2015年佛山市中考数学试题解析

2015 年广东省佛山市中考数学试卷(解析版) 一.选择题（每小题 3 分，共 300 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求 的） 1．（3 分）（2015•佛山）﹣3 的倒数为（ ） A ． ﹣ B ． C ． 3 D ． ﹣3 考点： 倒数． 专题： 存在型． 分析： 根据倒数的 定义进行解 答即可． 解答： 解：∵（﹣3） ×（﹣ ）=1， ∴﹣3 的倒数 是﹣ ． 故选 A． 点评： 本题考查的 是倒数的定 义，即如果两 个数的乘积 等于 1，那么 这两个数互 为倒数． 2．（3 分）（2015•佛山）在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 考点： 中心对称图 形． 分析： 根据中心对 称图形的概 念求解．[来源:学,科,网] 解答： 解：根据中心 对称图形的 概念可得：图 形 B 不是中 心对称图形． 故选 B． 点评： 本题考查了 中心对称图 形的概念：中 心对称图形 是要寻找对 称中心，旋转 180 度后与原 图重合． 3．（3 分）（2015•佛山）下列计算正确的是（ ） A ． x+y=xy B ． ﹣y2﹣y2=0 C ． a2÷a2=1 D ． 7x﹣5x=2 考点： 同底数幂的 除法；合并同 类项．xkb1 分析： 根据同底数 幂的除法，底 数不变指数 相减；合并同 类项，系数相 加字母和字 母的指数不 变；对各选项 计算后利用 排除法求解． 解答： 解：A、 x+y  xy，故 错误； B、﹣y2﹣y2= ﹣2y2，故错 误； C、正确； D、7x﹣ 5x=2x，故错 误； 故选：C． 点评： 本题考查同 底数幂的除 法，合并同类 项，同底数幂 的乘法，幂的 乘方很容易 混淆，一定要 记准法则才 能做题． 4．（3 分）（2015•佛山）如图所示的几何体是由若干大小相同的小立方块搭成，则这个几何 体的左视图是（ ） A ． B ． C ． D ． [中国教育出*@&%^版网] 考点： 简单组合体 的三视图． 分析： 根据从左边 看得到的图 形是左视图， 可得答案． 解答： 解：从左边看 第一层是两 个小正方形， 第二层左边 一个小正方 形， 故选：D． 点评： 本题考查了 简单组合体 的三视图，从 左边看得到 的图形是左 视图． 5．（3 分）（2015•佛山）一个不透明的盒子中装有 6 个大小相同的乒乓球，其中 4 个是黄球， 2 个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是（ ）[来~@^#&源:中教网] A ． B ． C ． D ． 考点： 概率公式． 分析： 利用黄球的 个数除以球 的总个数即 可得到答案． 解答： 解：∵盒子中 装有 6 个大小 相同的乒乓 球，其中 4 个 是黄球， ∴摸到黄球 的概率是 = ， 故选：B． 点评： 此题主要考 查了概率公 式的应用，关 键是掌握概 率公式：所求 情况数与总 情况数之比． 6．（3 分）（2015•佛山）不等式组 的解集是（ ）[中&国教^育出%@版~网] A ． x＞1 B ． x＜2 C ． 1≤x≤2 D ． 1＜x＜2 考点： 解一元一次 不等式组． 分析： 先求出每个 不等式的解 集，再根据找 不等式组解 集的规律找 出即可． 解答： 解： ∵解不等式 ①得：x＜2， 解不等式② 得：x＞1， ∴不等式组 的解集为 1＜ x＜2， 故选 D． 点评： 本题考查了 解一元一次 不等式组的 应用，解此题 的关键是能 根据不等式 的解集找出 不等式组的 解集，难度适 中． 7．（3 分）（2015•佛山）如图，在△ABC 中，点 D、E、F 分别是三条边上的点，EF∥AC， DF∥AB，∠B=45°，∠C=60°．则∠EFD=（ ） A ． 80° B ． 75° C ． 70° D ． 65° 考点： 平行线的性 质． 分析： 根据 EF∥AC，求 出 ∠EFB=∠C= 60°，再根据 DF∥AB，求 出 ∠DFC=∠B= 45°，从而求 出 ∠EFD=180° ﹣60°﹣ 45°=75°． 解答： 解： ∵EF∥AC， ∴∠EFB=∠ C=60°， ∵DF∥AB， ∴∠DFC=∠ B=45°， ∴∠EFD=18 0°﹣60°﹣ 45°=75°， 故选 B． 点评： 本题考查了 平行线的性 质，找到平行 线、得到相应 的同位角或 内错角是解 题的关键． 8．（3 分）（2015•佛山）若（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n，则 m+n=（ ） A ． 1 B ． ﹣2 C ． ﹣1 D ． 2 考点： 多项式乘多 项式． 分析： 依据多项式 乘以多项式 的法则，进行 计算，然后对 照各项的系 数即可求出 m，n 的值． 解答： 解：∵原式 =x2+x﹣ 2=x2+mx+n， ∴m=1，n=﹣ 2． ∴m+n=1﹣ 2=﹣1． 故选：C． 点评： 本题考查了 多项式的乘 法，熟练掌握 多项式乘以 多项式的法 则是解题的 关键． 9．（3 分）（2015•佛山）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少 了 2m，另一边减少了 3m，剩余一块面积为 20m2 的矩形空地，则原正方形空地的边长是 （ ） A ． 7m B ． 8m C ． 9m D ． 10m 考点： 一元二次方 程的应用． 专题： 几何图形问 题． 分析： 本题可设原 正方形的边 长为 xm，则 剩余的空地 长为（x﹣2） m，宽为（x ﹣3）m．根据 长方形的面 积公式方程 可列出，进而 可求出原正 方形的边长． 解答： 解：设原正方 形的边长为 xm，依题意有 （x﹣3）（x﹣ 2）=20， 解得：x1=7， x2=﹣2（不合 题意，舍去） 即：原正方形 的边长 7m． 故选：A． 点评： 本题考查了 一元二次方 程的应用．学 生应熟记长 方形的面积 公式．另外求 得剩余的空 地的长和宽 是解决本题 的关键． 10．（3 分）（2015•佛山）下列给出 5 个命题： ①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ②六边形的内角和等于 720° ③相等的圆心角所对的弧相等 ④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形[来^源#:% 中教&@网] ⑤三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等． 其中正确命题的个数是（ ） A ． 2 个 B ． 3 个 C ． 4 个 D ． 5 个 考点： 命题与定理． 分析： 根据正方形 的判定方法 对①进行判 断；根据多边 形的内角和 公式对②进 行判断；根据 圆心角、弧、 弦的关系对 ③进行判断； 根据三角形 中位线性质、 菱形的性质 和矩形的判 定方法对④ 进行判断；根 据三角形内 心的性质对 ⑤进行判断． 解答： 解：对角线互 相垂直且相 等的平行四 边形是正方 形，所以①错 误； 六边形的内 角和等于 720°，所以② 正确； 在同圆或等 圆中，相等的 圆心角所对 的弧相等，所 以③错误； 顺次连接菱 形各边中点 所得的四边 形是矩形，所 以④正确； 三角形的内 心到三角形 三边的距离 相等，所以⑤ 错误． 故选 A． 点评： 本题考查了 命题与定理： 判断一件事 情的语句，叫 做命题．许多 命题都是由 题设和结论 两部分组成， 题设是已知 事项，结论是 由已知事项 推出的事项， 一个命题可 以写成“如 果…那么…” 形式．有些命 题的正确性 是用推理证 实的，这样的 真命题叫做 定理． 二.填空题（每小题 3 分，共 15 分）[来&源:中教^@*#网] 11．（3 分）（2015•佛山）地球半径约为 6 400 000m，这个数字用科学记数法表示为 6.4×106 m．[w#ww.z@zs^te%p~.com] 考点： 科学记数法 —表示较大 的数． 分析： 科学记数法 的表示形式 为 a×10n 的形 式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整 数．确定 n 的 值时，要看把 原数变成 M 时，小数点移 动了多少位， n 的绝对值与 小数点移动 的位数相 同．当原数绝 对值大于 10 时，n 是正数； 当原数的绝 对值小于 1 时，n 是负 数．确定 a×10n（1≤|a| ＜10，n 为整 数）中 n 的值， 由于 3 120 000 有 7 位， 所以可以确 定 n=7﹣1=6． 解答： 解：6 400 000=6.4×106， 故答案为： 6.4×106． 点评： 本题主要考 查了科学计 数法，把一个 数 M 记成 a×10n（1≤|a| ＜10，n 为整 数）的形式， 掌握当原数 绝对值大于 10 时，n 与 M 的整数部分 的位数的关 系是解决问 题的关键． [来源~:中国&*教@育出版网#] 12．（3 分）（2015•佛山）分式方程 的解是 3 ． [来@源:中国&*教^育出~版网] 考点： 解分式方程． 专题： 计算题． 分析： 分式方程去 分母转化为 整式方程，求 出整式方程 的解得到 x 的 值，经检验即 可得到分式 方程的解． 解答： 解：去分母 得：x=3（x﹣ 2）， 去括号得： x=3x﹣6， 解得：x=3， 经检验x=3是 分式方程的 解． 点评： 此题考查了 解分式方程， 解分式方程 的基本思想 是“转化思 想”，把分式 方程转化为 整式方程求 解．解分式方 程一定注意 要验根． 13．（3 分）（2015•佛山）如图，在 Rt△ABC 中，AB=BC，∠B=90°，AC=10 ．四边形 BDEF 是△ABC 的内接正方形（点 D、E、F 在三角形的边上）．则此正方形的面积是 25 ． 考点： 相似三角形 的判定与性 质；正方形的 性质． 分析： 由已知可得 到 △AFE∽△A BC，根据相 似三角形的 边对应成比 例即可求得 EF 的长，进 而根据正方 形的面积公 式即可求得． 解答： 解：∵在 Rt△ABC 中， AB2+BC2=A C2， ∵AB=BC， AC=10 ． ∴2AB2=200， ∴AB=BC=1 0， 设 EF=x，则 AF=10﹣x ∵EF∥BC， ∴△AFE∽ △ABC ∴ = ，即 = ， ∴x=5， ∴EF=5， ∴此正方形 的面积为 5×5=25． 故答案为 25． 点评： 主要考查了 正方形基本 性质和比例 线段的运 用．解题的关 键是准确的 找到相似三 角形并根据 其相似比列 方程求解． 14．（3 分）（2015•佛山）如图，△ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点 A 的坐标 是（﹣1，0）．现将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 90°，则旋转后点 C 的坐标是 （2，1） ． 考点： 坐标与图形 变化-旋转． 分析： 根据网格结 构找出点 A、 B、C 绕点 O 顺时针旋转 90°后的对应 点的位置，然 后顺次连接 即可． 解答： 解：如图所 示，△AB′C′ 即为△ABC 绕点 O 顺时 针旋转 90°后 的图形． ． 则 C′（2，1）， 即旋转后点 C 的坐标是（2， 1）． 故答案是： （2，1）． 点评： 本题考查了 利用旋转变 换作图，熟练 掌握网格结 构准确找出 对应点的位 置是解题的 关键． [来源:%zzste&p.co~m*@] 15．（3 分）（2015•佛山）各边长度都是整数、最大边长为 8 的三角形共有 10 个．[来源:zz~s#&tep@.com^] 考点： 三角形三边 关系． 分析： 利用三角形 三边关系进 而得出符合 题意的答案 即可． 解答： 解：∵各边长 度都是整数、 最大边长为 8， ∴三边长可 以为：1，8， 8；2，7，8； 2，8，8；3， 6，8；3，7， 8；3，8，8； 4，5，8；4， 6，8；4，7， 8；4，8，8； 故各边长度 都是整数、最 大边长为 8 的 三角形共有 10 个． 故答案为： 10． 点评： 此题主要考 查了三角形 三边关系，正 确分类讨论 得出是解题 关键． [中国教#育%&@出~版网] 三.解答题（16-20 题每小题 6 分，21-23 题每小题 6 分，24 题 10 分，25 题 11 分共 75 分） 16．（6 分）（2015•佛山）计算： +20150+（﹣2）3+2 ×sin60°． 考点： 实数的运算； 零指数幂；特 殊角的三角 函数值． 分析： 原式第一项 利用算术平 方根定义计 算，第二项利 用零指数幂 法则计算，第 三项利用乘 方的意义计 算，第四项利 用特殊角的 三角函数值 计算即可得 到结果． 解答： 解：原式=3+1 ﹣ 8+2 × = ﹣1． 点评： 此题考查了 实数的运算， 熟练掌握运 算法则是解 本题的关键． 17．（6 分）（2015•佛山）计算： ﹣ ． 考点： 分式的加减 法． 专题： 计算题． 分析： 原式通分并 利用同分母 分式的减法 法则计算，约 分即可得到 结果． 解答： 解：原式 = ﹣ = = ． 点评： 此题考查了 分式的加减 法，熟练掌握 运算法则是 解本题的关 键． 18．（6 分）（2015•佛山）如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC，请你用尺规作图将△ABC 分成两个全等的三角形，并说明这两个三角形全等的理由．（保留作图痕迹，不写作法） [来源:^zzst~ep.%com@&] [中~&国^教育出%版网@] 考点： 作图—应用 与设计作图； 全等三角形 的判定；等腰 三角形的性 质． 专题： 作图题． 分析： 作出底边 BC 的垂直平分 线，交 BC 于 点 D，利用三 线合一得到 D 为 BC 的中 点，可得出三 角形 ADB 与 三角形 ADC 全等． 解答： 解：作出 BC 的垂直平分 线，交 BC 于 点 D， ∵AB=AC， ∴AD 平分 ∠BAC，即 ∠BAD=∠C AD， 在△ABD 和 △ACD 中， ， ∴△ABD≌ △ACD （SAS）． 点评： 此题考查了 作图﹣应用 于设计作图， 全等三角形 的判定，以及 等腰三角形 的性质，熟练 掌握全等三 角形的判定 方法是解本 题的关键． 19．（6 分）（2015•佛山）若正比例函数 y=k1x 的图象与反比例函数 y= 的图象有一个交点 坐标是（﹣2，4）[来源:中国教^*育出#@版%网] （1）求这两个函数的表达式； （2）求这两个函数图象的另一个交点坐标．[来源:zzst~#e@p&^.com] 考点： 反比例函数 与一次函数 的交点问题． 分析： （1）根据待 定系数法，可 得函数解析 式； （2）根据联 立函数解析 式，可得方程 组，根据解方 程组，可得答 案． 解答： 解：（1）由正 比例函数 y=k1x 的图象 与反比例函 数 y= 的图 象有一个交 点坐标是（﹣ 2，4），得 4=﹣2k1， 4= ． 解得 k1=﹣2， k2=﹣8． 正比例函数 y=﹣2x；反比 例函数 y= ； （2）联立正 比例函数与 反比例函数， 得 ． 解得 ， ， 这两个函数 图象的另一 个交点坐标 （2，﹣4）． 点评： 本题考查了 反比例函数 与一次函数 的交点问题， 利用待定系 数法求函数 解析式，利用 解方程组求 函数图象的 交点坐标． 20．（6 分）（2015•佛山）如图，在水平地面上竖立着一面墙 AB，墙外有一盏路灯 D．光线 DC 恰好通过墙的最高点 B，且与地面形成 37°角．墙在灯光下的影子为线段AC，并测得 AC=5.5 米． （1）求墙 AB 的高度（结果精确到 0.1 米）；（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80） [来源:%&z~z^s@tep.com] （2）如果要缩短影子 AC 的长度，同时不能改变墙的高度和位置，请你写出两种不同的方 法． 考点： 解直角三角 形的应用． 分析： （1）由 AC=5.5， ∠C=37°根据 正切的概念 求出 AB 的 长； （2）从边和 角的角度进 行分析即可． 解答： 解：（1）在 Rt△ABC 中， AC=5.5， ∠C=37°， tanC= ， ∴AB=AC•ta nC=5.5×0.75 ≈4.1； （2）要缩短 影子 AC 的长 度，增大∠C 的度数即可， 即第一种方 法：增加路灯 D 的高度， 第二种方法： 使路灯 D 向 墙靠近． 点评： 本题考查的 是解直角三 角形的知识， 正确理解锐 角三角函数 的概念是解 题的关键，注 意在直角三 角形中，边角 之间的关系 的运用． 21．（8 分）（2015•佛山）某中学初二年级抽取部分学生进行跳绳测试．并规定：每分钟跳 90 次以下的为不及格；每分钟跳 90～99 次的为及格；每分钟跳 100～109 次的为中等；每 分钟跳 110～119 次的为良好；每分钟跳 120次及以上的为优秀．测试结果整理绘制成如下 两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列各题： （1）参加这次跳绳测试的共有 50 人； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“中等”部分所对应的圆心角的度数是 72° ； （4）如果该校初二年级的总人数是 480 人，根据此统计数据，请你估算该校初二年级跳绳 成绩为“优秀”的人数． 考点： 条形统计图； 用样本估计 总体；扇形统 计图． 分析： （1）利用条 形统计图以 及扇形统计 图得出良好 的人数和所 占比例，即可 得出全班人 数； （2）利用（1） 中所求，结合 条形统计图 得出优秀的 人数，进而求 出答案； （3）利用中 等的人数，进 而得出“中 等”部分所对 应的圆心角 的度数； （4）利用样 本估计总体 进而利用“优 秀”所占比例 求出即可． 解答： 解：（1）由扇 形统计图和 条形统计图 可得： 参加这次跳 绳测试的共 有： 20÷40%=50 （人）； 故答案为： 50； （2）由（1） 的优秀的人 数为：50﹣3 ﹣7﹣10﹣ 20=10， 如图所示： ； （3）“中等” 部分所对应 的圆心角的 度数是： ×360°=72° ， 故答案为： 72°； （4）该校初 二年级跳绳 成绩为“优 秀”的人数 为： 480× =96 （人）． 答：该校初二 年级跳绳成 绩为“优秀” 的人数为 96 人． 点评： 此题主要考 查了扇形统 计图以及条 形统计图和 利用样本估 计总体等知 识，利用已知 图形得出正 确信息是解 题关键． [来源:z^zs&@*tep.com%] 22．（8 分）（2015•佛山）某景点的门票价格如表： 购票人数/人 1～ 50 51～ 100 100 以上 每人门票价/元 12 10 8 某校七年级（1）、（2）两班计划去游览该景点，其中（1）班人数少于 50 人，（2）班人数多 于 50 人且少于 100 人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付 1118 元；如果两班联 合起来作为一个团体购票，则只需花费 816 元．[来@#^源:中教~网*] （1）两个班各有多少名学生？ （2）团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？ [中国教@~育出版*网#%] 考点： 一元一次方 程的应用． 分析： （1）设七年 级（1）班有 x 人、七年级 （2）班有 y 人，根据如果 两班都以班 为单位单独 购票，则一共 支付 1118 元； 如果两班联 合起来作为 一个团体购 票，则只需花 费 816 元建立 方程组求出 其解即可； （2）用一张 票节省的费 用×该班人数 即可求解． 解答： 解：（1）设七 年级（1）班 有 x 人、七年 级（2）班有 y 人，由题意， 得 ， 解得： ． 答：七年级 （1）班有 49 人、七年级 （2）班有 53 人； （2）七年级 （1）班节省 的费用为： （12﹣8） ×49=196 元， 七年级（2） 班节省的费 用为：（12﹣ 10）×53=106 元． 点评： 本题考查了 列二元一次 方程组解实 际问题的运 用，二元一次 方程组的解 法的运用，解 答时建立方 程组求出各 班的人数是 关键． 23．（8 分）（2015•佛山）如图，⊙O 的内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分别交于点 E、 F． （1）若∠E=∠F 时，求证：∠ADC=∠ABC； （2）若∠E=∠F=42°时，求∠A 的度数； （3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A 的大小． 考点： 圆内接四边 形的性质；圆 周角定理． 分析： （1）根据外 角的性质即 可得到结论； （2）根据圆 内接四边形 的性质和等 量代换即可 求得结果； （3）连结 EF， 如图，根据圆 内接四边形 的性质得 ∠ECD=∠A， 再根据三角 形外角性质 得 ∠ECD=∠1+ ∠2，则 ∠A=∠1+∠ 2，然后根据 三角形内角 和定理有 ∠A+∠1+∠ 2+∠E+∠F= 180°，即 2∠A+α+β=1 80°，再解方 程即可． 解答： 解：（1） ∠E=∠F， ∵∠DCE=∠ BCF， ∴∠ADC=∠ E+∠DCE， ∠ABC=∠F+ ∠BCF， ∴∠ADC=∠ ABC； （2）由（1） 知 ∠ADC=∠A BC， ∵∠EDC=∠ ABC， ∴∠EDC=∠ ADC， ∴∠ADC=90 °， ∴∠A=90°﹣ 42°=48°； （3）连结 EF， 如图， ∵四边形 ABCD 为圆 的内接四边 形， ∴∠ECD=∠ A， ∵∠ECD=∠ 1+∠2， ∴∠A=∠1+ ∠2， ∵∠A+∠1+ ∠2+∠E+∠F =180°， ∴2∠A+α+β =180°， ∴∠A=90°﹣ ． 点评： 本题考查了 圆内接四边 形的性质：圆 内接四边形 的对角互补； 圆内接四边 形的性质是 沟通角相等 关系的重要 依据，在应用 此性质时，要 注意与圆周 角定理结合 起来．在应用 时要注意是 对角，而不是 邻角互补． 24．（10 分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡 O 点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数 y=﹣x2+4x 刻画，斜坡可以用一次函数 y= x 刻画． （1）请用配方法求二次函数图象的最高点 P 的坐标； （2）小球的落点是 A，求点 A 的坐标； （3）连接抛物线的最高点 P 与点 O、A 得△POA，求△POA 的面积； （4）在 OA 上方的抛物线上存在一点 M（M 与 P 不重合），△MOA 的面积等于△POA 的 面积．请直接写出点 M 的坐标． 考点： 二次函数综 合题． 分析： （1）利用配 方法抛物线 的一般式化 为顶点式，即 可求出二次 函数图象的 最高点P的坐 标； （2）联立两 解析式，可求 出交点 A 的 坐标； （3）作 PQ⊥x 轴于 点 Q，AB⊥x 轴于点 B．根 据 S△POA=S△POQ +S△梯形 PQBA ﹣S△BOA，代 入数值计算 即可求解； （4）过 P 作 OA 的平行 线，交抛物线 于点 M，连结 OM、AM，由 于两平行线 之间的距离 相等，根据同 底等高的两 个三角形面 积相等，可得 △MOA 的面 积等于 △POA 的面 积．设直线 PM 的解析式 为 y= x+b， 将 P（2，4） 代入，求出直 线 PM 的解析 式为 y= x+3．再 与抛物线的 解析式联立， 得到方程组 ，解方程组即 可求出点 M 的坐标． 解答： 解：（1）由题 意得，y=﹣ x2+4x=﹣（x ﹣2）2+4， 故二次函数 图象的最高 点P的坐标为 （2，4）； （2）联立两 解析式可得： ， 解得： ， 或 ． 故可得点 A 的坐标为（ ， ）； （3）如图， 作 PQ⊥x 轴 于点 Q， AB⊥x 轴于 点 B． S△POA=S△POQ +S△梯形 PQBA ﹣S△BOA = ×2×4+ × （ +4）×（ ﹣2）﹣ × × =4+ ﹣ = ； （4）过 P 作 OA 的平行 线，交抛物线 于点 M，连结 OM、AM，则 △MOA 的面 积等于 △POA 的面 积． 设直线 PM 的 解析式为 y= x+b， ∵P 的坐标为 （2，4）， ∴4= ×2+b， 解得 b=3， ∴直线 PM 的 解析式为 y= x+3． 由 ，解得 ， ， ∴点 M 的坐 标为（ ， ）． 点评： 本题是二次 函数的综合 题型，其中涉 及到两函数 图象交点的 求解方法，二 次函数顶点 坐标的求解 方法，三角形 的面积，待定 系数法求一 次函数的解 析式，难度适 中．利用数形 结合与方程 思想是解题 的关键． 25．（11 分）（2015•佛山）如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 是 AD 上的点，且 AE=EF=FD．连接 BE、BF，使它们分别与 AO 相交于点 G、H． （1）求 EG：BG 的值； （2）求证：AG=OG； （3）设 AG=a，GH=b，HO=c，求 a：b：c 的值． [来源:zz^@step.&com%*] 考点： 相似形综合 题；平行四边 形的性质． 专题： 综合题．[来源:Z,xx,k.Com] 分析： （1）根据平 行四边形的 性质可得 AO= AC， AD=BC， AD∥BC，从 而可得 △AEG∽△C BG，由 AE=EF=FD 可得 BC=3AE，然 后根据相似 三角形的性 质，即可求出 EG：BG 的 值； （2）根据相 似三角形的 性质可得 GC=3AG，则 有 AC=4AG， 从而可得 AO= AC=2 AG，即可得 到 GO=AO﹣ AG=AG； （3）根据相 似三角形的 性质可得 AG= AC， AH= AC，结 合 AO= AC， 即可得到 a= AC， b= AC， c= AC，就 可得到 a：b： c 的值． 解答： 解：（1）∵四 边形 ABCD 是平行四边 形， ∴AO= AC， AD=BC， AD∥BC， ∴△AEG∽ △CBG， ∴ = = ． ∵AE=EF=F D， ∴BC=AD=3 AE， ∴GC=3AG， GB=3EG， ∴EG：BG=1： 3； （2） ∵GC=3AG （已证）， ∴AC=4AG， ∴AO= AC= 2AG， ∴GO=AO﹣ AG=AG； （3） ∵AE=EF=F D， ∴BC=AD=3 AE， AF=2AE． ∵AD∥BC， ∴△AFH∽ △CBH， ∴ = = = ， ∴ = ，即 AH= AC． ∵AC=4AG， ∴a=AG= A C， b=AH﹣ AG= AC﹣ AC= AC ， c=AO﹣ AH= AC﹣ AC= AC ， ∴a：b：c= ： ： =5：3： 2． 点评： 本题主要考 查了相似三 角形的判定 与性质、平行 四边形的性 质、合比性质 等知识，由两 直线平行联 想到三角形 相似，从而得 到边成比例， 是常用的一 种方法，应熟 练掌握．