2013年达州市中考数学试卷解析

达州市 2013 年高中阶段教育学校招生统一考试 数 学 本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 10 页。考试时间 120 分钟，满分 120 分。 第 I 卷（选择题，共 30 分） 温馨提示： 1、答第 I 卷前，请考生务必将姓名、准考证号、考试科目等按要求填涂在机读卡上。 2、每小题选出正确答案后，请用 2B 铅笔把机读卡上对应题号的答案标号涂黑。 3、考试结束后，请将本试卷和机读卡一并交回。 一．选择题：（本题 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．－2013 的绝对值是（ ） A．2013 B．-2013 C．±2013 D． 答案：A 解析：负数的绝对值是它的相反数，故选 A。 2．某中学在芦山地震捐款活动中，共捐款二十一万三千元。这一数据用科学记数法表示为 （ ） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 答案：C 解析：科学记数法写成： 10na 形式，其中1 10a  ，二十一万三千元＝213000＝ 元 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） 答案：D 解析：A、C 只是轴对称图形，不是中心对称图形；B 是中心对称图形，不是轴对称轴图形， 只有 D 符合。 4．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价 20%，后又降价 10%； 乙超市连续两次降价 15%；丙超市一次降价 30%。那么顾客到哪家超市购买这种商品更 合算（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．一样 答案：C 解析：设原价 a 元，则降价后，甲为：a（1－20%）（1－10%）＝0.72a 元， 乙为：（1－15%）2a＝0.7225a 元，丙为：（1－30%）a＝0.7a 元，所以，丙最便宜。 5．下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是（ ） A．（3）（1）（4）（2） B．（3）（2）（1）（4） C．（3）（4）（1）（2） D．（2）（4）（1）（3） 答案：C 解析：因为太阳从东边出来，右边是东，所以，早上的投影在左边，（3）最先，下午的投 影在右边，（2）最后，选 C。 6．若方程 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围在数轴上表示正确的 是（ ） 答案：B 解析：因为方程有两个不相等的实数根，所以，△＝36－12m＞0，得 m＜3，故选 B。 7．下列说法正确的是（ ） A．一个游戏中奖的概率是 ，则做 100 次这样的游戏一定会中奖 B．为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用普查的方式 C．一组数据 0，1，2，1，1 的众数和中位数都是 1 D．若甲组数据的方差 ，乙组数据的方差 ，则乙组数据比甲组数据 稳定 答案：C 解析：由概率的意义，知 A 错；全国中学生较多，应采用抽样调查，故 B 也错；经验证 C 正确；方差小的稳定，在 D 中，应该是甲较稳定，故 D 错。 8．如图，一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧 CD，点 O 是弧 CD 的圆心）， 其中 CD=600 米，E 为弧 CD 上一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，OF= 米， 则这段弯路的长度为（ ） A．200π米 B．100π米 C．400π米 D．300π米 答案：A 解析：CF＝300，OF＝ ，所以，∠COF＝30°，∠COD＝60°， OC＝600，因此，弧 CD 的长为： 60 600 160   ＝200π米 9．如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点 D 在 BC 上，以 AC 为对角线的所有 □ADCE 中，DE 最小的值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 答案：B 解析：由勾股定理，得 AC＝5，因为平行边形的对角线互相平分，所以， DE 一定经过 AC 中点 O，当 DE⊥BC 时，DE 最小，此时 OD＝ 3 2 ， 所以最小值 DE＝3 10．二次函数 的图象如图所示，反比例函数 与一次函数 在 同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） 答案：B 解析：由二次函数图象，知 a＜0，c＞0， 2 b a  ＞0，所以，b＞0， 所以，反比例函数图象在一、三象限，排除 C、D，直线 y＝cx＋a 中，因为 a＜0，所以， 选 B。 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二．填空题：（本题 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分。把最后答案直接填在题中的横线上） 11．分解因式： =_ _. 答案：x（x＋3）（x－3） 解析：原式＝x（x2－9）＝x（x＋3）（x－3） 12．某校在今年“五·四”开展了“好书伴我成长”的读书活动。 为了解八年级 450 名学生的读书情况，随机调查了八年级 50 名学生本学期读书册数，并将统计数据制成了扇形统计图，则该校八年级学生读书册 数等于 3 册的约有 名。 答案：162 解析：读书册数等于 3 的约占比例：1－6%－24%－30%－6%＝36%， 36%×450＝162 13．点 、 在反比例函数 的图象上，当 时， ,则 k 的 取值可以是___ _（只填一个符合条件的 k 的值）. 答案：－1 解析：由题知，y 随 x 的增大而增大，故 k 是负数，此题答案不唯一。 14．如果实数 x 满足 ，那么代数式 的值为_ _. 答案：5 解析：由知，得 2 2x x ＝3，原式＝ 2 22 2 ( 1) 2 21 x x x x xx        ＝5。 15．如图，折叠矩形纸片 ABCD，使 B 点落在 AD 上一点 E 处，折痕的两端点分别在 AB、 BC 上（含端点），且 AB=6，BC=10。设 AE=x，则 x 的取值范围是 . 答案：2≤x≤6 解析：如图，设 AG＝y，则 BG＝6－y，在 Rt△GAE 中， x2＋y2＝（6－y）2，即 36 12x y  （ 8(0 )3y  ，当 y＝0 时，x 取最大值为 6；当 y＝ 8 3 时,x 取最小值 2，故有 2≤x≤6 16．如图，在△ABC 中，∠A=m°，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点 A1，得∠A1；∠A1BC 和 ∠A1CD 的平分线交于点 A2，得∠A2；…∠A2012BC 和∠A2012CD 的平分线交于点 A2013，则∠A2013= 度。 答案： 20132 m 解析：∵A1B、A1C 分别平分∠ABC 和∠ACD， ∴∠ACD=k∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC， 而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A， ∴∠A=2∠A1，∴∠A1= 2 m ， 同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，∴∠A2= 22 m ， 所以，猜想：∠A2013= 20132 m 三．解答题（72 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） （一）（本题 2 个小题，共 13 分） 17．（6 分）计算： 解析：原式＝1＋2 3 － 3 ＋9＝10＋ 3 18．（7 分）钓鱼岛自古以来就是中国领土。中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常 态化监视监测。如图，E、F 为钓鱼岛东西两端。某日，中国一艘海监船从 A 点向正北 方向巡航，其航线距离钓鱼岛最近距离 CF= 公里，在 A 点测得钓鱼岛最西端 F 在最东端 E 的东北方向（C、F、E 在同一直线上）。求钓鱼岛东西两端的距离。 （ ， ，结果精确到 0.1） 解析： 由题知，在 Rt△ACF 中，∠ACF=90°, ∠A=30°，CF=20 3 公里. ∴cot30°= 320 AC . 解得，AC=60（公里）.………………………(2 分) 又∵E 在 B 的东北方向，且∠ACF=90° ∴∠E=∠CBE=45°， ∴CE=CB.………………………………………………(4 分) 又∵CB=AC-AB=60-22=38(公里)， ∴CE=38 公里.………………………(5 分) ∴EF=CE-CF=38-20 3 ≈3.4（公里）………………………(6 分) 答：钓鱼岛东西两端的距离约为 3.4 公里.………………………(7 分) （二）（本题 2 个小题，共 14 分） 19．（7 分）已知 ，则 …… 已知 ，求 n 的值。 解析：由题知 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n) = 21 1  + 32 1  + 43 1  +…+ )1( 1 nn =1- 2 1 + 2 1 - 3 1 + 3 1 - 4 1 +…+ n 1 - 1 1 n =1- 1 1 n ………………………(4 分） = 1n n .………………………(4 分） 又∵f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)= 15 14 , ∴ 1n n = 15 14 . 解得 n=14.………………………(6 分） 经检验，n=14 是上述方程的解. 故 n 的值为 14.………………………(7 分） 20．（7 分）某中学举行“中国梦·我的梦”演讲比赛。志远班的班长和学习委员都想去， 于是老师制作了四张标有算式的卡片，背面朝上洗匀后，先由班长抽一张，再由学习委 员在余下三张中抽一张。如果两张卡片上的算式都正确，班长去；如果两张卡片上的算 式都错误，学习委员去；如果两张卡片上的算式一个正确一处错误，则都放回去，背面 朝上洗匀后再抽。 这个游戏公平吗？请用树状图或列表的方法，结合概率予以说明。 解析：公平.………………………(1 分) 用列表法或树状图列出该事件的等可能情况如下： 由此可知该事件共有 12 种等可能结果.………………………(4 分) ∵四张卡片中，A、B 中的算式错误，C、D 中的算式正确， ∴都正确的有 CD、DC 两种，都错误的有 AB、BA 两种.………………………(5 分) ∴班长去的概率 P（班长去）= 12 2 = 6 1 ， 学习委员去的概率 P（学习委员去）= 12 2 = 6 1 ， P（班长去）=P（学习委员去) ∴这个游戏公平.………………………(7 分) （三）（本题 2 个小题，共 16 分） 21．（8 分）已知反比例函数 的图象与一次函数 的 图象交于 A 、B 两点，连结 AO。 （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）设点 C 在 y 轴上，且与点 A、O 构成等腰三角形，请直接写出点 C 的坐标。 解析： (1)∵y= x k 3 1 的图像过点（ 3 1 ，-3）， ∴k1=3xy=3× 3 1 ×(-3)=-3. ∴反比例函数为 y  x 1 .………………………(1 分） ∴a=  1 1  =1， ∴A（-1,1）.………………………(2 分） ∴      .33 1 ,1 2 2 mk mk 解得      .2 ,32 m k ∴一次函数为 y=-3x-2.………………………(4 分） 16、C(0, 2 )、………………………(5 分） 或（0，- 2 ）、………………………(6 分） 或（0,1）、………………………(7 分） 或（0，2）.………………………(8 分） 22．（8 分）选取二次三项式 中的两项，配成完全平方式的过程叫配 方。例如 ①选取二次项和一次项配方： ； ②选取二次项和常数项配方： ， 或 ③选取一次项和常数项配方： 根据上述材料，解决下面问题： （1）写出 的两种不同形式的配方； （2）已知 ，求 的值。 解析：：（1） ＝x2-8x+16-16+4=(x-4)2-12 或 ＝（x-2）2-4x (2) X=-1,y=2.因此 xy=(-1)2=1 （四）（本题 2 个小题，共 17 分） 23．（8 分）今年，6 月 12 日为端午节。在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为 2 元的粽子的销售情况。请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题。 （1）小华的问题解答： 解析：（1）解：设实现每天 800 元利润的定价为 x 元/个，根据题意，得 （x-2)（500- 1.0 3x ×10）=800 .………………………(2 分） 整理得：x2-10x+24=0. 解之得：x1=4,x2=6.………………………(3 分） ∵物价局规定，售价不能超过进价的 240%，即 2×240%=4.8（元）. ∴x2=6 不合题意,舍去,得 x=4. 答：应定价 4 元/个，才可获得 800 元的利润.………………………(4 分） （2）解：设每天利润为 W 元，定价为 x 元/个，得 W=（x-2)(500- 1.0 3x ×10) =-100x2+1000x-1600 =-100(x-5)2+900.………………………(6 分） ∵x≤5 时 W 随 x 的增大而增大,且 x≤4.8， ∴当 x=4.8 时，W 最大， W 最大=-100×（4.8-5)2+900=896＞800 .………………………(7 分） 故 800 元不是最大利润.当定价为 4.8 元/个时，每天利润最大.………………………(8 分） 24．（9 分）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。下面是 一个案例，请补充完整。 FF 原题：如图 1，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，∠EAF=45°，连接 EF，则 EF=BE+DF，试说明理由。 （1）思路梳理 ∵AB=CD， ∴把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ADG，可使 AB 与 AD 重合。 ∵∠ADC=∠B=90°， ∴∠FDG=180°，点 F、D、G 共线。 根据__SAS__________，易证△AFG≌_△AFE_______，得 EF=BE+DF。 （2）类比引申 如图 2，四边形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=90°点 E、F 分别在边 BC、CD 上， ∠EAF=45°。若∠B、∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足等量关系_互补 ___时，仍有 EF=BE+DF。 （3）联想拓展 如图 3，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 D、E 均在边 BC 上，且∠DAE=45°。 猜想 BD、DE、EC 应满足的等量关系，并写出推理过程。 解：BD2+EC2=DE2 解析：(1)SAS………………………(1 分） △AFE………………………(2 分） (2)∠B+∠D=180°………………………(4 分） (3)解：BD2+EC2=DE2.………………………(5 分） ∵AB=AC， ∴把△ABD 绕 A 点逆时针旋转 90°至△ACG，可使 AB 与 AC 重合. ∵△ABC 中，∠BAC=90°. ∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,即∠ECG=90°. ∴EC2+CG2=EG2.………………………(7 分） 在△AEG 与△AED 中, ∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD, 又∵AD=AG，AE=AE， ∴△AEG≌△AED. ∴DE=EG.又∵CG=BD, ∴BD2+EC2=DE2.………………………(9 分） （五）（本题 12 分） 25．如图，在直角体系中，直线 AB 交 x 轴于点 A（5，0），交 y 轴于点 B， AO 是⊙M 的直径，其半圆交 AB 于点 C，且 AC=3。取 BO 的中点 D， 连接 CD、MD 和 OC。 （1）求证：CD 是⊙M 的切线； （2）二次函数的图象经过点 D、M、A，其对称轴上有一动点 P，连接 PD、PM，求△PDM 的周长最小时点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，当△PDM 的周长最小时，抛物线上是否存在点 Q，使 ？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明 理由。 解析：（1）证明：连结 CM. ∵OA 为⊙M 直径, ∴∠OCA=90°. ∴∠OCB=90°. ∵D 为 OB 中点, ∴DC=DO. ∴∠DCO=∠DOC.………………………(1 分） ∵MO=MC, ∴∠MCO=∠MOC.………………………(2 分） ∴∠DCM=∠DCO+∠MCO=∠DOC+∠MOC=∠DOM=90°.………………………(3 分） 又∵点 C 在⊙M 上， ∴DC 是⊙M 的切线.………………………(4 分） （2）解：在 Rt△ACO 中,有 OC= 22 ACOA  . 又∵A 点坐标（5，0）, AC=3, ∴OC= 22 35  =4. ∴tan∠OAC= OA OB AC OC  . ∴ 53 4 OB .解得 OB= 3 20 . 又∵D 为 OB 中点，∴OD= 3 10 . D 点坐标为（0， 3 10 ).………………………(5 分） 连接 AD，设直线 AD 的解析式为 y=kx+b,则有      .05 ,3 10 bk b j 解得        .3 2 ,3 10 k b ∴直线 AD 为 y=- 3 2 x+ 3 10 . ∵二次函数的图象过 M（ 2 5 ,0)、A(5,0)， ∴抛物线对称轴 x= 4 15 .………………………(6 分） ∵点 M、A 关于直线 x= 4 15 对称，设直线 AD 与直线 x= 4 15 交于点 P, ∴PD+PM 为最小. 又∵DM 为定长， ∴满足条件的点 P 为直线 AD 与直线 x= 4 15 的交点.………………………(7 分） 当 x= 4 15 时,y=- 3 2  4 15 + 3 10 = 6 5 . 故 P 点的坐标为（ 4 15 ， 6 5 ）.………………………(8 分） （3）解：存在. ∵S△PDM=S△DAM-S△PAM = 2 1 AM·yD- 2 1 AM·yP = 2 1 AM(yD-yp). S△QAM= 2 1 AM· Qy ,由（2）知 D（0， 3 10 ),P( 4 15 ， 6 5 ）, ∴ 6 1 ×（ 3 10 - 6 5 ）=yQ 解得 yQ=± 12 5 ………………………(9 分） ∵二次函数的图像过 M(0， 2 5 )、A(5，0）， ∴设二次函数解析式为 y=a(x- 2 5 )（x-5). 又∵该图象过点 D（0， 3 10 )， a×(- 2 5 ）×(-5)= 3 10 ，a= 15 4 . ∴y= 15 4 (x- 2 5 )(x-5).………………………(10 分） 又∵C 点在抛物线上，且 yQ=± 12 5 ， ∴ 15 4 (x- 2 5 )(x-5)=± 12 5 . 解之，得 x1= 4 2515 ，x2= 4 2515 ，x3= 4 15 . ∴点 Q 的坐标为（ 4 2515 ， 12 5 )，或（ 4 2515 ， 12 5 )，或（ 4 15 ，- 12 5 ）.…………(12 分）