2015年南昌市中考数学试卷及答案

南昌市 2015 年初中毕业暨中等学校招生考试 数学试题卷 说明：1.本卷共有 6 个大题，24 个小题，全卷满分 120 分，考试时间 120 分钟； 2.本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上答题，否则不给分. 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，每小题只有一个正确选项) 1.计算 0( 1)- 的结果为( ). A.1 B.－1 C.0 D.无意义 2.2015 年初，一列 CRH5 型高速车组进行了“300 000 公里正线运营考核”.标志着中国高铁车从“中 国制造”到“中国创新”的飞跃.将数 300 000 用科学记数法表示为( ). A.3×106 B. 3×105 C.0.3×106 D. 30×104 3.下列运算正确的是( ). A. 2 3 6(2 ) 6a a= B. C. D. 4.如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为( ). 5.如图，小贤同学为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架 ABCD,B 与 D 两点之间用一根橡皮筋．．．拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误．．的是 ( ). A. 四边形 ABCD 由矩形变为平行四边形 B. BD 的长度变大 C. 四边形 ABCD 的面积不变 D. 四边形 ABCD 的周长不变 6.已知抛物线 2 ( 0)y ax bx c a= + + > 过（-2,0），（2,3）两点，那么抛物线的对称轴( ). A．只能是 1x = - B．可能是 y 轴 C．在 y 轴右侧且在直线 2x = 的左侧 D．在 y 轴左侧且在直线 2x = - 的右侧 二、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分) 7.一个角的度数是 20°，则它的补角的度数为 . 8.不等式组 x x ì - £ïíï- < 9î 1 1 02 3 的解集是 . 9.如图，OP 平分∠MON , PE⊥OM 于 E, PF⊥ON 于 F,OA=OB, 则图中有 对全等三角形. 10.如图，点 A, B, C 在⊙O 上，CO 的延长线交 AB 于点 D,∠A=50°,∠B=30°则∠ADC 的度数为 . 11.已知一元二次方程 2 4 3 0x x- - = 的两根为 m,n ,则 2 2m mn n- + = . 12.两组数据：3，a ,2b , 5 与 a ,6 ，b 的平均数都是 6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组 新数据的中位数为 . 13.如图 1 是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图 2 所示的几何图形，已知 BC=BD =15cm, ∠CBD=40°,则点 B 到 CD 的距离为 cm（参考数据：sin20°≈ 0.342, com20°≈0.940, sin40°≈ 0.643, com40°≈ 0.766.精确到 0.1cm,可用科学计算器）. 14.如图，在△ABC 中，AB=BC=4，AO=BO,P 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC=60°,则当△PAB 为直角 三角形时，AP 的长为 . 三、(本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分) 15.先化简，再求值： ( ) ( ) 22 2 2a a b a b+ - + ，其中 ,1a = - 3b = . 16.如图，正方形 ABCD 与正方形 A1B1C1D1 关于某点中心对称， 已知 A, D1 ,D 三点的坐标分别是（0,4），（0，3），（0，2）. (1)对称中心的坐标； (2)写出顶点 B, C, B1 , C1 的坐标. 17.⊙O 为△ABC 的外接圆，请仅用无刻度的直尺．．．．．．．．，根据下列条件分别在图 1，图 2 中画出一条弦，使这条 弦将△ABC 分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）. (1) 如图 1，AC=BC； (2) 如图 2，直线 l 与⊙O 相切于点 P,且 l∥BC. 18.在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的 10 个小球，其中红球 4 个，黑球 6 个. (1) 先从袋子中取出 m (m>1)个红球，再从袋子中随机摸出一个球，将“摸出黑球”记为事件 A. 请完成下列表格： (2) 先从袋子中取出 m 个红球，再放入 m 个一样的黑球并摇匀，随机摸出一个球是黑球的概率等于 4 5 ， 求 m 的值. 四、(本大题共 4 小题，每小题 8 分，共 32 分) 19.某校为了了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部分学生家长进行问卷调查，发出问卷 140 份 ，每位学生家长 1 份，每份问卷仅表明一种态度，将回收的问卷进行整理（假设回收的问卷都 有效），并绘制了如下两幅不完整的统计图. 学生家长对孩子使用手机的态度情况统计图 根据以上信息解答下列问题： （1）回收的问卷数为 份，“严加干涉”部分对应扇形的圆心角的度数为 ； （2）把条形统计图补充完整； （3）若将：“稍加询问”和“从来不管”视为“管理不严”，已知学校共 1500 名学生，请估计该校 对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有多少人？ 20.(1)如图 1，纸片□ABCD 中，AD=5,S□ABCD=15,过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E,沿 AE 剪下△ABE,将它平 移至△DCE′ 的位置，拼成四边形 AEE′D,则四边形 AEE′D 的形状为（ ） A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 事件 A 必然事件 随机事件 m 的值 (2)如图 2，在(1)中的四边形纸片 AEE′D 中,在 EE′上取一点 F,使 EF=4，剪下△AEF，将它平移至△ DE′F′ 的位置，拼成四边形 AFF′D. ① 求证四边形 AFF′D 是菱形； ② 求四边形 AFF′D 两条对角线的长. 21.如图，已知直线 y ax b= + 与双曲线 ( )0ky xx = > 交于 A( ,1 1x y ),B( ,2 2x y )两点（A 与 B 不重合）， 直线 AB 与 x 轴交于 P( ,0 0x ),与 y 轴交于点 C. (1) 若 A,B 两点的坐标分别为（1,3），（3，y2）.求点 P 的坐标； （2）若 1 1b y= + ,点 P 的坐标为（6,0），且 AB BP= .求 ,A B 两点的坐标； （3）结合(1),(2)中的结果，猜想并用等式表示 , ,1 2 0x x x 之间的关系（不要求证明）. 22.甲、乙两人在 100 米直道 AB 上练习匀速往返跑，若甲、乙分别在 A,B 两端同时出发，分别到另一端点 处掉头，掉头时间不计，速度分别 5 m/s 和 4 m/s . (1)在坐标系中，虚线表示乙离 A 端的距离 S（单位：m）与运动时间 t（单位：s）之间的函数图象 （0≤t ≤200）,请在同一坐标系中用实线画出甲离 A 端的距离 S 与运动时间 t 之间的函数图象 （0≤t ≤200）； (2)根据(1)中所画图象，完成下列表格： 两人相遇次数 （单位：次） 1 2 3 4 … n 两人所跑路程之和 (单位：m) 100 300 … (3)①直接写出甲、乙两人分别在第一个 100m 内，s 与 t 的函数解析式，并指出自变量的取值范围； ②求甲、乙第六次相遇时 t 的值. 五、(本大题共 10 分) 23.如图，已知二次函数 L1: ( )2 2 3 0y ax ax a a= - + + > 和二次函数 L2: ( ) 21 1y a x= - + + ( 0a > )图象的 顶点分别为 M,N , 与 y 轴分别交于点 E, F. (1) 函数 ( )2 2 3 0y ax ax a a= - + + > 的最小值为 ；当二次函数 L1 ，L2 的 y 值同时 随着 x 的增大而减小时， x 的取值范围是 ； （2）当 EF MN= 时，求 a 的值，并判断四边形 ENFM 的形状（直接写出，不必证明）； （3）若二次函数 L2 的图象与 x 轴的右交点为 ( , )0A m ，当△ AMN 为等腰三角形时，求方程 ( ) 21 1 0a x- + + = 的解. 六、 (本大题共 12 分） 24.我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图 1，图 2，图 3 中，AF,BE 是△ABC 的 中线, AF⊥BE , 垂足为 P.像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”.设 BC = a , AC b= , AB c= . 特例探索 （1）如图 1，当∠ ABE =45°， c = 2 2 时， a = ，b = ； 如图 2，当∠ ABE =30°， c = 4 时， a = ，b = ； 归纳证明 （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想 , ,a b c2 2 2 三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图 3 证 明你发现的关系式； 拓展应用 （3）如图 4，在□ABCD 中，点 E,F,G 分别是 AD,BC,CD 的中点，BE⊥EG, AD= 2 5 ,AB=3. 求 AF 的长. 2015 年江西省南昌中考数学解析 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，每小题只有一个正确选项) 1.解析：选 A. ∵除 0 外，任何数的 0 次方等于 1. ∴选 A. 2.解析：选 B. ∵科学记数法是：把一个数写成“ 10´ na ,其中 1≤ a ＜10”. ∴选 B. 3.解析：选 D. ∵ ( ) 1b a b a b a a b a b b a a b a b a b a b - - -+ = - = = = -- - - - - - . ∴选 D. 4.解析：选 C. ∵根据光的正投影可知，几何体的左视图是图 C. ∴选 C. 5.解析：选 C. ∵向右扭动框架, 矩形变为平行四边形 ,底长不变，高变小，所以面积变小. ∴选 C. 6.解析：选 D. ∵抛物线 2 ( 0)y ax bx c a= + + > 过（-2,0），（2,3）两点，∴ 4 2 0 4 2 3 a b c a b c ì - + =ïí + + =ïî ，解得 3 4b = ， ∴对称轴 3 02 8 bx a a = - = - < ，又对称轴在（-2,2）之间， ∴选 D. 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分) 7.解析：∵两角互补，和为 180°，∴它的补角=180°-20°=160°. 8.解析: 由 1 12 x - ≤0 得 x≤2 ,由-3x＜9 得 x＞-3，∴不等式组的解集是-3＜x≤2. 9.解析：∵∠POE=∠POF, ∠PEO=∠PFO=90°OP=OP,∴△POE≌△POF(AAS), 又 OA=OB,∠POA=∠POB,OP=OP,∴△POA≌△POB(AAS), ∴PA=PB,∵PE=PF, ∴Rt△PAE≌Rt△PBF(HL). ∴图中共有 3 对全的三角形. 10.解析：∵∠A=50°, ∴∠BOC=100°, ∴∠BOD=80°, ∴∠ADC=∠B+∠BOD=30°+ 80°=110° 11.解析：由一元二次方程根与系数关系得 m+n=4,mn=﹣3，又 ( )2 2 2 3m mn n m n mn- + = + - ∴原式= ( )24 3 3 25- ´ - = . 12.解析：由题意得 3 2 5 64 6 63 a b a b ì + + + =ïïí + +ï =ïî ，解得 8 4 a b ì =ïí =ïî ，∴这组新数据是 3,4,5,6,8,8,8,其中位数是 6. 13.解析：如右图，作 BE⊥CD 于点 E. ∵BC=BD, BE⊥CD, ∴∠CBE=∠DBE=20°, 在 Rt△BCD 中， cos ,BEDBE= BDÐ ∴ cos BE20 15°= ， ∴BE≈15×0.940=14.1 14.解析：如图，分三种情况讨论： 图（1）中，∠APB=90°， ∵AO=BO, ∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2, 又∠AOC=60°, ∴△APO 是等边三角形， ∴AP=2； 图（2）中，∠APB=90°， ∵AO=BO, ∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2, 又∠AOC=60°, ∴∠BAP=30°, 在 Rt△ABP 中，AP=cos30°×4=2 3 . 图（3）中，∠ABP=90°, ∵BO=AO=2 , ∠BOP=∠AOC=60°, ∴PB= 2 3 , ∴AP= ( )2 24 2 3 2 7+ = ∴AP 的长为 2，2 3 或2 7 三、(本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分) 15.解析：原式 ( )[ ( )] ( )( ) 2 22 2 2 2 2 4a b a a b a b a b a b= + - + = + - = - 把 ,1a = - 3b = 代入得，原式= ( ) ( )2 21 4 3 11- - ´ = - 16.解析：(1) ∵正方形 ABCD 与正方形 A1B1C1D1 关于某点中心对称， ∴A,A1 是对应点，∴AA1 的中点是对称中心， ∵A(0,4)，D(2,0)，∴AD=2, ∴A1D1 = AD=2, 又∵D1(0,3) ，∴A1(0,1)， ∴对称中心的坐标为（0, 2.5）； （2）∵正方形的边长为 2， 点 A,D1 ,D ,A1 在 y 轴上， ∴B(-2,4), C(-2,2), B1(2,1)， C1(2,3) . 17.解析：如右图所示. 图 1，∵AC=BC,∴ ) ) AC BC= , ∴点 C 是 ) AB 的中点，连接 CO， 交 AB 于点 E，由垂径定理知， 点 E 是 AB 的中点， 延长 CE 交⊙O 于点 D， 则 CD 为所求作的弦； 图 2，∵l 切⊙O 于点 P, 作射线 PO，交 BC 于点 E，则 PO⊥l, ∵l∥BC , ∴PO⊥BC, 由垂径定理知， 点 E 是 BC 的中点，连接 AE 交⊙O 于 F，则 AF 为所求作的弦. 18. 解析：(1)若事件 A 为必然事件，则袋中应全为黑球，∴m=4, 若事件 A 为随机事件，则袋中有红球， ∵m>1 ，∴m=2 或 3. （2） 6 4 10 5 m+ = ， ∴m=2 . 四、(本大题共 4 小题，每小题 8 分，共 32 分) 19.解析：(1) 30÷25%=120 10÷120×360°=30° ∴回收的问卷数为 120 份，圆心角的度数为 30° (2) 如下图： (3) (30+80)÷120×1500=1375 ∴对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有 1375 人. 20.解析：(1) 由平移知：AE / / DE′, ∴四边形 AEE′D 是平行四边形，又 AE⊥BC, ∴∠AEE′=90°, ∴四边形 AEE′D 是矩形，∴C 选项正确. (2) ① ∵AF / / DF′, ∴四边形 AFF′D 是平行四边形，∵AE=3, EF=4 ,∠E=90°, ∴AF=5, ∵S□ABCD=AD·AE=15, ∴AD=5 , ∴AD=AF , ∴四边形 AFF′D 是菱形. ② 如下图， 连接 AF′, DF ， 在 Rt△AEF′中， AE=3, EF′=9, ∴AF′=3 10 在 Rt△DFE′中， FE′=1, DE′=AE=3, ∴DF= 10 ∴四边形 AFF′D 两条对角线的长分别是3 10 和 10 . 事件 A 必然事件 随机事件 m 的值 4 2、3 21.解析：(1) 把 A(1,3)代入 ky x = 得： 3k = ， 把 B ( , )23 y 代入 3y x = 得： 2 1y = ，∴B(3,1). 把 A(1,3),B(3,1)分别代入 y ax b= + 得： 3 3 1 a b a b ì + =ïí + =ïî ，解得： 1 4 a b ì = -ïí =ïî ， ∴ 4ABy x= - + ，令 0ABy = ，得 4x = ， ∴ ( , )4 0P (2) ∵ AB PB= , ∴ B 是 AP 的中点，由中点坐标公式知： ,1 1 2 2 6 2 2 x yx y+= = ， ∵ ,A B 两点都在双曲线上，∴ 1 1 1 1 6 2 2 x yx y += ´ ，解得 1 2x = ， ∴ 2 4x = . 作 AD⊥ x 于点 D（如右图）, 则△ PAD ∽△ PDO ， ∴ AD PD CO PO = ，即 1 4 6 y b = ， 又 1 1b y= + ， ∴ 1 2y = ，∴ 2 1y = . ∴ ( , ), ( , )2 2 4 1A B (3) 结论： 1 2 0x x x+ = . 理由如下：∵A( ,1 1x y ),B( ,2 2x y )，∴ 1 1 2 2 ax b y ax b y ì + =ïí + =ïî ， ∴ 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 y y x y x yy xx x x x - -= -- - 令 0y = ，得 1 2 2 1 2 1 x y x yx y y -= - ，∵ 1 1 2 2x y x y= ， ∴ ( )( )1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 x y x y y y x xx y y y y - - += =- - = 1 2x x+ ， 即 1 2 0x x x+ = 22.解析：（1）如下图： （2）填表如下： 两人相遇次数 （单位：次） 1 2 3 4 … n 两人所跑路程之和 (单位：m) 100 300 500 700 … 100（2n-1） (3) ① =5S t甲 (0≤t≤20) , =-4 100S t +乙 (0≤t≤25). ② ( )5 4 100 6 2 1t t+ = 创 - , ∴ 1100 9t = , ∴第六次相遇 t 的值是 1100 9 . 五、(本大题共 10 分) 23.解析：（1）∵ ( )2 22 3 1 3y ax ax a a x= - + + = - + ， ∴ min =3y ； ∵ ( , ), ( , )M N -1 3 1 1 ，∴当 x -1时， L2 的 y 值 随着 x 的增大而减小， ∴ x 的取值范围是 x- <