2013年扬州市中考数学试题及答案

扬州市 2013 年初中毕业、升学统一考试数学试题 说明： 1．本试卷共 6 页，包含选择题（第 1 题一第 8 题，共 8 题）、非选择题（第 9 题一第 28 题， 共 20 题）两部分。本卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和 答题卡一并交回。 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上，同时务必在试 卷的装订线内将本人的姓名、准考证号、毕业学校填写好，在试卷第一面的右下角写好 座位号。 3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用 2B 铅笔作答、非选择题在指 定位置用 0.5 毫米的黑色笔作答。在试卷或草稿纸上答题无效。 4．如有作图需要，请用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。 一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题所给出的四个选项中， 恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） １．－2 的倒数是 A．－ 2 1 B． 2 1 C．－2 D．2 2．下列运算中，结果是 a 6 的是 A．a 2 ·a 3 B．a 12 ÷a 2 C．(a 3 ) 3 D．（一 a) 6 3．下列说法正确的是 A．“明天降雨的概率是 80％”表示明天有 80％的时间都在降雨 B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为 2 1 ”表示每抛两次就有一次正面朝上 C．“彩票中奖的概率为 1％”表示买 100 张彩票肯定会中奖 D．“抛一枚均匀的正方体般子，朝上的点数是 2 的概率 6 1 ”，表示随着抛掷次数的增加， “抛出朝上的点数是 2”这一事件发生的频率稳定在 6 1 附近 4．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 A．三棱柱 B．圆柱 C．正方体 D．三棱锥 5．下列图形中，由 AB∥CD 能得到∠1=∠2 的是 6．一个多边形的每个内角均为 108º，则这个多边形是 A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形 7．如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD=80º，AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F，垂足为 E， 连接 DF，则∠CDF 等于 A．50º B．60º C．70º D．80º 8 ． 方 程 x 2 ＋3x－1＝0 的根可视为函 数 y＝x＋3 的图象与函数 y＝ x 1 的图象交点的横坐标， 则方程 x 3 ＋2x－1＝0 的实根 x 0 所在的范围是 A．0＜x 0 ＜ 4 1 B． 4 1 ＜x 0 ＜ 3 1 C． 3 1 ＜x 0 ＜ 2 1 D． 2 1 ＜x 0 ＜1 二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．不需写出解答过程，请把答案 直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 9．据了解，截止 2013 年 5 月 8 日，扬泰机场开通一年，客流量累计达到 450000 人次．数 据 450000 用科学记数法可表示为 ▲ ． 10．因式分解：a 3 一 4ab 2 ＝ ▲ ． 11．在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强 p 与它的体积 V 成反比例．当 V=200 时， p=50，则当 p=25 时，V= ▲ ． 12．为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞 30 条鱼做上标记，然后放归鱼塘．经 过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞 200 条鱼，发现其中带标记的鱼 有 5 条，则鱼塘中估计有 ▲ 条鱼． 13．在△ABC 中，AB=AC=5，sin∠ABC＝0.8，则 BC＝ ▲ ． 14．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC,AB=AD= CD, BC =12，∠ABC= 60º，则梯形 ABCD 的周长为 ▲ ． 15．如图，在扇形 O AB 中，∠AOB＝110º，半径 OA＝18，将扇形 OAB 沿过点 B 的直线 折叠，点 O 恰好落在⌒AB上的点 D 处，折痕交 OA 于点 C，则 ⌒ AD的长为 ▲ ． 16．已知关子 x 的方程 12 3   x nx ＝2 的解是负数，则 n 的取值范围为 ▲ ． 17．矩形的两邻边长的差为 2，对角线长为 4，则矩形的面积为 ▲ ． 18．如图，已知⊙O 的直径 AB＝6，E、F 为 AB 的三等分点，从 M、N 为 ⌒ AB上两点，且∠ MEB＝∠NFB= 60º，则 EM＋FN＝ ▲ ． 三、解答题（本大题共有 10 小题，共 96 分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19.（本题满分 8 分） (1）计算：( 2 1 ) 2 一 2sin60º＋ 12 ； (2）先化简，再求值：(x＋l)(2x－1)一(x－3) 2 ，其中 x＝一 2. 20．（本题满分 8 分）已知关于 x、y 的方程组      81232 181125 ayx ayx 的解满足 x＞0, y＞0, 求实数 a 的取值范围． 21.（本题满分 8 分）端午节期间，扬州一某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立 了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成 4 个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标 有“10 元”、“20 元”、“30 元”和“40 元”的字样（如图）．规定：同一日内，顾客在本 商场每消费满 100 元，就可以转转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相 应数额的购物券．某顾客当天消费 240 元，转了两次转盘． (1）该顾客最少可得 ▲ 元购物券，最多可得 ▲ 元购物券； （2）请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于 50 元的概率． 22．（本题满分 8 分）为声援扬州“运河申遗”，某校举办了一次运河知识竞赛，满分 10 分， 学生得分均为整数，成绩达到 6 分以上（包括 6 分）为合格，达到 9 分以上（包括 9 分）为优秀．这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如图所示． (1）补充完成下面的成绩统计分析表： 组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 甲组 6.7 ▲ 3.41 90% 20% 乙组 ▲ 7.5 1.69 80% 10% (2）小明同学说：“这次竞赛我得了 7 分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上表可 知，小明是 ▲ 组的学生；（填“甲”或“乙”） 10 元 20 元30 元 40 元 (3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙 组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你给出两条支持乙组 同学观点的理由． 23.（本题满分 10 分）如图，在△ABC 中，∠ACB= 90º，AC＝BC，点 D 在边 AB 上，连 接 CD，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90ºCE 至“位置，连接 AE． (1) 求证：AB⊥AE；w w w . (2）若 BC 2 =AD·AB，求证：四边形 ADCE 为正方形． 24.（本题满分 10 分）某校九(1)、九(2)两班的班长交流了为四川雅安地震灾区捐款的情况： （Ⅰ）九（1)班班长说：“我们班捐款总额为 1200 元，我们班人数比你们班多 8 人．” （Ⅱ）九（2)班班长说：“我们班捐款总额也为 1200 元，我们班人均捐款比你们班人均捐 款多 20%．” 请根据两个班长的对话，求这两个班级每班的人均捐款数． 25．（本题满分 10 分）如图，△ABC 内接于⊙O，弦 AD⊥AB 交 BC 于点 E，过点 B 作⊙O 的切线交 DA 的延长线于点 F，且∠ABF＝∠ABC． (1）求证：AB＝AC； (2)若 AD＝4, cos∠ABF＝ 5 4 ，求 DE 的长． 26.（本题满分 10 分）如图， 抛 物 线 y ＝x 2 －2x－8 交 y 轴于点 A， 交 x 轴 正 半轴于点 B． (1)求直线 AB 对应的函 数关系式； (2)有一宽度为 1 的直尺 平 行 于 y 轴，在点 A、B 之间平行移动， 直 尺 两 长 边所在直线被直线 AB 和抛 物 线 截 得 两线段 MN、PQ．设 M 点的 横 坐 标 为 m，且 0＜m＜3．试比较线段 ＭＮ与 PQ A B C D E 的大小． 27.（本题满分 12 分）如图 1，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠B＝90º，AB＝2，CD＝1， BC＝m，P 为线段 BC 上的一动点，且和 B、C 不重合，连接 PA，过 P 作 PE⊥PA 交 CD 所在直线于 E．设 BP＝x，CE＝y． (1)求 y 与 x 的函数关系式； (2)若点 P 在线段 BC 上运动时，点 E 总在线段．．CD 上，求 m 的取值范围． (3)如图 2，若 m＝4，将△PEC 沿 PE 翻折至△PEG 位置，∠BAG= 90º，求 BP 长． 28.（本题满分 12 分）如果 10 b ＝n，那么称 b 为 n 的劳格数，记为 b＝d (n)，由定义可知： 10 b ＝n 与 b＝d (n)所表示的是 b、n 两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：d(10)＝ ▲ ，d(10 2 )＝ ▲ ； (2）劳格数有如下运算性质： 若 m、,n 为正数，则 d(mn) ＝d(m)＋d(n)，d(n)＝d(m）一 d(n)． 根据运算性质，填空： )( )( 3 ad ad ＝ ▲ (a 为正数）， 若 d(2) ＝0.3010，则 d(4) ＝ ▲ ，d(5）＝ ▲ ，d(0. 08) ＝ ▲ ； (3）下表中与数 x 对应的劳格数 d (x)有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数， 说明理由并改正． x 1.5 3 5 6 8 9 12 27 d(x) 3a－b＋c 2a－b a＋c 1＋a－b－c 3－3a－3c 4a－2b 3－b－2c 6a－3b 扬州市 2013 年初中毕业、升学统一考试数学试题 参考答案及评分建议 说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同， 参照本评分标准的精神酌情给分． 一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 A D D A B C B C 二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 9．4.5×10 5 10．a (a 十 2b) (a 一 2b) 11．400 12．1200 13．6 14．30 15．5π 16．n＜2 且 n≠ 2 3 17．6 18． 33 三、解答题（本大题共有 10 小题，共 96 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤） 19．解：(1)原式＝4 一 3 ＋2 3 ，……………………………………………… 3 分 ＝4＋ 3 ． …………………………………………………………4 分 （2）原式＝x 2 ＋7ｘ一 10 …………………………………………… 3 分 ∴当 x＝一 2 时，原式＝一 20． …………………………………4 分 20．解：解方程组得      ay ax 24 23 （每个解２分）…………………………………4 分 由题意得      0 24 023 a a …………………………………………5 分 解不等式组得一 3 2 ＜a＜2（解一个不等式 1 分）…………………………7 分 ∴a 的取值范围为一 3 2 ＜a＜2 …………………………………………8 分 21．解：(1) 20 ， 80 ；………………………………………………………… 2 分 (2) 解法一：用树状图分析如下： 解法二：用列表法分析如下： 10 20 30 40 10 20 30 40 50 20 30 40 50 60 第一次 第二次 10 开 始 4020 3010 4020 3010 4020 3010 4020 3010 4020 3010 20 30 40 50 30 40 50 60 40 50 60 70 50 60 70 80 第一次 第二次 结果 ＞ ＞ 30 40 50 60 70 40 50 60 70 80 ………………………………………………………………………………………6 分 ∴P(不低于 50 元）＝ 16 10 ＝ 8 5 ．………………………………………………… 8 分 22．（1） 7.1 ， 6 （每空 2 分）………………………………………………4 分 （2） 甲 ……………………………………………………………………6 分 （3）乙组的平均分高于甲组；乙组成绩的方差低于甲组，乙组成绩的稳定性好于甲组． （答案不唯一只要合理即可）……………………………………………………8 分 23. (1)证明：∵∠BCA＝∠DCE＝90º，∴∠BCD＝∠ACE ∵CB＝CA，CD＝CE，∴△BCD≌△ACE，∴∠CAE＝∠CBD ……3 分 ∵AC＝BC，∠ACB＝90º，∴∠ABC＝∠BAC=45º，∴∠CAE=45º ∴∠BAE＝90º，∴ AB⊥AE ……………………………………… 5 分 (2）证明：∵BC 2 ＝AD·AB，BC＝AC，∴ AC 2 ＝AD·AB，∴ AD AC ＝ AC AB ∴∠CAD＝∠BAC，∴△CAD≌△BAC， ∴∠ADC＝∠ACB=90º ………………………………………………8 分 ∴∠DCE＝∠DAE＝90º，∴四边形 ADCE 是矩形 ………………9 分 ∵CD ＝CE，∴四边形 ADCE 是正方形 …………………………10 分 24．解法一：设九（1)班有 x 人，则九（(2）班人数为（(x－8)人，由题意，得 x 1200 (1+20％）＝ 8 1200 x ………………………………………………4 分 解得 x＝48 ………………………………………………………………7 分 经检验，x=48 是原程的解． ………………………………………… 8 分 所以 x－8＝40． 48 1200 ＝25（元）， 40 1200 ＝30(元） ………………9 分 答：九（(1）班人均捐款为 25 元，九（2)班人均捐款为30 元．……10 分 解法二：设九（1)班人均捐款 y 元，则九（2）班人均捐款（1 十 20％)y 元， 由题意， y 1200 －8＝ y%)201( 1200  ……………………………………4 分 解得 y＝25 ……………………………………………………………… 7 分 经检验，y=25 是原程的解． ……………………………………………8 分 当 y＝25 时，（1＋20%)y＝30（元） ……………………………………9 分 答：九（1)班人均捐款为 25 元，九（2)班人均捐款为 30 元． …… 10 分 25． （1）证明：连接 BD，由 AD⊥AB 可知 BD 必过点 O ∴BF 相切于⊙O，∴∠ABD 十∠ABF＝90º ∵AD⊥AB，∴∠ABD＋∠ADB＝90º，∴∠ABF＝∠ADB …………3 分 ∵∠ABC＝∠ABF，∴∠ABC＝∠ADB 又∠ACB＝∠ADB，∴∠ABC＝＝∠ACB，∴AB＝AC ………………5 分 （2）在 Rt△ABD 中，∠BAD＝90º cos∠ADB＝ BD AD ，∴BD＝ ADB AD cos ＝ ABF AD cos ＝ 5 4 4 ＝5 ……6 分 ∴AB＝3 ……………………………………………………………………7 分 在 Rt△ABE 中，∠BAE=90º Cos∠ABE＝ BE AB ，∴BE＝ ABE AB cos ＝ 5 4 3 ＝ 4 15 ∴AE＝ 22 3)4 15(  ＝ 4 9 …………………………………………………9 分 ∴DE＝AD－AE＝4－ 4 9 ＝ 4 7 …………………………………………… 10 分 26．解：(1）点 A 坐标（(0，一 8)，点 B 坐标（4，0)………………………………2 分 设直线 AB 函数解析式为 y＝kx＋b，将 A、B 点坐标代人得 k =2，b＝一 8 所以直线 AB 的解析式为 y＝2x－8…………………………………………5 分 (2）由题意知 M 点坐标为（m，2m－8) ，N 点坐标为（m，m 2 －2m－8)， 且 0＜m＜3 所以 MN＝(2m－8)一（m 2 －2m－8) ＝－m 2 ＋4m ……………………６分 同理可得 PQ＝－（m＋1) 2 十 4(m＋1) ＝－m 2 十 2m＋3 ………………7 分 ①当 PQ＞MN 时，－m 2 十 2m＋3＞－m 2 ＋4m，解得 m＜ 2 3 ∴0＜m＜ 2 3 时，PQ＞MN ………………………………………………8 分 ②当 PQ＝MN 时，－m 2 十 2m＋3＝－m 2 ＋4m，解得 m＝ 2 3 ∴m＝ 2 3 时，PQ＝MN；…………………………………………………9 分 ③当 PQ＜MN 时，－m 2 十 2m＋3＜－m 2 ＋4m，解得 m＞ 2 3 ∴当 2 3 ＜m＜3 时 PQ＜MN．…………………………………………10 分 注：写 m 的取值范围时未考虑 0＜m＜3 条件的统一扣 1 分． 27．解：(1) ∵AB∥CD，∠B.=90º，∴∠B＝∠C＝90º，∴∠APB＋∠BAP＝90º ∵PE⊥PA，∴∠APE＝90º，∴∠APB＋∠CPE＝90º，∴∠BAP＝∠CPE 在△ABP 和△PCE 中，∠B＝∠C＝90º，∠BAP ＝∠CPE， ∴△ABP∽△PCE …………………………………………………………2 分 ∴ PC AB ＝ CE BP ，∵BC＝m，BP＝x，∴PC＝m 一 x ∴ xm  2 ＝ y x ，∴y＝ 2 1 x 2 ＋ 2 m x ……………………………………４分 ∴y 与 x 的函数关系式为 y＝ 2 1 x 2 ＋ 2 m x，x 的取值范围为。0＜x＜m． (2) ∵y＝ 2 1 x 2 ＋ 2 m x＝ 2 1 (x－ 2 m ) 2 ＋ 8 2m ∴当 x＝ 2 m 时，y 最大值 ＝ 8 2m ………………………………………………6 分 ∴点 E 总在县段 CD 上，∴ 8 2m ≤1．∴m≤2 2 ，∴0＜m＜2 2 ………8 分 注：写 m 的取值范围时未交待 m＞0 不扣分． (3）连接 CG，过 P 作 PH⊥AG 于 H． 由翻折可知 CG⊥PE，PG＝PC＝4－x，又∵PE⊥PA，∴CG∥PA 又∵∠B＝∠BAG＝90º，∴AG∥PC，四边形 APCG 为平行四边形……9 分 ∴AG＝PC＝4 一 x ∵∠B＝∠BAG＝∠AHP＝90º，∴四边形 ABPH 为矩形 ∴AH＝BP＝x，PH＝AB＝2，∴HG＝4－2x …………………………10 分 在 Rt△PHG 中，∵PH 2 ＋HG 2 ＝PG 2 ，∴2 2 ＋(4－2x) 2 ＝(4－x) 2 解得 x 1 ＝2，x 2 ＝ 3 2 ，∴BP＝2 或 3 2 ……………………………………12 分 28． (1 ) 1，－2（每空 1 分） ……………………………………………………………2 分 (2) 3，0.6020，0. 6990，－1.097（每空 1 分）……………………………………6 分 (3）若 d（3）≠2a－b，则 d（9）＝2d（3）≠ 4a－2b， D（27）＝3d（3）≠6a－3b 从而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾 ∴d(3)＝2a－b ……………………………………………………………………8 分 若 d.(5) ≠a＋c，则 d(2) ＝1－d(5) ≠1－a－c ∴d(8)＝3d(2) ≠3－3a－3c d(6) ＝d(3) ＋d(2) ≠1＋a－b－c 表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾 ∴d（5）＝a＋c …………………………………………………………………10 分 ∴表中只有 d（1.5）和 d（12）的值是错误的，应纠正为： D（1.5）＝d（3）＋d（5）－1＝3a－b＋c－1 …………………………11 分 D（12）＝d（3）＋2d（2）＝2－b－2c ………………………………12 分 注：如果仅指出错误的劳格数，未说明理由，则每指出 1 个给 1 分．