2013年天津市中考数学试卷解析

天津市 2013 年中考数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1．（3 分）（2013•天津）计算（﹣3）+（﹣9）的结果等于（ ） A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6 考点：有理数的加法． 分析：根据有理数的加法法则，先确定出结果的符号，再把绝对值相加即可． 解答：解：（﹣3）+（﹣9）=﹣12； 故选 B． 点评：本题考查了有理数的加法，用到的知识点是有理数的加法法则，比较简单，属于基础 题． 2．（3 分）（2013•天津）tan60°的值等于（ ） A．1 B． C． D．2 考点：特殊角的三角函数值． 分析：根据记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案． 解答：解：tan60°= ． 故选 C． 点评：本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内 容． 3．（3 分）（2013•天津）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 考点：中心对称图形 分析：根据 中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可． 解答：解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项正确； 故选 D． 点评：本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转 180 度后与原图形重合． 4．（3 分）（2013•天津）中国园林网 4 月 22 日消息：为建设生态滨海，2013 年天津滨海新 区将完成城市绿化面积共 8210 000m2，将 8210 000 用科学记数法表示应为（ ） A．821×102 B．82.1×105 C．8.21×106 D．0.821×107 考点：科学记数法—表示较大的数．371 8684 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答：解：8 210 000=8.21×106， 故选：C． 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 5．（3 分）（2013•天津）七年级（1）班与（2）班各选出 20 名学生进行英文打字比赛，通 过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计，两班成绩的平均数相同，（1）班成绩的方差 为 17.5，（2）班成绩的方差为 15，由此可知（ ） A．（1）班比（2）班的成绩稳定 B．（2）班比（1）班的成绩稳定 C．两个班的成绩一样稳定 D．无法确定哪班的成绩更稳定 考点：方差． 分析：根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表 明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 解答：解：∵（1）班成绩的方差为 17.5，（2）班成绩的方差为 15， ∴（1）班成绩的方差＞（2）班成绩的方差， ∴（2）班比（1）班的成绩稳定． 故选 B． 点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组 数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据 分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 6．（3 分）（2013•天津）如图是由 3 个相同的正方体组成的一个立体图形，它的三视图是（ ） A． B． C． D． 考点：简单组合体的三视图． 3718684 分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 解答：解：所给图形的三视图是 A 选项所给的三个图形． 故选 A． 点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键． 7．（3 分）（2013•天津）如图，在△ABC 中，AC=BC，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点， 将△ADE 绕点 E 旋转 180°得△CFE，则四边形 ADCF 一定是（ ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 考点：旋转的性质；矩形的判定． 3718684 分析：根据旋转的性质可得 AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边 形判断出四边形 ADCF 是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出 ∠ADC=90°，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答． 解答：解：∵△ADE 绕点 E 旋转 180°得△CFE， ∴AE=CE，DE=EF， ∴四边形 ADCF 是平行四边形， ∵AC=BC，点 D 是边 AB 的中点， ∴∠ADC=90°， ∴四边形 ADCF 矩形． 故选 A． 点评：本题考查了旋转的性质，矩形的判定，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四 边形，有一个角是直角是平行四边形是矩形的判定方法，熟练掌握旋转变换只改变图 形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键． 8．（3 分）（2013•天津）正六边形的边心距与边长之比为（ ） A． ：3 B． ：2 C．1：2 D． ：2 考点：正多边形和圆．3718684 分析：首先根据题意画出图形，然后设六边形的边长是 a，由勾股定理即可求得 OC 的长， 继而求得答案． 解答：解：如图：设六边形的边长是 a， 则半径长也是 a； 经过正六边形的中心 O 作边 AB 的垂线 OC， 则 AC= AB= a， ∴OC= = a， ∴正六边形的边心距与边长之比为： a：a= ：2． 故选 B． 点评：此题考查了正多边形和圆的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 9．（3 分）（2013•天津）若 x=﹣1，y=2，则 ﹣ 的值等于（ ） A． B． C． D． 考点：分式的化简求值． 3718684 分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x，y 的值代入进行计算即可． 解答：解：原式= ﹣ = = = ， 当 x=﹣1，y=2 时，原式= = ． 故选 D． 点评：本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 10．（3 分）（2013•天津）如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列 3 个不同的问 题情境： ①小明骑车以 400 米/分的速度匀速骑了 5 分，在原地休息了 4 分，然后以 500 米/分的速度 匀速骑回出发地，设时间为 x 分，离出发地的距离为 y 千米； ②有一个容积为 6 升的开口空桶，小亮以 1.2 升/分的速度匀速向这个空桶注水，注 5 分后 停止，等 4 分后，再以 2 升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为 x 分，桶内的水量为 y 升； ③矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，动点 P 从点 A 出发，依次沿对角线 AC、边 CD、边 DA 运动至点 A 停止，设点 P 的运动路程为 x，当点 P 与点 A 不重合时，y=S△ABP；当点 P 与点 A 重合时，y=0． 其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点：函数的图象． 3718684 分析：①小明骑车以 400 米/分的速度匀速骑了 5 分，所走路程为 2000 米，与图象不符合； ②小亮以 1.2 升/分的速度匀速向这个空桶注水，注 5 分后停止，注水量为 1.2×5=6 升，等 4 分钟，这段时间水量不变；再以 2 升/分的速度匀速倒空桶中的水，则 3 分 钟后水量为 0，符合函数图象； ③当点 P 在 AC 上运动时，S△ABP 的面积一直增加，当点 P 运动到点 C 时，S△ABP=6， 这段时间为 5，；当点 P 在 CD 上运动时，S△ABP 不变，这段时间为 4，；当点 P 在 DA 上运动时，S△ABP 减小，这段时间为 3，符合函数图象； 解答：解：①小明骑车以 400 米/分的速度匀速骑了 5 分，所走路程为 2000 米，与图象不符 合； ②小亮以 1.2 升/分的速度匀速向这个空桶注水，注 5 分后停止，注水量为 1.2×5=6 升，等 4 分钟，这段时间水量不变；再以 2 升/分的速度匀速倒空桶中的水，则 3 分 钟后水量为 0，符合函数图象； ③如图所示： 当点 P 在 AC 上运动时，S△ABP 的面积一直增加，当点 P 运动到点 C 时，S△ABP=6， 这段时间为 5，；当点 P 在 CD 上运动时，S△ABP 不变，这段时间为 4，；当点 P 在 DA 上运动时，S△ABP 减小，这段时间为 3，符合函数图象； 综上可得符合图中所示函数关系的问题情境的个数为 2． 故选 C． 点评：本题考查了函数的图象，解答本题需要同学们仔细分析所示情景，判断函数图象是否 符合，要求同学们能将实际问题转化为函数图象，有一定难度． 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 11．（3 分）（2013•天津）计算 a•a6 的结果等于 a7 ． 考点：同底数幂的乘法． 3718684 专题：计算题． 分析：利用同底数幂的法则计算即可得到结果． 解答：解：a•a6=a7． 故答案为：a7 点评：此题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．（3 分）（2013•天津）一元二次方程 x（x﹣6）=0 的两个实数根中较大的根是 6 ． 考点：解一元二次方程-因式分解法． 3718684 专题：计算题． 分析：原方程转化为 x=0 或 x﹣6=0，然后解两个一次方程即可得到原方程较大的根． 解答：解：∵x=0 或 x﹣6=0， ∴x1=0，x2=6， ∴原方程较大的根为 6． 故答案为 6． 点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为 0，再把方程左边分 解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可 得到一元二次方程的解． 13．（3 分）（2013•天津）若一次函数 y=kx+1（k 为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象 限，则的取值范围是 k＞0 ． 考点：一次函数图象与系数的关系．3718684 分析：根据一次函数图象所经过的象限确定 k 的符号． 解答：解：∵一次函数 y=kx+1（k 为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限， ∴k＞0． 故填：k＞0． 点评：本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与 k、b 的关系．解答本题注意理解： 直线 y=kx+b 所在的位置与 k、b 的符号有直接的关系．k＞0 时，直线必经过一、三 象限．k＜0 时，直线必经过二、四象限．b＞0 时，直线与 y 轴正半轴相交．b=0 时， 直线过原点；b＜0 时，直线与 y 轴负半轴相交． 14．（3 分）（2013•天津）如图，已知∠C=∠D，∠ABC=∠BAD，AC 与 BD 相交于点 O， 请写出图中一组相等的线段 AC=BD（答案不唯一） ． 考点：全等三角形的判定与性质． 3718684 专题：开放型．w w w . 分析：利用“角角边”证明△ABC 和△BAD 全等，再根据全等三角形对应边相等解答即可． 解答：解：∵在△ABC 和△BAD 中， ， ∴△ABC≌△BAD（AAS）， ∴AC=BD，AD=BC． 故答案为：AC=BD（答案不唯一）． 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，是基础题，关键在于公共边 AB 的应用，开放 型题目，答案不唯一． 15．（3 分）（2013•天津）如图，PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B，若∠P=70°，则∠C 的大小 为 55 （度）． 考点：切线的性质． 3718684 分析：首先连接 OA，OB，由 PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B，根据切线的性质可得：OA⊥PA， OB⊥PB，然后由四边形的内角和等于 360°，求得∠AOB 的度数，又由圆周角定理， 即可求得答案． 解答：解：连接 OA，OB， ∵PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， 即∠PAO=∠PBO=90°， ∴∠AOB=360°﹣∠PAO﹣∠P﹣∠PBO=360°﹣90°﹣70°﹣90°=110°， ∴∠C= ∠AOB=55°． 故答案为：55． 点评：此题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注 意掌握数形结合思想的应用． 16．（3 分）（2013•天津）一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1、2、3、 4，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和 等于 4 的概率是 ． 考点：列表法与树状图法．3718684 专题：计算题． 分析：先画树状图展示所有 16 种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于 4 的 占 3 种，然后根据概率的概念计算即可． 解答：解：如图， 随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有 16 种等可能的结果 数，其中两次摸出的小球标号的和等于 4 的占 3 种， 所有两次摸出的小球标号的和等于 4 的概率= ． 故答案为 ． 点评：本题考查了列表法或树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数 n， 再找出某事件所占有的结果数 m，然后利用概率的概念求得这个事件的概率= ． 17．（3 分）（2013•天津）如图，在边长为 9 的正三角形 ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，则 AE 的长为 7 ． 考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．3718684 分析：先根据边长为 9，BD=3，求出 CD 的长度，然后根据∠ADE=60°和等边三角形的性质， 证明△ABD∽△DCE，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得 CE 的长度，即可 求出 AE 的长度． 解答：解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，AB=BC； ∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6； ∴∠BAD+∠ADB=120° ∵∠ADE=60°， ∴∠ADB+∠EDC=120°， ∴∠DAB=∠EDC， 又∵∠B=∠C=60°， ∴△ABD∽△DCE， 则 = ， 即 = ， 解得：CE=2， 故 AE=AC﹣CE=9﹣2=7． 故答案为：7． 点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角形的 性质证得△ABD∽△DCE 是解答此题的关键． 18．（3 分）（2013•天津）如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A、 B、C 均落在格点上． （Ⅰ）△ABC 的面积等于 6 ； （Ⅱ）若四边形 DEFG 是△ABC 中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格 中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明） 取格点 P，连接 PC，过点 A 画 PC 的平行线，与 BC 交于点 Q，连接 PQ 与 AC 相交得点 D，过点 D 画 CB 的平行线，与 AB 相交得点 E，分别过点 D、E 画 PC 的平行线，与 CB 相交得点 G，F，则 四边形 DEFG 即为所求 ． 考点：作图—相似变换；三角形的面积；正方形的性质． 3718684 专题：计算题． 分析：（Ⅰ）△ABC 以 AB 为底，高为 3 个单位，求出面积即可； （Ⅱ）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点 P，连接 PC，过点 A 画 PC 的平行线，与 BC 交于点 Q，连接 PQ 与 AC 相交得点 D，过点 D 画 CB 的平行线， 与 AB 相交得点 E，分别过点 D、E 画 PC 的平行线，与 CB 相交得点 G，F，则四边 形 DEFG 即为所求 解答：解：（Ⅰ）△ABC 的面积为： ×4×3=6； （Ⅱ）如图，取格点 P，连接 PC，过点A 画 PC 的平行线，与 BC 交于点 Q，连接 PQ 与 AC 相交得点 D，过点 D 画 CB 的平行线， 与 AB 相交得点 E，分别过点 D、E 画 PC 的平行线，与 CB 相交得点 G，F， 则四边形 DEFG 即为所求． 故答案为：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点 P，连接 PC，过点 A 画 PC 的平行线，与 BC 交于 点 Q，连接 PQ 与 AC 相交得点 D，过点 D 画 CB 的平行线，与 AB 相交得点 E，分 别过点 D、E 画 PC 的平行线，与 CB 相交得点 G，F，则四边形 DEFG 即为所求 点评：此题考查了作图﹣位似变换，三角形的面积，以及正方形的性质，作出正确的图形是 解本题的关键． 三、解答题（共 8 小题，满分 66 分） 19．（6 分）（2013•天津）解不等式组 ． 考点：解一元一次不等式组． 3718684 专题：计算题． 分析：分别解两个不等式得到 x＜3 和 x＞﹣3，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等 式组的解集． 解答： 解： ， 解①得 x＜3， 解②得 x＞﹣3， 所以不等式组的解集为﹣3＜x＜3． 点评：本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大， 同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集． 20．（8 分）（2013•天津）已知反比例函数 y= （k 为常数，k≠0）的图象经过点 A（2，3）． （Ⅰ）求这个函数的解析式； （Ⅱ）判断点 B（﹣1，6），C（3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由； （Ⅲ）当﹣3＜x＜﹣1 时，求 y 的取值范围． 考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特 征． 3718684 分析：（1）把点 A 的坐标代入已知函数解析式，通过方程即可求得 k 的值． （Ⅱ）只要把点 B、C 的坐标分别代入函数解析式，横纵坐标坐标之积等于 6 时，即 该点在函数图象上； （Ⅲ）根据反比例函数图象的增减性解答问题． 解答：解：（Ⅰ）∵反比例函数 y= （k 为常数，k≠0）的图象经过点 A（2，3）， ∴把点 A 的坐标代入解析式，得 3= ， 解得，k=6， ∴这个函数的解析式为：y= ； （Ⅱ）∵反比例函数解析式 y= ， ∴6=xy． 分别把点 B、C 的坐标代入，得 （﹣1）×6=﹣6≠6，则点 B 不在该函数图象上． 3×2=6，则点 C 中该函数图象上； （Ⅲ）∵当 x=﹣3 时，y=﹣2，当 x=﹣1 时，y=﹣6， 又∵k＞0， ∴当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小， ∴当﹣3＜x＜﹣1 时，﹣6＜y＜﹣2． 点评：本题考查了反比例函数图象的性质、待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数 图象上点的坐标特征．用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点． 21．（8 分）（2013•天津）四川雅安发生地震后，某校学生会向全校 1900 名学生发起了“心 系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学会生随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的 数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题： （Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 50 ，图①中 m 的值是 32 ； （Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； （Ⅲ）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为 10 元的学生人数． 考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；加权平均数；中位数；众数．3718684 分析：（1）根据条形统计图即可得出样本容量根据扇形统计图得出 m 的值即可； （2）利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可； （3）根据样本中捐款 10 元的人数，进而得出该校本次活动捐款金额为 10 元的学生 人数． 解答：解：（1）根据条形图 4+16+12+10+8=50（人）， m=100﹣20﹣24﹣16﹣8=32； （2）∵ = （5×4+10×16+15×12+20×10+30×8）=16， ∴这组数据的平均数为：16， ∵在这组样本数据中，10 出现次数最多为 16 次， ∴这组数据的众数为：10， ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 15， ∴这组数据的中位数为： （15=15）=15； （3）∵在 50 名学生中，捐款金额为 10 元的学生人数比例为 32%， ∴由样本数据，估计该校 1900 名学生中捐款金额为 10 元的学生人数比例为 32%，有 1900×32%=608， ∴该校本次活动捐款金额为 10 元的学生约有 608 名． 故答案为：50，32． 点评：此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找 中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中 位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指 在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 22．（8 分）（2013•天津）已知直线 I 与⊙O，AB 是⊙O 的直径，AD⊥I 于点 D． （Ⅰ）如图①，当直线 I 与⊙O 相切于点 C 时，若∠DAC=30°，求∠BAC 的大小； （Ⅱ）如图②，当直线 I 与⊙O 相交于点 E、F 时，若∠DAE=18°，求∠BAF 的大小． 考点：切线的性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系． 3718684 分析：（Ⅰ）如图①，首先连接 OC，根据当直线 l 与⊙O 相切于点 C，AD⊥l 于点 D．易 证得 OC∥AD，继而可求得∠BAC=∠DAC=30°； （Ⅱ）如图②，连接 BF，由 AB 是⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可 得∠AFB=90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF 的度数，又由圆的内接四边形的 性质，求得∠B 的度数，继而求得答案． 解答：解：（Ⅰ）如图①，连接 OC， ∵直线 l 与⊙O 相切于点 C， ∴OC⊥l， ∵AD⊥l， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OA=OC， ∴∠BAC=∠OCA， ∴∠BAC=∠DAC=30°； （Ⅱ）如图②，连接 BF， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AFB=90°， ∴∠BAF=90°﹣∠B， ∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°， 在⊙O 中，四边形 ABFE 是圆的内接四边形， ∴∠AEF+∠B=180°， ∴∠B=180°﹣108°=72°， ∴∠BAF=90°﹣∠B=180°﹣72°=18°． 点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注 意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 23．（8 分）（2013•天津）天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔 的高度，如图，他们在点 A 处测得天塔最高点 C 的仰角为 45°，再往天塔方向前进至点 B 处测得最高点 C 的仰角为 54°，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度 CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 3718684 分析：首先根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，在 Rt△ACD 中，易求得 BD=AD ﹣AB=CD﹣112；在 Rt△BCD 中，可得 BD=CD•tan36°，即可得 CD•tan36°=CD﹣112， 继而求得答案． 解答：解：根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m， ∵在 Rt△ACD 中，∠ACD=∠CAD=45°， ∴AD=CD， ∵AD=AB+BD， ∴BD=AD﹣AB=CD﹣112（m）， ∵在 Rt△BCD 中，tan∠BCD= ，∠BCD=90°﹣∠CBD=36°， ∴tan36°= ， ∴BD=CD•tan36°， ∴CD•tan36°=CD﹣112， ∴CD= ≈ ≈415（m）． 答：天塔的高度 CD 为：415m． 点评：本题考查了仰角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三 角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 24．（8 分）（2013•天津）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同 的优惠方案：在甲商场累计购物超过 100 元后，超出 100 元的部分按 90%收费；在乙商场 累计购物超过 50 元后，超出 50 元的部分按 95%收费，设小红在同一商场累计购物 x 元， 其中 x＞100． （1）根据题题意，填写下表（单位：元） 累计购物 实际花费 130 290 … x 在甲商场 127 … 在乙商场 126 … （2）当 x 取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？ （3）当小红在同一商场累计购物超过 100 元时，在哪家商场的实际花费少？ 考点：一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．3718684 分析：（1）根据已知得出 100+（290﹣100）×0.9 以及 50+（290﹣50）×0.95 进而得出答案， 同理即可得出累计购物 x 元的实际花费； （2）根据题中已知条件，求出 0.95x+2.5，0.9x+10 相等，从而得出正确结论； （3）根据 0.95x+2.5 与 0.9x+10 相比较，从而得出正确结论． 解答：解：（1）在甲商场：100+（290﹣100）×0.9=271， 100+（290﹣100）×0.9x=0.9x+10； 在乙商场：50+（290﹣50）×0.95=278， 50+（290﹣50）×0.95x=0.95x+2.5； （2）根据题意得出： 0.9x+10=0.95x+2.5， 解得：x=150， ∴当 x=150 时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同， （3）由 0.9x+10＜0.95x+2.5， 解得：x＞150， 0.9x+10＞0.95x+2.5， 解得：x＜150， yB=0.95x+50（1﹣95%）=0.95x+2.5，正确； ∴当小红累计购物大于 150 时上没封顶，选择甲商场实际花费少； 当小红累计购物超过 100 元而不到 150 元时，在乙商场实际花费少． 点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用，此题问题较多且不是 很简单，有一定难度．涉及方案选择时应与方程或不等式联系起来． 25．（10 分）（2013•天津）在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣2，0），点 B（0，4），点 E 在 OB 上，且∠OAE=∠0BA． （Ⅰ）如图①，求点 E 的坐标； （Ⅱ）如图②，将△AEO 沿 x 轴向右平移得到△A′E′O′，连接 A′B、BE′． ①设 AA′=m，其中 0＜m＜2，试用含 m 的式子表示 A′B2+BE′2，并求出使 A′B2+BE′2 取得 最小值时点 E′的坐标； ②当 A′B+BE′取得最小值时，求点 E′的坐标（直接写出结果即可）． 考点：相似形综合题．3718684 分析：（Ⅰ）根据相似三角形△OAE∽△OBA 的对应边成比例得到 = ，则易求 OE=1， 所以 E（0，1）； （Ⅱ）如图②，连接 EE′．在 Rt△A′BO 中，勾股定理得到 A′B2=（2﹣m）2+42=m2 ﹣4m+20，在 Rt△BE′E 中，利用勾股定理得到 BE′2=E′E2+BE2=m2+9，则 A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2（m﹣1）2+27．所以由二次函数最值的求法知，当 m=1 即 点 E′的坐标是（1，1）时，A′B2+BE′2 取得最小值． 解答：解：（Ⅰ）如图①，∵点 A（﹣2，0），点 B（0，4）， ∴OA=2，OB=4． ∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°， ∴△OAE∽△OBA， ∴ = ，即 = ， 解得，OE=1， ∴点 E 的坐标为（0，1）； （Ⅱ）①如图②，连接 EE′． 由题设知 AA′=m（0＜m＜2），则 A′O=2﹣m． 在 Rt△A′BO 中，由 A′B2=A′O2+BO2，得 A′B2=（2﹣m）2+42=m2﹣4m+20． ∵△A′E′O′是△AEO 沿 x 轴向右平移得到的， ∴EE′∥AA′，且 EE′=AA′． ∴∠BEE′=90°，EE′=m． 又 BE=OB﹣OE=3， ∴在 Rt△BE′E 中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9， ∴A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2（m﹣1）2+27． 当 m=1 时，A′B2+BE′2 可以取得最小值，此时，点 E′的坐标是（1，1）． ②如图②，过点 A 作 AB′⊥x，并使 AB′=BE=3． 易证△AB′A′≌△EBE′， ∴B′A=BE′， ∴A′B+BE′=A′B+B′A′． 当点 B、A′、B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时 A′B+BE′取得最小值． 易证△AB′A′∽△OBA′， ∴ = = ， ∴AA′= ×2= ， ∴EE′=AA′= ， ∴点 E′的坐标是（ ，1）． 点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质以及勾股定理等知识点．此题 难度较大，需要学生对知识有一个系统的掌握． 26．（10 分）（2013•天津）已知抛物线 y1=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线 l，顶点为点 M．若 自变量 x 和函数值 y1 的部分对应值如下表所示： （Ⅰ）求 y1 与 x 之间的函数关系式； （Ⅱ）若经过点 T（0，t）作垂直于 y 轴的直线 l′，A 为直线 l′上的动点，线段 AM 的垂直 平分线交直线 l 于点 B，点 B 关于直线 AM 的对称点为 P，记 P（x，y2）． （1）求 y2 与 x 之间的函数关系式； （2）当 x 取任意实数时，若对于同一个 x，有 y1＜y2 恒成立，求 t 的取值范围． x … ﹣1 0 3 … y1=ax2+bx+c … 0 0 … 考点：二次函数综合题． 专题：探究型． 分析：（I）先根据物线经过点（0， ）得出 c 的值，再把点（﹣1，0）、（3，0）代入抛物 线 y1 的解析式即可得出 y1 与 x 之间的函数关系式； （II）先根据（I）中 y1 与 x 之间的函数关系式得出顶点 M 的坐标． ①记直线 l 与直线 l′交于点 C（1，t），当点 A′与点 C 不重合时，由已知得，AM 与 BP 互相垂直平分，故可得出四边形 ANMP 为菱形，所以 PA∥l，再由点 P（x，y2） 可知点 A（x，t）（x≠1），所以 PM=PA=|y2﹣t|，过点 P 作 PQ⊥l 于点 Q，则点 Q（1， y2），故 QM=|y2﹣3|，PQ=AC=|x﹣1|，在 Rt△PQM 中，根据勾股定理即可得出 y2 与 x 之间的函数关系式，再由当点 A 与点 C 重合时，点 B 与点 P 重合可得出 P 点坐标， 故可得出 y2 与 x 之间的函数关系式； ②据题意，借助函数图象：当抛物线 y2 开口方向向上时，可知 6﹣2t＞0，即 t＜3 时， 抛物线 y1 的顶点 M（1，3），抛物线 y2 的顶点（1， ），由于 3＞ ，所以不合 题意，当抛物线 y2 开口方向向下时，6﹣2t＜0，即 t＞3 时，求出 y1﹣y2 的值；若 3t ﹣11≠0，要使 y1＜y2 恒成立，只要抛物线方向及且顶点（1， ）在 x 轴下方，因 为 3﹣t＜0，只要 3t﹣11＞0，解得 t＞ ，符合题意；若 3t﹣11=0，y1﹣y2=﹣ ＜0， 即 t= 也符合题意． 解答：解：（Ⅰ）∵抛物线经过点（0， ）， ∴c= ． ∴y1=ax2+bx+ ， ∵点（﹣1，0）、（3，0）在抛物线 y1=ax2+bx+ 上， ∴ ，解得 ， ∴y1 与 x 之间的函数关系式为：y1=﹣ x2+ x+ ； （II）∵y1=﹣ x2+ x+ ， ∴y1=﹣ （x﹣1）2+3， ∴直线 l 为 x=1，顶点 M（1，3）． ①由题意得，t≠3， 如图，记直线 l 与直线 l′交于点 C（1，t），当点 A′与点 C 不重合时， ∵由已知得，AM 与 BP 互相垂直平分， ∴四边形 ANMP 为菱形， ∴PA∥l， 又∵点 P（x，y2）， ∴点 A（x，t）（x≠1）， ∴PM=PA=|y2﹣t|， 过点 P 作 PQ⊥l 于点 Q，则点 Q（1，y2）， ∴QM=|y2﹣3|，PQ=AC=|x﹣1|， 在 Rt△PQM 中， ∵PM2=QM2+PQ2，即（y2﹣t）2=（y2﹣3）2+（x﹣1）2，整理得，y2= （x﹣1） 2+ ， 即 y2= x3﹣ x+ ， ∵当点 A 与点 C 重合时，点 B 与点 P 重合， ∴P（1， ）， ∴P 点坐标也满足上式， ∴y2 与 x 之间的函数关系式为 y2= x3﹣ x+ （t≠3）； ②根据题意，借助函数图象： 当抛物线 y2 开口方向向上时，6﹣2t＞0，即 t＜3 时，抛物线 y1 的顶点 M（1，3）， 抛物线 y2 的顶点（1， ）， ∵3＞ ， ∴不合题意， 当抛物线 y2 开口方向向下时，6﹣2t＜0，即 t＞3 时， y1﹣y2=﹣ （x﹣1）2+3﹣[ （x﹣1）2+ ] = （x﹣1）2+ ， 若 3t﹣11≠0，要使 y1＜y2 恒成立， 只要抛物线 y= （x﹣1）2+ 开口方向向下，且顶点（1， ）在 x 轴下方， ∵3﹣t＜0，只要 3t﹣11＞0，解得 t＞ ，符合题意； 若 3t﹣11=0，y1﹣y2=﹣ ＜0，即 t= 也符合题意． 综上，可以使 y1＜y2 恒成立的 t 的取值范围是 t≥ ． 点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法二次函数解的解析式、勾股定理及 二次函数的性质，解答此类题目时要注意数形结合思想的运用．