2013年衢州市中考数学试卷及答案

浙江省 2013 年初中毕业生学业考试（衢州卷） 数学试题卷 考生须知： 1．全卷共有三大题，24 小题，共 6 页．满分为 120 分，考试时间为 120 分钟． 2．答题前，请用黑色字迹的钢笔或签字笔将姓名、准考证号分别填写在“答题纸”的相应 位置上，不要漏写． 3．全卷分为卷 I（选择题）和卷 II（非选择题）两部分，全部在“答题纸”上作答，做在试 题卷上无效．卷 I 的答案必须用 2B 铅笔填涂；卷 II 的答案必须用黑色字迹的钢笔或签 字笔写在“答题纸”相应位置上.本次考试不允许使用计算器．画图先用 2B 铅笔，确定 无误后用钢笔或签字笔描黑. 4．参考公式：二次函数 2y ax bx c   （ 0a  ）图象的顶点坐标是（ 2 b a  , a bac 4 4 2 ）； 一 组 数 据 1 2 3 nx x x x， ， ， ， 的 方 差 ： 2 2 2 2 2 1 2 3 1= [( ) ( ) ( ) ( ) ]nS x x x x x x x xn         （其中 x 是这组数据的平均数）. 卷 Ⅰ 说明：本卷共有 1 大题，10 小题，共 30 分.请用 2B 铅笔在“答题纸”上将你认为正确 的选项对应的小方框涂黑、涂满. 一、选择题(本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.请选出各题中一个符合题意的选项， 不选、多选、错选均不给分.) 1．比 1 小 2 的数是（ ▲ ） A．3 B．1 C． 1 D． 2 2. 下列计算正确的是（ ▲ ） A．3 2 5a b ab  B． 4 4a a a  C． 6 2 3a a a  D． 3 2 6 2( )a b a b  3. 衢州新闻网 2 月 16 日讯，2013 年春节“黄金周”全市接待游客总数为 833100 人次.将数 833100 用科学记数法表示应为（ ▲ ） A． 60.8331 10 B． 583.31 10 C． 58.331 10 D． 48.331 10 4. 下面简单几何体的左视图是（ ▲ ） A． B． C． D．正面 30° 第 6 题 第 8 题 A B 5. 若函数 x my 2 的图象在其所在的每一象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大， 则 m 的取值范围是（ ▲ ） A． 2m   B． 0m  C． 2m D． 0m  6. 如图，将一个有 45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3cm 的矩形纸带边沿上，另一 个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的 直线成 30°角，则三角板最大边的长为（ ▲ ） A．3cm B． 6cm C． 3 2 cm D． 6 2 cm 7.一次数学测试，某小组五名同学的成绩如下表所示（有两个数据被遮盖）． 组员 日期 甲 乙 丙 丁 戊 方差 平均成绩 得分 81 79 ■ 80 82 ■ 80 那么被遮盖的两个数据依次是（ ▲ ） A．80，2 B．80， 2 C．78，2 D． 78， 2 8. 如图，小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在 B 处仰望树顶，测得仰角为 30， 再往大树的方向前进 4 m，测得仰角为 60，已知小敏同学身高（AB）为 1.6m， 则这棵树的高度为（ ▲ ）（结果精确到 0.1m， 3 ≈1.73）. A． 3.5m B． 3.6 m C． 4.3m D． 5.1m 9. 抛物线 2y x bx c   的图象先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得图象的 函数解析式为 21 4y x  （ ） ，则b 、 c 的值为（ ▲ ） A． 2 6b c  ， B． 2 0b c ， C． 6, 8b c   D． 6 2b c  ， 10.如图，正方形 ABCD 的边长为 4，P 为正方形边上一动点，沿 A D C B A 的路径匀速移动，设 P 点经过的路径长为 x，△APD 的面积是 y，则下列图象能大致反映 y 与 x 的函数关系的是（ ▲ ） P D A B C A. B. C. D. 第 10 题 A B D C A1 C1 B1 D1 A2 B2 C2 D2 A3 C3 B3 D3 … 第 16 题 OA C A B 第 14 题 6cm 10cm 15cm 3cm12cm 第 13 题 第 18 题 卷 Ⅱ 说明：本卷共有 2 大题，14 小题，共 90 分.请用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在“答 题纸”相应位置上. 二、填空题（本大题共有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．凡需填空的位置均有“ ▲ ” 标记.） 11.不等式组 2 0 3 1 x x x      的解集是 ▲ . 12. 化简： 2 2 4 4 4 2 x x x x x      ▲ . 13. 小芳同学有两根长度为 4cm、10cm 的木棒，她想钉一个三角形相框，桌上有五根木棒 供她选择（如图所示），从中任选一根，能钉成三角形相框的概率是 ▲ . 14. 如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线 所在直线重合，重叠部分的量角器弧（AB⌒ ）对应的圆心角（∠AOB）为 120°，OC 的 长为 2cm ，则三角板和量角器重叠部分的面积为 ▲ . 15. 某果园有 100 棵橘子树，平均每一棵树结 600 个橘子.根据经验估计，每多种一颗树，平 均每棵树就会少结 5 个橘子.设果园增种．．x 棵橘子树，果园橘子总个数为 y 个，则果园 里增种 ▲ 棵橘子树，橘子总个数最多. 16. 如图，在菱形 ABCD 中，边长为 10，∠A=60°.顺次连结菱形 ABCD 各边中点，可得四边形 A1B1C1D1；顺次连结四边形 A1B1C1D1 各边中点，可得四边形 A2B2C2D2；顺次连结四边 形 A2B2C2D2 各边中点，可得四边形 A3B3C3D3；按此规律继 续下去…….则四边形 A2B2C2D2 的周长是 ▲ ；四边 形 A2013B2013C2013D2013 的周长是 ▲ . 三、简答题（本大题共有 8 小题，共 66 分．务必写出解答过程．） 17．（本题 6 分） 34 2 2 ( 7 5)      18．（本题 6 分） 如图，在长和宽分别是 a 、b 的矩形纸片的四个角都剪去一个 边长为 x 的正方形． 亿元 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 衢州市 2005-2012 年固定资产投资统计图 图 1 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 衢州市 2005-2012 年固定资产投资增长速度统计图 图 2第 21 题 % ？ 第 20 题 第 19 题 A B 1 4y x   x ky 2 2  (1) 用含 a 、b 、 x 的代数式表示纸片剩余部分的面积； (2) 当 a =6，b =4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长． 19．（本题 6 分） 如图，函数 1 4y x   的图象与函数 x ky 2 2  （ 0x ）的图象 交于 A（ a ，1）、B（1，b ）两点. （1）求函数 2y 的表达式； （2）观察图象，比较当 0x 时， 1y 与 2y 的大小. 20．（本题 8 分） 如图，已知 AB 是⊙O 的直径，BC⊥AB，连结 OC，弦 AD∥OC，直线 CD 交 BA 的 延长线于点 E． （1）求证：直线 CD 是⊙O 的切线； （2）若 DE=2BC，求 AD :OC 的值. 21. （本题 8 分） 据《2012 年衢州市国民经济和社会发展统计公报》（2013 年 2 月 5 日发布），衢州市 固定资产投资的相关数据统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： （1）求 2012 年的固定资产投资增长速度（年增长速度即年增长率）； （2）求 2005-2012 年固定资产投资增长速度这组数据的中位数； （3）求 2006 年的固定资产投资金额，并补全条形图； （4）如果按照 2012 年的增长速度，请预测 2013 年衢州市的固定资产投资金额可达到多少 亿元（精确到 1 亿元）？ 第 23 题 （人） a 30 520 640 （分钟） 图 1 图 3图 2 第 22 题 22．（本题 10 分） 提出问题 （1）如图 1，在等边△ABC 中，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点 B、C），连结 AM， 以 AM 为边作等边△AMN，连结 CN. 求证：∠ABC=∠ACN. 类比探究 （2）如图 2，在等边△ABC 中，点 M 是 BC 延长线上的任意一点（不含端点 C），其它条 件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN 还成立吗？请说明理由. 拓展延伸 （3）如图 3，在等腰△ABC 中， BA=BC，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点 B、C）， 连结 AM，以 AM 为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN =∠ABC. 连结 CN. 试探究∠ABC 与 ∠ACN 的数量关系，并说明理由. 23．（本题 10 分） “五·一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票.经 调查发现，在车站开始检票时，有 640 人排队检票.检票开始后，仍有旅客继续前来排队检 票进站.设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的.检票时，每分钟候车室新 增排队检票进站 16 人，每分钟每个检票口检票 14 人．已知检票的前 a 分钟只开放了两个检 票口．某一天候车室排队等候检票的人数 y（人）与检票时间 x （分钟）的关系如图所示. （1）求 a 的值． （2）求检票到第 20 分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数． （3）若要在开始检票后 15 分钟内让所有排队的旅客都能检票进 站，以便后来到站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时 备用图 开放几个检票口？ 24．（本题 12 分） 在平面直角坐标系 x O y 中，过原点 O 及点 A(0，2) 、C（6，0）作矩形 OABC，∠AOC 的 平分线交 AB 于点 D.点 P 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿射线 OD 方向移动； 同时点 Q 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴正方向移动.设移动时间为 t 秒. （1）当点 P 移动到点 D 时，求出此时 t 的值； （2）当 t 为何值时，△PQB 为直角三角形； （3）已知过 O、P、Q 三点的抛物线解析式为 21( )y x t tt     （ 0t  ）.问是否存在某 一时刻 t，将△PQB 绕某点旋转 180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在， 求出 t 的值；若不存在，请说明理由. 第 24 题 第 20 题 浙江省 2013 年初中毕业生学业考试（衢州卷） 数学参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C A A D C D B B 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分.） 11． x ≥2；12． 2 2x  ；13． 2 5 ；14．16 +2 33  ；15．10 ；16．20（1 分）； 1005 5+5 3 2 （3 分）. 三、（本大题共 8 小题，第 17、18、19 小题各 6 分，第 20、21 小题各 8 分，第 22、23 小 题各 10 分，第 24 小题 12 分，共 66 分.） 17．解：（1） 34 2 2 ( 7 5)      =2-8÷2×（-2）…………………4 分 ( 各个部分化简正确，各 1 分，共 4 分) =2+8……………………………………………………………5 分 =10…………………………………………………………… 6 分 18．解：（1）面积= 24ab x ………………………………………………………3 分 （2）根据题意可得： 2 24 =4ab x x （或 2 14 = 122x ab  ），……………4 分 整理得： 28 =24x ，解得 3x   …………………………………… 5 分 ∵ 0x  ，∴正方形边长为 3 . …………………………6 分 19．解：（1）把点 A 坐标代入 1 4y x   ，得 3a  ………………………1 分 ∴ 2 3k  ∴ 2 3y x  ………………………………………3 分 （2）∴由图象可知， 当 0 1x  或 3x  时， 1 2y y ………………………4 分 当 =1x 或 =3x 时， 1 2=y y …………………………5 分 当1 3x  时， 1 2y y …………………………6 分 20.（1）证明：连结 DO．∵AD//OC， 图 1 图 3图 2 第 22 题 ∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．………………1 分 又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠COD=∠COB．…2 分 又∵CO=CO，OD=OB，∴△COD≌△COB………3 分 ∴∠CDO=∠CBO=90°．又∵点 D 在⊙O 上，∴CD 是⊙O 的切线．……4 分 （2）解：∵△COD≌△COB．∴CD=CB．…………………………5 分 ∵DE=2BC ∴ED=2CD． ………6 分 ∵ AD//OC，∴△EDA∽△ECO．…………………………7 分 ∴ 2 3 AD DE OC CE   ．…………………………8 分 21．解：（1）565 500 13%500   …………………………2 分（列式、计算各 1 分） （2） 13.16%+16.28% =14.72%2 ……4 分（列式、计算各 1 分，%未加扣 1 分） （3）设 2006 年的固定资产投资金额为 x 亿元，则有： 280 12%x x  （或 200 25% 200x    ），解得 250x  ……6 分（列式、计算各 1 分） 条形图（略）. ………………………… 7 分 （4）565 1+13% =638.45 638 （ ） （亿元）………………………… 8 分 答：2012 年的固定资产投资增长速度为 13%；2005-2012 年固定资产投资增长速度这 组数据的中位数是 14.72%；2006 年的投资额是 250 亿元；预测 2013 年可达 638 亿元. 22．（1）证明：∵等边△ABC，等边△AMN ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60° ∴∠BAM=∠CAN …………………………1 分 ∴△BAM≌△CAN（SAS） …………………………2 分 ∴∠ABC=∠ACN …………………………3 分 （2）解：结论∠ABC=∠ACN 仍成立 . ………………………4 分 理由如下：∵等边△ABC，等边△AMN ∴AB=AC, AM=AN， ∠BAC=∠MAN=60° ∴∠BAM=∠CAN ∴△BAM≌△CAN ………………………5 分 ∴∠ABC=∠ACN ………………………6 分 （3）解：∠ABC=∠ACN ………………………7 分 理由如下：∵BA=BC， MA=MN，顶角∠ABC =∠AMN ∴底角∠BAC=∠MAN ∴△ABC∽△AMN， …………………8 分 ∴ AB AC AM AN  又∠BAM=∠BAC-∠MAC，∠CAN =∠MAN-∠MAC ∴∠BAM=∠CAN ∴△BAM∽△CAN ……………9 分 ∴∠ABC=∠ACN ………………………10 分 23．（1）由图象知， 640 16 2 14 520a a    ，……………………2 分 所以 10a  ； ……3 分 （2）解法 1：设过（10，520）和（30，0）的直线解析式为 y kx b  ， 得 10 520 30 0 k b k b      ， ………………………4 分 解得 26 780 k b     ， ………………………5 分 因此 26 780y x   ，当 20x  时， 260y  ， 即检票到第 20 分钟时，候车室排队等候检票的旅客有 260 人. ……………………6 分 解法 2：由图象可知，从检票开始后第 10 分钟到第 30 分钟，候车室排队检票人数每分 钟减少 26 人， …………………5 分 所以检票到第 20 分钟时，候车室排队等候检票的旅客有 520-26×10=260 人. …………6 分 解法 3：设 10 分钟后开放 m 个检票口，由题意得，520+16×20-14m×20=0， ………4 分 解得 m =3，………………………5 分 所以检票到第 20 分钟时，候车室排队等候检票的旅客有 520+16×10-3×10×14=260 人. 6 分 （3）设需同时开放 n 个检票口，则由题意知 14 15 0 16 15n  ≥64 ， ……………………8 分 解得 44 21n≥ ， ∵ n 为整数，∴ 5n  ， ……………………9 分 答：至少需要同时开放 5 个检票口. ………10 分 （说明：若通过列方程解得 44 21n  ，并得到正确答案 5 的，得 3 分；若列出方程并解得 44 21n  ，但未能得到正确答案的，得 2 分；若只列出方程，得 1 分） 24. 解：（1）∵矩形 OABC， ∴∠AOC=∠OAB=90° ∵OD 平分∠AOC ∴∠AOD=∠DOQ=45°……………………………………1 分 ∴在 Rt△AOD 中，∠ADO=45° ∴AO=AD=2， OD= 2 2 ……2 分 ∴ 2 2 2 2 t   ……………………………3 分 （2）要使△PQB 为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°. 解法 1：如图 1，作 PG⊥OC 于点 G，在 Rt△POG 中， ∵∠POQ =45°，∴ ∠OPG =45° ∵OP= 2t ，∴OG=PG=t, ∴点 P(t，,t) 又∵Q（2t，0），B（6，2），根据勾股定理可得: 2 2 26- + 2-PB t t（ ） （ ） ， 2 2 26-2 +2BQ t（ ） ， 2 2 2 2= 2 - + 2PQ t t t t（ ） ………4 分 ①若∠PQB=90°，则有 2 2 2PQ BQ PB  , 即： 2 2 2 2 22 [(6 2 ) 2 ] (6 ) (2 )t t t t       ， 图 1 G 图 2 Q P 整理得： 24 8 0t t  ，解得 1 0t  （舍去）， 2 2t  ∴ 2t  ………6 分 ②若∠PBQ=90°，则有 2 2 2PB BQ PQ  , ∴ 2 2 2 2 2[(6 ) (2 ) ] [(6 2 ) 2 ]=2t t t t      ， 整理得 2 10 20 0t t   ，解得 5 5t   . ∴当 t=2 或 5+ 5t  或 5 5t   时，△PQB 为直角三角形. .… 8 分 解法 2：①如图 2，当∠PQB=90°时， 易知∠OPQ=90°，∴BQ∥OD ∴∠BQC=∠POQ=45° 可得 QC=BC=2 ∴OQ=4 ∴2t=4 ∴t=2 ……………5 分 ②如图 3，当∠PBQ=90°时，若点 Q 在 OC 上， 作 PN⊥x 轴于点 N，交 AB 于点 M， 则易证∠PBM=∠CBQ∴△PMB∽△QCB ∴ PM QC MB CB  ， ∴ CB PM QC MB   ， ∴     2 2 6 2 6t t t    ， 化 简 得 2 10 20 0t t   ， 解得 5 5t   ……… 6 分∴ 5 5t   ………………… 7 分 ③如图 4，当∠PBQ=90°时，若点 Q 在 OC 的延长线上， 作 PN⊥x 轴于点 N，交 AB 延长线于点 M， 则易证∠BPM=∠MBQ=∠BQC ∴△PMB∽△QCB ∴ PM QC MB CB  ，∴CB PM QC MB   ， ∴     2 2 2 6 6t t t    ，化简得 2 10 20 0t t   ， 解得 5 5t   ∴ 5+ 5t  ……………… 8 分 （3）存在这样的 t 值，理由如下：将△PQB 绕某点旋转 180°，三个对应顶点恰好都落在抛 物 线 上 ， 则 旋 转 中 心 为 PQ 中 点 ， 此 时 四 边 形 'PBQB 为 平 行 四 边 形. ………………9 分 ∵PO=PQ ，由 P（t,t），Q（2t，0），知旋转中心坐标可表示为（ 3 1,2 2t t ）………………10 分 ∵点 B 坐标为（6,2）， ∴点 'B 的坐标为（3t-6,t-2）， .………………11 分 代入 21( )y x t tt     ，得： 22 13 18 0t t   ，解得 1 2 9 , 22t t  ……12 分 图 4 M N （另解：第二种情况也可以直接由下面方法求解：当点 P 与点 D 重合时，PB=4，OQ=4， 又 PB ∥OQ，∴四边形 PBQO 为平行四边形，此时绕 PQ 中点旋转 180°，点 B 的对应点 恰好落在 O 处，点 'B 即点 O.由（1）知，此时 t=2. （说明：解得此 t 值，可得 2 分.）