2015年宁夏中考数学试题解析

2015 年宁夏中考数学试卷 一、选择题（下列每小题所给的四个答案中只有一个是正确的，每小题 3 分，共 24 分） 1．（3 分）（2015•宁夏）下列计算正确的是（ ） A． B． =2 C．（ ）﹣1= D．（ ﹣1）2=2 2．（3分）（2015•宁夏）生物学家发现了一种病毒的长度约为0.00000432毫米．数据0.00000432 用科学记数法表示为（ ） A．0.432×10﹣5 B．4.32×10﹣6 C．4.32×10﹣7 D．43.2×10﹣7 3．（3 分）（2015•宁夏）如图，放置的一个机器零件（图 1），若其主视图如（图 2）所示， 则其俯视图为（ ） A． B． C． D． 4．（3 分）（2015•宁夏）某校 10 名学生参加“心理健康”知识测试，他们得分情况如下表： 人数 2 3 4 1 分数 80 85 90 95 那么这 10 名学生所得分数的众数和中位数分别是（ ） A．95 和 85 B．90 和 85 C．90 和 87.5 D．85 和 87.5 5．（3 分）（2015•宁夏）关于 x 的一元二次方程 x2+x+m=0 有实数根，则 m 的取值范围是（ ） A．m≥ B．m≤ C．m≥ D．m≤ 6．（3 分）（2015•宁夏）如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD 的度数是（ ） A．88° B．92° C．106° D．136° 7．（3 分）（2015•宁夏）如图，某小区有一块长为 18 米，宽为 6 米的矩形空地，计划在其 中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 60 米 2，两块绿地之间及周边留有宽度相 等的人行通道．若设人行道的宽度为 x 米，则可以列出关于 x 的方程是（ ） A．x2+9x﹣8=0 B．x2﹣9x﹣8=0 C．x2﹣9x+8=0 D．2x2﹣9x+8=0 8．（3 分）（2015•宁夏）函数 y= 与 y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9．（3 分）（2015•宁夏）因式分解：x3﹣xy2= ． 10．（3 分）（2015•宁夏）从 2，3，4 这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位 数，则这个两位数能被 3 整除的概率是 ． 11．（3 分）（2015•宁夏）如图，将正六边形 ABCDEF 放在直角坐标系中，中心与坐标原点 重合，若 A 点的坐标为（﹣1，0），则点 C 的坐标为 ． 12．（3 分）（2015•宁夏）已知扇形的圆心角为 120°，所对的弧长为 ，则此扇形的面积 是 ． 13．（3 分）（2015•宁夏）如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦 AB⊥CD，垂足为 E，连接 BC．若 AB=2 ，∠BCD=30°，则⊙O 的半径为 ． 14．（3 分）（2015•宁夏）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（0，4），△OAB 沿 x 轴向右平移后得到△O′A′B′，点 A 的对应点 A′是直线 y= x 上一点，则点 B 与其对应点 B′ 间的距离为 ． 15．（3 分）（2015•宁夏）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=5，在 CD 上任取一点 E， 连接 BE，将△BCE 沿 BE 折叠，使点 C 恰好落在 AD 边上的点 F 处，则 CE 的长 为 ． 16．（3 分）（2015•宁夏）如图，港口 A 在观测站 O 的正东方向，OA=4km，某船从港口 A 出发，沿北偏东 15°方向航行一段距离后到达 B 处，此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东 60°的方向，则该船航行的距离（即 AB 的长）为 ． 三、解答题（每题 6 分，共 36 分） 17．（6 分）（2015•宁夏）解方程： =1． 18．（6 分）（2015•宁夏）解不等式组 ． 19．（6 分）（2015•宁夏）为了解中考体育科目训练情况，某地从九年级学生中随机抽取了 部分学生进行了一次考前体育科目测试，把测试结果分为四个等级：A 级：优秀；B 级：良 好；C 级：及格；D 级：不及格，并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统 计图中的信息解答下列问题： （1）请将两幅不完整的统计图补充完整； （2）如果该地参加中考的学生将有 4500 名，根据测试情况请你估计不及格的人数有多少？ （3）从被抽测的学生中任选一名学生，则这名学生成绩是 D 级的概率是多少？ 20．（6 分）（2015•宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A（2，﹣4）， B（3，﹣2），C（6，﹣3）． （1）画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1； （2）以 M 点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1 的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2 与 △A1B1C1 的相似比为 2：1． 21．（6 分）（2015•宁夏）在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上的一点．连结 AE． （1）若 AB=AE，求证：∠DAE=∠D； （2）若点 E 为 BC 的中点，连接 BD，交 AE 于 F，求 EF：FA 的值． 22．（6 分）（2015•宁夏）某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男、 女两种款式的书包．已知男款书包的单价 50 元/个，女款书包的单价 70 元/个． （1）原计划募捐 3400 元，购买两种款式的书包共 60 个，那么这两种款式的书包各买多少 个？ （2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款 4800 元，如果至少购买两种 款式的书包共 80 个，那么女款书包最多能买多少个？ 四、解答题（23 题、24 题每题 8 分，25 题、26 题每题 10 分，共 36 分） 23．（8 分）（2015•宁夏）如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点 P 是⊙O 外一点， 连接 PB、AB，∠PBA=∠C． （1）求证：PB 是⊙O 的切线； （2）连接 OP，若 OP∥BC，且 OP=8，⊙O 的半径为 2 ，求 BC 的长． 24．（8 分）（2015•宁夏）已知点 A（ ，3）在抛物线 y=﹣ x 的图象上，设点 A 关于抛物线对称轴对称的点为 B． （1）求点 B 的坐标； （2）求∠AOB 度数． 25．（10 分）（2015•宁夏）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定 的价格进行试销，通过对 5 天的试销情况进行统计，得到如下数据： 单价（元/件） 30 34 38 40 42 销量（件） 40 32 24 20 16 （1）计算这 5 天销售额的平均数（销售额=单价×销量）； （2）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量 y（件）与单价 x（元/件）之间存在一 次函数关系，求 y 关于 x 的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）； （3）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是 20 元/ 件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？ 26．（10 分）（2015•宁夏）如图，是一副学生用的三角板，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°， ∠B=30°；在△A1B1C1 中，∠C1=90°，∠A1=45°，∠B1=45°，且 A1B1=CB．若将边 A1C1 与 边 CA 重合，其中点 A1 与点 C 重合．将三角板 A1B1C1 绕点 C（A1）按逆时针方向旋转， 旋转过的角为α，旋转过程中边 A1C1 与边 AB 的交点为 M，设 AC=a． （1）计算 A1C1 的长； （2）当α=30°时，证明：B1C1∥AB； （3）若 a= ，当α=45°时，计算两个三角板重叠部分图形的面积； （4）当α=60°时，用含 a 的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积． （参考数据：sin15°= ，cos15°= ，tan15°=2﹣ ，sin75°= ， cos75°= ，tan75°=2+ ） 2015 年宁夏中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（下列每小题所给的四个答案中只有一个是正确的，每小题 3 分，共 24 分） 1．（3 分）（2015•宁夏）下列计算正确的是（ ） A． B． =2 C．（ ）﹣1= D．（ ﹣1）2=2 考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂． 专题：计算题． 分析：根据二次根式的加减法对 A 进行判断；根据二次根式的除法法则对 B 进行判断；根 据负整数整数幂对 B 进行判断；根据完全平方公式对 D 进行判断． 解答：解： 与 不能合并，所以 A 选项错误； B、原式= =2，所以 B 选项正确； C、原式= = ，所以 C 选项正确； D、原式=3﹣2 +1=4﹣2 ，所以 D 选项正确． 故选 B． 点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的 乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂． 2．（3分）（2015•宁夏）生物学家发现了一种病毒的长度约为0.00000432毫米．数据0.00000432 用科学记数法表示为（ ） A．0.432×10﹣5 B．4.32×10﹣6 C．4.32×10﹣7 D．43.2×10﹣7 考点：科学记数法—表示较小的数． 分析：绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n，与较大数的科 学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前 面的 0 的个数所决定． 解答：解：0.00000432=4.32×10﹣6， 故选：B． 点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10﹣n，其中 1≤|a|＜10，n 为由原 数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 3．（3 分）（2015•宁夏）如图，放置的一个机器零件（图 1），若其主视图如（图 2）所示， 则其俯视图为（ ） A． B． C． D． 考点：简单组合体的三视图． 分析：俯视图是从上面看所得到的图形，此几何体从上面看可以看到一个长方形，中间有一 个长方形． 解答： 解：其俯视图为 ． 故选：D． 点评：此题主要考查了画三视图，关键是掌握俯视图所看的位置，注意要把所看到的棱都要 用实线画出来． 4．（3 分）（2015•宁夏）某校 10 名学生参加“心理健康”知识测试，他们得分情况如下表： 人数 2 3 4 1 分数 80 85 90 95 那么这 10 名学生所得分数的众数和中位数分别是（ ） A．95 和 85 B．90 和 85 C．90 和 87.5 D．85 和 87.5 考点：众数；中位数． 分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数） 为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案． 解答：解：在这一组数据中 9 是出现次数最多的，故众数是 90； 排序后处于中间位置的那个数是 85，90，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位 数是 =87.5； 故选：C． 点评：本题为统计题，考查极差、众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或 从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数 据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 5．（3 分）（2015•宁夏）关于 x 的一元二次方程 x2+x+m=0 有实数根，则 m 的取值范围是（ ） A．m≥ B．m≤ C．m≥ D．m≤ 考点：根的判别式． 分析：方程有实数根，则△≥0，建立关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围． 解答：解：由题意知，△=1﹣4m≥0， ∴m≤ ， 故选 D． 点评：本题考查了根的判别式，总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根； （2）△=0 ⇔ 方程有两个相等的实数根； （3）△＜0 ⇔ 方程没有实数根． 6．（3 分）（2015•宁夏）如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD 的度数是（ ） A．88° B．92° C．106° D．136° 考点：圆内接四边形的性质；圆周角定理． 分析：首先根据∠BOD=88°，应用圆周角定理，求出∠BAD 的度数多少；然后根据圆内接 四边形的性质，可得∠BAD+∠BCD=180°，据此求出∠BCD 的度数是多少即可． 解答：解：∵∠BOD=88°， ∴∠BAD=88°÷2=44°， ∵∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠BCD=180°﹣44°=136°， 即∠BCD 的度数是 136°． 故选：D． 点评：（1）此题主要考查了圆内接四边形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是 要明确：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内 对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 7．（3 分）（2015•宁夏）如图，某小区有一块长为 18 米，宽为 6 米的矩形空地，计划在其 中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 60 米 2，两块绿地之间及周边留有宽度相 等的人行通道．若设人行道的宽度为 x 米，则可以列出关于 x 的方程是（ ） A．x2+9x﹣8=0 B．x2﹣9x﹣8=0 C．x2﹣9x+8=0 D．2x2﹣9x+8=0 考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 专题：几何图形问题． 分析：设人行道的宽度为 x 米，根据矩形绿地的面积之和为 60 米 2，列出一元二次方程． 解答：解：设人行道的宽度为 x 米，根据题意得， （18﹣3x）（6﹣2x）=60， 化简整理得，x2﹣9x+8=0． 故选 C． 点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用两块相同的矩形绿地面积之和为 60 米 2 得出等式是解题关键． 8．（3 分）（2015•宁夏）函数 y= 与 y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 考点：二次函数的图象；反比例函数的图象． 专题：压轴题；数形结合． 分析：本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是 否一致． 解答：解：由解析式 y=﹣kx2+k 可得：抛物线对称轴 x=0； A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得 k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向 上、抛物线与 y 轴的交点为 y 轴的负半轴上；本图象与 k 的取值相矛盾，故 A 错误； B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得 k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向 下、抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，本图象符合题意，故 B 正确； C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得 k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向 下、抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，本图象与 k 的取值相矛盾，故 C 错误； D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得 k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向 下、抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，本图象与 k 的取值相矛盾，故 D 错误． 故选：B． 点评：本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根 据图象的特点判断 k 取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与 y 轴的交点 是否符合要求． 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9．（3 分）（2015•宁夏）因式分解：x3﹣xy2= x（x﹣y）（x+y） ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 分析：先提取公因式 x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 解答：解：x3﹣xy2 =x（x2﹣y2） =x（x﹣y）（x+y）． 故答案为：x（x﹣y）（x+y）． 点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因 式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 10．（3 分）（2015•宁夏）从 2，3，4 这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位 数，则这个两位数能被 3 整除的概率是 ． 考点：列表法与树状图法． 分析：根据所抽取的数据拼成两位数，得出总数及能被 3 整除的数，求概率． 解答：解：如下表，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，共 6 种情况，其中能被 3 整除 的有 24，42 两种， ∴组成两位数能被 3 整除的概率为= = ． 故答案为： ． 点评：本题考查了求概率的方法：列表法和树状图法．关键是通过画表格（图）求出组成两 位数的所有可能情况及符合条件的几种可能情况． 11．（3 分）（2015•宁夏）如图，将正六边形 ABCDEF 放在直角坐标系中，中心与坐标原点 重合，若 A 点的坐标为（﹣1，0），则点 C 的坐标为 （ ，﹣ ） ． 考点：正多边形和圆；坐标与图形性质． 专题：计算题． 分析：先连接 OE，由于正六边形是轴对称图形，并设 EF 交 Y 轴于 G，那么∠GOE=30°； 在 Rt△GOE 中，则 GE= ，OG= ．即可求得 E 的坐标，和 E 关于 Y 轴对称的 F 点的坐标，其他坐标类似可求出． 解答：解：连接 OE，由正六边形是轴对称图形知： 在 Rt△OEG 中，∠GOE=30°，OE=1． ∴GE= ，OG= ． ∴A（﹣1，0），B（﹣ ，﹣ ），C（ ，﹣ ）D（1，0），E（ ， ），F（﹣ ， ）． 故答案为：（ ，﹣ ） 点评：本题利用了正六边形的对称性，直角三角形 30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股 定理等知识． 12．（3 分）（2015•宁夏）已知扇形的圆心角为 120°，所对的弧长为 ，则此扇形的面积 是 ． 考点：扇形面积的计算；弧长的计算． 专题：计算题． 分析：利用弧长公式列出关系式，把圆心角与弧长代入求出扇形的半径，即可确定出扇形的 面积． 解答：解：∵扇形的圆心角为 120°，所对的弧长为 ， ∴l= = ， 解得：R=4， 则扇形面积为 Rl= ， 故答案为： 点评：此题考查了扇形面积的计算，以及弧长公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 13．（3 分）（2015•宁夏）如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦 AB⊥CD，垂足为 E，连接 BC．若 AB=2 ，∠BCD=30°，则⊙O 的半径为 ． 考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理． 分析：连接 OB，根据垂径定理求出 BE，求出∠BOE=60°，解直角三角形求出 OB 即可． 解答： 解： 连接 OB， ∵OC=OB，∠BCD=30°， ∴∠BCD=∠CBO=30°， ∴∠BOE=∠BCD+∠CBO=60°， ∵直径 CD⊥弦 AB，AB=2 ， ∴BE= AB= ，∠OEB=90°， ∴OB= = ， 即⊙O 的半径为 ， 故答案为： ． 点评：本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形外角性质的应用， 能根据垂径定理求出 BE 和解直角三角形求出 OB 长是解此题的关键，难度适中． 14．（3 分）（2015•宁夏）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（0，4），△OAB 沿 x 轴向右平移后得到△O′A′B′，点 A 的对应点 A′是直线 y= x 上一点，则点 B 与其对应点 B′ 间的距离为 5 ． 考点：一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移． 分析：根据平移的性质知 BB′=AA′．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点 A′的坐标， 所以根据两点间的距离公式可以求得线段 AA′的长度，即 BB′的长度． 解答：解：如图，连接 AA′、BB′． ∵点 A 的坐标为（0，4），△OAB 沿 x 轴向右平移后得到△O′A′B′， ∴点 A′的纵坐标是 4． 又∵点 A 的对应点在直线 y= x 上一点， ∴4= x，解得 x=5． ∴点 A′的坐标是（5，4）， ∴AA′=5． ∴根据平移的性质知 BB′=AA′=5． 故答案为：5． 点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化﹣﹣平移．根据平移的性 质得到 BB′=AA′是解题的关键． 15．（3 分）（2015•宁夏）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=5，在 CD 上任取一点 E， 连接 BE，将△BCE 沿 BE 折叠，使点 C 恰好落在 AD 边上的点 F 处，则 CE 的长为 ． 考点：翻折变换（折叠问题）． 分析：设 CE=x，由矩形的性质得出 AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折叠的性质 得出 BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x．在 Rt△ABF 中利用勾股定理求出 AF 的长度，进而求出 DF 的长度；然后在 Rt△DEF 根据勾股定理列出关于 x 的方程 即可解决问题． 解答：解：设 CE=x． ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°． ∵将△BCE 沿 BE 折叠，使点 C 恰好落在 AD 边上的点 F 处， ∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x． 在 Rt△ABF 中，由勾股定理得： AF2=52﹣32=16， ∴AF=4，DF=5﹣4=1． 在 Rt△DEF 中，由勾股定理得： EF2=DE2+DF2， 即 x2=（3﹣x）2+12， 解得：x= ， 故答案为 ． 点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状 和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理、矩形的性质、方 程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边． 16．（3 分）（2015•宁夏）如图，港口 A 在观测站 O 的正东方向，OA=4km，某船从港口 A 出发，沿北偏东 15°方向航行一段距离后到达 B 处，此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东 60°的方向，则该船航行的距离（即 AB 的长）为 2 km ． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 分析：过点 A 作 AD⊥OB 于 D．先解 Rt△AOD，得出 AD= OA=2km，再由△ABD 是等腰 直角三角形，得出 BD=AD=2km，则 AB= AD=2 km． 解答：解：如图，过点 A 作 AD⊥OB 于 D． 在 Rt△AOD 中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km， ∴AD= OA=2km． 在 Rt△ABD 中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°， ∴BD=AD=2km， ∴AB= AD=2 km． 即该船航行的距离（即 AB 的长）为 2 km． 故答案为 2 km． 点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角 形是解题的关键． 三、解答题（每题 6 分，共 36 分） 17．（6 分）（2015•宁夏）解方程： =1． 考点：解分式方程． 分析：因为 x2﹣1=（x+1）（x﹣1），所以可确定最简公分母（x+1）（x﹣1），然后方程两边 同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程求解即可，注意检验． 解答：解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1）， 得 x（x+1）﹣（2x﹣1）=（x+1）（x﹣1）， 解得 x=1． 经检验 x=1 是增根，原方程无解． 点评：本题考查了解分式方程，解分式方程要注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思 想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．（3）去分 母时要注意符号的变化． 18．（6 分）（2015•宁夏）解不等式组 ． 考点：解一元一次不等式组． 分析：先解不等式组中每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间 找”即可确定结果． 解答： 解： 由①得：x≥2， 由②得：x＜4， 所以这个不等式组的解集为：2≤x＜4． 点评：本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便方法就是利用口诀求解．求不 等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解 集）． 19．（6 分）（2015•宁夏）为了解中考体育科目训练情况，某地从九年级学生中随机抽取了 部分学生进行了一次考前体育科目测试，把测试结果分为四个等级：A 级：优秀；B 级：良 好；C 级：及格；D 级：不及格，并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统 计图中的信息解答下列问题： （1）请将两幅不完整的统计图补充完整； （2）如果该地参加中考的学生将有 4500 名，根据测试情况请你估计不及格的人数有多少？ （3）从被抽测的学生中任选一名学生，则这名学生成绩是 D 级的概率是多少？ 考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；概率公式． 分析：（1）首先根据题意求得总人数，继而求得 A 级与 D 级占的百分比，求得 C 级与 D 级的人数；则可补全统计图； （2）根据题意可得：估计不及格的人数有：4500×20%=900（人）； （3）由概率公式的定义，即可求得这名学生成绩是 D 级的概率． 解答：解：（1）总人数为：12÷30%=40（人）， A 级占： ×100%=15%，D 级占：1﹣35%﹣30%﹣15%=20%； C 级人数：40×35%=14（人），D 级人数：40×20%=8（人）， 补全统计图得： （2）估计不及格的人数有：4500×20%=900（人）； （3）从被抽测的学生中任选一名学生，则这名学生成绩是 D 级的概率是：20%． 点评：此题考查了概率公式的应用以及扇形统计图与条形统计图的知识．用到的知识点为： 概率=所求情况数与总情况数之比． 20．（6 分）（2015•宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A（2，﹣4）， B（3，﹣2），C（6，﹣3）． （1）画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1； （2）以 M 点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1 的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2 与 △A1B1C1 的相似比为 2：1． 考点：作图-位似变换；作图-轴对称变换． 分析：（1）利用轴对称图形的性质进而得出对应点位置进而画出图形即可； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而画出图形即可． 解答：解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求． 点评：此题主要考查了轴对称变换以及位似变换，根据题意得出对应点位置是解题关键． 21．（6 分）（2015•宁夏）在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上的一点．连结 AE． （1）若 AB=AE，求证：∠DAE=∠D； （2）若点 E 为 BC 的中点，连接 BD，交 AE 于 F，求 EF：FA 的值． 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 分析：（1）根据平行四边形的对边互相平行可得 AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相 等可得∠AEB=∠EAD，根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB，即可得证； （2）由四边形 ABCD 是平行四边形，可证得△BEF∽△AFD，即可求得 EF：FA 的 值． 解答：证明：（1）在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC， ∴∠AEB=∠EAD， ∵AE=AB， ∴∠ABE=∠AEB， ∴∠B=∠EAD， ∵∠B=∠D， ∴∠DAE=∠D； （2）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴△BEF∽△AFD， ∴ ， ∵E 为 BC 的中点， ∴BE= BC= AD， ∴EF：FA=1：2． 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性 质是解题的关键． 22．（6 分）（2015•宁夏）某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男、 女两种款式的书包．已知男款书包的单价 50 元/个，女款书包的单价 70 元/个． （1）原计划募捐 3400 元，购买两种款式的书包共 60 个，那么这两种款式的书包各买多少 个？ （2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款 4800 元，如果至少购买两种 款式的书包共 80 个，那么女款书包最多能买多少个？ 考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用． 分析：（1）设原计划买男款书包 x 个，则女款书包（60﹣x）个，根据题意得：50x+70（60 ﹣x）=3400，即可解答； （2）设女款书包最多能买 y 个，则男款书包（80﹣y）个，根据题意得：70y+50（80 ﹣y）≤4800，即可解答． 解答：解：（1）设原计划买男款书包 x 个，则女款书包（60﹣x）个， 根据题意得：50x+70（60﹣x）=3400， 解得：x=40， 60﹣x=60﹣40=20， 答：原计划买男款书包 40 个，则女款书包 20 个． （2）设女款书包最多能买 y 个，则男款书包（80﹣y）个， 根据题意得：70y+50（80﹣y）≤4800， 解得：y≤40， ∴女款书包最多能买 40 个． 点评：本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出 方程和不等式． 四、解答题（23 题、24 题每题 8 分，25 题、26 题每题 10 分，共 36 分） 23．（8 分）（2015•宁夏）如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点 P 是⊙O 外一点， 连接 PB、AB，∠PBA=∠C． （1）求证：PB 是⊙O 的切线； （2）连接 OP，若 OP∥BC，且 OP=8，⊙O 的半径为 2 ，求 BC 的长． 考点：切线的判定． 分析：连接 OB，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由 OA=OB，得 出∠BAC=∠OBA，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论； （2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出 BC 的长． 解答：（1）证明：连接 OB，如图所示： ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC=90°， ∴∠C+∠BAC=90°， ∵OA=OB， ∴∠BAC=∠OBA， ∵∠PBA=∠C， ∴∠PBA+∠OBA=90°， 即 PB⊥OB， ∴PB 是⊙O 的切线； （2）解：∵⊙O 的半径为 2 ， ∴OB=2 ，AC=4 ， ∵OP∥BC， ∴∠C=∠BOP， 又∵∠ABC=∠PBO=90°， ∴△ABC∽△PBO， ∴ ， 即 ， ∴BC=8． 点评：本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟 练掌握圆周角定理、切线的判定是解决问题的关键． 24．（8 分）（2015•宁夏）已知点 A（ ，3）在抛物线 y=﹣ x 的图象上，设点 A 关于抛物线对称轴对称的点为 B． （1）求点 B 的坐标； （2）求∠AOB 度数． 考点：二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质． 分析：（1）首先求得抛物线的对称轴，然后确定点 A 关于对称轴的交点坐标即可； （2）根据确定的两点的坐标确定∠AOC 和∠BOC 的度数，从而确定∠AOB 的度数． 解答：解：（1）∵y=﹣ x=﹣ （x﹣2 ）2+4， ∴对称轴为 x=2 ， ∴点 A（ ，3）关于 x=2 的对称点的坐标为（3 ，3）； （2）如图： ∵A（ ，3）、（3 ，3）， ∴BC=3 ，AC= ，OC=3， ∴tan∠AOC= = ，tan∠BOC= = = ， ∴∠AOC=30°，∠BOC=60°， ∴∠AOB=30°． 点评：本题考查了二次函数图象上的点的坐标及二次函数的性质，能够确定抛物线的对称轴 是解答本题的关键，难度不大． 25．（10 分）（2015•宁夏）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定 的价格进行试销，通过对 5 天的试销情况进行统计，得到如下数据： 单价（元/件） 30 34 38 40 42 销量（件） 40 32 24 20 16 （1）计算这 5 天销售额的平均数（销售额=单价×销量）； （2）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量 y（件）与单价 x（元/件）之间存在一 次函数关系，求 y 关于 x 的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）； （3）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是 20 元/ 件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？ 考点：二次函数的应用． 专题：应用题． 分析：（1）根据题中表格中的数据列出算式，计算即可得到结果； （2）设 y=kx+b，从表格中找出两对值代入求出 k 与 b 的值，即可确定出解析式； （3）设定价为 x 元时，工厂获得的利润为 W，列出 W 与 x 的二次函数解析式，利用 二次函数性质求出 W 最大时 x 的值即可． 解答：解：（1）根据题意得： =934.4（元）； （2）根据题意设 y=kx+b， 把（30，40）与（40，20）代入得： ， 解得：k=﹣2，b=100， 则 y=﹣2x+100； （3）设定价为 x 元时，工厂获得的利润为 W， 根据题意得：W=（x﹣20）y=（x﹣20）（﹣2x+100）=﹣2x2+140x﹣2000=﹣2（x﹣35） 2+450， ∵当 x=35 时，W 最大值为 450， 则为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为 35 元． 点评：此题考查了二次函数的应用，待定系数法确定一次函数解析式，以及二次函数的性质， 熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 26．（10 分）（2015•宁夏）如图，是一副学生用的三角板，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°， ∠B=30°；在△A1B1C1 中，∠C1=90°，∠A1=45°，∠B1=45°，且 A1B1=CB．若将边 A1C1 与 边 CA 重合，其中点 A1 与点 C 重合．将三角板 A1B1C1 绕点 C（A1）按逆时针方向旋转， 旋转过的角为α，旋转过程中边 A1C1 与边 AB 的交点为 M，设 AC=a． （1）计算 A1C1 的长； （2）当α=30°时，证明：B1C1∥AB； （3）若 a= ，当α=45°时，计算两个三角板重叠部分图形的面积； （4）当α=60°时，用含 a 的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积． （参考数据：sin15°= ，cos15°= ，tan15°=2﹣ ，sin75°= ， cos75°= ，tan75°=2+ ） 考点：几何变换综合题． 专题：创新题型． 分析：（1）在 Rt△ABC 中，由特殊锐角三角函数值，先求得 BC 的长，然后在 Rt△A1B1C1 中利用特殊锐角三角函数即可求得 A1C1 的长； （2）利用三角形的外角的性质求得∠BMC=90°，然后利用同位角相等，两直线平行 进行判定即可； （3）两个三角板重叠部分图形的面积=△A1B1C1 的面积﹣△BC1M 的面积； （4）两个三角板重叠部分图形的面积=△CC1B1 的面积﹣三角形 FB1C 的面积﹣三角 形 DC1M 的面积． 解答：解：（1）在 Rt△ABC 中，∠B=30°，AC=a， 由特殊锐角三角函数可知： ， ∴BC= ． ∴B1C= 在 Rt△A1B1C1，∠B1=∠45°， ∴ ． ∴A1C1= = ． （2）∵∠ACM=30°，∠A=60°， ∴∠BMC=90°． ∴∠C1=∠BMC． ∴B1C1∥AB． （3）如下图： 由（1）可知：A1C1= = =3+ ∴△A1B1C1 的面积= = ∵∠A1B1C1=45°，∠ABC=30° ∴∠MBC1=15° 在 Rt△BC1M 中，C1M=BCtan15°=（3+ ）（2﹣ ）=3﹣ ， ∴Rt△BC1M 的面积= = =3． ∴两个三角板重叠部分图形的面积=△A1B1C1 的面积﹣△BC1M 的面积=3 +3． （4）如下图：过点 B1 作 B1E⊥BC，垂足为 E． 由（1）可知：BC= ，A1C1= ， ∵∠MCA=60°，∠A=60°， ∴∠AMC=60° ∴MC=AC=MA=a． ∴C1M=C1A1﹣MC= ． ∵∠MCA=60°， ∴∠C1A1B=30°， ∴∠C1MD=∠B+∠C1A1B=60° 在 Rt△DC1M 中，由特殊锐角三角函数可知：DC1=C1M•tan60°= a， ∴三角形 DC1M 的面积= C1M•DC1= a2， 在 Rt△BB1C 中，C1B=BC= ，∠BCB1=15°，由特殊锐角三角函数可知： B1E=C1B•sin15°= ， 在 Rt△FC1C 中，C1C= ，∠CC1F=30°，由特殊锐角三角函数可知： CF=CC1÷ = ． ∴三角形 FB1C 的面积= = ． 两个三角板重叠部分图形的面积=△A1C1B1 的面积﹣三角形 FB1C 的面积﹣三角形 DC1M 的面积= ． 点评：本题主要考查的是锐角三角函数和三角形的综合应用，难度较大，解答本题的关键是 灵活应用锐角函数求得相关线段的长度．