2013年十堰市中考数学试卷解析

湖北省十堰市 2013 年中考数学试卷 一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分）下面每小题给出的四个选项中， 只有一个是正确的，请把正确选项的字母填在后面的括号里。 1．（3 分）（2013•十堰）|﹣2|的值等于（ ） A．2 B．﹣ C． D．﹣2 考点：绝对值． 专题：计算题． 分析：直接根据绝对值的意义求解． 解答：解：|﹣2|=2． 故选 A． 点评：本题考查了绝对值：若 a＞0，则|a|=a；若 a=0，则|a|=0；若 a＜0，则|a|=﹣a． 2．（3 分）（2013•十堰）如图，AB∥CD，CE 平分∠BCD，∠DCE=18°，则∠B 等于（ ） A．18° B．36° C．45° D．54° 考点：平行线的性质． 分析：根据角平分线的定义求出∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠B=∠BCD． 解答：解：∵CE 平分∠BCD，∠DCE=18°， ∴∠BCD=2∠DCE=2×18°=36°， ∵AB∥CD， ∴∠B=∠BCD=36°． 故选 B． 点评：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键． 3．（3 分）（2013•十堰）下列运算中，正确的是（ ） A．a2+a3=a5 B．a6÷a3=a2 C．（a4）2=a6 D．a2•a3=a5 考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 分析：根据合并同类项法则，同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数 相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加，对各选项分析判断后利用排除法求解． 解答：解：A、a2 与 a3 不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、a6÷a3=a3，故本选项错误； C、（a4）2=a8，故本选项错误； D、a2•a3=a5，故本选项正确． 故选 D． 点评：本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，合并同类项法则，幂的乘方的性质， 理清指数的变化是解题的关键． 4．（3 分）（2013•十堰）用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体，这个几何体的 左视图是（ ） A． B． C． D． 考点：简单组合体的三视图． 3718684 分析：左视图是从左边看得到的视图，结合选项即可得出答案． 解答：解：所给图形的左视图为 C 选项说给的图形． 故选 C． 点评：本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题需要明白左视图是从左边看 得到的视图． 5．（3 分）（2013•十堰）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x﹣a=0 有两个相等的实数根，则 a 的值是（ ） A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1 考点：根的判别式． 专题：计算题． 分析：根据根的判别式的意义得到△=22﹣4•（﹣a）=0，然后解方程即可． 解答：解：根据题意得△=22﹣4•（﹣a）=0， 解得 a=﹣1． 故选 D． 点评：本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方 程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有 实数根． 6．（3 分）（2013•十堰）如图，将△ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 B 与点 A 重合．已知 AC=5cm，△ADC 的周长为 17cm，则 BC 的长为（ ） A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm 考点：翻折变换（折叠问题）． 3718684 分析：首先根据折叠可得 AD=BD，再由△ADC 的周长为 17cm 可以得到 AD+DC 的长，利 用等量代换可得 BC 的长． 解答：解：根据折叠可得：AD=BD， ∵△ADC 的周长为 17cm，AC=5cm， ∴AD+DC=17﹣5=12（cm）， ∵AD=BD， ∴BD+CD=12cm． 故选：C． 点评：此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前 后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 7．（3 分）（2013•十堰）如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°， 则下底 BC 的长为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 考点：等腰梯形的性质；等边三角形的判定与性质． 3718684 分析：首先构造直角三角形，进而根据等腰梯形的性质得出∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5， 求出 BF 即可． 解答：解：过点 A 作 AF⊥BC 于点 F，过点 D 作 DE⊥BC 于点 E， ∵梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°， ∴∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5， ∴cos60°= = = ， 解得：BF=1.5， 故 EC=1.5， ∴BC=1.5+1.5+5=8． 故选：A． 点评：此题主要考查了等腰梯形的性质以及解直角三角形等知识，根据已知得出 BF=EC 的 长是解题关键． 8．（3 分）（2013•十堰）如图，是一组按照某种规律摆放成的图案，则图 5 中三角形的个数 是（ ） A．8 B．9 C．16 D．17 考点：规律型：图形的变化类．3718684 分析：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，进而得 出即可． 解答：解：由图可知：第一个图案有三角形 1 个．第二图案有三角形 1+3=5 个． 第三个图案有三角形 1+3+4=8 个， 第四个图案有三角形 1+3+4+4=12 第五个图案有三角形 1+3+4+4+4=16 故选：C． 点评：此题主要考查了图形的变化规律，注意由特殊到一般的分析方法．这类题型在中考中 经常出现． 9．（3 分）（2013•十堰）张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距 500 千米，汽车出发前油箱有 油 25 升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以 100 千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱 中剩余油量 y（升）与行驶时间 t（小时）之间的关系如图所示．以下说法错误的是（ ） A．加油前油箱中剩余油量 y（升）与行驶时间 t（小时）的函数关系是 y=﹣8t+25 B．途中加油 21 升 C．汽车加油后还可行驶 4 小时 D．汽车到达乙地时油箱中还余油 6 升 考点：一次函数的应用． 3718684 分析：A、设加油前油箱中剩余油量 y（升）与行驶时间 t（小时）的函数关系式为 y=kt+b， 将（0，25），（2，9）代入，运用待定系数法求解后即可判断； B、由题中图象即可看出，途中加油量为 30﹣9=21 升； C、先求出每小时的用油量，再求出汽车加油后行驶的路程，然后与 4 比较即可判断； D、先求出汽车从甲地到达乙地需要的时间，进而得到需要的油量；然后用汽车油箱 中原有的油量加上途中的加油量，再减去汽车行驶 500 千米需要的油量，得出汽车到 达乙地时油箱中的余油量即可判断． 解答：解：A、设加油前油箱中剩余油量 y（升）与行驶时间 t（小时）的函数关系式为 y=kt+b． 将（0，25），（2，9）代入， 得 ，解得 ， 所以 y=﹣8t+25，正确，故本选项不符合题意； B、由图象可知，途中加油：30﹣9=21（升），正确，故本选项不符合题意； C、由图可知汽车每小时用油（25﹣9）÷2=8（升）， 所以汽车加油后还可行驶：30÷8=3 ＜4（小时），错误，故本选项符合题意； D、∵汽车从甲地到达乙地，所需时间为：500÷100=5（小时）， ∴5 小时耗油量为：8×5=40（升）， 又∵汽车出发前油箱有油 25 升，途中加油 21 升， ∴汽车到达乙地时油箱中还余油：25+21﹣40=6（升），正确，故本选项不符合题意． 故选 C． 点评：本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式的确定，路程、速度、时间之间的关系 等知识，难度中等．仔细观察图象，从图中找出正确信息是解决问题的关键． 10．（3 分）（2013•十堰）如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且 过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜ 1，⑤当 x＞﹣1 时，y＞0，其中正确结论的个数是（ ） A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 考点：二次函数图象与系数的关系．3718684 分析：由抛物线的对称轴在 y 轴右侧，可以判定 a、b 异号，由此确定①正确； 由抛物线与 x 轴有两个交点得到 b2﹣4ac＞0，又抛物线过点（0，1），得出 c=1，由此 判定②正确； 由抛物线过点（﹣1，0），得出 a﹣b+c=0，即 a=b﹣1，由 a＜0 得出 b＜1；由 a＜0， 及 ab＜0，得出 b＞0，由此判定④正确； 由 a﹣b+c=0，及 b＞0 得出 a+b+c=2b＞0；由 b＜1，c=1，a＜0，得出 a+b+c＜a+1+1 ＜2，由此判定③正确； 由图象可知，当自变量 x 的取值范围在一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根之间时， 函数值 y＞0，由此判定⑤错误． 解答：解：∵二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，1）和（﹣1，0）， ∴c=1，a﹣b+c=0． ①∵抛物线的对称轴在 y 轴右侧，∴x=﹣ ＞0， ∴a 与 b 异号，∴ab＜0，正确； ②∵抛物线与 x 轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0， ∵c=1，∴b2﹣4a＞0，b2＞4a，正确； ④∵抛物线开口向下，∴a＜0， ∵ab＜0，∴b＞0． ∵a﹣b+c=0，c=1，∴a=b﹣1， ∵a＜0，∴b﹣1＜0，b＜1， ∴0＜b＜1，正确； ③∵a﹣b+c=0，∴a+c=b， ∴a+b+c=2b＞0． ∵b＜1，c=1，a＜0， ∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2， ∴0＜a+b+c＜2，正确； ⑤抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点为（﹣1，0），设另一个交点为（x，0），则 x0＞0， 由图可知，当 x0＞x＞﹣1 时，y＞0，错误； 综上所述，正确的结论有①②③④． 故选 B． 点评：本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，不等式的性质，难度适中．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），a 的符号由抛物线开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置及 a 的符号决定；c 的符号由抛物线与 y 轴交点的位置决定；抛物线与 x 轴的交点个数， 决定了 b2﹣4ac 的符号，此外还要注意二次函数与方程之间的转换． 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11．（3 分）（2013•十堰）我国南海面积约为 350 万平方千米，“350 万”这个数用科学记数法 表示为 3.5×106 ． 考点：科学记数法—表示较大的数．3718684 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值是易 错点，由于 350 万有 7 位，所以可以确定 n=7﹣1=6． 解答：解：350 万=3 500 000=3.5×106． 故答案为：3.5×106． 点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键． 12．（3 分）（2013•十堰）计算： +（﹣1）﹣1+（ ﹣2）0= 2 ． 考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂． 3718684 分析：分别进行二次根式的化简、负整数指数幂、零指数幂的运算，然后合并即可得出答案． 解答：解：原式=2 ﹣1+1 =2 ． 故答案为：2 ． 点评：本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂的知识，解答本题的关键是 掌握各部分的运算法则． 13．（3 分）（2013•十堰）某次能力测试中，10 人的成绩统计如表，则这 10 人成绩的平均数 为 3.1 ． 分数 5 4 3 2 1 人数 3 1 2 2 2 考点：加权平均数． 3718684 分析：利用加权平均数的计算方法列式计算即可得解． 解答：解： ×（5×3+4×1+3×2+2×2+1×2） = ×（15+4+6+4+2） = ×31 =3.1． 所以，这 10 人成绩的平均数为 3.1． 故答案为：3.1． 点评：本题考查的是加权平均数的求法，是基础题． 14．（3 分）（2013•十堰）如图，▱ ABCD 中，∠ABC=60°，E、F 分别在 CD 和 BC 的延长 线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF= ，则 AB 的长是 1 ． 考点：平行四边形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理． 3718684 分析：根据平行四边形性质推出 AB=CD，AB∥CD，得出平行四边形 ABDE，推出 DE=DC=AB，根据直角三角形性质求出 CE 长，即可求出 AB 的长． 解答：解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC，AB=CD， ∵AE∥BD， ∴四边形 ABDE 是平行四边形， ∴AB=DE=CD， 即 D 为 CE 中点， ∵EF⊥BC， ∴∠EFC=90°， ∵AB∥CD， ∴∠DCF=∠ABC=60°， ∴∠CEF=30°， ∵EF= ， ∴CE=2， ∴AB=1， 故答案为 1． 点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中 线性质，含 30 度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强，是一道 比较好的题目． 15．（3 分）（2013•十堰）如图，在小山的东侧 A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以 30 米/分的速度沿与地面成 75°角的方向飞行，25 分钟后到达 C 处，此时热气球上的人测得 小山西侧 B 点的俯角为 30°，则小山东西两侧 A、B 两点间的距离为 750 米． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 3718684 分析：作 AD⊥BC 于 D，根据速度和时间先求得 AC 的长，在 Rt△ACD 中，求得∠ACD 的 度数，再求得 AD 的长度，然后根据∠B=30°求出 AB 的长． 解答：解：如图，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D， 在 Rt△ACD 中，∠ACD=75°﹣30°=45°， AC=30×25=750（米）， ∴AD=AC•sin45°=375 （米）． 在 Rt△ABD 中， ∵∠B=30°， ∴AB=2AD=750 （米）． 故答案为：750 ． 点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形 并解直角三角形，难度适中． 16．（3 分）（2013•十堰）如图，正三角形 ABC 的边长是 2，分别以点 B，C 为圆心，以 r 为半径作两条弧，设两弧与边 BC 围成的阴影部分面积为 S，当 ≤r＜2 时，S 的取值范围 是 ﹣1≤S＜ ﹣ ． 考点：扇形面积的计算；等边三角形的性质．3718684 分析：首先求出 S 关于 r 的函数表达式，分析其增减性；然后根据 r 的取值，求出 S 的最大 值与最小值，从而得到 S 的取值范围． 解答：解：如右图所示，过点 D 作 DG⊥BC 于点 G，易知 G 为 BC 的中点，CG=1． 在 Rt△CDG 中，由勾股定理得：DG= = ． 设∠DCG=θ，则由题意可得： S=2（S 扇形 CDE﹣S△CDG）=2（ ﹣ ×1× ）= ﹣ ， ∴S= ﹣ ． 当 r 增大时，∠DCG=θ随之增大，故 S 随 r 的增大而增大． 当 r= 时，DG= =1，∵CG=1，故θ=45°， ∴S= ﹣ = ﹣1； 若 r=2，则 DG= = ，∵CG=1，故θ=60°， ∴S= ﹣ = ﹣ ． ∴S 的取值范围是： ﹣1≤S＜ ﹣ ． 故答案为： ﹣1≤S＜ ﹣ ． 点评：本题考查扇形面积的计算、等边三角形的性质、勾股定理等重要知识点．解题关键是 求出 S 的函数表达式，并分析其增减性． 三、解答题（共 9 小题，满分 72 分） 17．（6 分）（2013•十堰）化简： ． 考点：分式的混合运算． 3718684 分析：首先将分式的分子与分母分解因式，进而化简求出即可． 解答：解：原式= × + = + =1． 点评：此题主要考查了分式的混合运算，正确将分式的分子与分母分解因式是解题关键． 18．（6 分）（2013•十堰）如图，点 D，E 在△ABC 的边 BC 上，AB=AC，BD=CE．求证： AD=AE． 考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．3718684 专题：证明题． 分析：利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C，然后证明△ABD≌△ACE 即可证得结论． 解答：证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△ABD 与△ACE 中， ∵ ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD=AE． 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用等边对 等角得到∠B=∠C． 19．（6 分）（2013•十堰）甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇 1000 字的文章与乙打 一篇 900 字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打 5 个字．问：甲、乙两人 每分钟各打多少字？ 考点：分式方程的应用． 3718684 专题：应用题． 分析：设乙每分钟打 x 个字，则甲每分钟打（x+5）个字，再由甲打一篇 1000 字的文章与乙 打一篇 900 字的文章所用的时间相同，可得出方程，解出即可得出答案． 解答：解：设乙每分钟打 x 个字，则甲每分钟打（x+5）个字， 由题意得， = ， 解得：x=45， 经检验：x=45 是原方程的解． 答：甲每人每分钟打 50 个字，乙每分钟打 45 个字． 点评：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是设出未知数，找到等量关系，根据等 量关系建立方程，注意不要忘记检验． 20．（9 分）（2013•十堰）某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全 面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据 调查的结果组建了 4 个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②， 要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）九（1）班的学生人数为 40 ，并把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中 m= 10 ，n= 20 ，表示“足球”的扇形的圆心角是 72 度； （3）排球兴趣小组 4 名学生中有 3 男 1 女，现在打算从中随机选出 2 名学生参加学校的排 球队，请用列表或画树状图的方法求选出的 2 名学生恰好是 1 男 1 女的概率． 考点：条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．3718684 分析：（1）根据喜欢篮球的人数与所占的百分比列式计算即可求出学生的总人数，再求出 喜欢足球的人数，然后补全统计图即可； （2）分别求出喜欢排球、喜欢足球的百分比即可得到 m、n 的值，用喜欢足球的人 数所占的百分比乘以 360°即可； （3）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． 解答：解：（1）九（1）班的学生人数为：12÷30%=40（人）， 喜欢足球的人数为：40﹣4﹣12﹣16=40﹣32=8（人）， 补全统计图如图所示； （2）∵ ×100%=10%， ×100%=20%， ∴m=10，n=20， 表示“足球”的扇形的圆心角是 20%×360°=72°； 故答案为：（1）40；（2）10；20；72； （3）根据题意画出树状图如下： 一共有 12 种情况，恰好是 1 男 1 女的情况有 6 种， 所以，P（恰好是 1 男 1 女）= = ． 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中 得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇 形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21．（6 分）（2013•十堰）定义：对于实数 a，符号[a ] 表示不大于 a 的最大整数．例如：[5.7 ] =5， [5 ] =5，[﹣π ] =﹣4． （1）如果[a ] =﹣2，那么 a 的取值范围是 ﹣2≤a＜﹣1 ． （2）如果[ ] =3，求满足条件的所有正整数 x． 考点：一元一次不等式组的应用． 3718684 专题：新定义． 分析：（1）根据[a ] =﹣2，得出﹣2≤a＜﹣1，求出 a 的解即可； （2）根据题意得出 3≤[ ] ＜4，求出 x 的取值范围，从而得出满足条件的所有正整 数的解． 解答：解：（1）∵[a ] =﹣2， ∴a 的取值范围是﹣2≤a＜﹣1， （2）根据题意得： 3≤[ ] ＜4， 解得：5≤x＜7， 则满足条件的所有正整数为 5，6． 点评：此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，求出不 等式的解． 22．（7 分）（2013•十堰）某商场计划购进 A，B 两种新型节能台灯共 100 盏，这两种台灯 的进价、售价如表所示： 类型 价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A 型 30 45 B 型 50 70 （1）若商场预计进货款为 3500 元，则这两种台灯各购进多少盏？ （2）若商场规定 B 型台灯的进货数量不超过 A 型台灯数量的 3 倍，应怎样进货才能使商场 在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 考点：一次函数的应用；一元一次方程的应用． 3718684 专题：销售问题． 分析：（1）设商场应购进 A 型台灯 x 盏，表示出 B 型台灯为（100﹣x）盏，然后根据进货 款=A 型台灯的进货款+B 型台灯的进货款列出方程求解即可； （2）设商场销售完这批台灯可获利 y 元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整 理，再求出 x 的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值． 解答：解：（1）设商场应购进 A 型台灯 x 盏，则 B 型台灯为（100﹣x）盏， 根据题意得，30x+50（100﹣x）=3500， 解得 x=75， 所以，100﹣75=25， 答：应购进 A 型台灯 75 盏，B 型台灯 25 盏； （2）设商场销售完这批台灯可获利 y 元， 则 y=（45﹣30）x+（75﹣50）（100﹣x）， =15x+2000﹣20x， =﹣5x+2000， ∵B 型台灯的进货数量不超过 A 型台灯数量的 3 倍， ∴100﹣x≤3x， ∴x≥25， ∵k=﹣5＜0， ∴x=25 时，y 取得最大值，为﹣5×25+2000=1875（元） 答：商场购进 A 型台灯 25 盏，B 型台灯 75 盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利 润为 1875 元． 点评：本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性，（2）理清题目数量关系 并列式求出 x 的取值范围是解题的关键． 23．（10 分）（2013•十堰）如图，已知正比例函数 y=2x 和反比例函数的图象交于点 A（m， ﹣2）． （1）求反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量 x 的取值范围； （3）若双曲线上点 C（2，n）沿 OA 方向平移 个单位长度得到点 B，判断四边形 OABC 的形状并证明你的结论． 考点：反比例函数综合题．3718684 分析：（1）设反比例函数的解析式为 y= （k＞0），然后根据条件求出 A 点坐标，再求出 k 的值，进而求出反比例函数的解析式； （2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量 x 的取值范围； （3）首先求出 OA 的长度，结合题意 CB∥OA 且 CB= ，判断出四边形 OABC 是 平行四边形，再证明 OA=OC 即可判定出四边形 OABC 的形状． 解答：解：（1）设反比例函数的解析式为 y= （k＞0）， ∵A（m，﹣2）在 y=2x 上， ∴﹣2=2m， ∴m=﹣1， ∴A（﹣1，﹣2）， 又∵点 A 在 y= 上， ∴k=﹣2， ∴反比例函数的解析式为 y= ； （2）观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量 x 的取值范围为﹣1＜x ＜0 或 x＞1； （3）四边形 OABC 是菱形． 证明：∵A（﹣1，﹣2）， ∴OA= = ， 由题意知：CB∥OA 且 CB= ， ∴CB=OA， ∴四边形 OABC 是平行四边形， ∵C（2，n）在 y= 上， ∴n=1， ∴C（2，1）， OC= = ， ∴OC=OA， ∴四边形 OABC 是菱形． 点评：本题主要考查了反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函 数的性质以及菱形的判定定理，此题难度不大，是一道不错的中考试题． 24．（10 分）（2013•十堰）如图 1，△ABC 中，CA=CB，点 O 在高 CH 上，OD⊥CA 于点 D，OE⊥CB 于点 E，以 O 为圆心，OD 为半径作⊙O． （1）求证：⊙O 与 CB 相切于点 E； （2）如图 2，若⊙O 过点 H，且 AC=5，AB=6，连接 EH，求△BHE 的面积和 tan∠BHE 的 值． 考点：切线的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质． 3718684 专题：计算题． 分析：（1）由 CA=CB，且 CH 垂直于 AB，利用三线合一得到 CH 为角平分线，再由 OD 垂直于 AC，OE 垂直于 CB，利用角平分线定理得到 OE=OD，利用切线的判定方法 即可得证； （2）由 CA=CB，CH 为高，利用三线合一得到 AH=BH，在直角三角形 ACH 中，利 用勾股定理求出 CH 的长，由圆 O 过 H，CH 垂直于 AB，得到圆 O 与 AB 相切，由 （1）得到圆 O 与 CB 相切，利用切线长定理得到 BE=BH，如图所示，过 E 作 EF 垂 直于 AB，得到 EF 与 CH 平行，得出△BEF 与△BCH 相似，由相似得比例，求出 EF 的长，由 BH 与 EF 的长，利用三角形面积公式即可求出△BEH 的面积；根据 EF 与 BE 的长，利用勾股定理求出 FB 的长，由 BH﹣BF 求出 HF 的长，利用锐角三角形函 数定义即可求出 tan∠BHE 的值． 解答：（1）证明：∵CA=CB，点 O 在高 CH 上， ∴∠ACH=∠BCH， ∵OD⊥CA，OE⊥CB， ∴OE=OD， ∴圆 O 与 CB 相切于点 E； （2）解：∵CA=CB，CH 是高， ∴AH=BH= AB=3， ∴CH= =4， ∵点 O 在高 CH 上，圆 O 过点 H， ∴圆 O 与 AB 相切于 H 点， 由（1）得圆 O 与 CB 相切于点 E， ∴BE=BH=3， 如图，过 E 作 EF⊥AB，则 EF∥CH， ∴△BEF∽△BCH， ∴ = ，即 = ， 解得：EF= ， ∴S△BHE= BH•EF= ×3× = ， 在 Rt△BEF 中，BF= = ， ∴HF=BH﹣BF=3﹣ = ， 则 tan∠BHE= =2． 点评：此题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线 的判定与性质是解本题的关键． 25．（12 分）（2013•十堰）已知抛物线 y=x2﹣2x+c 与 x 轴交于 A．B 两点，与 y 轴交于 C 点，抛物线的顶点为 D 点，点 A 的坐标为（﹣1，0）． （1）求 D 点的坐标； （2）如图 1，连接 AC，BD 并延长交于点 E，求∠E 的度数； （3）如图 2，已知点 P（﹣4，0），点 Q 在 x 轴下方的抛物线上，直线 PQ 交线段 AC 于点 M，当∠PMA=∠E 时，求点 Q 的坐标． 考点：二次函数综合题． 3718684 分析：（1）将点 A 的坐标代入到抛物线的解析式求得 c 值，然后配方后即可确定顶点 D 的 坐标； （2）连接 CD、CB，过点 D 作 DF⊥y 轴于点 F，首先求得点 C 的坐标，然后证得 △DCB∽△AOC 得到∠CBD=∠OCA，根据∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB， 得到∠E=∠OCB=45°； （3）设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点，增大△DGB∽△PON 后利用相似三角形的性质求得 ON 的长，从而求得点 N 的坐标，进而求得直线 PQ 的 解析式， 设 Q（m，n），根据点 Q 在 y=x2﹣2x﹣3 上，得到﹣ m﹣2=m2﹣2m﹣3，求得 m、n 的值后即可求得点 Q 的坐标． 解答：解：（1）把 x=﹣1，y=0 代入 y=x2﹣2x+c 得：1+2+c=0 ∴c=﹣3 ∴y=x2﹣2x﹣3=y=（x﹣1）2﹣4 ∴顶点坐标为（1，﹣4）； （2）如图 1，连接 CD、CB，过点 D 作 DF⊥y 轴于点 F， 由 x2﹣2x﹣3=0 得 x=﹣1 或 x=3 ∴B（3，0） 当 x=0 时，y=x2﹣2x﹣3=﹣3 ∴C（0，﹣3） ∴OB=OC=3 ∵∠BOC=90°， ∴∠OCB=45°， BC=3 又∵DF=CF=1，∠CFD=90°， ∴∠FCD=45°，CD= ， ∴∠BCD=180°﹣∠OCB﹣∠FCD=90°． ∴∠BCD=∠COA 又∵ ∴△DCB∽△AOC， ∴∠CBD=∠OCA 又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB ∴∠E=∠OCB=45°， （3）如图 2，设直线 PQ 交 y 轴于 N 点，交 BD 于 H 点，作 DG⊥x 轴于 G 点 ∵∠PMA=45°， ∴∠EMH=45°， ∴∠MHE=90°， ∴∠PHB=90°， ∴∠DBG+∠OPN=90° 又∴∠ONP+∠OPN=90°， ∴∠DBG=∠ONP 又∵∠DGB=∠PON=90°， ∴△DGB=∠PON=90°， ∴△DGB∽△PON ∴ 即： = ∴ON=2， ∴N（0，﹣2） 设直线 PQ 的解析式为 y=kx+b 则 解得： ∴y=﹣ x﹣2 设 Q（m，n）且 n＜0， ∴n=﹣ m﹣2 又∵Q（m，n）在 y=x2﹣2x﹣3 上， ∴n=m2﹣2m﹣3 ∴﹣ m﹣2=m2﹣2m﹣3 解得：m=2 或 m=﹣ ∴n=﹣3 或 n=﹣ ∴点 Q 的坐标为（2，﹣3）或（﹣ ，﹣ ）． 点评：本题考查了二次函数的综合知识，难度较大，题目中渗透了许多的知识点，特别是二 次函数与相似三角形的结合，更是一个难点，同时也是中考中的常考题型之一．