2013年厦门市中考数学试卷及答案

2013 年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试 数 学 （试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟） 准考证号 姓名 座位号 注意事项： 1．全卷三大题，26 小题，试卷共 4 页，另有答题卡． 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 3．可直接用 2B 铅笔画图． 一、选择题（本大题有 7 小题，每小题 3 分，共 21 分.每小题都有四个选项，其中有且只有 一个选项正确） 1．下列计算正确的是 A．－1＋2＝1． B．－1－1＝0． C．(－1)2＝－1． D．－12＝1． 2．已知∠A＝60°，则∠A 的补角是 A．160°． B．120°． C．60°． D．30°． 3．图 1 是下列一个立体图形的三视图，则这个立体图形是 A．圆锥． B．球． C．圆柱． D．正方体． 4．掷一个质地均匀的正方体骰子，当骰子停止后，朝上 一面的点数为 5 的概率是 A．1． B．1 5 ． C．1 6 ． D．0． 5．如图 2，在⊙O 中，︵ AB＝︵ AC，∠A＝30°，则∠B＝ A．150°． B．75°． C．60°． D．15°． 6．方程 2 x -1 ＝3 x 的解是 A．3． B．2． C．1． D．0． 7．在平面直角坐标系中，将线段 OA 向左平移 2 个单位，平移后，点 O，A 的对应点分别为点 O1，A1.若点 O（0，0），A（1，4），则点 O1，A1 的坐标分别是 A．（0，0），（1，4）． B．（0，0），（3，4）． C．（－2，0），（1，4）． D．（－2，0），（－1，4）． 二、填空题（本大题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 8．－6 的相反数是 ． 图3 E D C B A C O 图2 B A 俯 视 图 左 视 图 主 视 图 图1 9．计算：m2·m3＝ ． 10．式子 x－3在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围 是 ． 11．如图 3，在△ABC 中，DE∥BC，AD＝1，AB＝3， DE＝2，则 BC＝ ． 12．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的 15 名运动员的成绩如下表所示： 成绩/米 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 2 3 3 2 4 1 则这些运动员成绩的中位数是 米． 13．x2－4x＋4= ( )2． 14．已知反比例函数 y＝m－1 x 的图象的一支位于第一象限， 则常数 m 的取值范围是 ． 15．如图 4，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E， F 分别是线段 AO，BO 的中点．若 AC＋BD＝24 厘米， △OAB 的周长是 18 厘米，则 EF＝ 厘米． 16．某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到 400 米以外的安全区域．甲工人 在转移过程中，前 40 米只能步行，之后骑自行车．已知导火线燃烧的速度为 0.01 米/秒， 步行的速度为 1 米/秒，骑车的速度为 4 米/秒．为了确保 甲工人的安全，则导火线的长要大于 米． 17．如图 5，在平面直角坐标系中，点 O 是原点，点 B（0，3）， 点 A 在第一象限且 AB⊥BO，点 E 是线段 AO 的中点，点 M 在线段 AB 上．若点 B 和点 E 关于直线 OM 对称，且则点 M 的坐标是 ( ， ) ． 三、解答题（本大题有 9 小题，共 89 分） 18．（本题满分 21 分） （1）计算：5a＋2b＋(3a—2b)； （2）在平面直角坐标系中，已知点 A（－4,1）， B（－2,0），C（－3, －1）,请在图 6 上 画出△ABC，并画出与△ABC 关于 原点 O 对称的图形； （3）如图 7，已知∠ACD＝70°，∠ACB＝60°， ∠ABC＝50°. 求证：AB∥CD. 19．（本题满分 21 分） （1）甲市共有三个郊县，各郊县的人数及人均耕地面积如下表所示： 郊县 人数/万 人均耕地面积/公顷 A 20 0.15 D C B A 图7 图4 F E O D C B A B 5 0.20 C 10 0.18 求甲市郊县所有人口的人均耕地面积（精确到 0.01 公顷）； （2）先化简下式，再求值： 2x2＋y2 x＋y － x2＋2y2 x＋y ，其中 x＝ 2＋1， y＝2 2—2； （3）如图 8，已知 A，B，C，D 是⊙O 上的四点， 延长 DC，AB 相交于点 E．若 BC＝BE． 求证：△ADE 是等腰三角形. 20．（本题满分 6 分）有一个质地均匀的正 12 面体，12 个面上分别写有 1~12 这 12 个整数（每 个面上只有一个整数且每个面上的整数互不相同）.投掷这个正 12 面体一次，记事件 A 为 “向上一面的数字是 2 或 3 的整数倍”，记事件 B 为 “向上一面的数字是 3 的整数倍”， 请你判断等式“P(A)＝1 2 ＋P(B)”是否成立，并说明理由. 21.（本题满分 6 分）如图 9，在梯形 ABCD 中，AD∥BC， 对角线 AC，BD 相交于点 E，若 AE＝4，CE＝8，DE＝3， 梯形 ABCD 的高是36 5 ，面积是 54.求证：AC⊥BD. 22．（本题满分 6 分）一个有进水管与出水管的容器， 从某时刻开始的 3 分内只进水不出水，在随后的 9 分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是 常数.容器内的水量 y（单位：升）与时间 x（单位：分）之间的关系如图 10 所示. 当容器内的水量大于 5 升时，求时间 x 的取值范围. 23．（本题满分 6 分）如图 11，在正方形 ABCD 中，点 G 是边 BC 上的任意一点，DE⊥AG，垂足为 E，延长 DE 交 AB 于 点 F.在线段 AG 上取点 H，使得 AG＝DE＋HG，连接 BH. 求证：∠ABH＝∠CDE. 图9 E D C B A H G F E D C B 图11 A E D O 图8 C B A 24．（本题满分 6 分）已知点 O 是坐标系的原点，直线 y＝－x＋m＋n 与双曲线 y＝1 x 交于两个 不同的点 A（m，n）(m≥2)和 B（p，q）,直线 y＝－x＋m＋n 与 y 轴交于点 C ，求△OBC 的面积 S 的取值范围． 25．（本题满分 6 分）如图 12，已知四边形 OABC 是菱形， ∠O＝60°，点 M 是 OA 的中点.以点 O 为圆心， r 为半径作⊙O 分别交 OA，OC 于点 D，E， 连接 BM.若 BM＝ 7， ︵ DE的长是 3π 3 ．w w w . 求证：直线 BC 与⊙O 相切. 26．（本题满分 11 分）若 x1，x2 是关于 x 的方程 x2＋bx＋c＝0 的两个实数根，且 x1 ＋ x2 ＝2 k （k 是整数），则称方程 x2＋bx＋c＝0 为“偶系二次方程”.如方程 x2－6x－27＝0， x2－2x－8＝0，x2＋3x－27 4 ＝0，x2＋6x－27＝0， x2＋4x＋4＝0 都是“偶系二次方程”. （1）判断方程 x2＋x－12＝0 是否是“偶系二次方程”，并说明理由； （2）对于任意一个整数 b，是否存在实数 c，使得关于 x 的方程 x2＋bx＋c＝0 是“偶系二 次方程”，并说明理由. 2013 年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试 数学参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 7 小题，每小题 3 分，共 21 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 选项 A B C C B A D 图12 O A B C D E M 二、填空题（本大题共 10 小题，每题 4 分，共 40 分） 8. 6 9. m5 10.x≥3 11. 6 12. 1.65 13. x—2 14. m＞1 15. 3 16. 1.3 17.（1，3） 三、解答题（本大题共 9 小题，共 89 分） 18．（本题满分 21 分） （1）解： 5a＋2b＋(3a—2b) ＝5a＋2b＋3a—2b ……………………………3 分 ＝8a. ……………………………7 分 （2） 解： 正确画出△ABC ……………………………10 分 正确画出△DEF ……………………………14 分 （3）证明 1：∵∠ACD＝70°，∠ACB＝60°， ∴∠BCD＝130°. …………16 分 ∵∠ABC＝50°， ∴∠BCD＋∠ABC＝180°. …………18 分 ∴AB∥CD. …………21 分 证明 2：∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°， ∴∠CAB＝180°—50°—60° ＝70°. ………………16 分 ∵∠ACD＝70°， ∴∠CAB＝∠ACD. ………………18 分 ∴AB∥CD. ………………21 分 19．（本题满分 21 分） （1）解： 20×0.15＋5×0.20＋10×0.18 20＋5＋10 ……………………………5 分 ≈0.17（公顷/人）. ……………………………6 分 ∴ 这个市郊县的人均耕地面积约为 0.17 公顷. ……………………7 分 （2）解： 2x2＋y2 x＋y — 2y2＋x2 x＋y ＝x2—y2 x＋y ……………………………9 分 ＝x－y. ……………………………11 分 当 x＝ 2＋1， y＝2 2—2 时， 原式＝ 2＋1－(2 2—2) ……………………………12 分 ＝3— 2. ……………………………14 分 （3）证明： ∵BC＝BE， ∴∠E＝∠BCE. ……………………………15 分 ∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠A＋∠DCB＝180°. ……………17 分 ∵∠BCE＋∠DCB＝180°, ∴∠A＝∠BCE. ………………18 分 ∴∠A＝∠E. ………………19 分 ∴ AD＝DE. ………………20 分 ∴△ADE 是等腰三角形. ………………21 分 20．（本题满分 6 分） 解： 不成立 ……………………………1 分 ∵ P(A)＝ 8 12 ＝2 3 ， ……………………………3 分 又∵P(B) ＝ 4 12 ＝1 3 ， ……………………………5 分 而1 2 ＋1 3 ＝5 6 ≠2 3 . ∴ 等式不成立. ……………………………6 分 21．（本题满分 6 分） 证明 1：∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠EBC，∠DAE＝∠ECB. ∴△EDA∽△EBC. ……………………………1 分 ∴ AD BC ＝AE EC ＝1 2 . ……………………………2 分 即：BC＝2AD. ………………3 分 ∴54＝1 2 ×36 5 ( AD＋2AD) ∴AD＝5. ………………4 分 在△EDA 中， ∵DE＝3，AE＝4， ∴DE2＋AE2＝AD2. ……………………………5 分 ∴∠AED＝90°. ∴ AC⊥BD. ……………………………6 分 证明 2： ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠EBC，∠DAE＝∠ECB. ∴△EDA∽△EBC. ……………………………1 分 ∴DE BE ＝AE EC . ……………………………2 分 即 3 BE ＝4 8 . ∴BE＝6. ……………………………3 分 过点 D 作 DF∥AC 交 BC 的延长线于点 F. 由于 AD∥BC， ∴四边形 ACFD 是平行四边形. ∴DF＝AC＝12，AD＝CF. ∴BF＝BC＋AD. ∴54＝1 2 ×36 5 ×BF. ∴BF＝15. ……………………………4 分 在△DBF 中， ∵DB＝9，DF＝12，BF＝15， ∴DB2＋DF2＝BF2. ……………………………5 分 ∴∠BDF＝90°. ∴DF⊥BD. ∴AC⊥BD. ……………………………6 分 22．（本题满分 6 分） 解 1： 当 0≤x≤3 时，y＝5x. ……………………………1 分 当 y＞5 时，5x＞5， ……………………………2 分 解得 x＞1. ∴1＜x≤3. ……………………………3 分 当 3＜x≤12 时， 设 y＝kx＋b. 则 15＝3k＋b， 0＝12k＋b. 解得 k＝－5 3 ， b＝20. ∴ y＝－5 3x＋20. ……………………………4 分 当 y＞5 时，－5 3x＋20＞5， ……………………………5 分 解得 x＜9.w w w . ∴ 3＜x＜9. ……………………………6 分 ∴容器内的水量大于 5 升时，1＜x＜9 . F A B C D E 解 2： 当 0≤x≤3 时，y＝5x. ……………………………1 分 当 y＝5 时，有 5＝5x，解得 x＝1. ∵ y 随 x 的增大而增大， ∴当 y＞5 时，有 x＞1. ……………………………2 分 ∴ 1＜x≤3. ……………………………3 分 当 3＜x≤12 时， 设 y＝kx＋b. 则 15＝3k＋b， 0＝12k＋b. 解得 k＝－5 3 ， b＝20. ∴ y＝－5 3x＋20. ……………………………4 分 当 y＝5 时，5＝－5 3x＋20. 解得 x＝9. ∵ y 随 x 的增大而减小， ∴当 y＞5 时，有 x＜9. ……………………………5 分 ∴3＜x＜9. ……………………………6 分 ∴容器内的水量大于 5 升时，1＜x＜9 . 23．（本题满分 6 分） 证明 1：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠FAD＝＝90°. ∵DE⊥AG，∴∠AED＝90°. ∴∠FAG＋∠EAD＝∠ADF＋∠EAD ∴∠FAG＝∠ADF. …………………1 分 ∵AG＝DE＋HG，AG＝AH＋HG， ∴ DE＝AH. ……………………………2 分 又 AD＝AB， ∴ △ADE≌△ABH. ……………………………3 分 ∴ ∠AHB＝∠AED＝90°. ∵∠ADC＝＝90°， ……………………………4 分 ∴ ∠BAH＋∠ABH＝∠ADF＋∠CDE. ……………………………5 分 ∴ ∠ABH＝∠CDE. ……………………………6 分 24．（本题满分 6 分） 解： ∵ 直线 y＝－x＋m＋n 与 y 轴交于点 C， ∴ C（0，m＋n）. ∵点 B（p，q）在直线 y＝－x＋m＋n 上， ……………………………1 分 ∴q＝－p＋m＋n. ……………………………2 分 B G H F E D C A 又∵点 A、B 在双曲线 y＝1 x 上， ∴1 p ＝－p＋m＋1 m . 即 p－m＝p－m pm ， ∵点 A、B 是不同的点. ∴ p－m≠0.∴ pm＝1. ……………………………3 分 ∵ nm＝1， ∴ p＝n，q＝m. ……………………………4 分 ∵1＞0，∴在每一个象限内， 反比例函数 y＝1 x 的函数值 y 随自变量 x 的增大而减小. ∴当 m≥2 时，0＜n≤1 2 . ……………………………5 分 ∵S＝1 2( p＋q) p ＝1 2p2＋1 2pq ＝1 2n2＋1 2 又∵1 2 ＞0，对称轴 n＝0， ∴当 0＜n≤1 2 时，S 随自变量 n 的增大而增大. 1 2 ＜S≤5 8 . ……………………………6 分 w w w . 25．（本题满分 6 分） 证明一：∵ ︵ DE的长是 3π 3 ，∴2πr 360 ·60＝ 3π 3 .∴ r＝ 3. ……………………1 分 作 BN⊥OA，垂足为 N. ∵四边形 OABC 是菱形， ∴AB∥CO. ∵∠O＝60°， ∴∠BAN＝60°，∴∠ABN＝30°. 设 NA＝x，则 AB＝2x，∴ BN＝ 3x. ……………………………2 分 ∵M 是 OA 的中点，且 AB＝OA， ∴ AM＝x. ……………………………3 分 O N E D C M B A 在 Rt△BNM 中， ( 3x)2＋(2x)2＝( 7)2， ∴ x＝1，∴BN＝ 3. ……………………………4 分 ∵ BC∥AO， ∴ 点 O 到直线 BC 的距离 d＝ 3. ……………………………5 分 ∴ d＝r. ∴ 直线 BC 与⊙O 相切. ……………………………6 分 证明二：∵ ︵ DE的长是 3π 3 ，∴2πr 360 ·60＝ 3π 3 . ∴ r＝ 3. ……………………1 分 延长 BC，作 ON⊥BC，垂足为 N. ∵ 四边形 OABC 是菱形 ∴ BC∥AO， ∴ ON⊥OA. ∵∠AOC＝60°， ∴∠NOC＝30°. 设 NC＝x，则 OC＝2x， ∴ON＝ 3x ……………………………2 分 连接 CM， ∵点 M 是 OA 的中点，OA＝OC， ∴ OM＝x. ……………………………3 分 ∴四边形 MONC 是平行四边形. ∵ ON⊥BC， ∴四边形 MONC 是矩形. ……………………………4 分 ∴CM⊥BC. ∴ CM＝ON＝ 3x. 在 Rt△BCM 中， ( 3x)2＋(2x)2＝( 7)2， 解得 x＝1. ∴ON＝CM＝ 3. ……………………………5 分 ∴ 直线 BC 与⊙O 相切. ……………………………6 分 26．（本题满分 11 分） （1）解： 不是 ……………………………1 分 解方程 x2＋x－12＝0 得，x1＝－4，x2＝3. ……………………………2 分 x1 ＋ x2 ＝4＋3＝2× 3.5 . ……………………………3 分 ∵3.5 不是整数， ∴方程 x2＋x－12＝0 不是“偶系二次方程”.…………………………4 分 （2）解：存在 …………………………6 分 ∵方程 x2－6x－27＝0，x2＋6x－27＝0 是“偶系二次方程”， ∴ 假设 c＝mb2＋n. …………………………8 分 当 b＝－6，c＝－27 时，有 －27＝36m＋n. w w w . ∵x2＝0 是“偶系二次方程”， A B M C D E N O ∴n＝0，m＝－ 3 4 . …………………………9 分 即有 c＝－ 3 4b2. 又∵x2＋3x－27 4 ＝0 也是“偶系二次方程”， 当 b＝3 时，c＝－ 3 4 ×32＝－27 4 . ∴可设 c＝－ 3 4b2. …………………………10 分 对任意一个整数 b，当 c＝－ 3 4b2 时， ∵△＝b2－4c ＝4b2. ∴ x＝－b±2b 2 . ∴ x1＝－3 2b，x2＝1 2b. ∴ x1 ＋ x2 ＝3 2 b ＋1 2 b ＝2 b . ∵b 是整数，∴对任意一个整数 b，当 c＝－ 3 4b2 时，关于 x 的方程 x2＋bx＋c＝0 是“偶系二次方程”. …………………………11 分