2015年济宁市中考数学试题及答案

绝密☆启用并使用完毕前 试卷类型 A 济宁市二○一五年高中段学校招生考试 数学试题 第Ｉ卷(选择题 共 30 分) 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求. 1. 2 3  的相反数是 A. 2 3  B. 3 2 C . 2 3 D. 3 2  2. 化简  16 0.5x  的结果是 A. 16 0.5x  B. 5.016 x C. 816 x D. 16 8x  3.要使二次根式 2x  有意义，x 必须满足 A.x≤2 B. x≥2 C. x＜2 D.x＞2 4.一个正方体的每个面都有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中和“值” 字相对的字是 A．记 B．观 C．心 D．间 5.三角形两边长分别为 3 和 6，第三边是方程 2 13 36 0x x   的根，则三角形的周长为 A.13 B.15 C.18 D.13 或 18 6.匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满.在注水过程中，水面高度 h 随时间 t 的变化 规律如图所示（图中 OABC 为一折线）.这个容器的形状是下图中哪一个 A B C D 7．只用下列哪一种正多边形，可以进行平面镶嵌 A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形 值 观 间 心 记 价 8. 解分式方程 时，去分母后变形正确的为（ ） A．2+（x+2）=3（x-1） B．2-x+2=3（x-1） C．2-（x+2）=3 D． 2-（x+2）=3（x-1） 9.如图，斜面 AC 的坡度（CD 与 AD 的比）为 1:2，AC=3 5 米，坡顶有一 旗杆 BC，旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带相连，若 AB=10 米，则旗杆 BC 的高度为 A.5 米 B.6 米 C. 8 米 D. (3 5) 米 10.将一副三角尺（在 tR ACB 中，∠ACB= 090 ，∠B= 060 ； 在 tR EDF 中，∠EDF= 090 ，∠E= 045 ）如图摆放，点 D 为 AB 的中点，DE 交 AC 于点 P，DF 经过点 C.将 EDF 绕点 D 顺时针方向旋转角 (0 60 )    ， 'DE 交 AC 于点 M， 'DF 交 BC 于点 N，则 PM CN 的值为 A. 3 B. 3 2 C. 3 3 D. 1 2 二、填空题:本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分. 11. 2014 年我国国内生产总值约为 636000 亿元，用科学计数法表示 2014 年国内生产总值约 为 亿元 12. 分解因式： 22 312 yx  = 13.甲乙两地 9 月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这 10 天日平均气温的方差大小关 系为 2S甲 2S乙 （填＞或＜） 14.在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点 A（4,5）逆时针旋转 90O,得到的点 B 的坐标 为 15.若 2 21 2 2 3 1 2 7       , 2 2 2 2(1 2 2 3 ) (3 4 4 5 ) 2 3 11           , 2 2 2 2 2 2(1 2 2 3 ) (3 4 4 5 ) (5 6 6 7 ) 3 4 15               ,则 2 2 2 2 2 2(1 2 2 3 ) (3 4 4 5 ) ......... (2n 1)(2n) 2 (2n 1)n               三、解答题：本大题共 7 小题，共 55 分. 16．(本题满分 5 分) 计算： 0 1 1 12 4 3      17. (本题满分 7 分) 某学校初三年级男生共 200 人，随机抽取 10 名测量他们的身高为（单位：cm）： 181、176、169、155、163、175、173、167、165、166. （1）求这 10 名男生的平均身高和上面这组数据的中位数； （2）估计该校初三年级男生身高高于 170cm 的人数； （3）从身高为 181、176、175、173 的男生中任选 2 名，求身高为 181cm 的男生被抽中的 概率. 18. (本题满分 7 分) 小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题： 服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价 80 元，售价 120 元；乙种每件进价 60 元，售 价 90 元.计划购进两种服装共 100 件，其中甲种服装不少于 65 件。 （1）若购进这 100 件服装的费用不得超过 7500，则甲种服装最多购进多少件？ （2）在（1）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠 a（0＜a＜20）元的价格进行优惠 促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？ 19. (本题满分 8 分) 如图，在△ABC 中，AB=AC，∠DAC 是△ABC 的一个外角. 实践与操作： 根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）. （1）作∠DAC 的平分线 AM； （2）作线段 AC 的垂直平分线，与 AM 交于点 F，与 BC 边交于点 E， 连接 AE、CF. 猜想并证明： 判断四边形 AECF 的形状并加以证明. 20. (本题满分 8 分) 在矩形 AOBC 中， 6OB  ， 4OA  ．分别以OB OA， 所在直线为 x 轴和 y 轴，建立如图 所示的平面直角坐标系． F 是边 BC 上一点，过点 F 的反比 例函数 ( 0)ky kx   图象与 AC 边交于点 E ． (1) 请用 k 表示点 E,F 的坐标； （2）若 OEF△ 的面积为9 ，求反比例函数的解析式. 21. (本题满分 9 分) 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即 sin sin sin a b c A B C   .利用上述结论 可以求解如下题目.如： 在 ABC 中，若 45A   ， 30B   ， 6a  ，求b . 解：在 ABC 中， sin sin a b A B  16sin 6sin30 2 3 2sin sin 45 2 2 a Bb A         问题解决： 如图，甲船以每小时30 2 海里的速度向正北方航行，当甲船位于 1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105 方向的 1B 处，且乙船从 1B 处按北 偏东15 方向匀速直线航行，当甲船航行 20 分钟到达 2A 处时，乙船 航行到甲船的北偏西120 方向的 2B 处，此时两船相距10 2 海里. （1） 判断 1 2 2A A B 的形状，并给出证明. （2） 乙船每小时航行多少海里？ 22.(本题满分 11 分) 如图，⊙E 的圆心 E(3，0)，半径为 5，⊙E 与 y 轴相交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的上方)，与 x 轴的正半轴相交于点 C； 直线 l 的解析式为 y＝ 4 3 x＋4，与 x 轴相交于点 D；以 C 为顶点 的抛物线经过点 B. (1)求抛物线的解析式； (2)判断直线 l 与⊙E 的位置关系，并说明理由； (3) 动点 P 在抛物线上，当点 P 到直线 l 的距离最小时， 求出点 P 的坐标及最小距离. 第 22 题 xO y A B C D E l P 数学答案 一、选择题： 1、C 2、D 3、B 4、A 5、 A 6、C 7、B 8、D 9、A 10、C 二、填空题： 11、6.36×105； 12、3（2x+y）(2x-y) 13、< 14、（-5,4） 15、-n(n+1)(4n+3) 0 1 1 12 4 3 1 1 1=1+ - - .............................................42 2 3 2= ..........................................................53     16.解： 分 分 17.解：（1）这 10 名男生的平均身高为： 181 176 169 155 163 175 173 167 165 166 16910 cm          ……………2 分 这 10 名男生身高的中位数为： 169 167 1682   ………………………………………4 分 （2）根据题意，从身高为 181,176,175,173 的男生中任选 2 名的可能情况为： （181,176）、（181,175）、（181,173）、（176,175）、（176,173）、（175,173），身高为 181cm 的男生被抽中的情况（记为事件 A）有三种。 所以： 3 1(A) 6 2P   ……………………………………7 分 18、解：（1）设购进甲种服装 x 件,由题意可知： 80x+60(100-x)≤7500 解得：x≤75 答：甲种服装最多购进 75 件. ……………3 分 （2）设总利润为 w 元，因为甲种服装不少于 65 件，所以 65≤x≤75 W=(40-a)x+30(100-x)=(10-a)x+3000……………………………………………4 分 方案 1：当 0＜a＜10 时，10-a＞0，w 随 x 的增大而增大 所以当 x=75 时，w 有最大值，则购进甲种服装 75 件，乙种服装 25 件；…… 5 分 方案 2：当 a=10 时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；…… ………6 分 方案 3：当 10＜a＜20 时，10-a＜0，w 随 x 的增大而减小 所以当 x=65 时，w 有最大值，则购进甲种服装 65 件，乙种服装 35 件。…… 7 分 19、（1） （2）猜想：四边形 AECF 是菱形…………………… 5 分 证明：∵AB=AC ，AM 平分∠CAD ∴∠B=∠ACB，∠CAD=2∠CAM ∵∠CAD 是△ABC 的外角 ∴∠CAD=∠B+∠ACB ∴∠CAD=2∠ACB ∴∠CAM=∠ACB ∴AF∥CE ∵EF 垂直平分 AC ∴OA=OC, ∠AOF=∠COE=90 ∴AOF≌△COE ∴AF=CE 在四边形 AECF 中，AF∥CE，AF=CE ∴四边形 AECF 是平行四边形 又∵EF⊥AC ∴四边形 AECF 是菱形…………………… 8 分 20.（1）证明：∵E，F 是反比例函数 ( 0)ky kx   图像上的点，且 6OB  ， 4OA  , ∴点 E 坐标为 ( ,4)4 KE ,点 F 坐标为 F(6, )6 K …………….. 2 分 （2）解:由题意知： 1 1 1 16 42 2 4 6ECFS EC CF k k          △ ………………………………. 4 分 EOF AOE BOF ECFAOBCS S S S S    △ △ △ △矩形 . 1 124 2 2k k    1 1 16 4 92 4 6k k         ……………………6 分 2 12 948 k   解得： 12k  ∴反比例函数的解析式为 12y x  ……………………………………………8 分 21.解：（1）答： 1 2 2A A B 是等边三角形. ………1 分 证明：如图，由已知 2 2 10 2A B  ， 1 2 2030 2 10 260A A    ， 1 2 2 1A A A B  ， 又 1 2 2 180 120 60A A B     ∠ ， 1 2 2A A B△ 是 等 边 三 角 形. …………………………………………………………4 分 （2） 1 2 2A A B△ 是等边三角形， 1 2 1 2 10 2A B A A   ， 由已知 1 1 180 105 75CB A     ∠ ， 2 1 1 75 15 60B B A     ∠ .…………5 分 1 1 2 105 60 45B A B     又∠ ， 在 1 2 1A B B△ 中，由正弦定理得： 1 2 1 2 sin 45 sin 60 B B A B  ……………………………6 分 1 2 1 2 10 2 2 20 3sin 45sin 60 2 33 2 A BB B       因此，乙船的速度的大小为 20 3 60 20 33 20   （海里/小时）．……………8 分 答：乙船每小时航行 20 3 海里．………………………………………………9 分 22.(1)解：连接 AE. 由已知得：AE＝CE＝5，OE＝3， 在 Rt△AOE 中，由勾股定理得， OA＝ 22 OEAE  ＝ 22 35  ＝4. ∵OC⊥AB， ∴由垂径定理得，OB＝OA＝4. OC＝OE＋CE＝3＋5＝8. ∴A(0，4)，B(0，－4)，C(8，0). ∵抛物线的顶点为点 C， ∴设抛物线的解析式为 y＝a(x－8)2. 将点 B 的坐标代入上解析式，得 第 22 题 xO y A B C D E l P M Q 64 a＝－4. 故 a＝－ 16 1 . ∴ y＝－ 16 1 (x－8)2. ∴ y＝－ 16 1 x 2＋x－4 为所求抛物线的解析式. ……………3 分 (2) 在直线 l 的解析式 y＝ 4 3 x＋4 中，令 y＝0，得＝ 4 3 x＋4＝0，解得 x＝－ 3 16 ， ∴点 D 的坐标为(－ 3 16 ，0)； 当 x＝0 时，y＝4，所以点 A 在直线 l 上. 在 Rt△AOE 和 Rt△DOA 中， ∵ OA OE ＝ 4 3 ， OD OA ＝ 4 3 ，∴ OA OE ＝ OD OA . ∵ ∠AOE＝∠DOA＝90°，∴ △AOE∽△DOA. ∴ ∠AEO＝∠DAO. ∵∠AEO＋∠EAO＝90°，∴ ∠DAO＋∠EAO＝90°. 即 ∠DAE＝90°. 因此，直线 l 与⊙E 相切于点 A. ………………………………………………………7 分 (3)过点 P 作直线 l 的垂线段 PQ，垂足为 Q；过点 P 作直线 PM 垂直于 x 轴，交直线 l 于点 M. 设 M(m， 4 3 m＋4)，P(m，－ 16 1 m 2＋m－4). 则 PM＝ 4 3 m＋4－(－ 16 1 m 2＋m－4)＝ 16 1 m 2－ 4 1 m＋8＝ 16 1 (m－2)2＋ 4 31. 当 m＝2 时，PM 取得最小值 4 31. 此时，P(2，－ 4 9 ). 对于△PQM，∵ PM⊥x 轴，∴ ∠QMP＝∠DAO＝∠AEO. 又∵∠PQM＝90°， ∴ △PQM 的三个内角固定不变. ∴ 在动点 P 运动的过程中，△PQM 的三边的比例关系不变. ∴ 当 PM 取得最小值时，PQ 也取得最小值. PQ 最小＝PM 最小·sin∠QMP＝PM 最小·sin∠AEO＝ 4 31× 5 4 ＝ 5 31. 所以，当抛物线上的动点 P 的坐标为 (2，－ 4 9 )时，点 P 到直线 l 的距离最小，其最小 距离为 5 31.………………………………………………………………………11 分