2015年青岛市中考数学试题及答案

青岛市二〇一五年初中学生学业考试 数 学 试 题 （考试时间：120 分钟；满分：120 分） 真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共有 24 道题．第Ⅰ卷 1—8 题为选择题，共 24 分； 第Ⅱ卷 9—14 题为填空题，15 题为作图题，16—24 题为解答题，共 96 分． 要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第（Ⅰ）卷 一、选择题（本题满分 24 分，共有 8 道小题，每小题 3 分） 下列每小题都给出标号为 A、B、C、D 的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不 选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1． 2 的相反数是（ ）． A． 2 B． 2 C． 2 1 D．2 2．某种计算机完成一次基本运算的时间约为 0.000 000 001s，把 0.000 000 001s 用科学计数法可以 表示为（ ）． A． s8101.0  B． s9101.0  C． s8101  D． s9101  3．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． 4．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，DE=1， 则 BC=（ ）． A． 3 B．2 C．3 D． 23  5．小刚参加射击比赛，成绩统计如下表 成绩（环） 6 7 8 9 10 次数 1 3 2 3 1 关于他的射击成绩，下列说法正确的是（ ）． A．极差是 2 环 B．中位数是 8 环 C．众数是 9 环 D．平均数是 9 环 6．如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，若直线 PA 与⊙O 相切于点 A，则∠PAB=（ ） A．30° B．35° C．45° D．60° 7．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BC 相交于点 O，E、F 分别是 AB、BC 边上的中点，连接 EF，若 EF＝ 3 ，BD＝4，则菱形 ABCD 的周长为（ ）． A．4 B． 64 C． 74 D．28 8. 如图，正比例函数 xky 11  的图像与反比例函数 x ky 2 2  的图象相交于 A、B 两点，其中点 A 的横坐标 为 2，当 21 yy ＞ 时， x 的取值范围是（ ）． A． 22 ＞或＜ xx  B． 202 ＜＜或＜ xx  C． 2002 ＜＜或＜＜ xx D． 202 ＞或＜＜ xx 第Ⅱ卷 二、填空题（本题满分 18 分，共有 6 道小题，每小题 3 分） 9．计算： .________23 2723  aaaa 10．如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 3 1 ，那么 点 A 的对应点 A＇的坐标是＿＿＿＿＿＿＿． 11．把一个长、宽、高分别为 3cm、2cm、1cm 的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的 底面积 S（ 2cm ）与高 )(cmh 之间的函数关系是为_________________________ 12．如图，平面直角坐标系的原点 O 是正方形 ABCD 的中心，顶点 A，B 的坐标分别为（1,1）、（-1,1）， 把正方形 ABCD 绕原点 O 逆时针旋转 45°得到正方形 A＇Ｂ＇Ｃ＇Ｄ＇则正方形 ABCD 与正方形 A＇Ｂ＇Ｃ＇Ｄ＇ 重叠 部分形成的正八边形的边长为_____________________°． 13．如图，圆内接四边形 ABCD 中两组对边的延长线分别相交于点 E，F，且∠A＝55°，∠E=30°， 则∠F= ． 14．如图，在一次数学活动课上，张明用 17 个边长为 1 的小正方体搭成了一个几何体，然后他请王亮 用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭的几何体拼 成一个大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需要 个小正方体，王 亮所搭几何体表面积为________________. 三、作图题（本题满分 4 分） 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 15．已知：线段c ，直线 ll及 外一点 A． 求作：Rt△ABC，使直角边为 AC（AC⊥l ，垂足为 C）斜边 AB＝c． 四、解答题（本题满分 74 分，共有 9 道小题） 16．（本小题满分 8 分，每题 4 分） （1）化简： n nnn n 1)12( 2  ； （2）关于 x 的一元二次方程 032 2  mxx 有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围 17．（本小题满分 6 分） 某小学为了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相同数量的学生进行调查，并将 所得数据进行整理，制成条形统计图和扇形统计图如下： （1）补全条形统计图； （2）求扇形统计图中扇形 D 的圆心角的度数； （3）若该中学有 2000 名学生，请估计其中有多少名学生能在 1.5 小时内完成家庭作业？ 18．（本小题满分 6 分） 小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为 1~4 的四个球（除编号外都相同）， 从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字。若两次数字之和大于 5，则小 颖胜，否则小丽胜。这个游戏对双方公平吗？请说明理由。 19．（本小题满分 6 分） 小明在热气球 A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥 BC，并测得 B，C 两点的俯角分别为 45° 和 35°，已知大桥 BC 与地面在同一水平面上，其长度为 100m。请求出热气球离地面的高度。 （结果保留整数，参考数据： 12 735sin  ， 6 535cos  ， 10 735tan  20．（本小题满分 8 分） 某厂制作甲、乙两种环保包装盒。已知同样用 6m 的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少 2 个， 且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用 20%的材料。 （1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？ （2）如果制作甲、乙两种包装盒 3000 个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的 2 倍，那么请写出所需 材料总长度 )(ml 与甲盒数量 )(个n 之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料。 21．（本小题满分 8 分） 已知：如图，△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE；垂足为 E． （1）求证：△ABD≌△CAE； （2）连接 DE，线段 DE 与 AB 之间有怎样的位置和数量关系？ 请证明你的结论． 22．（本小题满分 10 分） 如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是 12m，宽是 4m．按照图中所示的直角坐标 系，抛物线可以用 cbxxy  2 6 1 表示，且抛物线上的点 C 到 OB 的水平距离为 3m，到地面 OA 的距 离为 2 17 m。 （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶 D 到地面 OA 的距离； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6m，宽为 4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车 能否安全通过？ （3）在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过 8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 23．（本小题满分 10 分） 问题提出：用 n 根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？ 问题探究：不妨假设能搭成 m 种不同的等腰三角形，为探究 nm与 之间的关系，我们可以从特殊入手， 通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论． 探究一： （1）用 3 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ 此时，显然能搭成一种等腰三角形。所以，当 3n 时， 1m （2）用 4 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ 只可分成 1 根木棒、1 根木棒和 2 根木棒这一种情况，不能搭成三角形 所以，当 4n 时， 0m （3）用 5 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ 若分成 1 根木棒、1 根木棒和 3 根木棒，则不能搭成三角形 若分为 2 根木棒、2 根木棒和 1 根木棒，则能搭成一种等腰三角形 所以，当 5n 时， 1m （4）用 6 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ 若分成 1 根木棒、1 根木棒和 4 根木棒，则不能搭成三角形 若分为 2 根木棒、2 根木棒和 2 根木棒，则能搭成一种等腰三角形 所以，当 6n 时， 1m 综上所述，可得表① n 3 4 5 6 m 1 0 1 1 探究二： （1）用 7 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ （仿照上述探究方法，写出解答过程，并把结果填在表②中） （2）分别用 8 根、9 根、10 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ （只需把结果填在表②中） n 7 8 9 10 m 你不妨分别用 11 根、12 根、13 根、14 根相同的木棒继续进行探究，…… 解决问题：用n 根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？ （设n 分别等于 14 k 、 k4 、 14 k 、 24 k ，其中 k 是整数，把结果填在表③中） n 14 k k4 14 k 24 k m 问题应用：用 2016 根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？ （要求写出解答过程） 其中面积最大的等腰三角形每个腰用了__________________根木棒。（只填结果） 24．（本小题满分 12 分） 已知：如图①，在□ABCD 中，AB＝3cm，BC＝5cm．AC⊥AB。△ACD 沿 AC 的方向匀速平移得到 △PNM，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速运动，速度为 1cm/s，当△PNM 停止 平移时，点 Q 也停止运动．如图②，设运动时间为 t(s)（0＜t＜4）．解答下列问题： （1）当 t 为何值时，PQ∥MN？ （2）设△QMC 的面积为 y(cm2)，求 y 与 t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻 t，使 S△QMC∶S 四边形 ABQP＝1∶4？若存在，求出 t 的值； 若不存在，请说明理由． （4）是否存在某一时刻 t，使 PQ⊥MQ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由． 参考答案 一、选择 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B C B A C D 二、填空 题号 9 10 11 12 13 14 答案 5a （2,3） hS 6 222  40° 19, 48 三、作图 四、解答题 16、（1）原式= 1 1 )1)(1( )1( 2   n n nn n n n （2）由题知 9)(2432 ＞m ，解得 8 9＞m ，答： m 的取值范围是 8 9＞m 17、（1） （2）  2740 3360 （3） 1800%)35%30%25(2000  18、解： 第二次 第一次 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 共有 16 种等可能结果，其中大于 5 的有共有 6 种。 8 3 16 6 5( ）数字之和＞P ，因为 2 1 8 3  ，所以不公平。 19，解：如图，作 AD⊥CB 延长线于点 D 由题知：∠ACD=35°、∠ABD=45° 在 Rt△ACD 中，∠ACD=35° 10 735tan  CD AD 所以 ADCD 7 10 在 Rt△ABD 中，∠ABD=45° 145tan  BD AD 所以 ADBD  由题 100 DBCDBC 所以 1007 10  ADAD 解得 233AD m 答：热气球到地面的距离约为 233 米 20，解：（1）设制作每个乙盒用 x 米材料，则制作甲盒用（1+20%） x 米材料 由题可得： 2%)201( 66  xx 解得 5.0x （米） 经检验 5.0x 是原方程的解，所以 6.0%)201(  x 答：制作每个甲盒用 0.6 米材料；制作每个乙盒用 0.5 米材料 （2）由题      3000 )3000(2 n nn ∴ 30002000  n 15001.0)3000(5.06.0  nnnl ∵ 01.0 ＞k ，∴ 增大而增大随nl ，∴当 2000n 时， 1700最小l 21:，（1）证明：∵AB=AC ∴∠B=∠ACB 又因为 AD 是 BC 边上的中线 所以 AD⊥BC，即∠ADB=90° 因为 AE∥BC 所以∠EAC=∠ACB 所以∠B=∠EAC ∵CE⊥AE ∴∠CEA=90° ∴∠CEA=∠ADB 又 AB=AC ∴△ABD≌△CAE（AAS） （2）AB∥DE 且 AB=DE。 由（1）△ABD≌△CAE 可得 AE=BD， 又 AE∥BD，所以四边形 ABDE 是平行四边形 所以 AB∥DE 且 AB=DE 22，解：（1）由题知点 )2 17,3(),4,0( CB 在抛物线上 所以      cb c 396 1 2 17 4 ，解得      4 2 c b ，所以 426 1 2  xxy 所以，当 62  a bx 时， 10最大y 答： 426 1 2  xxy ，拱顶 D 到地面 OA 的距离为 10 米 （2）由题知车最外侧与地面 OA 的交点为（2,0）（或（10,0）） 当 )10(2  xx 或 时， 63 22＞y ，所以可以通过 （3）令 8y ，即 8426 1 2  xx ，可得 024122  xx ，解得 326,326 21  xx 3421  xx 答：两排灯的水平距离最小是 34 23，解：探究二 （1）若分成 1 根木棒、1 根木棒和 5 根木棒，则不能搭成三角形 若分为 2 根木棒、2 根木棒和 3 根木棒，则能搭成一种等腰三角形 若分为 3 根木棒、3 根木棒和 1 根木棒，则能搭成一种等腰三角形 所以，当 7n 时， 2m n 7 8 9 10 m 2 1 2 2 n 14 k k4 14 k 24 k m 1k k 1k 1k 问题应用：∵2016=4×504 所以 k=504，则可以搭成 k-1=503 个不同的等腰三角形； 672 24，解：（1）在 Rt△ABC 中，由勾股定理得： 422  ABBCAC 由平移性质可得 MN∥AB 因为 PQ∥MN，所以 PQ∥AB，所以 CB CQ CA CP  ，即 54 4 tt  ，解得 9 20t （2）作 PD⊥BC 于点 D，AE⊥BC 于点 E 由 BCAEACABS ABC  2 1 2 1 可得 5 12AE 则由勾股定理易求 5 16CE 因为 PD⊥BC，AE⊥BC 所以 AE∥PD，所以△CPD∽△CAE 所以 AE PD CE CD CA CP  ，即 5 12 5 164 4 PDCDt  （备注，粗略通读题，用得着的计算一并先算出） 求得： 5 312 tPD  ， 5 416 tCD  因为 PM∥BC，所以 M 到 BC 的距离 5 312 tPDh  所以，△QCM 是面积 tttthCQy 5 6 10 3 5 312 2 1 2 1 2  （3）因为 PM∥BC，所以 MQCPQC SS   若 S△QMC∶S 四边形 ABQP＝1∶4，则 S△QMC∶S△ABC＝1∶5 即： 65 1 5 6 10 3 2  tt ，整理得： 0442  tt ，解得 2t 答：当 t=2 时，S△QMC∶S 四边形 ABQP＝1∶4 （4）若 MQPQ  ，则∠MDQ=∠PDQ=90° 因为 MP∥BC，所以∠MPQ=∠PQD， 所以△MQP∽△PDQ，所以 DQ PQ PQ PM  ，所以 DQPMPQ 2 即： DQPMDQPD  22 ，由 5 416 tCD  ，所以 DQ = CD-CQ 5 916 t 故 5 9165)5 916()5 312( 22 ttt  ，整理得 032 2  tt 解得 2 3),(0 21  tt 舍 答：当 2 3t 时， MQPQ  。