2013年青岛市中考数学试卷解析

2013 年山东青岛市初级中学学业水平考试 数学试题 一、选择题 1、－6 的相反数是（ ） A、—6 B、6 C、 6 1 D、 6 1 答案：B 解析：－6 的相反数为 6，简单题。 2、下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 答案：D 解析：A、B、C 都是轴对称图形，只有 D 为中心对称图形。 3、如图所示的几何体的俯视图是（ ） A B C D 答案：B 解析：该几何体上面是圆锥，下面为圆 柱，圆锥的俯视图是一个圆和圆心，圆锥顶点投影 为一个点（圆心）。 4、“十二五”以来，我国积极推进国家创新体系建设，国家统计局《2012 年国民经济和社 会发展统计公报》指出，截止 2012 年底，国内有效专利达 8750000 件，将 8750000 件用科 学计数法表示为（ ）件 A、 410875 B、 5105.87  C、 61075.8  D、 710875.0  答案：C 解析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数 绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 8750000＝ 61075.8  5、一个不透明的口袋里装有除颜色都相同的 5 个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来 数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋 里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了 100 次，其中有 10 次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有（ ）个 A、45 B、48 C、50 D、55 第 3 题 答案：A 解析：摸到白球的概率为 P＝ 10 1 100 10  ，设口袋里共有 n 个球，则 5 1 10n  ，得 n＝50，所以，红球数为：50－5＝45，选 A。 6、已知矩形的面积为 36cm2，相邻的两条边长为 xcm 和 ycm ，则 y 与 x 之间的函数图像大 致是（ ） A B C D 答案：A 解析：因为 xy＝36，即 36 ( 0)y xx   ，是一个反比例函数，故选 A。 7、直线l 与半径 r 的圆 O 相交，且点 O 到直线l 的距离为 6，则 r 的取值范围是（ ） A、 6r B、 6r C、 6r D、 6r 答案：C 解析：当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，所以选 C。 8、如图，△ABO 缩小后变为 OBA ''△ ，其中 A、B 的对应点分别为 '' BA 、 ， '' BA 、 均在图中格点上，若线段 AB 上有一点 ),( nmP ，则 点 P 在 ''BA 上的对应点 'P 的坐标为（ ） A、 ),2( nm B、 ),( nm C、 )2,( nm D、 )2,2( nm 答案：D 解析：因为 AB＝2 5 ， ' ' 5A B  ，所以， ' ' 1 2 A B AB  ，所以点 P（m，n）经过缩小变换 后点 'P 的坐标为 ( , )2 2 m n 学科网，不要转载 二、填空题 9、计算： ___________5202 1  答案： 5 2 解析：原式＝ 1 22  ＝ 5 2 10、某校对甲、乙两名跳高运动员的近期跳高成绩进行统计分析，结果如下： mx 69.1甲 ， mx 69.1乙 ， 0006.02 甲s ， 0315.02 乙s ，则这两名运动员中的________的成绩更稳 定。 答案：甲 解析：数据的方差小的运动员比较稳定，因为甲的方差小于乙，所以，甲稳定。 11、某企业 2010 年底缴税 40 万元，2012 年底缴税 48.4 万元，设这两年该企业缴税的年平 均增长率为 x ，根据题意，可得方程___________ 答案：40（1＋x）2＝48.4 解析：2010 年为 40，在年增长率为 x 的情况下，2011 年应为 40（1＋x）， 2012 年为 40（1＋x）2，所以，40（1＋x）2＝48.4 12、如图，一个正比例函数图像与一次函数 1 xy 的图像相交于点 P，则这个正比例函 数的表达式是____________ 答案：y＝－2x 解析：交点 P 的纵坐标为 y＝2，代入一次函数解析式：2＝－x＋1，所以，x＝－1 即 P（－1,2），代入正比例函数，y＝kx，得 k－2，所以，y＝－2x 13、如图，AB 是圆 0 直径，弦 AC=2，∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积是_____________ 答案： 4 33   解析：连结 OC，则∠BOC＝120°，AB＝4，所以，R＝2， 扇形 BOC 的面积为 S 扇形＝120 4 4 360 3    三角形 BOC 的面积为： 3 所以，阴影部分面积为： 4 33   14、要把一个正方体分割成 8 个小正方体，至少需要切 3 刀，因为 这 8 个小正方体都只有三个面现成 的，其它三个面必须用刀切 3 次 才能切出来，那么，要把一个正方体分割成 27 个小正方体，至少需要要刀切__________次， 分割成 64 个小正方体，至少需要用刀切_________次。 答案：6，9 第 12 题 第 13 题 解析： 27=3*3*3 ，2 刀可切 3 段，从前，上，侧三个方向切每面 2 刀 所以需要 2*3=6 刀 64=4*4*4 ，3 刀可切 4 段，从前，上，侧三个方向切每面 3 刀 所以需要 3*3=9 刀 三、作图题 15、已知，如图，直线 AB 与直线 BC 相交于点 B，点 D 是直线 BC 上一点 求作：点 E，使直线 DE∥AB，且点 E 到 B、D 两点的距离相等 （在题目的原图中完成作图） 结论： 解析：因为点 E 到 B、D 两点的距离相等，所以，点 E 一定在线段 BD 的垂直平分线上， 首先以 D 为顶点，DC 为边作一个角等于∠ABC，再作出 DB 的垂直平分线，即可找到点 E． 点 E 即为所求． 四、解答题 16、（1）解方程组：      0 32 yx yx （2）化简： 1)11( 2  x x x 解析：（1）两式相加，得：x＝1，把 x＝1 代入第 2 式，得 y＝1， 所以原方程组 的解： 1 1 x y    （2）原式＝ 1 1 ( 1)( 1) 1 x x x x x x      17、请根据所给信息，帮助小颖同学完成她的调查报告 2013 年 4 月光明中学八年级学生每天干家务活平均时间的调查报告 调查目的 了解八年级学生每天干家务活的平均时间 调查内容 光明中学八年级学生每天干家务活的平均时间 调查方式 抽样调查 调查步骤 1、数据的收集： （1）在光明中学八年级每班随机调查 5 名学生； （2）统计这些学生 2013 年 4 月每天干家务活的平均时间（单位：min）， 结果如下（其中 A 表示 10min；B 表示 20min；C 表示 30min）； B A A B B B B A C B B A B B C A B A A C A B B C B A B B A C 2、数据的处理： 以频数分布直方图的形式呈现上 述统计结果请补全频数分布直方 图 3、数据的分析 列式计算所随机调查学生每天 干家务活平均时间的平均数（结果 保留整数） 调查结论 光明中学八年级共有 240 名学生，其中大约有__________名学生每天 干家务活的平均时间是 20min …… 解析： 从图表中可以看出 C 的学生数是 5 人， 如图： 每天干家务活平均时间是：（10×10+15×20+5×30）÷30≈18（min）； 根据题意得：240× 15 30 =120（人）， 光明中学八年级共有 240 名学生，其中大约有 120 名学生每天干家务活的平均时间是 20min； 故答案为：120． 18、小明和小刚做纸牌游戏，如图，两组相同的纸牌，每组两张，牌面数字分别是 2 和 3， 将两组牌背面朝上，洗匀后从每组牌中各抽取一张，称为一次游戏。当两张牌的牌面数字之 和为奇数，小明得 2 分，否则小刚得 1 分，这个游戏对双方公平吗？请说明理由 解析： 19、某校学生捐款支援地震灾区，第一次捐款总额为 6600 元，第二次捐款总额为 7260 元， 第二次捐款人数比第一次多 30 人，而且两次人均捐款额恰好相等，求第一次的捐款人数 解析： 设第一次的捐款人数是 x 人，根据题意得： 解得：x=300， 经检验 x=300 是原方程的解， 答：第一次的捐款人数是 300 人． 20、如图，马路的两边 CF、DE 互相平行，线段 CD 为人行横道，马路两侧的 A、B 两点分 别表示车站和超市。CD 与 AB 所在直线互相平行，且都与马路两边垂直，马路宽 20 米，A， B 相距 62 米，∠A=67°，∠B=37° （1）求 CD 与 AB 之间的距离； （2）某人从车站 A 出发，沿折线 A→D→C→B 去超市 B，求他沿折线 A→D→C→B 到达 超市比直接横穿马路多走多少米 （参考数据： 13 1267sin  ， 13 567cos  ， 5 1267tan  ， 5 337sin  ， 5 437sin  ， 4 337tan  ） 解析： 21、已知：如图，在矩形 ABCD 中，M、N 分别是边 AD、BC 的中点，E、F 分别是线段 BM、CM 的中点 （1）求证：△ABM≌△DCM （2）判断四边形 MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论； （3）当 AD：AB=____________时，四边形 MENF 是正方形（只写结论，不需证明） 解析： （1）因为四边形 ABCD 是矩形，所以，∠A＝∠D＝90°， AB＝DC，又 MA＝MD， 所以，△ABM≌△DCM （2）四边形 MENF 是菱形； 理由：因为 CE＝EM，CN＝NB， 所以，FN∥MB，同理可得：EN∥MC， 所以，四边形 MENF 为平行四边形， 又△ABM≌△DCM （3）2：1 22、某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元，试营销阶段发现：当销售单价是 25 元时，每天的销售量为 250 件，销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件 （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w （元）与销售单价 x （元）之间的函 数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了 A、B 两种营销方案 方案 A：该文具的销售单价高于进价且不超过 30 元； 方案 B：每天销售量不少于 10 件，且每件文具的利润至少为 25 元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由 解析：（1）w＝（x－20）（250－10x＋250）＝－10x2＋700x－10000 （2）w＝－10x2＋700x－10000＝－10（x－35）2＋2250 所以，当 x＝35 时，w 有最大值 2250， 即销售单价为 35 元时，该文具每天的销售利润最大 （3）方案 A：由题可得＜x≤30， 因为 a＝－10＜0，对称轴为 x＝35， 抛物线开口向下，在对称轴左侧，w 随 x 的增大而增大， 所以，当 x＝30 时，w 取最大值为 2000 元， 方案 B：由题意得 45 250 10( 25) 10 x x      ，解得： 45 49x  ， 在对称轴右侧，w 随 x 的增大而减小， 所以，当 x＝45 时，w 取最大值为 1250 元， 因为 2000 元＞1250 元， 所以选择方案 A。 23、在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图①和图②发现并验证 了平方差公式和完全平方公式 这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因集合直观而形象化。 【研究速算】 提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是 10 的 两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？ 几何建模： 用矩形的面积表示两个正数的乘积，以 47×43 为例： （1）画长为 47，宽为 43 的矩形，如图③，将这个 47×43 的 矩形从右边切下长 40，宽 3 的一条，拼接到原矩形的上面。 （2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43 的矩形面积或（40＋7＋3）×40 的矩形与右上角 3×7 的矩形 面积之和，即 47×43＝（40＋10）×40＋3×7＝5×4×100＋ 3×7＝2021 用文字表述 47×43 的速算方法是：十位数字 4 加 1 的和与 4 相乘， 再乘以 100，加上个位数字 3 与 7 的积，构成运算结果 归纳提炼： 两个十位数字相同，并且个位数字之和是 10 的两位数相乘的速算方法是（用文字表述） _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 【研究方程】 提出问题：怎么图解一元二次方程 ?)0(03522  xxx 几何建模： （1）变形： 35)2( xx （2）画四个长为 2x ，宽为 x 的矩形，构造图④ （3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式， 2)2(  xx 或四个长 2x ， 第 23 题图① 第 23 题图② 第 23 题图③ 第 23 题图④ 宽 x 的矩形之和，加上中间边长为 2 的小正方形面积 即： 22 2)2(4)2(  xxxx ∵ 35)2( xx ∴ 22 2354)2(  xx ∴ 144)22( 2 x ∵ 0x ∴ 5x 归纳提炼：求关于 x 的一元二次方程 )0.0,0()(  cbxcbxx 的解 要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并标注 相关线段的长） 【研究不等关系】 提出问题：怎么运用矩形面积表示 )3)(2(  yy 与 52 y 的大小关系（其中 0y ）？ 几何建模： （1）画长 3y ，宽 2y 的矩形，按图⑤方式分割 （2）变形： )3()2(52  yyy （3）分析：图⑤中大矩形的面积可以表示为 )3)(2(  yy ；阴影部分面积可以表示为 1)3( y ， 画点部分的面积可表示为 2y ，由图形的部分与整体 的关系可知： )3)(2(  yy ＞ )3()2(  yy ，即 )3)(2(  yy ＞ 52 y 归纳提炼： 当 2a ， 2b 时，表示 ab 与 ba  的大小关系 根据题意，设 ma  2 ， )0,0(2  nmnb ，要求参照上述研究方法，画出示意图， 并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并标注相关线段的长） 第 23 题图⑤ 解析： 24、已知，如图，□ABCD 中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向匀速运动，速度为 3cm/s；点 Q 从点 C 出发，沿 CD 方向匀速运动，速度为 1cm/s，连 接并延长 QP 交 BA 的延长线于点 M，过 M 作 MN⊥BC，垂足是 N，设运动时间为 t（s） （0＜t＜1），解答下列问题： （1）当 t 为何值时，四边形 AQDM 是平行四边形？ （2）设四边形 ANPM 的面积为 y （cm²），求 y 与 t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻 t，使四边形 ANPM 的面积是□ABCD 面积的一半，若存在，求出 相应的 t 值，若不存在，说明理由 （4）连接 AC，是否存在某一时刻 t，使 NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成 1:2 的两部分？ 若存在，求出相应的 t 值，若不存在，说明理由 解析： 第 24 题备用图 第 24 题备用图 解得：t＝ 3 2 1 4  ， 当 AE：EC＝1： 2 时， 同理可得： AE BA CD CN  ，即 1 3 2 23 ( 1)2 t t    ，解得：t＝ 3 2 1 7  ， 答：当 t＝ 3 2 1 4  或 t＝ 3 2 1 7  时，NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成 1:2 的两部分