2013年六盘水市中考数学试卷解析

贵州省六盘水市 2013 年中考数学试卷 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，只有一项符合题意要求） 1．（3 分）（2013•六盘水）﹣2013 相反数（ ） A．﹣2013 B． C．2013 D．﹣ 考点：相反数． 3718684 分析：根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答即可． 解答：解：﹣2013 的相反数为 2013， 故选 C． 点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数 的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0． 2．（3 分）（2013•六盘水）下面四个几何体中，主视图是圆的几何体是（ ） A． B． C． D． 考点：简单几何体的三视图． 3718684 分析：根据主视图是从物体正面看所得到的图形，即可选出答案． 解答：解：正方体的主视图是正方形，圆锥的主视图是三角形，圆柱体的主视图是长方形， 球的主视图是圆， 故选：D． 点评：本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视 图中． 3．（3 分）（2013•六盘水）下列运算正确的是（ ） A．a3•a3=a9 B．（﹣3a3）2=9a6 C．5a+3b=8ab D．（a+b）2=a2+b2 考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．3718684 专题：计算题． 分析：A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断； B、利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断； C、本选项不能合并，错误； D、利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断． 解答：解：A、a3•a3=a6，本选项错误； B、（﹣3a3）2=9a6，本选项正确； C、5a+3b 不能合并，本选项错误； D、（a+b）2=a2+2ab+b2，本选项错误， 故选 B 点评：此题考查了积的乘方与幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，以及完全平方公式， 熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 4．（3 分）（2013•六盘水）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 考点：轴对称图形． 3718684 分析：根据正多边形的性质和轴对称图形的定义解答即可． 解答：解：根据轴对称图形的概念可直接得到 A 是轴对称图形， 故选：A． 点评：此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直 线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对 称轴． 5．（3 分）（2013•六盘水）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是（ ） A．正三角形 B．正六边形 C．正方形 D．正五边形 考点：平面镶嵌（密铺）． 3718684 分析：几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成 一个周角．360°为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌． 解答：解：A、正三角形的一个内角度数为 180﹣360÷3=60°，是 360°的约数，能镶嵌平面， 不符合题意； B、正六边形的一个内角度数为 180﹣360÷6=120°，是 360°的约数，能镶嵌平面，不 符合题意； C、正方形的一个内角度数为 180﹣360÷4=90°，是 360°的约数，能镶嵌平面，不符合 题意； D、正五边形的一个内角度数为 180﹣360÷5=108°，不是 360°的约数，不能镶嵌平面， 符合题意． 故选：D． 点评：本题考查了平面密铺的知识，注意掌握只用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四 边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案． 6．（3 分）（2013•六盘水）直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中所标记的角 中，与∠1 互余的角有几个（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．6 个 考点：余角和补角． 3718684 专题：计算题． 分析：本题要注意到∠1 与∠2 互余，并且直尺的两边互相平行，可以考虑平行线的性质． 解答：解：与∠1 互余的角有∠2，∠3，∠4；一共 3 个． 故选 B． 点评：正确观察图形，由图形联想到学过的定理是数学学习的一个基本要求． 7．（3 分）（2013•六盘水）在平面中，下列命题为真命题的是（ ） A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．四边相等的四边形是正方形 考点：命题与定理． 3718684 分析：分别根据矩形、菱形、正方形的判定与性质分别判断得出即可． 解答：解：A、根据四边形的内角和得出，四个角相等的四边形即四个内角是直角，故此四 边形是矩形，故此选项正确； B、只有对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故此选项错误； C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故此选项错误； D、四边相等的四边形是菱形，故此选项错误． 故选：A． 点评：此题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定与性质，正确把握相关定理是解题关键． 8．（3 分）（2013•六盘水）我省五个旅游景区门票票价如下表所示（单位：元），关于这五 个景区票价的说法中，正确的是（ ） 景区名称 黄果树大瀑布 织金洞 玉舍森林滑雪 安顺龙宫 荔波小七孔 票价（元） 180 120 200 130 180 A．平均数 126 B．众数 180 C．中位数 200 D．极差 70 考点：极差；算术平均数；中位数；众数． 3718684 分析：根据极差、众数及中位数的定义，结合选项进行判断即可． 解答：解：将数据从小到大排列为：120，130，180，180，200， A、平均数=（120+130+180+180+200）=162，结论错误，故本选项错误； B、众数为 180，结论正确，故本选项正确； C、中位数为 180，结论错误，故本选项错误； D、极差为 200﹣120=80，结论错误，故本选项错误； 故选 B． 点评：本题考查了中位数、众数、平均数及极差的知识，掌握各部分的定义是关键，在判断 中位数的时候一样要将数据从新排列． 9．（3 分）（2013•六盘水）已知关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1 =0 有两个不相等 的实数根，则 k 的取值范围是（ ） A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2 且 k≠1 考点：根的判别式；一元二次方程的定义． 3718684 专题：计算题． 分析：根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于 0 列出关于 k 的不等式， 求出不等式的解集即可得到 k 的范围． 解答：解：根据题意得：△=b2﹣4ac=4﹣4（k﹣1）=8﹣4k＞0，且 k﹣1≠0， 解得：k＜2，且 k≠1． 故选 D 点评：此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键． 10．（3 分）（2013•六盘水）下列图形中，阴影部分面积最大的是（ ） A． B． C． D． 考点：反比例函数系数 k 的几何意义． 3718684 分析：分别根据反比例函数系数k的几何意义以及三角形面积求法以及梯形面积求法得出即 可． 解答：解：A、根据反比例函数系数 k 的几何意义，阴影部分面积和为：xy=3， B、根据反比例函数系数 k 的几何意义，阴影部分面积和为：3， C、根据反比例函数系数 k 的几何意义，以及梯形面积求法可得出： 阴影部分面积为：（1+3）=2， D、根据 M，N 点的坐标以及三角形面积求法得出，阴影部分面积为：×2×6=6， 阴影部分面积最大的是 6． 故选：D． 点评：此题主要考查了反比例函数系数 k 的几何意义以及三角形面积求法等知识，将图形正 确分割得出阴影部分面积是解题关键． 二、填空题（本题 8 小题，每小题 4 分，共计 32 分） 11．（4 分）（2013•六盘水）H7N9 禽流感病毒的直径大约为 0.0000000805 米，用科学记数 法表示为 8.1×10﹣8 米（保留两位有效数字） 考点：科学记数法与有效数字．3718684 分析：首先利用科学记数法表示，再保留有效数字，有效数字的计算方法是：从左边第一个 不是 0 的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字 只与前面的 a 有关，与 10 的多少次方无关． 解答：解：0.000 0000 805=8.05×10﹣8≈8.1×10﹣8， 故答案为：8.1×10﹣8． 点评：此题主要考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定 方法． 12．（4 分）（2013•六盘水）因式分解：4x3﹣36x= 4x（x+3）（x﹣3） ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．3718684 分析：首先提公因式 4x，然后利用平方差公式即可分解． 解答：解：原式=4x（x2﹣9）=4x（x+3）（x﹣3）． 故答案是：4x（x+3）（x﹣3）． 点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因 式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 13．（4 分）（2013•六盘水）如图，添加一个条件： ∠ADE=∠ACB（答案不唯一） ，使 △ADE∽△ACB，（写出一个即可） 考点：相似三角形的判定．3718684 专题：开放型． 分析：相似三角形的判定有三种方法： ①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； ②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； ③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 由此可得出可添加的条件． 解答：解：由题意得，∠A=∠A（公共角）， 则可添加：∠ADE=∠ACB，利用两角法可判定△ADE∽△ACB． 故答案可为：∠ADE=∠ACB． 点评：本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方 法，本题答案不唯一． 14．（4 分）（2013•六盘水）在六盘水市组织的“五城联创”演讲比赛中，小明等 25 人进入总 决赛，赛制规定，13 人早上参赛，12 人下午参赛，小明抽到上午比赛的概率是 ． 考点：概率公式．3718684 分析：一共有 25 人参加比赛，其中 13 人早上参赛，利用概率公式即可求出小明抽到上午比 赛的概率． 解答：解：∵在六盘水市组织的“五城联创”演讲比赛中，小明等 25 人进入总决赛， 又∵赛制规定，13 人早上参赛，12 人下午参赛， ∴小明抽到上午比赛的概率是： ． 故答案为 ． 点评：此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 15．（4 分）（2013•六盘水）如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=10，CD 的垂直平分线交 BC 于 E，连接 DE，则四边形 ABED 的周长等于 19 ． 考点：梯形；线段垂直平分线的性质． 3718684 分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 DE=CE，然后求出四边形 ABED 的周长=AD+AB+BC，然后代入数据进行计算即可得解． 解答：解：∵CD 的垂直平分线交 BC 于 E， ∴DE=CE， ∴四边形 ABED 的周长=AD+AB+BE+DE=AD+AB+BC， ∵AD=4，AB=5，BC=10， ∴四边形 ABED 的周长=4+5+10=19． 故答案为：19． 点评：本题考查了梯形，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记线段 垂直平分线的性质是解题的关键． 16．（4 分）（2013•六盘水）若⊙A 和⊙B 相切，它们的半径分别为 8cm 和 2cm，则圆心距 AB 为 10 或 6 cm． 考点：圆与圆的位置关系．3718684 专题：分类讨论． 分析：本题应分内切和外切两种情况讨论． 解答：解：∵⊙A 和⊙B 相切， ∴①当外切时圆心距 AB=8+2=10cm， ②当内切时圆心距 AB=8﹣2=6cm． 故答案为：10 或 6． 点评：本题考查了由两圆位置关系来判断半径和圆心距之间数量关系的方法． 外切时 P=R+r；内切时 P=R﹣r；注意分情况讨论． 17．（4 分）（2013•六盘水）无论 x 取任何实数，代数式 都有意义，则 m 的取 值范围为 m≥9 ． 考点：二次根式有意义的条件；非负数的性质：偶次方；配方法的应用．3718684 分析：二次根式的被开方数是非负数，即 x2﹣6x+m=（x﹣3）2﹣9+m≥0，所以（x﹣3）2≥9 ﹣m．通过偶次方（x﹣3）2 是非负数可求得 9﹣m≤0，则易求 m 的取值范围． 解答：解：由题意，得 x2﹣6x+m≥0，即（x﹣3）2﹣9+m≥0， 则（x﹣3）2≥9﹣m． ∵（x﹣3）2≥0， ∴9﹣m≤0， ∴m≥9， 故填：m≥9． 点评：考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式 中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 18．（4 分）（2013•六盘水）把边长为 1 的正方形纸片 OABC 放在直线 m 上，OA 边在直线 m 上，然后将正方形纸片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 90°，此时，点 O 运动到了点 O1 处 （即点 B 处），点 C 运动到了点 C1 处，点 B 运动到了点 B1 处，又将正方形纸片 AO1C1B1 绕 B1 点，按顺时针方向旋转 90°…，按上述方法经过 4 次旋转后，顶点 O 经过的总路程为 ，经过 61 次旋转后，顶点 O 经过的总路程为 ． 考点：弧长的计算；正方形的性质；旋转的性质．3718684 分析：为了便于标注字母，且更清晰的观察，每次旋转后向右稍微平移一点，作出前几次旋 转后的图形，点 O 的第 1 次旋转路线是以正方形的边长为半径，以 90°圆心角的扇形， 第 2 次旋转路线是以正方形的对角线长为半径，以 90°圆心角的扇形，第 3 次旋转路 线是以正方形的边长为半径，以 90°圆心角的扇形； ①根据弧长公式列式进行计算即可得解； ②求出 61 次旋转中有几个 4 次，然后根据以上的结论进行计算即可求解． 解答：解：如图，为了便于标注字母，且位置更清晰，每次旋转后不防向右移动一点， 第 1 次旋转路线是以正方形的边长为半径，以 90°圆心角的扇形，路线长为 = ； 第 2 次旋转路线是以正方形的对角线长 为半径，以 90°圆心角的扇形，路线长为 = ； 第 3 次旋转路线是以正方形的边长为半径，以 90°圆心角的扇形，路线长为 = ； 第 4 次旋转点 O 没有移动，旋转后于最初正方形的放置相同， 因此 4 次旋转，顶点 O 经过的路线长为 + + = ； ∵61÷4=15…1， ∴经过 61 次旋转，顶点 O 经过的路程是 4 次旋转路程的 15 倍加上第 1 次路线长，即 ×15+ = ． 故答案分别是： ； ． 点评：本题考查了旋转变换的性质，正方形的性质以及弧长的计算，读懂题意，并根据题意 作出图形更形象直观，且有利于旋转变换规律的发现． 三、解答题（本题共 7 个小题，共 88 分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算 步骤） 19．（16 分）（2013•六盘水）（1） +（2013﹣π） 0 （2）先化简，再求值：（ ） ，其中 x2﹣4=0． 考点：分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂． 3718684 专题：计算题． 分析：（1）分别根据 0 指数幂、负整数指数幂的计算法则及绝对值的性质、特殊角的三角 函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据 x2﹣4=0 求出 x 的值代入 进行计算即可． 解答：解：（1）原式=3 ﹣9+2﹣ ﹣2× +1 =3 ﹣7﹣3 +1 =﹣6； （2）原式=（ + ）÷ = × = × = ， ∵x2﹣4=0， ∴x1=2（舍去），x2=﹣2， ∴原式= =1． 点评：本题考查的是分式的化简求值及实数的运算，在解（2）时要注意 x 的取值要保证分 式有意义． 20．（12 分）（2013•六盘水）为了了解中学生参加体育活动的情况，某校对部分学生进行了 调查，其中一个问题是：“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”共有 4 个选项： A.1.5 小时以上 B.1﹣﹣1.5 小时 C.0.5 小时 D.0.5 小时以下 根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图． 请你根据以上信息解答下列问题： （1）本次调查活动采取了 抽样 调查方式． （2）计算本次调查的学生人数和图（2）选项 C 的圆心角度数． （3）请根据图（1）中选项 B 的部分补充完整． （4）若该校有 3000 名学生，你估计该校可能有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在 0.5 小时以下． 考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 3718684 分析：（1）根据题意可得这次调查是抽样调查； （2）利用选 A 的人数÷选 A 的人数所占百分比即可算出总数；再利用 360°×选 C 的人 数所占百分比即可得到圆心角度数； （3）用总数减去选 A、C、D 的人数即可得到选 B 的人数，再补全图形即可； （4）根据样本估计总体的方法计算即可． 解答：解：（1）抽样调查； （2）本次调查的学生人数：60÷30%=200（人）， 选项 C 的圆心角度数：360°× =54°； （3）选 B 的人数：200﹣60﹣30﹣10=100（人），如图所示： （4）3000×5%=150（人）， 答：该校可能有 150 名学生平均每天参加体育活动的时间在 0.5 小时以下． 点评：此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图 中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据； 扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21．（10 分）（2013•六盘水）在 Rt△ACB 中，∠C=90°，点 O 在 AB 上，以 O 为圆心，OA 长为半径的圆与 AC，AB 分别交与点 D，E，且∠CBD=∠A． （1）判断直线 BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论． （2）若 AD：AO=6：5，BC=3，求 BD 的长． 考点：切线的判定． 3718684 分析：（1）连接 OD，DE，求出∠ADE=90°=∠C 推出 DE∥BC∴∠EDB=∠CBD=∠A，根 据∠A+∠OED=90°求出∠EDB+∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可； （2）求出 AD：DE：AE=6：8：10，求出△ADE∽△ACB，推出 DC：BC：BD=AD： DE：AE=6：8：10，代入求出即可． 解答：（1）直线 BD 与⊙O 的位置关系是相切， 证明：连接 OD，DE， ∵∠C=90°， ∴∠CBD+∠CDB=90°， ∵∠A=∠CBD， ∴∠A+∠CDB=90°， ∵OD=OA， ∴∠A=∠ADO， ∴∠ADO+∠CDB=90°， ∴∠ODB=180°﹣90° =90°， ∴OD⊥BD， ∵OD 为半径， ∴BD 是⊙O 切线； （2）解：∵AD：AO=6：5， ∴ = ， ∴由勾股定理得：AD：DE：AE=6：8：10， ∵AE 是直径， ∴∠ADE=∠C=90°， ∵∠CBD=∠A， ∴△ADE∽△ACB， ∴DC：BC：BD=AD：DE：AE=6：8：10， ∵BC=3， ∴BD= ． 点评：本题考查了切线的判定，平行线性质和判定，等腰三角形性质和判定，相似三角形的 性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力． 22．（10 分）（2013•六盘水）阅读材料： 关于三角函数还有如下的公式： sin（α±β）=sinαcosβ±cosasinβ tan（α±β）= 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值． 例：tan15°=tan（45°﹣30°） = = = 根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题 （1）计算：sin15°； （2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图 1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高 度，如图 2，小华站在离塔底 A 距离 7 米的 C 处，测得塔顶的仰角为 75°，小华的眼睛离地 面的距离 DC 为 1.62 米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到 0.1 米，参考数据 ， ） 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 3718684 分析：（1）把 15°化为 45°﹣30°以后，再利用公式 sin（α±β）=sinαcosβ±cosasinβ计算，即可 求出 sin15°的值； （2）先根据锐角三角函数的定义求出 BE 的长，再根据 AB=AE+BE 即可得出结论． 解答：解：（1）sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45 °cos30°﹣cos45°sin30°= × ﹣ ×= ﹣ = ； （2）在 Rt△BDE 中，∵∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=7 米， ∴BE=DE•tan∠BDE=DE•tan75°． ∵tan75°=tan（45°+30°）= = =2+ ， ∴BE=7（2+ ）=14+7 ， ∴AB=AE+BE=1.62+14+7 ≈27.7（米）． 答：乌蒙铁塔的高度约为 27.7 米． 点评：本题考查了： （1）特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解题的关键是根据题目中所给信息 结合特殊角的三角函数值来求解． （2）解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，先根据锐角三角函数的定义得出 BE 的 长是解题的关键． 23．（14 分）（2013•六盘水）为了抓住 2013 年凉都消夏文化节的商机，某商场决定购进甲， 乙两种纪念品，若购进甲种纪念品 1 件，乙种纪念品 2 件，需要 160 元；购进甲种纪念品 2 件，乙种纪念品 3 件，需要 280 元． （1）购进甲乙两种纪念品每件各需要多少元？ （2）该商场决定购进甲乙两种纪念品 100 件，并且考虑市场需求和资金周转，用于购买这 些纪念品的资金不少于 6000 元，同时又不能超过 6430 元，则该商场共有几种进货方案？ （3）若销售每件甲种纪念品可获利 30 元，每件乙种纪念品可获利 12 元，在第（2）问中的 各种进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．3718684 分析：（1）设购进甲乙两种纪念品每件各需要 x 元和 y 元，根据购进甲种纪念品 1 件，乙 种纪念品 2 件，需要 160 元；购进甲种纪念品 2 件，乙种纪念品 3 件，需要 280 元列 出方程，求出 x，y 的值即可； （2）设购进甲种纪念品 a 件，则乙种纪念品（100﹣a）件，根据购进甲乙两种纪念 品 100 件和购买这些纪念品的资金不少于 6000 元，同时又不能超过 6430 元列出不等 式组，求出 a 的取值范围，再根据 a 只能取整数，得出进货方案； （3）根据实际情况计算出各种方案的利润，比较即可． 解答：解：（1）设购进甲乙两种纪念品每件各需要 x 元和 y 元，根据题意得： ， 解得： ， 答：购进甲乙两种纪念品每件各需要 80 元和 40 元； （2）设购进甲种纪念品 a 件，则乙种纪念品（100﹣a）件，根据题意得： ， 解得：50≤a≤ ， ∵a 只能取整数，a=50，51，52，53，54，55，56，57，58，59，60， ∴共 11 种进货方案， 方案 1：购进甲种纪念品 50 件，则购进乙种纪念品 50 件； 方案 2：购进甲种纪念品 51 件，则购进乙种纪念品 49 件； 方案 3：购进甲种纪念品 52 件，则购进乙种纪念品 48 件； 方案 4：购进甲种纪念品 53 件，则购进乙种纪念品 47 件； 方案 5：购进甲种纪念品 54 件，则购进乙种纪念品 46 件； 方案 6：购进甲种纪念品 55 件，则购进乙种纪念品 45 件； 方案 7：购进甲种纪念品 56 件，则购进乙种纪念品 44 件； 方案 8：购进甲种纪念品 57 件，则购进乙种纪念品 43 件； 方案 9：购进甲种纪念品 58 件，则购进乙种纪念品 42 件； 方案 10：购进甲种纪念品 59 件，则购进乙种纪念品 41 件； 方案 11：购进甲种纪念品 60 件，则购进乙种纪念品 40 件； （3）因为甲种纪念品获利最高， 所以甲种纪念品的数量越多总利润越高， 因此选择购进甲种纪念品 60 件，购进乙种纪念品 40 件利润最高， 总利润=60×30+40×12=2280（元） 则购进甲种纪念品 60 件，购进乙种纪念品 40 件时，可获最大利润，最大利润是 2280 元． 点评：此题考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用，读懂题意，找到相应 的关系，列出式子是解题的关键，注意第二问应求得整数解． 24．（10 分）（2013•六盘水）（1）观察发现 如图（1）：若点 A、B 在直线 m 同侧，在直线 m 上找一点 P，使 AP+BP 的值最小，做 法如下： 作点 B 关于直线 m 的对称点 B′，连接 AB′，与直线 m 的交点就是所求的点 P，线段 AB′ 的长度即为 AP+BP 的最小值． 如图（2）：在等边三角形 ABC 中，AB=2，点 E 是 AB 的中点，AD 是高，在 AD 上找 一点 P，使 BP+PE 的值最小，做法如下： 作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这点就是所求的点 P，故 BP+PE 的最小值为 ． （2）实践运用 如图（3）：已知⊙O 的直径 CD 为 2， 的度数为 60°，点 B 是 的中点，在直径 CD 上作出点 P，使 BP+AP 的值最小，则 BP+AP 的值最小，则 BP+AP 的最小值为 ． （3）拓展延伸 如图（4）：点 P 是四边形 ABCD 内一点，分别在边 AB、BC 上作出点 M，点 N，使 PM+PN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法． 考点：圆的综合题；轴对称-最短路线问题． 3718684 分析：（1）观察发现：利用作法得到 CE 的长为 BP+PE 的最小值；由 AB=2，点 E 是 AB 的中点，根据等边三角形的性质得到 CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，再根据 含 30 度的直角三角形三边的关系得 CE= ； （2）实践运用：过 B 点作弦 BE⊥CD，连结 AE 交 CD 于 P 点，连结 OB、OE、OA、 PB，根据垂径定理得到 CD 平分 BE，即点 E 与点 B 关于 CD 对称，则 AE 的长就是 BP+AP 的最小值； 由于 的度数为 60°，点 B 是 的中点得到∠BOC=30°，∠AOC=60°，所以 ∠AOE=60°+30°=90°，于是可判断△OAE 为等腰直角三角形，则 AE= OA= ； （3）拓展延伸：分别作出点 P 关于 AB 和 BC 的对称点 E 和 F，然后连结 EF，EF 交 AB 于 M、交 BC 于 N． 解答：解：（1）观察发现 如图（2），CE 的长为 BP+PE 的最小值， ∵在等边三角形 ABC 中，AB=2，点 E 是 AB 的中点 ∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1， ∴CE= BE= ； 故答案为 ； （2）实践运用 如图（3），过 B 点作弦 BE⊥CD，连结 AE 交 CD 于 P 点，连结 OB、OE、OA、PB， ∵BE⊥CD， ∴CD 平分 BE，即点 E 与点 B 关于 CD 对称， ∵ 的度数为 60°，点 B 是 的中点， ∴∠BOC=30°，∠AOC=60°， ∴∠EOC=30°， ∴∠AOE=60°+30°=90°， ∵OA=OE=1， ∴AE= OA= ， ∵AE 的长就是 BP+AP 的最小值． 故答案为 ； （3）拓展延伸 如图（4）． 点评：本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何 证明中经常用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称﹣最短路径问题． 25．（16 分）（2013•六盘水）已知．在 Rt△OAB 中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA= ， 若以 O 为坐标原点，OA 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点 B 在第一 象限内，将 Rt△OAB 沿 OB 折叠后，点 A 落在第一象限内的点 C 处． （1）求经过点 O，C，A 三点的抛物线的解析式． （2）求抛物线的对称轴与线段 OB 交点 D 的坐标． （3）线段 OB 与抛物线交与点 E，点 P 为线段 OE 上一动点（点 P 不与点 O，点 E 重合）， 过 P 点作 y 轴的平行线，交抛物线于点 M，问：在线段 OE 上是否存在这样的点 P，使得 PD=CM？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题． 3718684 分析：（1）在 Rt△AOB 中，根据 AO 的长和∠BOA 的度数，可求得 OB 的长，根据折叠的 性质即可得到 OA=OC，且∠BOC=∠BOA=30°，过 C 作 CD⊥x 轴于 D，即可根据 ∠COD 的度数和 OC 的长求得 CD、OD 的值，从而求出点 C、A 的坐标，将 A、C、 O 的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求出待定系数的值，从而确定 该抛物线的解析式． （2）求出直线 BO 的解析式，进而利用 x= 求出 y 的值，即可得出 D 点坐标； （3）根据（1）所得抛物线的解析式可得到其顶点的坐标（即 C 点），设直线 MP 与 x 轴的交点为 N，且 PN=t，在 Rt△OPN 中，根据∠PON 的度数，易得 PN、ON 的长， 即可得到点 P 的坐标，然后根据点 P 的横坐标和抛物线的解析式可求得 M 点的纵坐 标，过 M 作 MF⊥CD（即抛物线对称轴）于 F，过 P 作 PQ⊥CD 于 Q，若 PD=CM， 那么 CF=QD，根据 C、M、P、D 四点纵坐标，易求得 CF、QD 的长，联立两式即可 求出此时 t 的值，从而求得点 P 的坐标． 解答：解：（1）过点 C 作 CH⊥x 轴，垂足为 H； ∵在 Rt△OAB 中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA= ， ∴OB= =4，AB=2； 由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=2 ， ∴∠COH=60°，OH= ，CH=3； ∴C 点坐标为（ ，3）． ∵O 点坐标为：（0，0）， ∴抛物线解析式为 y=ax2+bx（a≠0）， ∵图象经过 C（ ，3）、A（2 ，0）两点， ∴ ， 解得 ； ∴此抛物线的函数关系式为：y=﹣x2+2 x． （2）∵AO=2 ，AB=2， ∴B 点坐标为：（2 ，2）， ∴设直线 BO 的解析式为：y=kx， 则 2=2 k， 解得：k= ， ∴y= x， ∵y=﹣x2+2 x 的对称轴为直线 x=﹣ =﹣ = ， ∴将两函数联立得出：y= × =1， ∴抛物线的对称轴与线段 OB 交点 D 的坐标为：（ ，1）； （3）存在． ∵y=﹣x2+2 x 的顶点坐标为（ ，3）， 即为点 C，MP⊥x 轴，垂足为 N，设 PN=t； ∵∠BOA=30°， ∴ON= t， ∴P（ t，t）； 作 PQ⊥CD，垂足为 Q，MF⊥CD，垂足为 F； 把 x= t 代入 y=﹣x2+2 x， 得 y=﹣3t2+6t， ∴M（ t，﹣3t2+6t），F（ ，﹣3t2+6t）， 同理：Q（ ，t），D（ ，1）； 要使 PD=CM，只需 CF=QD， 即 3﹣（﹣3t2+6t）=t﹣1， 解得 t=，t=1（舍）， ∴P 点坐标为（ ，）， ∴存在满足条件的 P 点，使得 PD=CM，此时 P 点坐标为（ ，）． 点评：此题主要考查了图形的旋转变化、解直角三角形、二次函数解析式的确定等重要知识 点，表示出 P 点坐标利用 CF=QD 求出是解题关键．