2013年恩施州中考数学试卷解析

湖北省恩施州 2013 年中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分。在每小题给出的四个选项中， 恰有一项是符合要求的。） 1．（3 分）（2013•恩施州） 的相反数是（ ） A． B．﹣ C．3 D．﹣3 考点：相反数． 分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数求解后选择即可． 解答：解：﹣ 的相反数是 ． 故选 A． 点评：本题主要考查了互为相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 2．（3 分）（2013•恩施州）今年参加恩施州初中毕业学业考试的考试约有 39360 人，请将数 39360 用科学记数法表示为（保留三位有效数字）（ ） A．3.93×104 B．3.94×104 C．0.39×105 D．394×102 考点：科学记数法与有效数字． 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值是易 错点，由于 39360 有 5 位，所以可以确定 n=5﹣1=4． 有效数字的计算方法是：从左边第一个不是 0 的数字起，后面所有的数字都是有效数 字． 用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的 a 有关，与 10 的多少次方无关． 解答：解：39360=3.936×104≈3.94×104． 故选：B． 点评：此题考查了科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方 法． 3．（3 分）（2013•恩施州）如图所示，∠1+∠2=180°，∠3=100°，则∠4 等于（ ） A．70° B．80° C．90° D．100° 考点：平行线的判定与性质． 分析：首先证明 a∥b，再根据两直线平行同位角相等可得∠3=∠6，再根据对顶角相等可得 ∠4． 解答：解：∵∠1+∠5=180°，∠1+∠2=180°， ∴∠2=∠5， ∴a∥b， ∴∠3=∠6=100°， ∴∠4=100°． 故选：D． 点评：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握两直线平行同位角相等． 4．（3 分）（2013•恩施州）把 x2y﹣2y2x+y3 分解因式正确的是（ ） A．y（x2﹣2xy+y2） B．x2y﹣y2（2x﹣y） C．y（x﹣y）2 D．y（x+y）2 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 分析：首先提取公因式 y，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 解答：解：x2y﹣2y2x+y3 =y（x2﹣2yx+y2） =y（x﹣y）2． 故选：C． 点评：本题主要考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行 二次分解，注意分解要彻底． 5．（3 分）（2013•恩施州）下列运算正确的是（ ） A．x3•x2=x6 B．3a2+2a2=5a2 C．a（a﹣1）=a2﹣1 D．（a3）4=a7 考点：多项式乘多项式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 3718684 分析：根据乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、合并同类项的运算法则分别进 行计算，即可得出答案． 解答：解：A、x3•x2=x5，故本选项错误； B、3a2+2a2=5a2，故本选项正确； C、a（a﹣1）=a2﹣a，故本选项错误； D、（a3）4=a12，故本选项错误； 故选 B． 点评：此题考查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、合并同类项，掌握 幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、合并同类项的运算法则是解题 的关键，是一道基础题． 6．（3 分）（2013•恩施州）如图所示，下列四个选项中，不是正方体表面展开图的是（ ） A． B． C． D． 考点：几何体的展开图． 分析：由平面图形的折叠及正方体的展开图解题． 解答：解：选项 A，B，D 折叠后都可以围成正方体； 而 C 折叠后折叠后第一行两个面无法折起来，而且下边没有面，不能折成正方体． 故选 C． 点评：本题考查了正方体的展开图，解题时勿忘记四棱柱的特征及无盖正方体展开图的各种 情形． 7．（3 分）（2013•恩施州）下列命题正确的是（ ） A．若 a＞b，b＜c，则 a＞c B．若 a＞b，则 ac＞bcC．若 a＞b，则 ac2＞ bc2 D．若 ac2＞bc2，则 a ＞b 考点：不等式的性质；命题与定理． 分析：根据不等式的基本性质，取特殊值法进行解答． 解答：解：A、可设 a=4，b=3，c=4，则 a=c．故本选项错误； B、当 c=0 或 c＜0 时，不等式 ac＞bc 不成立．故本选项错误； C、当 c=0 时，不等式 ac2＞bc2 不成立．故本选项错误； D、由题意知，c2＞0，则在不等式 ac2＞bc2 的两边同时除以 c2，不等式仍成立，即 ac2＞bc2，故本选项正确． 故选 D． 点评：主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时， 应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 8．（3 分）（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影 区域内的概率为（ ） A． B． C． D． 考点：几何概率；平行四边形的性质． 分析：先根据平行四边形的性质求出对角线所分的四个三角形面积相等，再求出概率即可． 解答：解：∵四边形是平行四边形， ∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分， 观察发现：图中阴影部分面积= S 四边形， ∴针头扎在阴影区域内的概率为 ， 故选：B． 点评：此题主要考查了几何概率，以及平行四边形的性质，用到的知识点为：概率=相应的 面积与总面积之比． 9．（3 分）（2013•恩施州）把抛物线 先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位， 得到的抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 考点：二次函数图象与几何变换 分析：确定出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减 求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出抛物线解析式即可． 解答：解：抛物线 y= x2﹣1 的顶点坐标为（0，﹣1）， ∵向右平移一个单位，再向下平移 2 个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）， ∴得到的抛物线的解析式为 y= （x﹣1）2﹣3． 故选 B． 点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减， 利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便． 10．（3 分）（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 为 OD 的中点，连接 AE 并延长交 DC 于点 F，则 DF：FC=（ ） A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．3718684 分析：首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E 为 OD 的中点，求出 DF：AB 的值，又知 AB=DC，即可得出 DF：FC 的值． 解答：解：在平行四边形 ABCD 中，AB∥DC， 则△DFE∽△BAE， ∴ = ， ∵O 为对角线的交点， ∴DO=BO， 又∵E 为 OD 的中点， ∴DE= DB， 则 DE：EB=1：3， ∴DF：AB=1：3， ∵DC=AB， ∴DF：DC=1：3， ∴DF：FC=1：2． 故选 D． 点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的 关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值． 11．（3 分）（2013•恩施州）如甲、乙两图所示，恩施州统计局对 2009 年恩施州各县市的固 定资产投资情况进行了统计，并绘成了以下图表，请根据相关信息解答下列问题： 2009 年恩施州各县市的固定资产投资情况表：（单位：亿元） 单位 恩施市 利川县 建始县 巴东县 宜恩县 咸丰县 来凤县 鹤峰县 州直 投资额 60 28 24 23 14 16 15 5 下列结论不正确的是（ ） A．2009 年恩施州固定资产投资总额为 200 亿元 B．2009 年恩施州各单位固定资产投资额的中位数是 16 亿元 C．2009 年来凤县固定资产投资额为 15 亿元 D．2009 年固定资产投资扇形统计图中表示恩施市的扇形的圆心角为 110° 考点：条形统计图；扇形统计图． 分析：利用建始县得投资额÷所占百分比可得总投资额；利用总投资额减去各个县市的投资 额可得来凤县固定资产投资额，再根据中位数定义可得 2009 年恩施州各单位固定资 产投资额的中位数；利用 360°× 可得圆心角，进而得到答案． 解答：解：A、24÷12%=200（亿元），故此选项不合题意； B、来凤投资额：200﹣60﹣28﹣25﹣23﹣14﹣16﹣15﹣5=15（亿元）， 把所有的数据从小到大排列：60，28，24，23，16，15，15，14，5，位置处于中间 的数是 16，故此选项不合题意； C、来凤投资额：200﹣60﹣28﹣25﹣23﹣14﹣16﹣15﹣5=15（亿元），故此选项不合 题意； D、360°× =108°，故此选项符合题意； 故选：D． 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及中位数，读懂统计图，从不 同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项 目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 12．（3 分）（2013•恩施州）如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为 1 的正方形 ABCD， 将正方形 ABCD 沿 x 轴的正方向无滑动的在 x 轴上滚动，当点 A 离开原点后第一次落在 x 轴上时，点 A 运动的路径线与 x 轴围成的面积为（ ） A． B． C．π+1 D． 考点：扇形面积的计算；正方形的性质；旋转的性质． 分析：画出示意图，结合图形及扇形的面积公式即可计算出点 A 运动的路径线与 x 轴围成的 面积． 解答： 解：如图所示： 点 A 运动的路径线与 x 轴围成的面积 =S1+S2+S3+2a= + + +2×（ ×1×1）=π+1． 故选 C． 点评：本题考查了扇形的面积计算，解答本题如果不能直观想象出图形，可以画出图形再求 解，注意熟练掌握扇形的面积计算公式． 二、填空题（本大题共有 4 小题，每小题 3 分，共 12 分。不要求写出解答过程，请把答案 直接填写在相应的位置上） 13．（3 分）（2013•恩施州）25 的平方根是 ±5 ． 考点：平方根． 分析：如果一个数 x 的平方等于 a，那么 x 是 a 是平方根，根据此定义即可解题． 解答：解：∵（±5）2=25 ∴25 的平方根±5． 故答案为：±5． 点评：本题主要考查了平方根定义的运用，比较简单． 14．（3 分）（2013•恩施州）函数 y= 的自变量 x 的取值范围是 x≤3 且 x≠﹣2 ． 考点：函数自变量的取值范围．3718684 分析：根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式进行计算即可得解． 解答：解：根据题意得，3﹣x≥0 且 x+2≠0， 解得 x≤3 且 x≠﹣2． 故答案为：x≤3 且 x≠﹣2． 点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 15．（3 分）（2013•恩施州）如图所示，一半径为 1 的圆内切于一个圆心角为 60°的扇形，则 扇形的周长为 6+π ． 考点：相切两圆的性质；含 30 度角的直角三角形；切线的性质；弧长的计算． 分析：首先求出扇形半径，进而利用扇形弧长公式求出扇形弧长，进而得出扇形周长． 解答：解：如图所示：设⊙O 与扇形相切于点 A，B， 则∠CAO=90°，∠AOB=30°， ∵一半径为 1 的圆内切于一个圆心角为 60°的扇形， ∴AO=1， ∴CO=2AO=2， ∴BC=2=1=3， ∴扇形的弧长为： =π， ∴则扇形的周长为：3+3+π=6+π． 故答案为：6+π． 点评：此题主要考查了相切两圆的性质以及扇形弧长公式等知识，根据已知得出扇形半径是 解题关键． 16．（3 分）（2013•恩施州）把奇数列成下表， 根据表中数的排列规律，则上起第 8 行，左起第 6 列的数是 171 ． 考点：规律型：数字的变化类． 分析：根据第 6 列数字从 31 开始，依次加 14，16，18…得出第 8 行数字，进而求出即可． 解答：解：由图表可得出：第 6 列数字从 31 开始，依次加 14，16，18… 则第 8 行，左起第 6 列的数为：31+14+16+18+20+22+24+26=171． 故答案为：171． 点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出没行与每列的变化规律是解题关键． 三、解答题（本大题共有 8 个小题，共 72 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤） 17．（8 分）（2013•恩施州）先简化，再求值： ，其中 x= ． 考点：分式的化简求值． 3718684 专题：计算题． 分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可． 解答：解：原式= ÷ = × = ， 当 x= ﹣2 时，原式=﹣ =﹣ ． 点评：本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 18．（8 分）（2013•恩施州）如图所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、 H 分别为边 AB、BC、CD、DA 的中点，求证：四边形 EFGH 为菱形． 考点：菱形的判定；梯形；中点四边形． 专题：证明题． 分析：连接 AC、BD，根据等腰梯形的对角线相等可得 AC=BD，再根据三角形的中位线平 行于第三边并且等于第三边的一半求出 EF=GH= AC，HE=FG= BD，从而得到 EF=FG=GH=HE，再根据四条边都相等的四边形是菱形判定即可． 解答：证明：如图，连接 AC、BD， ∵AD∥BC，AB=CD， ∴AC=BD， ∵E、F、G、H 分别为边 AB、BC、CD、DA 的中点， ∴在△ABC 中，EF= AC， 在△ADC 中，GH= AC， ∴EF=GH= AC， 同理可得，HE=FG= BD， ∴EF=FG=GH=HE， ∴四边形 EFGH 为菱形． 点评：本题考查了菱形的判定，等腰梯形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边并且 等于第三边的一半，作辅助线是利用三角形中位线定理的关键，也是本题的难点． 19．（8 分）（2013•恩施州）一个不透明的袋子里装有编号分别为 1、2、3 的球（除编号以 为，其余都相同），其中 1 号球 1 个，3 号球 3 个，从中随机摸出一个球是 2 号球的概率为 ． （1）求袋子里 2 号球的个数． （2）甲、乙两人分别从袋中摸出一个球（不放回），甲摸出球的编号记为 x，乙摸出球的编 号记为 y，用列表法求点 A（x，y）在直线 y=x 下方的概率． 考点：列表法与树状图法；一次函数的性质；概率公式． 3718684 分析：（1）首先设袋子里 2 号球的个数为 x 个．根据题意得： = ，解此方程即可求 得答案； （2）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与点 A（x，y） 在直线 y=x 下方的情况，再利用概率公式即可求得答案． 解答：解：（1）设袋子里 2 号球的个数为 x 个． 根据题意得： = ， 解得：x=2， 经检验：x=2 是原分式方程的解， ∴袋子里 2 号球的个数为 2 个． （2）列表得： 3 （1，3） （2，3） （2，3） （3，3） （3，3） ﹣ 3 （1，3） （2，3） （2，3） （3，3） ﹣ （3，3） 3 （1，3） （2，3） （2，3） ﹣ （3，3） （3，3） 2 （1，2） （2，2） ﹣ （3，2） （3，2） （3，2） 2 （1，2） ﹣ （2，2） （3，2） （3，2） （3，2） 1 ﹣ （2，1） （2，1） （3，1） （3，1） （3，1） 1 2 2 3 3 3 ∵共有 30 种等可能的结果，点 A（x，y）在直线 y=x 下方的有 11 个， ∴点 A（x，y）在直线 y=x 下方的概率为： ． 点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏 的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以 上完成的事件．注意：概率=所求情况数与总情况数之比． 20．（8 分）（2013•恩施州）如图所示，等边三角形 ABC 放置在平面直角坐标系中，已知 A （0，0）、B（6，0），反比例函数的图象经过点 C． （1）求点 C 的坐标及反比例函数的解析式． （2）将等边△ABC 向上平移 n 个单位，使点 B 恰好落在双曲线上，求 n 的值． 考点：反比例函数综合题．3718684 分析：（1）过 C 点作 CD⊥x 轴，垂足为 D，设反比例函数的解析式为 y= ，根据等边三角 形的知识求出 AC 和 CD 的长度，即可求出 C 点的坐标，把 C 点坐标代入反比例函数 解析式求出 k 的值． （2）若等边△ABC 向上平移 n 个单位，使点 B 恰好落在双曲线上，则此时 B 点的横 坐标即为 6，求出纵坐标，即可求出 n 的值． 解答：解：（1）过 C 点作 CD⊥x 轴，垂足为 D，设反比例函数的解析式为 y= ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴AC=AB=6，∠CAB=60°， ∴AD=3，CD=sin60°×AC= ×6=3 ， ∴点 C 坐标为（3，3 ）， ∵反比例函数的图象经过点 C， ∴k=9 ， ∴反比例函数的解析式 y= ； （2）若等边△ABC 向上平移 n 个单位，使点 B 恰好落在双曲线上， 则此时 B 点的横坐标为 6， 即纵坐标 y= = ，也是向上平移 n= ． 点评：本题主要考查反比例函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以 及平移的相关知识，此题难度不大，是中考的常考点． 21．（8 分）（2013•恩施州）“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点．某校综合实践 活动小组先在峡谷对面的广场上的 A 处测得“香顶”N 的仰角为 45°，此时，他们刚好与“香 底”D 在同一水平线上．然后沿着坡度为 30°的斜坡正对着“一炷香”前行 110，到达 B 处，测 得“香顶”N 的仰角为 60°．根据以上条件求出“一炷香”的高度．（测角器的高度忽略不计，结 果精确到 1 米，参考数据： ， ）． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 分析：首先过点 B 作 BF⊥DN 于点 F，过点 B 作 BE⊥AD 于点 E，可得四边形 BEDF 是矩 形，然后在 Rt△ABE 中，由三角函数的性质，可求得 AE 与 BE 的长，再设 BF=x 米， 利用三角函数的知识即可求得方程：55 +x= x+55，继而可求得答案． 解答：解：过点 B 作 BF⊥DN 于点 F，过点 B 作 BE⊥AD 于点 E， ∵∠D=90°， ∴四边形 BEDF 是矩形， ∴BE=DF，BF=DE， 在 Rt△ABE 中，AE=AB•cos30°=110× =55 （米），BE=AB•sin30°= ×110=55（米）； 设 BF=x 米，则 AD=AE+ED=55 +x（米）， 在 Rt△BFN 中，NF=BF•tan60°= x（米）， ∴DN=DF+NF=55+ x（米）， ∵∠NAD=45°， ∴AD=DN， 即 55 +x= x+55， 解得：x=55， ∴DN=55+ x≈150（米）． 答：“一炷香”的高度为 150 米． 点评：本题考查了仰角与俯角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角与俯角构造直角三角 形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 22．（10 分）（2013•恩施州）某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一 半，进 3 件甲商品和 1 件乙商品恰好用 200 元．甲、乙两种商品的售价每件分别为 80 元、 130 元，该商店决定用不少于 6710 元且不超过 6810 元购进这两种商品共 100 件． （1）求这两种商品的进价． （2）该商店有几种进货方案？哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？ 考点：一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用． 3718684 分析：（1）设甲商品的进价为 x 元，乙商品的进价为 y 元，就有 x= y，3x+y=200，由这两 个方程构成方程组求出其解既可以； （2）设购进甲种商品 m 件，则购进乙种商品（100﹣m）件，根据不少于 6710 元且 不超过 6810 元购进这两种商品 100 的货款建立不等式，求出其值就可以得出进货 方 案，设利润为 W 元，根据利润=售价﹣进价建立解析式就可以求出结论． 解答：解：设甲商品的进价为 x 元，乙商品的进价为 y 元，由题意，得 ， 解得： ． 答：商品的进价为 40 元，乙商品的进价为 80 元； （2）设购进甲种商品 m 件，则购进乙种商品（100﹣m）件，由题意，得 ， 解得：29 ≤m≤32 ∵m 为整数， ∴m=30，31，32， 故有三种进货方案： 方案 1，甲种商品 30 件，乙商品 70 件， 方案 2，甲种商品 31 件，乙商品 69 件， 方案 3，甲种商品 32 件，乙商品 68 件， 设利润为 W 元，由题意，得 W=40m+50（100﹣m）， =﹣10m+5000 ∵k=﹣10＜0， ∴W 随 m 的增大而减小， ∴m=30 时，W 最大=4700． 点评：本题考查了列二元依稀方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式组解实际问题的 运用，方案设计的运用，一次函数的性质的运用，在解答时求出利润的解析式是关键． 23．（10 分）（2013•恩施州）如图所示，AB 是⊙O 的直径，AE 是弦，C 是劣弧 AE 的中点， 过 C 作 CD⊥AB 于点 D，CD 交 AE 于点 F，过 C 作 CG∥AE 交 BA 的延长线于点 G． （1）求证：CG 是⊙O 的切线． （2）求证：AF=CF． （3）若∠EAB=30°，CF=2，求 GA 的长． 考点：切线的判定；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定 与性质． 3718684 专题：证明题． 分析：（1）连结 OC，由 C 是劣弧 AE 的中点，根据垂径定理得 OC⊥AE，而 CG∥AE，所 以 CG⊥OC，然后根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连结 AC、BC，根据圆周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而 CD⊥AB，则 ∠CDB=90°，根据等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到 AF=CF； （3）在 Rt△ADF 中，由于∠DAF=30°，FA=FC=2，根据含 30 度的直角三角形三边 的关系得到 DF=1，AD= ，再由 AF∥CG，根据平行线分线段成比例得到 DA： AG=DF：CF 然后把 DF=1，AD= ，CF=2 代入计算即可． 解答：（1）证明：连结 OC，如图， ∵C 是劣弧 AE 的中点， ∴OC⊥AE， ∵CG∥AE， ∴CG⊥OC， ∴CG 是⊙O 的切线； （2）证明：连结 AC、BC， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠2+∠BCD=90°， 而 CD⊥AB， ∴∠B+∠BCD=90°， ∴∠B=∠2， ∵AC 弧=CE 弧， ∴∠1=∠B， ∴∠1=∠2， ∴AF=CF； （3）解：在 Rt△ADF 中，∠DAF=30°，FA=FC=2， ∴DF= AF=1， ∴AD= DF= ， ∵AF∥CG， ∴DA：AG=DF：CF，即 ：AG=1：2， ∴AG=2 ． 点评：本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查 了圆周角定理、垂径定理和等腰三角形的判定． 24．（12 分）（2013•恩施州）如图所示，直线 l：y=3x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B．把 △AOB 沿 y 轴翻折，点 A 落到点 C，抛物线过点 B、C 和 D（3，0）． （1）求直线 BD 和抛物线的解析式． （2）若 BD 与抛物线的对称轴交于点 M，点 N 在坐标轴上，以点 N、B、D 为顶点的三角 形与△MCD 相似，求所有满足条件的点 N 的坐标． （3）在抛物线上是否存在点 P，使 S△PBD=6？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明 理由． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）由待定系数法求出直线 BD 和抛物线的解析式； （2）首先确定△MCD 为等腰直角三角形，因为△BND 与△MCD 相似，所以△BND 也是等腰直角三角形．如答图 1 所示，符合条件的点 N 有 3 个； （3）如答图 2、答图 3 所示，解题关键是求出△PBD 面积的表达式，然后根据 S△PBD=6 的已知条件，列出一元二次方程求解． 解答：解：（1）∵直线 l：y=3x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， ∴A（﹣1，0），B（0，3）； ∵把△AOB 沿 y 轴翻折，点 A 落到点 C，∴C（1，0）． 设直线 BD 的解析式为：y=kx+b， ∵点 B（0，3），D（3，0）在直线 BD 上， ∴ ， 解得 k=﹣1，b=3， ∴直线 BD 的解析式为：y=﹣x+3． 设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3）， ∵点 B（0，3）在抛物线上， ∴3=a×（﹣1）×（﹣3）， 解得：a=1， ∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3． （2）抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线 x=2，顶点坐标为（2，﹣1）． 直线 BD：y=﹣x+3 与抛物线的对称轴交于点 M，令 x=2，得 y=1， ∴M（2，1）． 设对称轴与 x 轴交点为点 F，则 CF=FD=MN=1， ∴△MCD 为等腰直角三角形． ∵以点 N、B、D 为顶点的三角形与△MCD 相似， ∴△BND 为等腰直角三角形． 如答图 1 所示： （I）若 BD 为斜边，则易知此时直角顶点为原点 O， ∴N1（0，0）； （II）若 BD 为直角边，B 为直角顶点，则点 N 在 x 轴负半轴上， ∵OB=OD=ON2=3， ∴N2（﹣3，0）； （III）若 BD 为直角边，D 为直角顶点，则点 N 在 y 轴负半轴上， ∵OB=OD=ON3=3， ∴N3（0，﹣3）． ∴满足条件的点 N 坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）． （3）假设存在点 P，使 S△PBD=6，设点 P 坐标为（m，n）． （I）当点 P 位于直线 BD 上方时，如答图 2 所示： 过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，则 PE=n，DE=m﹣3． S△PBD=S 梯形 PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE= （3+n）•m﹣ ×3×3﹣ （m﹣3）•n=6， 化简得：m+n=7 ①， ∵P（m，n）在抛物线上， ∴n=m2﹣4m+3， 代入①式整理得：m2﹣3m﹣4=0， 解得：m1=4，m2=﹣1， ∴n1=3，n2=8， ∴P1（4，3），P2（﹣1，8）； （II）当点 P 位于直线 BD 下方时，如答图 3 所示： 过点 P 作 PE⊥y 轴于点 E，则 PE=m，OE=﹣n，BE=3﹣n． S△PBD=S 梯形 PEOD+S△BOD﹣S△PBE= （3+m）•（﹣n）+ ×3×3﹣ （3﹣n）•m=6， 化简得：m+n=﹣1 ②， ∵P（m，n）在抛物线上， ∴n=m2﹣4m+3， 代入②式整理得：m2﹣3m+4=0，△=﹣7＜0，此方程无解． 故此时点 P 不存在． 综上所述，在抛物线上存在点 P，使 S△PBD=6，点 P 的坐标为（4，3）或（﹣1，8）． 点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的 判定与性质、图形面积计算、解一元二次方程等知识点，考查了数形结合、分类讨论 的数学思想．第（2）（3）问均需进行分类讨论，避免漏解．