2015年济南市中考数学试题及答案解析

2015 年山东省济南市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 15 小题，每小题 3 分，满分 45 分，每小题只有一个选项符合题意） 1．（3 分）（2015•济南）﹣6 的绝对值是（ ） A． 6 B． ﹣6 C． ±6 D． 考点： 绝对值． 分析： 根据绝对值的概念可得﹣6 的绝对值是数轴表示﹣6 的点与原点的距离． 解答： 解：﹣6 的绝对值是 6， 故选：A． 点评： 此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫 做这个数的绝对值． 2．（3 分）（2015•济南）新亚欧大陆桥东起太平洋西岸中国连云港，西达大西洋东岸荷兰鹿 特丹等港口，横贯亚欧两大洲中部地带，总长约为 10900 公里，10900 用科学记数法表示为 （ ） A． 0.109×105 B． 1.09×104 C． 1.09×103 D． 109×102 考点： 科学记数法—表示较大的数． 分析： 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的 值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答： 解：将 10900 用科学记数法表示为：1.09×104． 故选：B． 点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3．（3 分）（2015•济南）如图，OA⊥OB，∠1=35°，则∠2 的度数是（ ） A． 35° B． 45° C． 55° D． 70° 考点： 余角和补角；垂线． 分析： 根据两个角的和为 90°，可得两角互余，可得答案． 解答： 解：∵OA⊥OB， ∴∠AOB=90°， 即∠2+∠1=90°， ∴∠2=55°， 故选：C． 点评： 此题考查了余角的知识，掌握互余两角之和等于 90°是解答本题的关键． 4．（3 分）（2015•济南）下列运算不正确的是（ ） A． a2•a=a3 B． （a3）2=a6 C． （2a2）2=4a4 D． a2÷a2=a 考点： 同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 分析： 根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方， 先把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；对 各选项分析判断即可得解． 解答： 解：A、a2•a=a2+1=a3，故本选项错误； B、（a3）2=a3×2=a6，故本选项错误； C、（2a2）2=22•（a2）2=4a4，故本选项错误； D、应为 a2÷a2=a2﹣2=a0=1，故本选项正确． 故选 D． 点评： 本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方的性质，幂的乘方的性质，同底数幂的除法， 熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 5．（3 分）（2015•济南）如图，一个几何体是由两个小正方体和一个圆锥构成，其主视图是 （ ） A． B． C． D． 考点： 简单组合体的三视图． 分析： 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 解答： 解：从正面看第一层两个小正方形，第二层右边一个三角形， 故选：B． 点评： 本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，注意圆锥的主视 图是三角形． 6．（3 分）（2015•济南）若代数式 4x﹣5 与 的值相等，则 x 的值是（ ） A． 1 B． C． D． 2 考点： 解一元一次方程． 专题： 计算题． 分析： 根据题意列出方程，求出方程的解即可得到 x 的值． 解答： 解：根据题意得：4x﹣5= ， 去分母得：8x﹣10=2x﹣1， 解得：x= ， 故选 B． 点评： 此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系 数化为 1，求出解． 7．（3 分）（2015•济南）下列图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 考点： 中心对称图形；轴对称图形． 分析： 根据轴对称图形与中心对称的概念对各选项分析判断即可得解． 解答： 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误． 故选 C． 点评： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴， 图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合． 8．（3 分）（2015•济南）济南某中学足球队的 18 名队员的年龄如表所示： 年龄（单位：岁） 12 13 14 15 人数 3 5 6 4 这 18 名队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A． 13 岁，14 岁 B． 14 岁，14 岁 C． 14 岁，13 岁 D． 14 岁，15 岁 考点： 众数；中位数． 分析： 首先找出这组数据中出现次数最多的数，则它就是这 18 名队员年龄的众数；然后 根据这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，判断出这 18 名队员年龄的中位数是多少即可． 解答： 解：∵济南某中学足球队的 18 名队员中，14 岁的最多，有 6 人， ∴这 18 名队员年龄的众数是 14 岁； ∵18÷2=9，第 9 名和第 10 名的成绩是中间两个数， ∵这组数据的中间两个数分别是 14 岁、14 岁， ∴这 18 名队员年龄的中位数是： （14+14）÷2 =28÷2 =14（岁） 综上，可得 这 18 名队员年龄的众数是 14 岁，中位数是 14 岁． 故选：B． 点评： （1）此题主要考查了众数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： ①一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．②求一组数据的众数的方法：找出频数最多的 那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． （2）此题还考查了中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组 数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，①如果数据的个数是奇数，则处于中间位置 的数就是这组数据的中位数．②如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是 这组数据的中位数． 9．（3 分）（2015•济南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上， 如果将△ABC 先向右平移 4 个单位长度，在向下平移 1 个单位长度，得到△A1B1C1，那么 点 A 的对应点 A1 的坐标为（ ） A． （4，3） B． （2，4） C． （3，1） D． （2，5） 考点： 坐标与图形变化-平移． 分析： 根据平移规律横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减进行计算即可． 解答： 解：由坐标系可得 A（﹣2，6），将△ABC 先向右平移 4 个单位长度，在向下平移 1 个单位长度，点 A 的对应点 A1 的坐标为（﹣2+4，6﹣1）， 即（2，5）， 故选：D． 点评： 此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握点的坐标的变化规律． 10．（3 分）（2015•济南）化简 ﹣ 的结果是（ ） A．m+3 B．m﹣3 C． D． 考点： 分式的加减法． 专题： 计算题． 分析： 原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 解答： 解：原式= = =m+3． 故选 A． 点评： 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11．（3 分）（2015•济南）如图，一次函数 y1=x+b 与一次函数 y2=kx+4 的图象交于点 P（1， 3），则关于 x 的不等式 x+b＞kx+4 的解集是（ ） A． x＞﹣2 B． x＞0C． x＞1D． x＜1 考点： 一次函数与一元一次不等式． 分析： 观察函数图象得到当 x＞1 时，函数 y=x+b 的图象都在 y=kx+4 的图象上方，所以关 于 x 的不等式 x+b＞kx+4 的解集为 x＞1． 解答： 解：当 x＞1 时，x+b＞kx+4， 即不等式 x+b＞kx+4 的解集为 x＞1． 故选：C． 点评： 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 y=ax+b 的值大于（或小于）0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 y=kx+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 12．（3 分）（2015•济南）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 3cm 的小正方形，做 成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为 300cm3，则原铁皮的边长为（ ） A． 10cm B． 13cm C． 14cm D． 16cm 考点： 一元二次方程的应用． 专题： 几何图形问题． 分析： 设正方形铁皮的边长应是 x 厘米，则做成没有盖的长方体盒子的长、宽为（x﹣3 ×2）厘米，高为 3 厘米，根据长方体的体积计算公式列方程解答即可． 解答： 解：正方形铁皮的边长应是 x 厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为（x﹣3×2） 厘米，高为 3 厘米，根据题意列方程得， （x﹣3×2）（x﹣3×2）×3=300， 解得 x1=16，x2=﹣4（不合题意，舍去）； 答：正方形铁皮的边长应是 16 厘米． 故选：D． 点评： 此题主要考查长方体的体积计算公式：长方体的体积=长×宽×高，以及平面图形 折成立体图形后各部分之间的关系． 13．（3 分）（2015•济南）如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠ACB 的角 平分线分别交 AB、CD 于 M、N 两点．若 AM=2，则线段 ON 的长为（ ） A． B． C． 1 D． 考点： 相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；正方形的性质． 专题： 计算题． 分析： 作 MH⊥AC 于 H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH 为等腰直角三角形， 所以 AH=MH= AM= ，再根据角平分线性质得 BM=MH= ，则 AB=2+ ，于是利 用正方形的性质得到 AC= AB=2 +2 OC= AC= +1，所以 CH=AC﹣AH=2+ ，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可 计算出 ON 的长． 解：作 MH⊥AC 于 H，如图， ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠MAH=45°， ∴△AMH 为等腰直角三角形， ∴AH=MH= AM= ×2= ， ∵CM 平分∠ACB， ∴BM=MH= ， ∴AB=2+ ， ∴AC= AB= （2+ ）=2 +2， ∴OC= AC= +1，CH=AC﹣AH=2 +2﹣ =2+ ， ∵BD⊥AC， ∴ON∥MH， ∴△CON∽△CHM， ∴ = ，即 = ， ∴ON=1． 故选 C． 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形 中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般 方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质． 14．（3 分）（2015•济南）在平面直角坐标系中有三个点 A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0， 1），点 P（0，2）关于 A 的对称点为 P1，P1 关于 B 的对称点 P2，P2 关于 C 的对称点为 P3， 按此规律继续以 A、B、C 为对称中心重复前面的操作，依次得到 P4，P5，P6，…，则点 P2015 的坐标是（ ） A． （0，0） B． （0，2） C． （2，﹣4） D． （﹣4，2） 考点： 规律型：点的坐标． 分析： 设 P1（x，y），再根据中点的坐标特点求出 x、y 的值，找出规律即可得出结论． 解答： 解：设 P1（x，y）， ∵点 A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点 P（0，2）关于 A 的对称点为 P1，P1 关于 B 的对称点 P2， ∴ =1， =﹣1，解得 x=2，y=﹣4， ∴P1（2，﹣4）． 同理可得，P1（2，﹣4），P2（﹣4，2），P3（4，0），P4（﹣2，﹣2），P5（0，0），P6（0，2）， P7（2，﹣4），…，…， ∴每 6 个数循环一次． ∵ =335…5， ∴点 P2015 的坐标是（0，0）． 故选 A． 点评： 本题考查的是点的坐标，根据题意找出规律是解答此题的关键． 15．（3 分）（2015•济南）如图，抛物线 y=﹣2x 2+8x﹣6 与 x 轴交于点 A、B，把抛物线在 x 轴及其上方的部分记作 C1，将 C1 向右平移得 C2，C2 与 x 轴交于点 B，D．若直线 y=x+m 与 C1、C2 共有 3 个不同的交点，则 m 的取值范围是（ ） A． ﹣2＜m＜ B． ﹣3＜m＜﹣ C． ﹣3＜m＜﹣2 D． ﹣3＜m＜﹣ 考点： 抛物线与 x 轴的交点；二次函数图象与几何变换． 分析： 首先求出点 A 和点 B 的坐标，然后求出 C2 解析式，分别求出直线 y=x+m 与抛物线 C2 相切时 m 的值以及直线 y=x+m 过点 B 时 m 的值，结合图形即可得到答案． 解答： 解：令 y=﹣2x2+8x﹣6=0， 即 x2﹣4x+3=0， 解得 x=1 或 3， 则点 A（1，0），B（3，0）， 由于将 C1 向右平移 2 个长度单位得 C2， 则 C2 解析式为 y=﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5）， 当 y=x+m1 与 C2 相切时， 令 y=x+m1=y=﹣2（x﹣4）2+2， 即 2x2﹣15x+30+m1= 0， △=﹣8m1﹣15=0， 解得 m1=﹣ ， 当 y=x+m2 过点 B 时， 即 0=3+m2， m2=﹣3， 当﹣3＜m＜﹣ 时直线 y=x+m 与 C1、C2 共有 3 个不同 的交点， 故选 D． 点评： 本题主要考查抛物线与 x 轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的 关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 16．（3 分）（2015•济南）分解因式：xy+x= x（y+1） ． 考点： 因式分解-提公因式法． 分析： 直接提取公因式 x，进而分解因式得出即可． 解答： 解：xy+x=x（y+1）． 故答案为：x（y+1）． 点评： 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 17．（3 分）（2015•济南）计算： +（﹣3）0= 3 ． 考点： 实数的运算；零指数幂． 专题： 计算题． 分析： 原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用零指数幂法则计算即可得到结 果． 解答： 解：原式=2+1=3． 故答案为：3． 点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．（3 分）（2015•济南）如图，PA 是⊙O 的切线，A 是切点，PA=4，OP=5，则⊙O 的周长 为 6π （结果保留π）． 考点： 切线的性质；勾股定理． 分析： 连接 OA，根据切线的性质求出∠OAP=90°，根据勾股定理求出 OA 即可． 解答： 解： 连接 OA， ∵PA 是⊙O 的切线，A 是切点， ∴∠OAP=90°， 在 Rt△OAP 中，∠OAP=90°，PA=4，OP=5，由勾股定理得：OA=3， 则⊙O 的周长为 2π×3=6π， 故答案为：6π． 点评： 本题考查了切线的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并 求出∠OAP=90°，注意：圆的切线垂直于过切点的半径． 19．（3 分）（2015•济南）小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上， 每一块方砖的除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是 ． 考点： 几何概率． 分析： 根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面 积的比值． 解答： 解：观察这个图可知：黑色区域（4 块）的面积占总面积（9 块）的 ， 则它最终停留在黑色方砖上的概率是 ； 故答案为： ． 点评： 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影 区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件 （A）发生的概率． 20．（3 分）（2015•济南）如图，等边三角形 AOB 的顶点 A 的坐标为（﹣4，0），顶点 B 在 反比例函数 y= （x＜0）的图象上，则 k= ﹣4 ． 考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质． 分析： 过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D，因为△AOB 是等边三角形，点 A 的坐标为（﹣4，0） 所∠AOB=60°，根据锐角三角函数的定义求出 BD 及 OD 的长，可得出 B 点坐标，进而得出 反比例函数的解析式； 解答： 解：过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D， ∵△AOB 是等边三角形，点 A 的坐标为（﹣4，0）， ∴∠AOB=60°，OB=OA=AB=4， ∴OD= OB=2，BD=OB•sin60°=4× =2 ， ∴B（﹣2，2 ）， ∴k=﹣2×2 =﹣4 ； 故答案为﹣4 ． 点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点、等边三角形的性质、解直角三角函数 等知识，难度适中． 21．（3 分）（2015•济南）如图，在菱形 ABCD 中，AB=6，∠DAB=60°，AE 分别交 BC、BD 于点 E、F，CE=2，连接 CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点 E 到 AB 的距离是 2 ；③ tan∠DCF= ；④△ABF 的面积为 ．其中一定成立的是 ①②③ （把所有正确 结论的序号都填在横线上）． 考点： 四边形综合题． 分析： 利用 SAS 证明△ABF 与△CBF 全等，得出①正确，根据含 30°角的直角三角形的性 质得出点 E 到 AB 的距离是 2 ，得出②正确，同时得出；△ABF 的面积为 得出④ 错误，得出 tan∠DCF= ，得出③正确． 解答： 解：∵菱形 ABCD， ∴AB=BC=6， ∵∠DAB=60°， ∴AB=AD=DB，∠ABD=∠DBC=60°， 在△ABF 与△CBF 中， ， ∴△ABF≌△CBF（SAS）， ∴①正确； 过点 E 作 EG⊥AB，过点 F 作 MH⊥CD，MH⊥AB，如图： ∵CE=2，BC=6，∠ABC=120°， ∴BE=6﹣2=4， ∵EG⊥AB， ∴EG= 2 ， ∴点 E 到 AB 的距离是 2 ， 故②正确； ∵BE=4，EC=2， ∴S△BFE：S△FEC=4：2=2：1， ∴S△ABF：S△FBE=3：2， ∴△ABF 的面积为= ， 故④错误； ∵∵ ， ∴ = ， ∵ ， ∴FM= ， ∴DM= ， ∴CM=DC﹣DM=6﹣ ， ∴tan∠DCF= ， 故③正确； 故答案为：①②③点评：此题考查了四边形综合题，关键是根据菱形的性质、等边三角形 的判定与性质以及全等三角形的判定与性质分析．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法， 注意数形结合思想的应用． 三、解答题（共 7 小题，满分 57 分） 22．（7 分）（2015•济南）（1）化简：（x+2）2+x（x+3） （2）解不等式组： ． 考点： 整式的混合运算；解一元一次不等式组． 分析： （1）利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则化简求出即可； （2）分别解不等式，进而得出其解集即可． 解答： 解：（1）（x+2）2+x（x+3） =x2+4x+4+x2+3x =2x2+7x+4； （2） 解①得：x≥2， 解②得：x≥﹣1， 故不等式组的解为：x≥2． 点评： 此题主要考查了整式的混合运算以及解一元一次不等式组，正确掌握运算法则得出 不等式组的解集是解题关键． 23．（7 分）（2015•济南）（1）如图，在矩形 ABCD 中，BF=CE，求证：AE=DF； （2）如图，在圆内接四边形 ABCD 中，O 为圆心，∠BOD=160°，求∠BCD 的度数． 考点： 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质． 分析： （1）根据矩形的性质得出 AB=CD，∠B=∠C=90°，求出 BE=CF，根据 SAS 推出△ ABE≌△DCF 即可； （2）根据圆周角定理求出∠BAD，根据圆内接四边形性质得出∠BCD+∠BAD=180°，即可 求出答案． 解答： （1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB=CD，∠B=∠C=90°， ∵BF=CE， ∴BE=CF， 在△ABE 和△DCF 中 ∴△ABE≌△DCF， ∴AE=DF； （2）解：∵∠BOD=160°， ∴∠BAD= ∠BOD=80°， ∵A、B、C、D 四点共圆， ∴∠BCD+∠BAD=180°， ∴∠BCD=100°． 点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质，圆周角定理，圆内接四边形性 质的应用，解（1）小题的关键是求出△ABE≌△DCF，解（2）小题的关键是求 出∠BAD 的 度数和得出∠BCD+∠BAD=180°． 24．（8 分）（2015•济南）济南与北京两地相距 480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提 前 4h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的 3 倍，求高铁列车的平均行驶速度． 考点： 分式方程的应用． 分析： 首先设普通快车的速度为 xkm/时，则高铁列车的平均行驶速度是 3xkm/时，根据 题意可得等量关系：乘坐普通快车所用时间﹣乘坐高铁列车所用时间=4h，根据等量关系列 出方程，再解即可． 解答： 解：设普通快车的速度为 xkm/时，由题意得： ﹣ =4， 解得：x=80， 经检验：x=80 是原分式方程的解， 3x=3×80=240， 答：高铁列车的平均行驶速度是 240km/时． 点评： 此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系， 列出方程，注意分式方程不能忘记检验． 25．（8 分）（2015•济南）八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书 籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”、“戏剧”、“散文”、“其他” 四个类别，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．根 据图表提供的信息，回答下列问题： 类别 频数（人数） 频率 小说 0.5 戏剧 4 散文 10 0.25 其他 6 合计 m 1 （1）计算 m= 40 ； （2）在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比为 15% ； （3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从中任意选出 2 名同 学参加学校的戏剧社团，请用画树状图或列表的方法，求选取的 2 人恰好是乙和丙的概率． 考点： 列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图． 分析： （1）用散文的频数除以其频率即可求得样本总数； （2）根据其他类的频数和总人数求得其百分比即可； （3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况，即可确定出所求概率． 解答： 解：（1）∵喜欢散文的有 10 人，频率为 0.25， ∴m=10÷0.25=40； （2）在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比为 ×100%=15%， 故答案为：15%； （3）画树状图，如图所示：x k b 1 所有等可能的情况有 12 种，其中恰好是丙与乙的情况有 2 种， ∴P（丙和乙）= = ． 点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 26．（9 分）（2015•济南）如图 1，点 A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数 y= （x＞0） 的图象上，过点 A 作 AC⊥x 轴于 C，过点 B 作 BD⊥y 轴于 D． （1）求 m 的值和直线 AB 的函数关系式； （2）动点 P 从 O 点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿折线 OD﹣DB 向 B 点运动，同时动 点 Q 从 O 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿折线 OC 向 C 点运动，当动点 P 运动到 D 时，点 Q 也停止运动，设运动的时间为 t 秒． ①设△OPQ 的面积为 S，写出 S 与 t 的函数关系式； ②如图 2，当的 P 在线段 OD 上运动时，如果作△OPQ 关于直线 PQ 的对称图形△O′PQ， 是否存在某时刻 t，使得点 Q′恰好落在反比例函数的图象上？若存在，求 Q′的坐标和 t 的值；若不存在，请说明理由． 考点： 反比例函数综合题． 分析： （1）由于点 A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数 y= 的图象上，根据反比例函 数的意义求出 m，n，再由待定系数法求出直线 AB 的解析式； （2）①由题意知：OP=2t，OQ=t，由三角形的面积公式可求出解析式； ②通过三角形相似，用 t 的代数式表示出 O′的坐标，根据反比例函数的意义可求出 t 值． 解答： 解：（1）∵点 A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数 y= 的图象上， ∴m=8×1=8， ∴y= ， ∴8= ，即 n=1， 设 AB 的解析式为 y=kx+b， 解：（1）∵点 A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数 y= 的图象上， ∴m=8×1=8， ∴y= ， ∴8= ，即 n=1， 设 AB 的解析式为 y=kx+b， 把（8，1）、B（1，8）代入上式得： ， 解得： ． ∴直线 AB 的解析式为 y=﹣x+9； （2）①由题意知：OP=2t，OQ=t， 当 P 在 OD 上运动时， S= = =t2（0＜t≤4）， 当 P 在 DB 上运动时， S= = t×8=4t（4＜t≤4.5）； ②存在， 作 PE⊥y 轴，O′F⊥x 轴于 F，交 PE 于 E， 则∠E=90°，PO′=PO=2t，QO′=QO=t， 由题意知：∠PO′Q=∠POQ=90°﹣∠PO′E， ∠EPO′=90′﹣∠PO′E ∴△PEO′∽△O′FQ， ∴ = = ， 设 QF=b，O′F=a， 则 PE=OF=t+b，OE=2t﹣a， ∴ ， 解得：a= ，b= ， ∴O′（ t， t）， 当 Q′在反比例函数的图象上时， ， 解得：t=± ， ∵反比例函数的图形在第一象限， ∴t＞0， ∴t= ． 当 t= 个长度单位时，Q′恰好落在反比例函数的图象上． 本题主要考查了反比例函数的意义，利用图象和待定系数法求函数解析式，相似三角形的判 定和性质，熟练掌握反比例函数的意义和能数形结合是解决问题的关键． 27．（9 分）（2015•济南）如图 1，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点 M 为射线 AE 上任意一点（不与 A 重合），连接 CM，将线段 CM 绕点 C 按顺时针方向旋转 90° 得到线段 CN，直线 NB 分别交直线 CM、射线 AE 于点 F、D． （1）直接写出∠NDE 的度数； （2）如图 2、图 3，当∠EAC 为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？ 如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由； （3）如图 4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线 CM 与 AB 交于 G，BD= ，其他条 件不变，求线段 AM 的长． 考点： 几何变换综合题． 菁优网版 权所有 分析（1）根据题意证明△MAC≌△NBC 即可； （2）与（1）的证明方法相似，证明△MAC≌△NBC 即可； （3）作 GK⊥BC 于 K，证明 AM=AG，根据△MAC≌△NBC，得到∠BDA=90°，根据直角 三角形的性质和已知条件求出 AG 的长，得到答案． 解：（1）∵∠ACB=90°，∠MCN=90°， ∴∠ACM=∠BCN， 在△MAC 和△NBC 中， ， ∴△MAC≌△NBC， ∴∠NBC=∠MAC=90°， 又∵∠ACB=90°，∠EAC=90°， ∴∠NDE=90°； （2）不变， 在△MAC≌△NBC 中， ， ∴△MAC≌△NBC， ∴∠N=∠AMC， 又∵∠MFD=∠NFC， ∠MDF=∠FCN=90°，即∠NDE=90°； （3）作 GK⊥BC 于 K， ∵∠EAC=15°， ∴∠BAD=30°， ∵∠ACM=60°， ∴∠GCB=30°， ∴∠AGC=∠ABC+∠GCB=75°， ∠AMG=75°， ∴AM=AG， ∵△MAC≌△NBC， ∴∠MAC=∠NBC， ∴∠BDA=∠BCA=90°， ∵BD= ， ∴AB= + ， AC=BC= +1， 设 BK=a，则 GK=a，CK= a， ∴a+ a= +1， ∴a=1， ∴KB=KG=1，BG= ， AG= ， ∴AM= ． 本题考查的是矩形的判定和性质以及三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线、利用方程 的思想是解题的关键，注意旋转的性质的灵活运用． 28．（9 分）（2015•济南）抛物线 y=ax2+bx+4（a≠0）过点 A（1，﹣1），B（5，﹣1），与 y 轴交于点 C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图 1，连接 CB，以 CB 为边作▱CBPQ，若点 P 在直线 BC 上方的抛物线上，Q 为坐标 平面内的一点，且▱CBPQ 的面积为 30，求点 P 的坐标； （3）如图 2，⊙O1 过点 A、B、C 三点，AE 为直径，点 M 为 上的一动点（不与点 A，E 重 合），∠MBN 为直角，边 BN 与 ME 的延长线交于 N，求线段 BN 长度的最大值． 考点：二次函数综合题． 菁优网版 权所有 分析：（1）将点 A、B 的坐标代入抛物线的解析式，得到关于 a、b 的方程，从而可求得 a、 b 的值； （2）设点 P 的坐标为 P（m，m2﹣6m+4），由平行四边形的面积为 30 可知 S△CBP=15， 由 S△CBP=S 梯形 CEDP﹣S△CEB﹣S△PBD，得到关于 m 的方程求得 m 的值，从而可求得点 P 的坐标； （3）首先证明△EAB∽△NMB，从而可得到 NB= ，当 MB 为圆的直径时，NB 有最大值． 解答： 解：（1）将点 A、B 的坐标代入抛物线的解析式得： ， 解得： ． ∴抛物线得解析式为 y=x2﹣6x+4． （2）如图所示： 设点 P 的坐标为 P（m，m2﹣6m+4） ∵平行四边形的面积为 30， ∴S△CBP=15，即：S△CBP=S 梯形 CEDP﹣S△CEB﹣S△PBD． ∴ m（5+m2﹣6m+4+1）﹣ ×5×5﹣ （m﹣5）（m2﹣6m+5）=15． 化简得：m2﹣5m﹣6=0， 解得：m=6，或 m=﹣1． ∵m＞0 ∴点 P 的坐标为（6，4）． （3）连接 AB、EB． ∵AE 是圆的直径， ∴∠ABE=90°． ∴∠ABE=∠MBN． 又∵∠EAB=∠EMB， ∴△EAB∽△NMB． ∵A（1，﹣1），B（5，﹣1）， ∴点 O1 的横坐标为 3， 将 x=0 代入抛物线的解析式得：y=4， ∴点 C 的坐标为（0，4）． 设点 O1 的坐标为（3，m）， ∵O1C=O1A， ∴ ， 解得：m=2， ∴点 O1 的坐标为（3，2）， ∴O1A= ， 在 Rt△ABE 中，由勾股定理得：BE= = =6， ∴点 E 的坐标为（5，5）． ∴AB=4，BE=6． ∵△EAB∽△NMB， ∴ ． ∴ ． ∴NB= ． ∴当 MB 为直径时，MB 最大，此时 NB 最大． ∴MB=AE=2 ， ∴NB= =3 ． 点评：本题主要考查的是二次函数的综合应用，利用两点间的距离公式求得圆的半径是解题 的关键．