2013年广安市中考数学试卷解析

四川省广安市 2013 年中考数学试卷 一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意要求，请将符合要求的选 项的代号填涂在机读卡上（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）（2013•广安）4 的算术平方根是（ ） A．±2 B． C．2 D．﹣2 考点：算术平方根． 分析：根据算术平方根的定义即可得出答案． 解答：解：4 的算术平方根是 2， 故选 C． 点评：本题主要考查了算术平方根，注意算术平方根与平方根的区别． 2．（3 分）（2013•广安）未来三年，国家将投入 8450 亿元用于缓解群众“看病难、看病贵” 的问题．将 8450 亿元用科学记数法表示为（ ） A．0.845×104 亿元 B．8.45×103 亿元 C．8.45×104 亿元 D．84.5×102 亿元 考点：科学记数法—表示较大的数． 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答：解：将 8450 亿元用科学记数法表示为 8.45×103 亿元． 故选 B． 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3．（3 分）（2013•广安）下列运算正确的是（ ） A．a2•a4=a8 B．2a2+a2=3a4 C．a6÷a2=a3 D．（ab2）3=a3b6 考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 分析：分别利用合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方法则分的判 断得出即可． 解答：解：A、a2•a4=a6，故此选项错误； B、2a2+a2=3a2，故此选项错误； C、a6÷a2=a4，故此选项错误； D、（ab2）3=a3b6，故此选项正确． 故选：D． 点评：本题考查了合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方，解题的 关键是掌握相关运算的法则． 4．（3 分）（2013•广安）有五个相同的小正方体堆成的物体如图所示，它的主视图是（ ） A． B． C． D． 考点：简单组合体的三视图． 分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 解答：解：从正面看易得第一层有 3 个正方形，第二层最左边有一个正方形． 故选 B． 点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 5．（3 分）（2013•广安）数据 21、12、18、16、20、21 的众数和中位数分别是（ ） A．21 和 19 B．21 和 17 C．20 和 19 D．20 和 18 考点：众数；中位数． 分析：根据众数和中位数的定义求解即可． 解答：解：在这一组数据中 21 是出现次数最多的，故众数是 21； 数据按从小到大排列：12、16、18、20、21、21，中位数是（18+20）÷2=19，故中位 数为 19． 故选 A． 点评：本题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇 数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶 数个，则找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数 可以不止一个． 6．（3 分）（2013•广安）如果 a3xby 与﹣a2ybx+1 是同类项，则（ ） A． B． C． D． 考点：解二元一次方程组；同类项．3718684 专题：计算题 分析：根据同类项的定义列出方程组，然后利用代入消元法求解即可． 解答：解：∵ a3xby 与﹣a2ybx+1 是同类项， ∴ ， ②代入①得，3x=2（x+1）， 解得 x=2， 把 x=2 代入②得，y=2+1=3， 所以，方程组的解是 ． 故选 D． 点评：本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当 未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单，根据同类项的“两同”列出方 程组是解题的关键． 7．（3 分）（2013•广安）等腰三角形的一条边长为 6，另一边长为 13，则它的周长为（ ） A．25 B．25 或 32 C．32 D．19 考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．3718684 分析：因为已知长度为 6 和 13 两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类 讨论． 解答：解：①当 6 为底时，其它两边都为 13， 6、13、13 可以构成三角形， 周长为 32； ②当 6 为腰时， 其它两边为 6 和 13， ∵6+6＜13， ∴不能构成三角形，故舍去， ∴答案只有 32． 故选 C． 点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一 定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答， 这点非常重要，也是解题的关键． 8．（3 分）（2013•广安）下列命题中正确的是（ ） A．函数 y= 的自变量 x 的取值范围是 x＞3 B．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形 C．一组对边平行，另一组对边相等四边形是平行四边形 D．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等 考点：命题与定理． 3718684 分析：根据菱形、等腰梯形的性质以及外心的性质和二次根式的性质分别判断得出即可． 解答：解：A、函数 y= 的自变量 x 的取值范围是 x≥3，故此选项错误； B、菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误； C、一组对边平行，另一组对边相等四边形是也可能是等腰梯形，故此选项错误； D、根据外心的性质，三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，故此选项正确． 故选：D． 点评：此题主要考查了菱形、等腰梯形的性质以及外心的性质和二次根式的性质，熟练掌握 相关定理和性质是解题关键． 9．（3 分）（2013•广安）如图，已知半径 OD 与弦 AB 互相垂直，垂足为点 C，若 AB=8cm， CD=3cm，则圆 O 的半径为（ ） A． cm B．5cm C．4cm D． cm 考点：垂径定理；勾股定理． 3718684 分析：连接 AO，根据垂径定理可知 AC= AB=4cm，设半径为 x，则 OC=x﹣3，根据勾股定 理即可求得 x 的值． 解答：解：连接 AO， ∵半径 OD 与弦 AB 互相垂直， ∴AC= AB=4cm， 设半径为 x，则 OC=x﹣3， 在 Rt△ACO 中，AO2=AC2+OC2， 即 x2=42+（x﹣3）2， 解得：x= ， 故半径为 cm． 故选 A． 点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、勾股 定理的内容，难度一般． 10．（3 分）（2013•广安）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线 x=1．下 列结论： ①abc＞O，②2a+b=O，③b2﹣4ac＜O，④4a+2b+c＞O 其中正确的是（ ） A．①③ B．只有② C．②④ D．③④ 考点：二次函数图象与系数的关系．3718684 分析：由抛物线开口向下，得到 a 小于 0，再由对称轴在 y 轴右侧，得到 a 与 b 异号，可得 出 b 大于 0，又抛物线与 y 轴交于正半轴，得到 c 大于 0，可得出 abc 小于 0，选项 ①错误；由抛物线与 x 轴有 2 个交点，得到根的判别式 b2﹣4ac 大于 0，选项②错误； 由 x=﹣2 时对应的函数值小于 0，将 x=﹣2 代入抛物线解析式可得出 4a﹣2b+c 小于 0， 最后由对称轴为直线 x=1，利用对称轴公式得到 b=﹣2a，得到选项④正确，即可得 到正确结论的序号． 解答：解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0， ∵﹣ ＞0，∴b＜0， ∵抛物线与 y 轴交于正半轴，∴c＞0， ∴abc＜0，①错误； ∵对称轴为直线 x=1，∴﹣ =1，即 2a+b=0，②正确， ∵抛物线与 x 轴有 2 个交点，∴b2﹣4ac＞0，③错误； ∵对称轴为直线 x=1， ∴x=2 与 x=0 时的函数值相等，而 x=0 时对应的函数值为正数， ∴4a+2b+c＞0，④正确； 则其中正确的有②④． 故选 C． 点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），a 的符号由抛 物线开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置及 a 的符号决定；c 的符号由抛物线与 y 轴交点的位置决定；抛物线与 x 轴的交点个数，决定了 b2﹣4ac 的符号，此外还要注 意 x=1，﹣1，2 及﹣2 对应函数值的正负来判断其式子的正确与否． 二、填空题：请将最简答案直接填写在题目后的横线上（本大题共 6 个小题，每小题 3 分．共 18 分） 11．（3 分）（2013•广安）方程 x2﹣3x+2=0 的根是 1 或 2 ． 考点：解一元二次方程-因式分解法． 3718684 专题：因式分解． 分析：由题已知的方程进行因式分解，将原式化为两式相乘的形式，再根据两式相乘值为 0， 这两式中至少有一式值为 0，求出方程的解． 解答：解：因式分解得，（x﹣1）（x﹣2）=0， 解得 x1=1，x2=2． 点评：本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为 0 后方 程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为 0 的特点 解出方程的根，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用． 12．（3 分）（2013•广安）将点 A（﹣1，2）沿 x 轴向右平移 3 个单位长度，再沿 y 轴向下 平移 4 个长度单位后得到点 A′的坐标为 （2，﹣2） ． 考点：坐标与图形变化-平移． 3718684 分析：根据点的平移规律，左右移，横坐标减加，纵坐标不变；上下移，纵坐标加减，横坐 标不变即可解的答案． 解答：解：∵点 A（﹣1，2）沿 x 轴向右平移 3 个单位长度，再沿 y 轴向下平移 4 个长度单 位后得到点 A′， ∴A′的坐标是（﹣1+3，2﹣4）， 即：（2，﹣2）． 故答案为：（2，﹣2）． 点评：此题主要考查了点的平移规律，正确掌握规律是解题的关键． 13．（3 分）（2013•广安）如图，若∠1=40°，∠2=40°，∠3=116°30′，则∠4= 63°30′ ． 考点：平行线的判定与性质． 3718684 分析：根据∠1=∠2 可以判定 a∥b，再根据平行线的性质可得∠3=∠5，再根据邻补角互补 可得答案． 解答：解：∵∠1=40°，∠2=40°， ∴a∥b， ∴∠3=∠5=116°30′， ∴∠4=180°﹣116°30′=63°30′， 故答案为：63°30′． 点评：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握同位角相等，两直线平行． 14．（3 分）（2013•广安）解方程： ﹣1= ，则方程的解是 x=﹣ ． 考点：解分式方程． 3718684 专题：计算题． 分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分 式方程的解． 解答：解：去分母得：4x﹣x+2=﹣3， 解得：x=﹣ ， 经检验是分式方程的解． 故答案为：x=﹣ 点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整 式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 15．（3 分）（2013•广安）如图，如果从半径为 5cm 的圆形纸片上剪去 圆周的一个扇形， 将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是 3 cm． 考点：圆锥的计算． 3718684 分析：因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，则留下的扇形的弧长 = =8π，所以圆锥的底面半径 r= =4cm，利用勾股定理求圆锥的高即 可； 解答：解：∵从半径为 5cm 的圆形纸片上剪去 圆周的一个扇形， ∴留下的扇形的弧长= =8π， 根据底面圆的周长等于扇形弧长， ∴圆锥的底面半径 r= =4cm， ∴圆锥的高为 =3cm 故答案为：3． 点评：此题主要考查了主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构 成直角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 解此类题目要根据所构成的直角三角形的勾股定理作为等量关系求解． 16．（3 分）（2013•广安）已知直线 y= x+ （n 为正整数）与坐标轴围成的三 角形的面积为 Sn，则 S1+S2+S3+…+S2012= ． 考点：一次函数图象上点的坐标特征． 3718684 专题：规律型． 分析：令 x=0，y=0 分别求出与 y 轴、x 轴的交点，然后利用三角形面积公式列式表示出 Sn， 再利用拆项法整理求解即可． 解答：解：令 x=0，则 y= ， 令 y=0，则﹣ x+ =0， 解得 x= ， 所以，Sn= • • = （ ﹣ ）， 所以，S1+S2+S3+…+S2012= （ ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）= （ ﹣ ） = ． 故答案为： ． 点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，表示出 Sn，再利用拆项法写成两个数的 差是解题的关键，也是本题的难点． 三、解答题（本大题共 4 个小题，第 17 小题 5 分，第 18、19、20 小题各 6 分，共 23 分） 17．（6 分）（2013•广安）计算：（ ）﹣1+|1﹣ |﹣ ﹣2sin60°． 考点：实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．3718684 分析：分别进行负整数指数幂、绝对值、开立方、特殊角的三角函数值等运算，然后按照实 数的运算法则计算即可． 解答：解：原式=2+ ﹣1+2﹣2× =3． 点评：本题考查了实数的运算，涉及了负整数指数幂、绝对值、开立方、特殊角的三角函数 值等知识，属于基础题． 18．（6 分）（2013•广安）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中 x=4． 考点：分式的化简求值． 3718684 分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可． 解答：解：原式=（ ﹣ ）÷ = × =﹣ ， 当 x=4 时，原式=﹣ =﹣ ． 点评：本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 19．（6 分）（2013•广安）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE∥CF，求证：△ABE≌△CDF． 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定． 3718684 专题：证明题． 分析：首先证明四边形 AECF 是平行四边形，即可得到 AE=CF，AF=CF，再根据由三对边 相等的两个三角形全等即可证明：△ABE≌△CDF． 解答：证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AE∥CF，AD=BC，AB=CD， ∵AE∥CF， ∴四边形 AECF 是平行四边形， ∴AE=CF，AF=CF， ∴BE=DE， 在△ABE 和△CDF 中， ， ∴△ABE≌△CDF（SSS）． 点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定的理解和掌握，难 度不大，属于基础题． 20．（6 分）（2013•广安）已知反比例函数 y= （k≠0）和一次函数 y=x﹣6． （1）若一次函数与反比例函数的图象交于点 P（2，m），求 m 和 k 的值． （2）当 k 满足什么条件时，两函数的图象没有交点？ 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 3718684 分析：（1）两个函数交点的坐标满足这两个函数关系式，因此将交点的坐标分别代入反比 例函数关系式和一次函数关系式即可求得待定的系数； （2）函数的图象没有交点，即无解，用二次函数根的判别式可解． 解答：解：（1）∵一次函数和反比例函数的图象交于点（2，m）， ∴m=2﹣6， 解得 m=﹣4， 即点 P（2，﹣4）， 则 k=2×（﹣4）=﹣8． ∴m=﹣4，k=﹣8； （2）由联立方程 y= （k≠0）和一次函数 y=x﹣6， 有 =x﹣6，即 x2﹣6x﹣k=0． ∵要使两函数的图象没有交点，须使方程 x2﹣6x﹣k=0 无解． ∴△=（﹣6）2﹣4×（﹣k）=36+4k＜0， 解得 k＜﹣9． ∴当 k＜﹣9 时，两函数的图象没有交点． 点评：本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，注意先代入一次函数解析式，求得两个 函数的交点坐标． 四、实践应用：（本大题共 4 个小题，其中第 21 小题 6 分，地 22、23、24 小题各 8 分，共 30 分） 21．（6 分）（2013•广安）6 月 5 日是“世界环境日”，广安市某校举行了“洁美家园”的演讲比 赛，赛后整理参赛同学的成绩，将学生的成绩分成 A、B、C、D 四个等级，并制成了如下 的条形统计图和扇形图（如图 1、图 2）． （1）补全条形统计图． （2）学校决定从本次比赛中获得 A 和 B 的学生中各选出一名去参加市中学生环保演讲比赛． 已知 A 等中男生有 2 名，B 等中女生有 3 名，请你用“列表法”或“树形图法”的方法求出所 选两位同学恰好是一名男生和一名女生的概率． 考点：条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．3718684 专题：计算题 分析：（1）根据等级为 A 的人数除以所占的百分比求出总人数，进而求出等级 B 的人数， 补全条形统计图即可； （2）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率． 解答： 解：（1）根据题意得：3÷15%=20（人）， 故等级 B 的人数为 20﹣（3+8+4）=5（人）， 补全统计图，如图所示； （2）列表如下： 男 男 女 女 女 男 （男，男） （男，男） （女，男） （女，男） （女，男） 男 （男，男） （男，男） （女，男） （女，男） （女，男） 女 （男，女） （男，女） （女，女） （女，女） （女，女） 所有等可能的结果有 15 种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有 8 种， 则 P 恰好是一名男生和一名女生= ． 点评：此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的 关键． 22．（8 分）（2013•广安）某商场筹集资金 12.8 万元，一次性购进空调、彩电共 30 台．根据 市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于 1.5 万元，其中空调、彩 电的进价和售价见表格． 空调 彩电 进价（元/台） 5400 3500 售价（元/台） 6100 3900 设商场计划购进空调 x 台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为 y 元． （1）试写出 y 与 x 的函数关系式； （2）商场有哪几种进货方案可供选择？ （3）选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？ 考点：一次函数的应用． 3718684 分析：（1）y=（空调售价﹣空调进价）x+（彩电售价﹣彩电进价）×（30﹣x）； （2）根据用于一次性购进空调、彩电共 30 台，总资金为 12.8 万元，全部销售后利润 不少于 1.5 万元．得到一元一次不等式组，求出满足题意的 x 的正整数值即可； （3）利用 y 与 x 的函数关系式 y=150x+6000 的增减性来选择哪种方案获利最大，并 求此时的最大利润即可． 解答：解：（1）设商场计划购进空调 x 台，则计划购进彩电（30﹣x）台，由题意，得 y=（6100﹣5400）x+（3900﹣3500）（30﹣x）=300x+12000； （2）依题意，有 ， 解得 10≤x≤12 ． ∵x 为整数， ∴x=10，11，12． 即商场有三种方案可供选择： 方案 1：购空调 10 台，购彩电 20 台； 方案 2：购空调 11 台，购彩电 19 台； 方案 3：购空调 12 台，购彩电 18 台； （3）∵y=300x+12000，k=300＞0， ∴y 随 x 的增大而增大， 即当 x=12 时，y 有最大值，y 最大=300×12+12000=15600 元． 故选择方案 3：购空调 12 台，购彩电 18 台时，商场获利最大，最大利润是 15600 元． 点评：本题主要考查了一次函数和一元一次不等式组的实际应用，难度适中，得出商场获得 的利润 y 与购进空调 x 的函数关系式是解题的关键．在解答一次函数的应用问题中， 要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义． 23．（8 分）（2013•广安）如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长 400 米，高 8 米，背 水坡的坡角为 45°的防洪大堤（横截面为梯形 ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部 专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 2 米，加固后，背水坡 EF 的坡比 i=1：2． （1）求加固后坝底增加的宽度 AF 的长； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？ 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 3718684 专题：应用题． 分析：（1）分别过 E、D 作 AB 的垂线，设垂足为 G、H．在 Rt△EFG 中，根据坡面的铅直 高度（即坝高）及坡比，即可求出 FG 的长，同理可在 Rt△ADH 中求出 AH 的长； 由 AF=FG+GH﹣AH 求出 AF 的长． （2）已知了梯形 AFED 的上下底和高，易求得其面积．梯形 AFED 的面积乘以坝长 即为所需的土石的体积． 解答：解：（1）分别过点 E、D 作 EG⊥AB、DH⊥AB 交 AB 于 G、H， ∵四边形 ABCD 是梯形，且 AB∥CD， ∴DH 平行且等于 EG， 故四边形 EGHD 是矩形， ∴ED=GH， 在 Rt△ADH 中，AH=DH÷tan∠DAH=8÷tan45°=8（米）， 在 Rt△FGE 中，i=1：2= ， ∴FG=2EG=16（米）， ∴AF=FG+GH﹣AH=16+2﹣8=10（米）； （2）加宽部分的体积 V=S 梯形 AFED×坝长= ×（2+10）×8×400=19200（立方米）． 答：（1）加固后坝底增加的宽度 AF 为 10 米；（2）完成这项工程需要土石 19200 立 方米． 点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直 角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般． 24．（8 分）（2013•广安）雅安芦山发生 7.0 级地震后，某校师生准备了一些等腰直角三角形 纸片，从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具，寄给灾区的小朋友．已知如图，是腰长为 4 的等腰直角三角形 ABC，要求剪出的半圆的直径在△ABC 的边上，且半圆的弧与△ABC 的 其他两边相切，请作出所有不同方案的示意图，并求出相应半圆的半径（结果保留根号）． 考点：作图—应用与设计作图． 3718684 专题：作图题． 分析：分直径在直角边 AC、BC 上和在斜边 AB 上三种情况分别求出半圆的半径，然后作出 图形即可． 解答：解：根据勾股定理，斜边 AB= =4 ， ①如图 1、图 2，直径在直角边 BC 或 AC 上时， ∵半圆的弧与△ABC 的其它两边相切， ∴ = ， 解得 r=4 ﹣4， ②如图 3，直径在斜边 AB 上时，∵半圆的弧与△ABC 的其它两边相切， ∴ = ， 解得 r=2， 作出图形如图所示： 点评：本题考查了应用与设计作图，主要利用了直线与圆相切，相似三角形对应边成比例的 性质，分别求出半圆的半径是解题的关键． 五、理论与论证（9 分） 25．（9 分）（2013•广安）如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作半圆⊙0，交 BC 于点 D，连接 AD，过点 D 作 DE⊥AC，垂足为点 E，交 AB 的延长线于点 F． （1）求证：EF 是⊙0 的切线． （2）如果⊙0 的半径为 5，sin∠ADE= ，求 BF 的长． 考点：切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形． 3718684 分析：（1）连结 OD，AB 为⊙0 的直径得∠ADB=90°，由 AB=AC，根据等腰三角形性质得 AD 平分 BC，即 DB=DC，则 OD 为△ABC 的中位线，所以 OD∥AC，而 DE⊥AC， 则 OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论； （2）由∠DAC=∠DAB，根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在 Rt△ADB 中， 利用解直角三角形的方法可计算出 AD=8，在 Rt△ADE 中可计算出 AE= ，然后由 OD∥AE， 得△FDO∽△FEA，再利用相似比可计算出 BF． 解答：（1）证明：连结 OD，如图， ∵AB 为⊙0 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴AD 平分 BC，即 DB=DC， ∵OA=OB， ∴OD 为△ABC 的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE， ∴EF 是⊙0 的切线； （2）解：∵∠DAC=∠DAB， ∴∠ADE=∠ABD， 在 Rt△ADB 中，sin∠ADE=sin∠ABD= = ，而 AB=10， ∴AD=8， 在 Rt△ADE 中，sin∠ADE= = ， ∴AE= ， ∵OD∥AE， ∴△FDO∽△FEA， ∴ = ，即 = ， ∴BF= ． 点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考 查了等腰三角形的性质、圆周角定理和解直角三角形． 六、拓展探究（10 分） 26．（9 分）（2013•广安）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A、B、 C 三点，已知点 A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）． （1）求此抛物线的解析式． （2）点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点，（不与点 A、B 重合），过点 P 作 x 轴的垂线， 垂足为 F，交直线 AB 于点 E，作 PD⊥AB 于点 D． ①动点 P 在什么位置时，△PDE 的周长最大，求出此时 P 点的坐标； ②连接 PA，以 AP 为边作图示一侧的正方形 APMN，随着点 P 的运动，正方形的大小、位 置也随之改变．当顶点 M 或 N 恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的 P 点的坐标．（结 果保留根号） 考点：二次函数综合题． 3718684 专题：代数几何综合题． 分析：（1）把点 A、B、C 的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解 答即可； （2）①根据点 A、B 的坐标求出 OA=OB，从而得到△AOB 是等腰直角三角形，根 据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°，然后求出△PED 是等腰直角三角形，根据 等腰直角三角形的性质，PD 越大，△PDE 的周长最大，再判断出当与直线 AB 平行 的直线与抛物线只有一个交点时，PD 最大，再求出直线 AB 的解析式为 y=x+3，设 与 AB 平行的直线解析式为 y=x+m，与抛物线解析式联立消掉 y，得到关于 x 的一元 二次方程，利用根的判别式△=0 列式求出 m 的值，再求出 x、y 的值，从而得到点 P 的坐标； ②先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点 M 在对称轴上时，过点 P 作 PQ⊥对称 轴于 Q，根据同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角边”证明△APF 和 △MPQ 全等，根据全等三角形对应边相等可得 PF=PQ，设点 P 的横坐标为 n，表示 出 PQ 的长，即 PF，然后代入抛物线解析式计算即可得解；（ii）点 N 在对称轴上时， 同理求出△APF 和△ANQ 全等，根据全等三角形对应边相等可得 PF=AQ，根据点 A 的坐标求出点 P 的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点 P 的坐标． 解答：解：（1）∵抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）， ∴ ， 解得 ， 所以，抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3； （2）①∵A（﹣3，0），B（0，3）， ∴OA=OB=3， ∴△AOB 是等腰直角三角形， ∴∠BAO=45°， ∵PF⊥x 轴， ∴∠AEF=90°﹣45°=45°， 又∵PD⊥AB， ∴△PDE 是等腰直角三角形， ∴PD 越大，△PDE 的周长越大， 易得直线 AB 的解析式为 y=x+3， 设与 AB 平行的直线解析式为 y=x+m， 联立 ， 消掉 y 得，x2+3x+m﹣3=0， 当△=32﹣4×1×（m﹣3）=0， 即 m= 时，直线与抛物线只有一个交点，PD 最长， 此时 x=﹣ ，y=﹣ + = ， ∴点 P（﹣ ， ）时，△PDE 的周长最大； ②抛物线 y=﹣x2﹣2x+3 的对称轴为直线 x=﹣ =﹣1， （i）如图 1，点 M 在对称轴上时，过点 P 作 PQ⊥对称轴于 Q， 在正方形 APMN 中，AP=PM，∠APM=90°， ∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°， ∴∠APF=∠QPM， ∵在△APF 和△MPQ 中， ， ∴△APF≌△MPQ（AAS）， ∴PF=PQ， 设点 P 的横坐标为 n（n＜0），则 PQ=﹣1﹣n， 即 PF=﹣1﹣n， ∴点 P 的坐标为（n，﹣1﹣n）， ∵点 P 在抛物线 y=﹣x2﹣2x+3 上， ∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n， 整理得，n2+n﹣4=0， 解得 n1= （舍去），n2= ， ﹣1﹣n=﹣1﹣ = ， 所以，点 P 的坐标为（ ， ）； （ii）如图 2，点 N 在对称轴上时，设抛物线对称轴与 x 轴交于点 Q， ∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°， ∴∠FPA=∠QAN， 又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN， ∴△APF≌△NAQ， ∴PF=AQ， 设点 P 坐标为 P（x，﹣x2﹣2x+3）， 则有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2， 解得 x= ﹣1（不合题意，舍去）或 x=﹣ ﹣1， 此时点 P 坐标为（﹣ ﹣1，2）． 综上所述，当顶点 M 恰好落在抛物线对称轴上时，点 P 坐标为（ ， ），当顶点 N 恰好落在抛物线对称轴上时，点 P 的坐标为（﹣ ﹣1，2）． 点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角 形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，抛物线上点的坐标特征， （2）确定出△PDE 是等腰直角三角形，从而判断出点 P 为平行于 AB 的直线与抛物 线只有一个交点时的位置是解题的关键，（3）根据全等三角形的性质用点 P 的横坐标 表示出纵坐标或用纵坐标求出横坐标是解题的关键．