2013年咸宁市中考数学试卷及答案

湖北省咸宁市中考 2013 年数学试卷 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1．（3 分）（2013•咸宁）如果温泉河的水位升高 0.8m 时水位变化记作+0.8m，那么水位下降 0.5m 时水位变化记作（ ） A．0m B．0.5m C．﹣0.8m D．﹣0.5m 考点：正数和负数． 分析：首先根据题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答即可． 解答：解：∵水位升高 0.8m 时水位变化记作+0.8m， ∴水位下降 0.5m 时水位变化记作﹣05m； 故选 D． 点评：此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反 意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 2．（3 分）（2013•咸宁）2012 年，咸宁全面推进“省级战略，咸宁实施”，经济持续增长，全市人 均 GDP 再攀新高，达到约 24000 元．将 24000 用科学记数法表示为（ ） A．2.4×104 B．2.4×103 C．0.24×105 D．2.4×105 考点：科学记数法—表示较大的数． 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看 把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝 对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答：解：将 24000 用科学记数法表示为 2.4×104． 故选 A． 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3．（3 分）（2013•咸宁）下列学习用具中，不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 考点：轴对称图形． 分析：根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，两边能够重合的图形是轴对称图形， 对各选项判断即可． 解答：解：A、是轴对称图形，不合题意，故本选项错误； B、是轴对称图形，不合题意，故本选项错误； C、不是轴对称图形，符合题意，故本选项正确； D、是轴对称图形，不合题意，故本选项错误； 故选 C． 点评：本题考查了轴对称图形的知识，属于基础题，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴． 4．（3 分）（2013•咸宁）下列运算正确的是（ ） A．a6÷a2=a3 B．3a2b﹣a2b=2 C．（﹣2a3）2=4a6 D．（a+b）2=a2+b2 考点：同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式． 分析：根据同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方及完全平方公式，结合各选项进行判断即可． 解答：解：A、a6÷a2=a4，原式计算错误，故本选线错误； B、3a2b﹣a2b=2a2b，原式计算错误，故本选线错误； C、（﹣2a3）2=4a6，计算正确，故本选线正确； D、（a+b）2=a2+2ab+b2，计算错误，故本选线错误； 故选 C． 点评：本题考查了同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方运算，属于基础题，掌握各部分的运 算法则是关键． 5．（3 分）（2013•咸宁）如图，过正五边形 ABCDE 的顶点 A 作直线 l∥BE，则∠1 的度数为 （ ） A．30° B．36° C．38° D．45° 考点：平行线的性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角． 分析：首先根据多边形内角和计算公式计算出每一个内角的度数，再根据等腰三角形的性质计算 出∠AEB，然后根据平行线的性质可得答案． 解答：解：∵ABCDE 是正五边形， ∴∠BAE=（5﹣2）×180°÷5=108°， ∴∠AEB=（180°﹣108°）÷2=36°， ∵l∥BE， ∴∠1=36°， 故选：B． 点评：此题主要考查了正多边形的内角和定理，以及三角形内角和定理，平行线的性质，关键是 掌握多边形内角和定理：（n﹣2）．180° （n≥3）且 n 为整数）． 6．（3 分）（2013•咸宁）关于 x 的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0 有实数根，则整数 a 的最大 值是（ ） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 考点：根的判别式． 分析：根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于 0，且二次项系数不为 0，即可求出整 数 a 的最大值． 解答：解：根据题意得：△=4﹣12（a﹣1）≥0，且 a﹣1≠0， 解得：a≤，a≠1， 则整数 a 的最大值为 0． 故选 C． 点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键． 7．（3 分）（2013•咸宁）如图，正方形 ABCD 是一块绿化带，其中阴影部分 EOFB，GHMN 都 是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为 （ ） A． B． 1 2 C． D． 考点：相似三角形的应用；正方形的性质；几何概率． 分析：求得阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率； 解答：解：设正方形的 ABCD 的边长为 a， 则 BF=BC=，AN=NM=MC=a， ∴阴影部分的面积为（）2+（a）2= a2， ∴小鸟在花圃上的概率为 = 故选 C． 点评：本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴 影正方形的边长，最后表示出面积． 8．（3 分）（2013•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，再分别以点 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在第二 象限交于点 P．若点 P 的坐标为（2a，b+1），则 a 与 b 的数量关系为（ ） A．a=b B．2a+b=﹣1 C．2a﹣b=1 D．2a+b=1 考点：作图—基本作图；坐标与图形性质；角平分线的性质． 分析：根据作图过程可得 P 在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角 的两边的距离相等可得|2a|=|b+1|，再根据 P 点所在象限可得横纵坐标的和为 0，进而得到 a 与 b 的数量关系． 解答：解：根据作图方法可得点 P 在第二象限角平分线上， 则 P 点横纵坐标的和为 0， 故 2a+b+1=0， 整理得：2a+b=﹣1， 故选：B． 点评：此题主要考查了每个象限内点的坐标特点，以及角平分线的性质，关键是掌握各象限角平 分线上的点的坐标特点|横坐标|=|纵坐标|． 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 9．（3 分）（2013•咸宁）﹣3 的倒数为 ﹣ 1 3 ． 考点：倒数． 分析：根据倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数． 解答： 解：∵（﹣3）×（﹣ 1 3 ）=1，∴﹣3 的倒数是﹣ 1 3 ． 故答案为﹣ 1 3 ． 点评：本题主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是： 倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0 没有倒数． 倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数． 10．（3 分）（2013•咸宁）化简 + 的结果为 x ． 考点：分式的加减法． 分析：先把两分数化为同分母的分数，再把分母不变，分子相加减即可． 解答： 解：原式= ﹣ = =x． 故答案为：x． 点评：本题考查的是分式的加减法，即把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分， 经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 11．（3 分）（2013•咸宁）如图是正方体的一种平面展开图，它的每个面上都有一个汉字，那么 在原正方体的表面上，与汉字“香”相对的面上的汉字是 泉 ． 考点：专题：正方体相对两个面上的文字． 分析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 解答：解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “力”与“城”是相对面， “香”与“泉”是相对面， “魅”与“都”是相对面． 故答案为泉． 点评：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分 析及解答问题． 12．（3 分）（2013•咸宁）已知 是二元一次方程组 的解，则 m+3n 的立方根为 2 ． 考点：二元一次方程组的解；立方根． 分析： 将 代入方程组 ，可得关于 m、n 的二元一次方程组，解出 m、n 的值， 代入代数式即可得出 m+3n 的值，再根据立方根的定义即可求解． 解答： 解：把 代入方程组 ， 得： ，解得 ， 则 m+3n= +3×=8， 所以 = =2． 故答案为 2． 点评：本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组及立方根的定义等知识，属于基础题， 注意“消元法”的运用． 13．（3 分）（2013•咸宁）在数轴上，点 A（表示整数 a）在原点的左侧，点 B（表示整数 b）在 原点的右侧．若|a﹣b|=2013，且 AO=2BO，则 a+b 的值为 ﹣671 ． 考点：数轴；绝对值；两点间的距离． 分析：根据已知条件可以得到 a＜0＜b．然后通过取绝对值，根据两点间的距离定义知 b﹣ a=2013，a=﹣2b，则易求 b=671．所以 a+b=﹣2b+b=﹣b=﹣671． 解答：解：如图，a＜0＜b． ∵|a﹣b|=2013，且 AO=2BO， ∴b﹣a=2013，① a=﹣2b，② 由①②，解得 b=671， ∴a+b=﹣2b+b=﹣b=﹣671． 故答案是：﹣671． 点评：本题考查了数轴、绝对值以及两点间的距离．根据已知条件得到 a＜0＜b 是解题的关键． 14．（3 分）（2013•咸宁）跳远运动员李刚对训练效果进行测试，6 次跳远的成绩如下：7.6，7.8， 7.7，7.8，8.0，7.9．（单位：m）这六次成绩的平均数为 7.8，方差为 ．如果李刚再跳两次，成 绩分别为 7.7，7.9．则李刚这 8 次跳远成绩的方差 变大 （填“变大”、“不变”或“变小”）． 考点：方差． 分析：根据平均数的定义先求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出这组数据的方差，然后 进行比较即可求出答案． 解答：解：∵李刚再跳两次，成绩分别为 7.7，7.9， ∴这组数据的平均数是 =7.8， ∴这 8 次跳远成绩的方差是： S2= [（7.6﹣7.8）2+（7.8﹣7.8）2+2×（7.7﹣7.8）2+（7.8﹣7.8）2+（8.0﹣7.8）2+2×（7.9 ﹣7.8）2 ] = ， ， ∴方差变大； 故答案为：变大． 点评：本题考查方差的定义，一般地设 n 个数据，x1，x2，…xn 的平均数为，则方差 S2= [（x1﹣） 2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2 ] ，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反 之也成立． 15．（3 分）（2013•咸宁）如图，在 Rt△AOB 中，OA=OB=3 ，⊙O 的半径为 1，点 P 是 AB 边上的动点，过点 P 作⊙O 的一条切线 PQ（点 Q 为切点），则切线 PQ 的最小值为 2 ． 考点：切线的性质；等腰直角三角形． 分析：首先连接 OP、OQ，根据勾股定理知 PQ2=OP2﹣OQ2，可得当 OP⊥AB 时，线段 OP 最短， 即线段 PQ 最短，然后由勾股定理即可求得答案． 解答：解：连接 OP、OQ． ∵PQ 是⊙O 的切线， ∴OQ⊥PQ； 根据勾股定理知 PQ2=OP2﹣OQ2， ∴当 PO⊥AB 时，线段 PQ 最短， ∵在 Rt△AOB 中，OA=OB=3 ， ∴AB= OA=6， ∴OP= =3， ∴PQ= = =2 ． 故答案为：2 ． 点评：本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握 辅助线的作法，注意得到当 PO⊥AB 时，线段 PQ 最短是关键． 16．（3 分）（2013•咸宁）“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌 龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x 表示乌龟从起点出发所行的 时间，y1 表示乌龟所行的路程，y2 表示兔子所行的路程）．有下列说法： ①“龟兔再次赛跑”的路程为 1000 米； ②兔子和乌龟同时从起点出发； ③乌龟在途中休息了 10 分钟； ④兔子在途中 750 米处追上乌龟． 其中正确的说法是 ①③④ ．（把你认为正确说法的序号都填上） 考点：函数的图象． 分析：结合函数图象及选项说法进行判断即可． 解答：解：根据图象可知： 龟兔再次赛跑的路程为 1000 米，故①正确； 兔子在乌龟跑了 40 分钟之后开始跑，故②错误； 乌龟在 30﹣﹣40 分钟时的路程为 0，故这 10 分钟乌龟没有跑在休息，故③正确； y1=20x﹣200（40≤x≤60），y2=100x﹣4000（40≤x≤50），当 y1=y2 时，兔子追上乌龟， 此时 20x﹣200=100x﹣4000， 解得：x=47.5， y1=y2=750 米，即兔子在途中 750 米处追上乌龟，故④正确． 综上可得①③④正确． 故答案为：①③④． 点评：本题考查了函数的图象，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述 的过程，有一定难度． 三、解答题（共 8 小题，满分 72 分） 17．（10 分）（2013•咸宁）（1）计算： +|2﹣ |﹣（ 1 2 ）﹣1 （2）解不等式组： ． 考点：解一元一次不等式组；实数的运算；负整数指数幂． 分析：（1）此题涉及到二次根式的化简、绝对值、负整数指数幂，根据各知识点计算后，再计 算有理数的加减即可； （2）分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可． 解答：解：（1）原式=2 +2﹣ ﹣2= ． （2）解不等式 x+6≤3x+4，得；x≥1． 解不等式 ＞x﹣1，得：x＜4． 原不等式组的解集为：1≤x＜4． 点评：此题主要考查了二次根式的化简、绝对值、负整数指数幂，以及解一元一次不等式组，关 键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 18．（7 分）（2013•咸宁）在咸宁创建”国家卫生城市“的活动中，市园林公司加大了对市区主干 道两旁植“景观树”的力度，平均每天比原计划多植 5 棵，现在植 60 棵所需的时间与原计划植 45 棵所需的时间相同，问现在平均每天植多少棵树？ 考点：分式方程的应用． 分析：设现在平均每天植树 x 棵，则原计划平均每天植树（x﹣5）棵．根据现在植 60 棵所需的 时间与原计划植 45 棵所需的时间相同建立方程求出其解即可． 解答：解：设现在平均每天植树 x 棵，则原计划平均每天植树（x﹣5）棵．依题意得： ， 解得：x=20， 经检验，x=20 是方程的解，且符合题意． 答：现在平均每天植树 20 棵． 点评：本题是一道工程问题的运用题，考查了工作总量÷工作效率=工作时间的运用，列分式方程 解实际问题的运用，解答时根据植 60 棵所需的时间与原计划植 45 棵所需的时间相同建立 方程是关键． 19．（8 分）（2013•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=2x+b（b＜0）与坐标轴交于 A， B 两点，与双曲线 y=（x＞0）交于 D 点，过点 D 作 DC⊥x 轴，垂足为 G，连接 OD．已知 △AOB≌△ACD． （1）如果 b=﹣2，求 k 的值； （2）试探究 k 与 b 的数量关系，并写出直线 OD 的解析式． 考点：反比例函数综合题． 分析：（1）首先求出直线 y=2x﹣2 与坐标轴交点的坐标，然后由△AOB≌△ACD 得到 CD=DB， AO=AC，即可求出 D 坐标，由点 D 在双曲线 y=（ x＞0）的图象上求出 k 的值； （2）首先直线 y=2x+b 与坐标轴交点的坐标为 A（﹣，0），B（0，b），再根据△AOB≌△ACD 得到 CD=DB，AO=AC，即可求出 D 坐标，把 D 点坐标代入反比例函数解析式求出 k 和 b 之间的关系，进而也可以求出直线 OD 的解析式． 解答：解：（1）当 b=﹣2 时， 直线 y=2x﹣2 与坐标轴交点的坐标为 A（1，0），B（0，﹣2）． ∵△AOB≌△ACD， ∴CD=DB，AO=AC， ∴点 D 的坐标为（2，2）． ∵点 D 在双曲线 y=（ x＞0）的图象上， ∴k=2×2=4． （2）直线 y=2x+b 与坐标轴交点的坐标为 A（﹣，0），B（0，b）． ∵△AOB≌△ACD， ∴CD=OB，AO=AC， ∴点 D 的坐标为（﹣b，﹣b）． ∵点 D 在双曲线 y=（ x＞0）的图象上， ∴k=（﹣b）•（﹣b）=b2． 即 k 与 b 的数量关系为：k=b2． 直线 OD 的解析式为：y=x． 点评：本题主要考查反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性 质以及反比例函数图象的特征，此题难度不大，是一道不错的中考试题． 20．（8 分）（2013•咸宁）如图，△ABC 内接于⊙O，OC 和 AB 相交于点 E，点 D 在 OC 的延长 线上，且∠B=∠D=∠BAC=30°． （1）试判断直线 AD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）AB=6 ，求⊙O 的半径． 考点：切线的判定；解直角三角形． 分析：（1）连接 OA，求出∠AOC=2∠B=60°，根据三角形内角和定理求出∠OAD，根据切线判 定推出即可； （2）求出∠AEC=90°，根据垂径定理求出 AE，根据锐角三角函数的定义即可求出 AC， 根据等边三角形的性质推出即可． 解答：解：（1）直线 AD 与⊙O 相切．理由如下： 如图，连接 OA． ∵∠B=30°， ∴∠AOC=2∠B=60°， ∴∠OAD=180°﹣∠AOD﹣∠D=90°， 即 OA⊥AD， ∵OA 为半径， ∴AD 是⊙O 的切线． （2）∵OA=OC，∠AOC=60°， ∴△ACO 是等边三角形， ∴∠ACO=60°，AC=OA， ∴∠AEC=180°﹣∠EAC﹣∠ACE=90°， ∴OC⊥AB， 又∵OC 是⊙O 的半径， ∴AE=AB= 6 =3 ， 在 Rt△ACE 中，sin∠ACE= =sin 60°， ∴AC=6， ∴⊙O 的半径为 6． 点评：本题考查了切线的判定，含 30 度角的直角三角形，锐角三角函数的定义，等边三角形的 性质和判定的应用，主要考查了学生综合运用性质进行推理的能力． 21．（8 分）（2013•咸宁）在对全市初中生进行的体质健康测试中，青少年体质研究中心随机抽 取的 10 名学生的坐位体前屈的成绩（单位：厘米）如下： 11.2，10.5，11.4，10.2，11.4，11.4，11.2，9.5，12.0，10.2 （1）通过计算，样本数据（10 名学生的成绩）的平均数是 10.9，中位数是 11.2 ，众数是 11.4 ； （2）一个学生的成绩是 11.3 厘米，你认为他的成绩如何？说明理由； （3）研究中心确定了一个标准成绩，等于或大于这个成绩的学生该项素质被评定为“优秀”等级， 如果全市有一半左右的学生能够达到“优秀”等级，你认为标准成绩定为多少？说明理由． 考点：用样本估计总体；加权平均数；中位数；众数． 分析：（1）利用中位数、众数的定义进行解答即可； （2）将其成绩与中位数比较即可得到答案； （3）用中位数作为一个标准即可衡量是否有一半学生达到优秀等级． 解答：解：（1）中位数是 11.2，众数是 11.4． （2）方法 1：根据（1）中得到的样本数据的结论，可以估计，在这次坐位体前屈的成绩 测试中，全市大约有一半学生的成绩大于 11.2 厘米，有一半学生的成绩小于 11.2 厘米， 这位学生的成绩是 11.3 厘米，大于中位数 11.2 厘米，可以推测他的成绩比一半以上学生 的成绩好．（5 分） 方法 2：根据（1）中得到的样本数据的结论，可以估计，在这次坐位体前屈的成绩测试 中，全市学生的平均成绩是 10.9 厘米，这位学生的成绩是 11.3 厘米，大于平均成绩 10.9 厘米，可以推测他的成绩比全市学生的平均成绩好．（5 分） （3）如果全市有一半左右的学生评定为“优秀”等级，标准成绩应定为 11.2 厘米（中位数）． 因为从样本情况看，成绩在 11.2 厘米以上（含 11.2 厘米）的学生占总人数的一半左右．可 以估计，如果标准成绩定为 11.2 厘米，全市将有一半左右的学生能够评定为“优秀”等级．（8 分） 点评：本题考查了加权平均数、中位数及众数的定义，属于统计中的基本题型，需重点掌握． 22．（9 分）（2013•咸宁）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调， 本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李 明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件 10 元， 出厂价为每件 12 元，每月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系近似满足一次函数：y= ﹣10x+500． （1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为 20 元，那么政府这个月为他承担的总差价为多 少元？ （2）设李明获得的利润为 w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于 25 元．如果李明想要每月获得的利润不低 于 300 元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？ 考点：二次函数的应用． 分析：（1）把 x=20 代入 y=﹣10x+500 求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价 之间的差价； （2）由利润=销售价﹣成本价，得 w=（x﹣10）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式， 根据二次函数的性质求出最大利润； （3）令﹣10x2+600x﹣5000=3000，求出 x 的值，结合图象求出利润的范围，然后设设政 府每个月为他承担的总差价为 p 元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值． 解答：解：（1）当 x=20 时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300， 300×（12﹣10）=300×2=600， 即政府这个月为他承担的总差价为 600 元． （2）依题意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500） =﹣10x2+600x﹣5000 =﹣10（x﹣30）2+4000 ∵a=﹣10＜0，∴当 x=30 时，w 有最大值 4000． 即当销售单价定为 30 元时，每月可获得最大利润 4000． （3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000， 解得：x1=20，x2=40． ∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下， ∴结合图象可知：当 20≤x≤40 时，w≥3000． 又∵x≤25， ∴当 20≤x≤25 时，w≥3000． 设政府每个月为他承担的总差价为 p 元， ∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500） =﹣20x+1000． ∵k=﹣20＜0． ∴p 随 x 的增大而减小， ∴当 x=25 时，p 有最小值 500． 即销售单价定为 25 元时，政府每个月为他承担的总差价最少为 500 元． 点评：本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及 二次函数最大值的求解，此题难度不大． 23．（10 分）（2013•咸宁）阅读理解： 如图 1，在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E（点 E 不与点 A、点 B 重合），分别连接 ED， EC，可以把四边形 ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把 E 叫做四边 形 ABCD 的边 AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的强相似点．解决问题： （1）如图 1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点，并 说明理由； （2）如图 2，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=2，且 A，B，C，D 四点均在正方形网格（网格中 每个小正方形的边长为 1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图 2 中画出矩形 ABCD 的 边 AB 上的一个强相似点 E； 拓展探究： （3）如图 3，将矩形 ABCD 沿 CM 折叠，使点 D 落在 AB 边上的点 E 处．若点 E 恰好是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点，试探究 AB 和 BC 的数量关系． 考点：相似形综合题． 分析：（1）要证明点 E 是四边形 ABCD 的 AB 边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行， 很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解． （2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可． （3）因为点 E 是梯形 ABCD 的 AB 边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根 据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出 AE 和 BE 的数量关系，从而可求出解． 解答：解：（1）点 E 是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点． 理由：∵∠A=55°， ∴∠ADE+∠DEA=125°． ∵∠DEC=55°， ∴∠BEC+∠DEA=125°． ∴∠ADE=∠BEC．（2 分） ∵∠A=∠B， ∴△ADE∽△BEC． ∴点 E 是四边形 ABCD 的 AB 边上的相似点． （2）作图如下： （3）∵点 E 是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点， ∴△AEM∽△BCE∽△ECM， ∴∠BCE=∠ECM=∠AEM． 由折叠可知：△ECM≌△DCM， ∴∠ECM=∠DCM，CE=CD， ∴∠BCE=∠BCD=30°， ∴BE=CE=AB． 在 Rt△BCE 中，tan∠BCE= =tan30°， ∴ ， ∴ ． 点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，梯形的性质以及理解相似点和强相似 点的概念等，从而可得到结论． 24．（12 分）（2013•咸宁）如图，已知直线 y=x+1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将△AOB 绕点 O 顺时针旋转 90°后得到△COD． （1）点 C 的坐标是 （0，3） 线段 AD 的长等于 4 ； （2）点 M 在 CD 上，且 CM=OM，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 G，M，求抛物线的解析式； （3）如果点 E 在 y 轴上，且位于点 C 的下方，点 F 在直线 AC 上，那么在（2）中的抛物线上 是否存在点 P，使得以 C，E，F，P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长 l； 若不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）首先求出图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B 的坐标，进而得出 C 点坐标以及线 段 AD 的长； （2）首先得出点 M 是 CD 的中点，即可得出 M 点坐标，进而利用待定系数法求二次函 数解析式； （3）分别根据当点 F 在点 C 的左边时以及当点 F 在点 C 的右边时，分析四边形 CFPE 为 菱形得出即可． 解答：（1）点 C 的坐标是（0,3），线段 AD 的长等于 4；·········································3 分 （说明：前一个空为 1 分，后一个空为 2 分） （2）∵ , ∴ . ∵ , ∴ , ∴ , ∴点 是 的中点，····························································4 分 ∴点 的坐标为 .·························································· 5 分 （说明：由 CM＝OM 得到点 M 在 OC 在垂直平分线上，所以点 M 的纵坐标为 ， 再求出直线 CD 的解析式，进而求出点 M 的坐标也可.） ∵抛物线 经过点 C，M， ∴ ，解得： .······································· 6 分 ∴抛物线 的解析式为： .·················· 7 分 （3）抛物线上存在点 P，使得以 C，E，F，P 为顶点的四边形是菱形. · 8 分 情形 1：如图 1，当点 在点 的左边时，四边形 为菱形. ∴ , 由题意可知， ∴ , ∴ , ∴菱形 为正方形. O y xA C E PF 图 1 H 过点 作 ,垂足为 , 则 Rt△ 为等腰直角三角形. ∴ .··························································9 分 设点 为（ ， ），则 , ， ∵ , ∴3-( )= ， 解得： ∴ ， ∴菱形 的周长为： .·································· 10 分 情形 2：如图 2，当点 在点 的右边时，四边形 CFPE 为菱形. ∴ ， ∥ . ∵直线 过点 （-3,0），点 （0,3）， ∴直线 的解析式为： . 过点 作 ，垂足为 , 则 Rt △ CMF 为 等 腰 直 角 三 角 形, . 延长 交 x 轴于点 , 则 x 轴, ∴ .··· 11 分 设点 为（ ， ），则点 为（ ， ）， ∴ ， ， ∴ ，解得： ， ∴ ， ∴菱形 的周长为：（ ） . 综上所述，这样的菱形存在，它的周长为 或 . ··········· 12 分 点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及菱形的判定与性质等知识，根据已知进行分类讨论 得出是解题关键． O y xA C E P F 图 2 M N