3 . 2． Ｄ．【解析】根据轴对称和中心对称图形的概念，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁 的部分能够完全重合，则这个图形叫轴对称图形；将一个图形绕着某一点旋转 180°后，所得的图形 能够和原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形，可得 ３.Ｄ．【解析】Ａ为左视图，Ｂ为正视图，Ｃ为俯视图；Ｄ不属于三视图得出的结论． ４．A【解析】Ａ不一定成立,只有 a 为非负数，b 正数时在正确；B 根据幂的乘法法则和负指数幂的运算法 则计算正确；C 运用平方差公式分解因式，正确；D 积的乘方等于各个因式分别乘方，正确. ５.D【解析】去掉一个最高分和一个最低分，中位数不发生变化，其余都发生生变化。 6.【解析】任何一个不为零的数的零次方为 1，所以可得方程 2 1 0,x x   解方程得 x 的值为 2 或-1. ７．Ｄ【解析】因为在菱形 ABCD 中，AB=BC，E 为 AB 的中点， 所以 BE= 1 2 BC ，又因为 CE⊥AB，所以△ BCA 为直角三角形，∠BCE=30°，∠EBC=60°，又因为菱形的对角线平分每一组对角，所以∠EBF= 1 2 ∠ EBC=30°，所以∠BFE=60°，所以 tan∠BFE= 3 ． ８．C. 【解析】根据面积公式可得 2 1 2 ,s  解直角三角形可得以 CD 为斜边的等腰直角三角形的边长为 2, 所以 2 2 1 2 2,2s    2 2 1 3 1( ) 2 2 ,2s    …以此类推 2014 4 2012 2015 1 1( ) 2 ( )2 2s    ． 9．C.【解析】当 a,b 为腰时，a=b,由一元二次方程根与系数的关系可得 a+b=6，所以 a=b=3,ab=9=n-1,解 得 n=10,当 2 为腰时，a=2（或 b=2）,此时 2+b=6（或 a+2=6），解得 b=4(a=4),所以 ab=2×4=8=n-1，解得 n=9,所以 n 为 9 或 10. 10．C【解析】①乙比甲晚出发 1 小时，正确；②乙应出发 2 小时后追上甲，错误；③甲的速度为 12÷ 3=4(千米/小时),正确；甲到达需要 20÷4=5（小时）；乙的速度为 12÷2=6（千米/小时）,乙到达需要的 时间为 20÷6=3 1 3 （小时），即乙在甲出发 4 1 3 小时到达，甲 5 小时到达，故乙比甲先到.正确。故选 11．C【解析】A．如图抛物线与 x 轴有两个交点所以 2 4 0,b ac  即 2 4 ,b ac 正确；Ｂ。因为抛物线的 顶点坐标为（-3，-6），抛物线上所有点都大于或等于-6，故 B 正确；C 根据抛物线的对称性当 x=-2 时的函 数值与 x=-4 时的函数值相等，此函数抛物线开口向上，在对称轴的右侧 y 所 x 的增大而减小，-4>-5，所以 m