2013年德州市中考数学试卷解析

山东省德州市 2013 年中考数学试卷 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1．（3 分）（2013• 德州）下列计算正确的是（ ） A． =9 B． =﹣2 C．（﹣2）0=﹣1 D．|﹣5﹣3|=2 考点：负整数指数幂；绝对值；算术平方根；零指数幂． 分析：对各项分别进行负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、绝对值的化简等运算，然后 选出正确选项即可． 解答：解：A、（）﹣2=9，该式计算正确，故本选项正确； B、 =2，该式计算错误，故本选项错误； C、（﹣2）0=1，该式计算错误，故本选项错误； D、|﹣5﹣3|=8，该式计算错误，故本选项错误； 故选 A． 点评：本题考查了负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、绝对值的化简等运算，属于基础 题，掌握各知识点运算法则是解题的关键． 2．（3 分）（2013• 德州）民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对 称图形也不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 考点：中心对称图形；轴对称图形． 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 解答：解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项正确； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误． 故选 C． 点评：本题考查了中心对称及轴对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分 折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合． 3．（3 分）（2013• 德州）森林是地球之肺，每年能为人类提供大约 28.3 亿吨的有机物．28.3 亿吨用科学记数法表示为（ ） A．28.3×107 B．2.83×108 C．0.283×1010 D．2.83×109 考点：科学记数法—表示较大的数． 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答：解：28.3 亿=28.3×108=2.83×109． 故选 D． 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 4．（3 分）（2013• 德州）如图，AB∥CD，点 E 在 BC 上，且 CD=CE，∠D=74°，则∠B 的 度数为（ ） A．68° B．32° C．22° D．16° 考点：平行线的性质；等腰三角形的性质． 分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠C 的度数，再根据两直线平行，内错角相等解答即 可． 解答：解：∵CD=CE， ∴∠D=∠DEC， ∵∠D=74°， ∴∠C=180°﹣74°×2=32°， ∵AB∥CD， ∴∠B=∠C=32°． 故选 B． 点评：本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性 质是解题的关键． 5．（3 分）（2013• 德州）图中三视图所对应的直观图是（ ） A． B． C． D． 考点：由三视图判断几何体． 分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 解答：解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为长方体，上面部分为圆柱，且与下面的长 方体的顶面的两边相切高度相同． 只有 C 满足这两点． 故选 C． 点评：本题考查了三视图的概念．易错易混点：学生易忽略圆柱的高与长方体的高的大小关 系，错选 B． 6．（3 分）（2013• 德州）甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程 s（米）与赛跑时间 t（秒） 的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．甲、乙两人的速度相同 B．甲先到达终点 C．乙用的时间短 D．乙比甲跑的路程多 考点：函数的图象． 分析：利用图象可得出，甲，乙的速度，以及所行路程等，注意利用所给数据结合图形逐个 分析． 解答：解：结合图象可知：两人同时出发，甲比乙先到达终点，甲的速度比乙的速度快， 故选 B． 点评：本题考查了函数的图象，关键是会看函数图象，要求同学们能从图象中得到正确信息． 7．（3 分）（2013• 德州）下列命题中，真命题是（ ） A．对角线相等的四边形是等腰梯形 B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．四个角相等的四边形是矩形 考点：命题与定理． 分析：根据矩形、菱形、正方形的判定与性质分别判断得出答案即可． 解答：解：A、根据对角线相等的四边形也可能是矩形，故此选项错误； B、根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故此选项错误； C、根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故此选项错误； D、根据四个角相等的四边形是矩形，是真命题，故此选项正确． 故选：D． 点评：此题主要考查了命题与定理，熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定与性质是解题关键． 8．（3 分）（2013• 德州）下列函数中，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大的是（ ） A．y=﹣x+1 B．y=x2﹣1 C．y= D．y=﹣x2+1 考点：二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质． 分析：根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断． 解答：解：A、y=﹣x+1，一次函数，k＜0，故 y 随着 x 增大而减小，错误； B、y=x2﹣1（x＞0），故当图象在对称轴右侧，y 随着 x 的增大而增大；而在对称轴 左侧（x＜0），y 随着 x 的增大而减小，正确． C、y=，k=1＞0，在每个象限里，y 随 x 的增大而减小，错误； D、y=﹣x2+1（x＞0），故当图象在对称轴右侧，y 随着 x 的增大而减小；而在对称轴 左侧（x＜0），y 随着 x 的增大而增大，错误； 故选 B． 点评：本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性（单调性），是一道难度中 等的题目． 9．（3 分）（2013• 德州）一项“过关游戏”规定：在过第 n 关时要将一颗质地均匀的骰子（六 个面上分别刻有 1 到 6 的点数）抛掷 n 次，若 n 次抛掷所出现的点数之和大于 n2，则算过 关；否则不算过关，则能过第二关的概率是（ ） A． B． C． D． 考点：列表法与树状图法． 分析：由在过第 n 关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有 1 到 6 的点数）抛掷 n 次，n 次抛掷所出现的点数之和大于 n2，则算过关；可得能过第二关的抛掷所出现的 点数之和需要大于 5，然后根据题意列出表格，由表格求得所有等可能的结果与能过 第二关的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 解答：解：∵在过第 n 关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有 1 到 6 的点数）抛 掷 n 次，n 次抛掷所出现的点数之和大于 n2，则算过关； ∴能过第二关的抛掷所出现的点数之和需要大于 5， 列表得： 6 7 8 9 10 11 12 5 6 7 8 9 10 11 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 ∵共有 36 种等可能的结果，能过第二关的有 26 种情况， ∴能过第二关的概率是： = ． 故选 A． 点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏 的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以 上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 10．（3 分）（2013• 德州）如图，扇形 AOB 的半径为 1，∠AOB=90°，以 AB 为直径画半圆， 则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 考点：扇形面积的计算． 分析：首先利用扇形公式计算出半圆的面积和扇形 AOB 的面积，然后求出△AOB 的面积， 用 S 半圆+S△AOB﹣S 扇形 AOB 可求出阴影部分的面积． 解答：解：在 Rt△AOB 中，AB= = ， S 半圆=π×（ ）2=π， S△AOB=OB×OA=， S 扇形 OBA= = ， 故 S 阴影=S 半圆+S△AOB﹣S 扇形 AOB=． 故选 C． 点评：本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式，仔细观察 图形，得出阴影部分面积的表达式． 11．（3 分）（2013• 德州）函数 y=x2+bx+c 与 y=x 的图象如图所示，有以下结论： ①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当 1＜x＜3 时，x2+（b﹣1）x+c＜0． 其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点：二次函数图象与系数的关系． 分析：由函数 y=x2+bx+c 与 x 轴无交点，可得 b2﹣4c＜0；当 x=1 时，y=1+b+c=1；当 x=3 时，y=9+3b+c=3；当 1＜x＜3 时，二次函数值小于一次函数值，可得 x2+bx+c＜x， 继而可求得答案． 解答：解：∵函数 y=x2+bx+c 与 x 轴无交点， ∴b2﹣4c＜0； 故①错误； 当 x=1 时，y=1+b+c=1， 故②错误； ∵当 x=3 时，y=9+3b+c=3， ∴3b+c+6=0； ③正确； ∵当 1＜x＜3 时，二次函数值小于一次函数值， ∴x2+bx+c＜x， ∴x2+（b﹣1）x+c＜0． 故④正确． 故选 B． 点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的 应用． 12．（3 分）（2013• 德州）如图，动点 P 从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点 P 第 2013 次碰到矩形的边时，点 P 的坐标为 （ ） A．（1，4） B．（5，0） C．（6，4） D．（8，3） 考点：规律型：点的坐标． 专题：规律型． 分析：根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每 6 次反弹为一个循环组依次循环，用 2013 除以 6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 解答：解：如图，经过 6 次反弹后动点回到出发点（0，3）， ∵2013÷6=335…3， ∴当点 P 第 2013 次碰到矩形的边时为第 336 个循环组的第 3 次反弹， 点 P 的坐标为（8，3）． 故选 D． 点评：本题是对点的坐标的规律变化的考查了，作出图形，观察出每6 次反弹为一个循环组 依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分） 13．（4 分）（2013• 德州） cos30°的值是 ． 考点：特殊角的三角函数值． 分析：将特殊角的三角函数值代入计算即可． 解答：解： cos30°= × = ． 故答案为： ． 点评：本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，掌握几个特殊角的三角函数值是解题 的关键． 14．（4 分）（2013• 德州）如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识 解释出这一现象的原因 两点之间线段最短 ． 考点：线段的性质：两点之间线段最短；三角形三边关系． 专题：开放型． 分析：根据线段的性质解答即可． 解答：解：为抄近路践踏草坪原因是：两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 点评：本题考查了线段的性质，是基础题，主要利用了两点之间线段最短． 15．（4 分）（2013• 德州）甲乙两种水稻试验品中连续 5 年的平均单位面积产量如下（单位： 吨/公顷） 品种 第 1 年 第 2 年 第 3 年 第 4 年 第 5 年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 经计算， =10， =10，试根据这组数据估计 甲 中水稻品种的产量比较稳定． 考点：方差． 分析：根据方差公式 S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2 ] 分别求出两种水稻的产量的方 差，再进行比较即可． 解答：解：甲种水稻产量的方差是： [（9.8﹣10）2+（9.9﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2 ] =0.02， 乙种水稻产量的方差是： [（9.4﹣10）2+（10.3﹣10）2+（10.8﹣10）2+（9.7﹣10）2+（9.8﹣10）2 ] =0.124． ∴0.02＜0.124， ∴产量比较稳定的小麦品种是甲， 故答案为：甲 点评：此题考查了方差，用到的知识点是方差和平均数的计算公式，一般地设 n 个数据，x1， x2，…xn 的平均数为，则方差 S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2 ] ，它反映了一 组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 16．（4 分）（2013• 德州）函数 y=与 y=x﹣2 图象交点的横坐标分别为 a，b，则+的值为 ﹣ 2 ． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 专题：计算题． 分析：先根据反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式得到=x﹣2，去分母化 为一元二次方程得到 x2﹣2x﹣1=0，根据根与系数的关系得到 a+b=2，ab=﹣1， 然后变形+得 ，再利用整体思想计算即可． 解答：解：根据题意得=x﹣2， 化为整式方程，整理得 x2﹣2x﹣1=0， ∵函数 y=与 y=x﹣2 图象交点的横坐标分别为 a，b， ∴a、b 为方程 x2﹣2x﹣1=0 的两根， ∴a+b=2，ab=﹣1， ∴+= = =﹣2． 故答案为﹣2． 点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满 足两函数的解析式．也考查了一元二次方程根与系数的关系． 17．（4 分）（2013• 德州）如图，在正方形 ABCD 中，边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶点 E、F 分别在 BC 和 CD 上，下列结论： ①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S 正方形 ABCD=2+ ． 其中正确的序号是 ①②④ （把你认为正确的都填上）． 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 分析：根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形 内角和为 180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正确，利用解 三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误． 解答：解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=AD， ∵△AEF 是等边三角形， ∴AE=AF， ∵在 Rt△ABE 和 Rt△ADF 中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF， ∵BC=DC， ∴BC﹣BE=CD﹣DF， ∴CE=CF， ∴①说法正确； ∵CE=CF， ∴△ECF 是等腰直角三角形， ∴∠CEF=45°， ∵∠AEF=60°， ∴∠AEB=75°， ∴②说法正确； 如图，连接 AC，交 EF 于 G 点， ∴AC⊥EF，且 AC 平分 EF， ∵∠CAD≠∠DAF， ∴DF≠FG， ∴BE+DF≠EF， ∴③说法错误； ∵EF=2， ∴CE=CF= ， 设正方形的边长为 a， 在 Rt△ADF 中， a2+（a﹣ ）2=4， 解得 a= ， 则 a2=2+ ， S 正方形 ABCD=2+ ， ④说法正确， 故答案为①②④． 点评：本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明 以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦． 三、解答题（共 7 小题，满分 64 分） 18．（6 分）（2013• 德州）先化简，再求值： ÷ ，其中 a= ﹣1． 考点：分式的化简求值． 专题：计算题． 分析：将括号内的部分通分后相减，再将除法转化为乘法后代入求值． 解答： 解：原式=[ ﹣ ] • = • = • = ． 当 a= ﹣1 时，原式= =1． 点评：本题考查了分式的化简求值，熟悉通分、约分及因式分解是解题的关键． 19．（8 分）（2013• 德州）某区在实施居民用水额定管理前，对居民生活用水情况进行了调 查，下表是通过简单随机抽样获得的 50 个家庭去年月平均用水量（单位：吨），并将调查数 据进行如下整理： 4.7 2.1 3.1 2.3 5.2 2.8 7.3 4.3 4.8 6.7 4.5 5.1 6.5 8.9 2.2 4.5 3.2 3.2 4.5 3.5 3.5 3.5 3.6 4.9 3.7 3.8 5.6 5.5 5.9 6.2 5.7 3.9 4.0 4.0 7.0 3.7 9.5 4.2 6.4 3.5 4.5 4.5 4.6 5.4 5.6 6.6 5.8 4.5 6.2 7.5 频数分布表 分组 划记 频数 2.0＜x≤3.5 正正 11 3.5＜x≤5.0 19 5.0＜x≤6.5 6.5＜x≤8.0 8.0＜x≤9.5 合计 2 50 （1）把上面频数分布表和频数分布直方图补充完整； （2）从直方图中你能得到什么信息？（写出两条即可）； （3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按 1.5 倍价格收 费，若要使 60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？为什么？ 考点：频数（率）分布直方图；频数（率）分布表． 分析：（1）根据题中给出的 50 个数据，从中分别找出 5.0＜x≤6.5 与 6.5＜x≤8.0 的个数， 进行划记，得到对应的频数，进而完成频数分布表和频数分布直方图； （2）本题答案不唯一．例如：从直方图可以看出：①居民月平均用水量大部分在 2.0 至 6.5 之间；②居民月平均用水量在 3.5＜x≤5.0 范围内的最多，有 19 户； （3）由于 50×60%=30，所以为了鼓励节约用水，要使 60%的家庭收费不受影响，即 要使 30 户的家庭收费不受影响，而 11+19=30，故家庭月均用水量应该定为 5 吨． 解答：解：（1）频数分布表如下： 分组 划记 频数 2.0＜x≤3.5 正正 11 3.5＜x≤5.0 19 5.0＜x≤6.5 6.5＜x≤8.0 13 5 8.0＜x≤9.5 合计 2 50 频数分布直方图如下： （2）从直方图可以看出：①居民月平均用水量大部分在 2.0 至 6.5 之间；②居民月平 均用水量在 3.5＜x≤5.0 范围内的最多，有 19 户； （3）要使 60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为 5 吨，因为月 平均用水量不超过 5 吨的有 30 户，30÷50=60%． 点评：本题考查读频数分布直方图和频数分布表的能力及利用统计图表获取信息的能力；利 用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解 决问题． 20．（8 分）（2013• 德州）如图，已知⊙O 的半径为 1，DE 是⊙O 的直径，过点 D 作⊙O 的切线 AD，C 是 AD 的中点，AE 交⊙O 于 B 点，四边形 BCOE 是平行四边形． （1）求 AD 的长； （2）BC 是⊙O 的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由． 考点：切线的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的性质． 专题：计算题． 分析：（1）连接 BD，由 ED 为圆 O 的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠DBE 为 直角，由 BCOE 为平行四边形，得到 BC 与 OE 平行，且 BC=OE=1，在直角三角形 ABD 中，C 为 AD 的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出 AD 的长即可； （2）连接 OB，由 BC 与 OD 平行，BC=OD，得到四边形 BCDO 为平行四边形，由 AD 为圆的切线，利用切线的性质得到 OD 垂直于 AD，可得出四边形 BCDO 为矩形， 利用矩形的性质得到 OB 垂直于 BC，即可得出 BC 为圆 O 的切线． 解答：解：（1）连接 BD，则∠DBE=90°， ∵四边形 BCOE 为平行四边形， ∴BC∥OE，BC=OE=1， 在 Rt△ABD 中，C 为 AD 的中点， ∴BC=AD=1， 则 AD=2； （2）连接 OB， ∵BC∥OD，BC=OD， ∴四边形 BCDO 为平行四边形， ∵AD 为圆 O 的切线， ∴OD⊥AD， ∴四边形 BCDO 为矩形， ∴OB⊥BC， 则 BC 为圆 O 的切线． 点评：此题考查了切线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及平行四边形的判 定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 21．（10 分）（2013• 德州）某地计划用 120﹣180 天（含 120 与 180 天）的时间建设一项水 利工程，工程需要运送的土石方总量为 360 万米 3． （1）写出运输公司完成任务所需的时间 y（单位：天）与平均每天的工作量 x（单位：万米 3）之间的函数关系式，并给出自变量 x 的取值范围； （2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多 5000 米 3，工期比原计划减 少了 24 天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米 3？ 考点：反比例函数的应用；分式方程的应用． 专题：应用题． 分析：（1）利用“每天的工作量×天数=土方总量”可以得到两个变量之间的函数关系； （2）根据“工期比原计划减少了 24 天”找到等量关系并列出方程求解即可； 解答：解：（1）由题意得，y= 把 y=120 代入 y= ，得 x=3 把 y=180 代入 y= ，得 x=2， ∴自变量的取值范围为：2≤x≤3， ∴y= （2≤x≤3）； （2）设原计划平均每天运送土石方 x 万米 3，则实际平均每天运送土石方（x+0.5） 万米 3， 根据题意得： 解得：x=2.5 或 x=﹣3 经检验 x=2.5 或 x=﹣3 均为原方程的根，但 x=﹣3 不符合题意，故舍去， 答：原计划每天运送 2.5 万米 3，实际每天运送 3 万米 3． 点评：本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，现实生活中存在大量成反比例函数 的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系 数法求出它们的关系式． 22．（10 分）（2013• 德州）设 A 是由 2×4 个整数组成的 2 行 4 列的数表，如果某一行（或 某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”． （1）数表 A 如表 1 所示，如果经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各 数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表；（写出一种方法即可） 表 1 1 2 3 ﹣7 ﹣2 ﹣1 0 1 （2）数表 A 如表 2 所示，若经过任意一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和 与每列的各数之和均为非负整数，求整数 a 的值 表 2． a a2﹣1 ﹣a ﹣a2 2﹣a 1﹣a2 a﹣2 a2 考点：一元一次不等式组的应用． 分析：（1）根据某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变改行（或该列）中所有数的 符号，称为一次“操作”，先改变表 1 的第 4 列，再改变第 2 行即可； （2）根据每一列所有数之和分别为 2，0，﹣2，0，每一行所有数之和分别为﹣1，1， 然后分别根据如果操作第三列或第一行，根据每行的各数之和与每列的各数之和均为 非负整数，列出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出答案． 解答：解：（1）根据题意得： 改变第 4 列 改变第 2 行 （2）∵每一列所有数之和分别为 2，0，﹣2，0，每一行所有数之和分别为﹣1，1， 则①如果操作第三列， 则第一行之和为 2a﹣1，第二行之和为 5﹣2a， ， 解得：≤a ， 又∵a 为整数， ∴a=1 或 a=2， ②如果操作第一行， 则每一列之和分别为 2﹣2a，2﹣2a2，2a﹣2，2a2， ， 解得 a=1， 此时 2﹣2a2，=0，2a2=2， 综上可知：a=1． 点评：此题考查了一元一次不等式组的应用，关键是读懂题意，根据题目中的操作要求，列 出不等式组，注意 a 为整数． 23．（10 分）（2013• 德州）（1）如图 1，已知△ABC，以 AB、AC 为边向△ABC 外作等边 △ABD 和等边△ACE，连接 BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写 做法，保留作图痕迹）； （2）如图 2，已知△ABC，以 AB、AC 为边向外作正方形 ABFD 和正方形 ACGE，连接 BE，CD，BE 与 CD 有什么数量关系？简单说明理由； （3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图 3，要测量池塘两岸相对的两点 B，E 的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°， AB=BC=100 米，AC=AE，求 BE 的长． 考点：四边形综合题． 专题：计算题． 分析：（1）分别以 A、B 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 D，连接 AD，BD，同理 连接 AE，CE，如图所示，由三角形 ABD 与三角形 ACE 都是等边三角形，得到三对 边相等，两个角相等，都为 60 度，利用等式的性质得到夹角相等，利用 SAS 得到三 角形 ABD 与三角形 ACE 全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证； （2）BE=CD，理由与（1）同理； （3）根据（1）、（2）的经验，过 A 作等腰直角三角形 ABD，连接 CD，由 AB=AD=100， 利用勾股定理求出 BD 的长，由题意得到三角形 DBC 为直角三角形，利用勾股定理 求出 CD 的长，即为 BE 的长． 解答：解：（1）完成图形，如图所示： 证明：∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形， ∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°， ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB， ∵在△CAD 和△EAB 中， ， ∴△CAD≌△EAB（SAS）， ∴BE=CD； （2）BE=CD，理由同（1）， ∵四边形 ABFD 和 ACGE 均为正方形， ∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°， ∴∠CAD=∠EAB， ∵在△CAD 和△EAB 中， ， ∴△CAD≌△EAB（SAS）， ∴BE=CD； （3）由（1）、（2）的解题经验可知，过 A 作等腰直角三角形 ABD，∠BAD=90°， 则 AD=AB=100 米，∠ABD=45°， ∴BD=100 米， 连接 CD，则由（2）可得 BE=CD， ∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°， 在 Rt△DBC 中，BC=100 米，BD=100 米， 根据勾股定理得：CD= =100 米， 则 BE=CD=100 米． 点评：此题考查了四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等边三角形， 等腰直角三角形，以及正方形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质 是解本题的关键． 24．（12 分）（2013• 德州）如图，在直角坐标系中有一直角三角形 AOB，O 为坐标原点， OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点 O 逆时针旋转 90°，得到△DOC，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、B、C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为 t， ①设抛物线对称轴 l 与 x 轴交于一点 E，连接 PE，交 CD 于 F，求出当△CEF 与△COD 相 似点 P 的坐标； ②是否存在一点 P，使△PCD 得面积最大？若存在，求出△PCD 的面积的最大值；若不存 在，请说明理由． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）先求出 A、B、C 的坐标，再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式； （2）①由（1）的解析式可以求出抛物线的对称轴，分类讨论当∠CEF=90°时，当∠ CFE=90°时，根据相似三角形的性质就可以求出 P 点的坐标； ②先运用待定系数法求出直线 CD 的解析式，设 PM 与 CD 的交点为 N，根据 CD 的 解析式表示出点 N 的坐标，再根据 S△PCD=S△PCN+S△PDN 就可以表示出三角形 PCD 的 面积，运用顶点式就可以求出结论． 解答：解：（1）在 Rt△AOB 中，OA=1，tan∠BAO= =3， ∴OB=3OA=3． ∵△DOC 是由△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°而得到的， ∴△DOC≌△AOB， ∴OC=OB=3，OD=OA=1， ∴A、B、C 的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）． 代入解析式为 ， 解得： ． ∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3； （2）①∵抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3， ∴对称轴 l=﹣ =﹣1， ∴E 点的坐标为（﹣1，0）． 如图，当∠CEF=90°时，△CEF∽△COD．此时点 P 在对称轴上，即点 P 为抛物线的 顶点，P（﹣1，4）； 当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，则△EFC∽△EMP． ∴ ， ∴MP=3EM． ∵P 的横坐标为 t， ∴P（t，﹣t2﹣2t+3）． ∵P 在二象限， ∴PM=﹣t2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t， ∴﹣t2﹣2t+3=3（﹣1﹣t）， 解得：t1=﹣2，t2=﹣3（与 C 重合，舍去）， ∴t=﹣2 时，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3． ∴P（﹣2，3）． ∴当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）； ②设直线 CD 的解析式为 y=kx+b，由题意，得 ， 解得： ， ∴直线 CD 的解析式为：y=x+1． 设 PM 与 CD 的交点为 N，则点 N 的坐标为（t， t+1）， ∴NM=t+1． ∴PN=PM﹣NM=t2﹣2t+3﹣（t+1）=﹣t2﹣ +2． ∵S△PCD=S△PCN+S△PDN， ∴S△PCD=PM•CM+PN•OM =PN（CM+OM） =PN•OC =×3（﹣t2﹣ +2） =﹣（t+）2+ ， ∴当 t=﹣时，S△PCD 的最大值为 ． 点评：本题考查了相似三角形的判定及性质的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，三 角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答本题时，先求出二次函数的 解析式是关键，用函数关系式表示出△PCD 的面积由顶点式求最大值是难点．