2013年日照市中考数学试卷解析

2013 年山东日照初中学业考试 数学试卷 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 6 页,满分 120 分，考试时间为 120 分钟．答卷前， 考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置 上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．第Ⅰ卷每小题选出答案后，必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如 需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案.只答在试卷上无效． 2.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在试 卷上答题不得分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第Ⅰ卷（选择题 40 分） 一、选择题:本大题共 12 小题，其中 1-8 题每小题 3 分，9-12 题每小题 4 分，满分 40 分．在 每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填 涂在答题卡相应位置上. 1.计算-22+3 的结果是 A．7 B．5 C． D． 答案：C 解析：原式＝－4＋3＝－1，选 C。 2.下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是 答案：A 解析：A 中，等边三角形底边的中算线为对称轴，是轴对称图形，其它都不是轴对称图 形。 3.如图，H7N9 病毒直径为 30 纳米（1 纳米=10-9 米），用科学计数法表 示这个病毒直径的大小,正确的是 A.30×10-9 米 B. 3.0×10-8 米 C. 3.0×10-10 米 D. 0.3×10-9 米 答案：B 解析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原 数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 30 纳米＝30×10－9＝3.0×10-8 米 4.下列计算正确的是 A. B. C. D. 答案：C 解析：因为. ， ， ，故 A、B、D 都错，只有 C 正 确。 5. 下图是某学校全体教职工年龄的频数分布直方图 （统计中采用“上限不在内”的原则，如年龄为 36 岁 统计在 36≤x＜38 小组，而不在 34≤x＜36 小组），根 据图形提供的信息，下列说法中错误．．的是（ ） A．该学校教职工总人数是 50 人 B．年龄在 40≤x＜42 小组的教职工人数占该学校 总人数的 20% C．教职工年龄的中位数一定落在 40≤x＜42 这一组 D．教职工年龄的众数一定在 38≤x＜40 这一组 答案：D 解析：职工总人数为：4＋6＋11＋10＋9＋6＋4＝50，故 A 正确；年龄在 40≤x＜42 小组 的教职工有 10 人， ＝0.2＝20%，故 B 也正确，在 38≤x＜40 这一组有 11 人，最多， 因此，众数肯定在这组，D 正确；中位数为 6，故 C 错，选 C。 6．如果点 P（2x＋6，x－4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么 x 的取值范围在数轴 上可表示为（ ） 答案：C 解析：因为点 P 在第四象限，所以， ，即 ，所以，选 C。 7．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其 中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点 P（1,2）关于原点的对称点坐标为（-1， -2）； ④两圆的半径分别是 3 和 4，圆心距为 d，若两圆有公共点，则 其中正 确的是 A. ①② B.①③ C.②③ D.③④ 答案：B 解析：三角形的中线分成两个三角形底边相等，高相同，故面积相等，①正确；两边和 两边夹角对应相等的两个三角形才全等，故②错误；③正确；当 d＝1 或 d＝7 时，两圆 有一个公共点，故④不正确，选 B。 8.已知一元二次方程 的较小根为 ,则下面对 的估计正确的是 A． B． C． D． 答案：A 解析：用求根公式，得： ， ＜ ＜ ，即 ， 只有 A 是正确的。 9. 甲计划用若干个工作日完成某项工作，从第三个工作日起，乙加入此项工作，且甲、 乙两人工效相同，结果提前 3 天完成任务，则甲计划完成此项工作的天数是 A.8 B.7 C.6 D.5 答案：A 解析：假设每天工作量是 1，甲单独工作 x 天完成。工作总量等于 1×x,实际工作中甲做的 1×(x-3)；乙做的 1×(x-2-3) 1×x=1×(x-3)+1×(x-2-3)，解得：x=8 10. 如图，在△ABC 中，以 BC 为直径的圆分别交边 AC、AB 于 D、E 两点，连接 BD、DE．若 BD 平分∠ABC，则下列结论不一 定成立的是 A.BD⊥AC B.AC2=2AB·AE C.△ADE 是等腰三角形 D. BC＝2AD. 答案：D 解析：因为 BC 为直线，所以，A 正确；可证△BCD≌△BAD，得 BC＝BA，AD＝CD， 又△ADE∽△ABC，可得：AD••••••••••••AC＝ADE•AB，而 AC＝2AD，可知 B 正确；因为 ADE∽△ABC， △ABC 是等腰三角形，所以，△ADE 是等腰三角形，C 也正确；只有 D 不一定成立。 11．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中 M 与 m、n 的关系是 A． M=mn B． M=n(m+1) C．M=mn+1 D．M=m(n+1) 答案：D 解析：因为 3＝（2＋1）×1，,15＝（4＋1）×3，35＝（6＋1）×5，所以，M＝（n＋1） ×m，选 D。 12.如图,已知抛物线 和直线 .我们约定：当 x 任取一值时,x 对应的 函数值分别为 y1、y2，若 y1≠y2，取 y1、y2 中的较小值记为 M；若 y1=y2，记 M= y1=y2. 下列判断： ①当 x＞2 时，M=y2； ②当 x＜0 时，x 值越大，M 值越大； ③使得 M 大于 4 的 x 值不存在； ④若 M=2，则 x= 1 .其中正确的有 A．1 个 B．2 个 C． 3 个 D．4 个 答案：B 解析：当 x＞2 时，由图象可知 y2＞y1，M＝y1，所以，①不 正确；当 x＜0 时，由图象可知 y2＞y1，M＝y1，x 值越大，M 值越大，②正确；M 最大值为 4，所以，③正确；M＝2 时，x 的值有两个，不一定是 1， 所以，④不正确，正确的有 2 个，选 B。 第Ⅱ卷（非选择题 80 分） 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分．不需写出解答过程，请将答案 直接写在答题卡相应位置上. 13.要使式子 有意义，则 的取值范围是 . 答案：x≤2 解析：由根式的意义，得：2－x≥0，解得：x≤2 14.已知 ，则 答案：－11 解析：原式＝1－2（m2－m）－1－12＝－11 15. 如右图，直线 AB 交双曲线 于Ａ、B，交 x 轴 于点 C,B 为线段 AC 的中点，过点 B 作 BM⊥x 轴于 M，连结 OA.若 OM=2MC,S⊿OAC=12， 则 k 的值为___________. 答案：8 解析：过 A 作 AN⊥OC 于 N，因为 BM⊥x 轴，所以，AN∥BM，因为 B 为 AC 中点， 所以 MN＝MC， 又 OM＝2MC＝2MN，所以，N 为 OM 中点，设 A（a，b）， 则 OC＝3a， ，得 ab＝8，又点 A 在双曲线上，所以，k＝ab＝8。 16.如图（a），有一张矩形纸片 ABCD，其中 AD=6cm，以 AD 为直径的半圆，正好与对 边 BC 相切,将矩形纸片 ABCD 沿 DE 折叠，使点 A 落在 BC 上，如图（b）.则半圆还露 在外面的部分（阴影部分）的面积为_____________. 答案： 解析：半圆的半径为 3，所以，AB＝CD＝3， D＝AD＝6， C＝3 ， B＝6－3 ，设 AE＝x，在直角三角形 EB 中， （3－x）2＋（6－3 ）2＝x2，解得：x＝12－ 6 ，tan∠ADE＝ ，所以， ∠ADE＝15°，∠ADF＝30°，∠AOF＝60°， S 半圆 AD＝ ，S 扇形 AOF＝ ， S△DOF＝ ， 所以，阴影部分面积为： 三、解答题:本大题有 6 小题，满分 64 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分 10 分,(1)小题 4 分，（2）小题 6 分） （1）计算： . （2）已知，关于 x 的方程 的两个实数根 、 满足 ，求 实数 的值. 解析： （2）（本小题满分 6 分） 解：原方程可变形为： . …………………5 分 ∵ 、 是方程的两个根， ∴△≥0,即：4（m +1）2-4m2≥0, ∴ 8m+4≥0, m≥ . 又 、 满足 ,∴ = 或 =- , 即△=0 或 + =0, …………………8 分 由△=0,即 8m+4=0,得 m= . 由 + =0,即:2(m+1)=0,得 m=-1,(不合题意，舍去) 所以,当 时，m 的值为 . ……………10 分 18.（本题满分 10 分） 如图，已知四边形 ABDE 是平行四边形，C 为边 B D 延长线上一点，连结 AC、CE，使 AB=AC. ⑴求证：△BAD≌△AEC； ⑵若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10， 求平行四边形 ABDE 的面积. 解析： （1）证明：∵AB=AC,∴∠B=∠ACB. 又 ∵四边形 ABDE 是平行四边形 ∴AE∥BD， AE=BD，∴∠ACB=∠CAE=∠B， ∴⊿DBA≌⊿AEC(SAS) ………………4 分 （2）过 A 作 AG⊥BC,垂足为 G.设 AG=x， 在 Rt△AGD 中，∵∠ADC=450，∴AG=DG=x， 在 Rt△AGB 中，∵∠B=300，∴BG= ，………………6 分 又∵BD=10. ∴BG-DG=BD,即 ，解得 AG=x= .…………………8 分 ∴S 平行四边形 ABDE=BD·AG=10×（ ）= .………………10 分 19．（本题满分 10 分） “端午”节前，小明爸爸去超市购买了大小、形状、重量等都相同的火腿粽子和豆沙粽子 若干，放入不透明的盒中，此时从盒中随机取出火腿粽子的概率为 ；妈妈从盒中取出 火腿粽子 3 只、豆沙粽子 7 只送给爷爷和奶奶后，这时随机取出火腿粽子的概率为 ． （1）请你用所学知识计算：爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？ （2）若小明一次从盒内剩余粽子中任取 2 只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各 1 只的概率 是多少？（用列表法或树状图计算） 解析：（1）设爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子分别为 x 只、y 只， ……1 分 根据题意得： …………………………………4 分 解得： 经检验符合题意， 所以爸爸买了火腿粽子 5 只、豆沙粽子 10 只. ……………6 分 （2）由题可知，盒中剩余的火腿粽子和豆沙粽子分别为 2 只、3 只，我们不妨把两只火 腿粽子记为 a1、a2；3 只豆沙粽子记为 b1、b2、b3,则可列出表格如下： a1 a2 b1 b2 b3 a1 a1 a2 a1b1 a1b2 a1b3 a2 a2 a1 a2 b1 a2 b2 a2 b3 b1 b1 a1 b1a2 b1 b2 b1 b3 b2 b2 a1 b2a2 b2b1 b2 b3 b3 b3 a1 b3a2 b3b1 b3b2 …………8 分 ∴ …………………10 分 20. （本题满分 10 分） 问题背景: 如图（a）,点 A、B 在直线 l 的同侧，要在直线 l 上找一点 C，使 AC 与 BC 的距离之和最 小，我们可以作出点 B 关于 l 的对称点 B′,连接 A B′与直线 l 交于点 C，则点 C 即为所求. （1）实践运用： 如图(b)，已知，⊙O 的直径 CD 为 4，点 A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧 AD 的中 点，P 为直径 CD 上一动点，则 BP+AP 的最小值为__________． （2）知识拓展： 如图(c)，在 Rt△ABC 中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，E、F 分别是线段 AD 和 AB 上的动点，求 BE+EF 的最小值，并写出解答过程． 解析： …………………4 分 （2）解：如图，在斜边 AC 上截取 AB′=AB,连结 BB′. ∵AD 平分∠BAC， ∴点 B 与点 B′关于直线 AD 对称. …………6 分 过点 B′作 B′F⊥AB,垂足为 F,交 AD 于 E，连结 BE, 则 线 段 B′F 的 长 即 为 所 求 .( 点 到 直 线 的 距 离 最 短) ………8 分 在 Rt△AFB/中，∵∠BAC=450, AB/=AB= 10， ， ∴BE+EF 的最小值为 . ………………10 分 21. （本小题满分 10 分） 一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车 100 辆．公司在经营中发现每辆车的月租金 x(元) 与每月租出的车辆数(y)有如下关系： x 3000 3200 3500 4000 y 100 96 90 80 （1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出 的车辆数 y（辆）与每辆车的月租金 x（元）之间的关系式. （2）已知租出的车每辆每月需要维护费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元．用 含 x（x≥3000）的代数式填表: 租出的车辆数 未租出的车辆数 租出每辆车的月 收益 所有未租出的车辆 每月的维护费 （3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月 收益？请求出公司的最大月收益是多少元． 解析：（1）由表格数据可知 y 与 x 是一次函数关系，设其解析式 ONG 为 . 由题： 解之得： ∴y 与 x 间的函数关系是 . ……………………………3 分 （2）如下表：每空 1 分，共 4 分. 租出的车辆数 未租出的车辆数 租出的车每辆 的月收益 所有未租出的车辆每 月的维护费 22. （本小题满分 14 分） 已知，如图(a)，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(x1,0),B(x2,0)，C(0,-2)，其顶点为 D. 以 AB 为直径的⊙M 交 y 轴于点 E、F，过点 E 作⊙M 的切线交 x 轴于点 N.∠ONE=30°， |x1-x2|=8. （1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （2）连结 AD、BD,在（1）中的抛物线上是否存在一点 P，使得⊿ABP 与⊿ADB 相似？ 若存在，求出 点的坐标；若不存在，说明理由； （3）如图（b）,点 Q 为 上的动点（Q 不与 E、F 重合），连结 AQ 交 y 轴于点 H，问： AH·AQ 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. 解析： (2）如图，由抛物线的对称性可知： ， ． 必须有 ． 设 AP 交抛物线的对称轴于 D′点， 显然 ， ∴直线 的解析式为 ， 由 ，得 . ∴ . 过 作 ∵ ∴ ．． ∴ 与 不相似， …………………………9 分 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的 点． 所以在该抛物线上不存在点 ，使得与 与相似．…………………… 10 分 (3)连结 AF、QF, 在 和 中， 由垂径定理易知：弧 AE=弧 AF. ∴ , 又 , ∴ ∽ , , ……………… 12 分 在 Rt△AOF 中，AF2＝AO2＋OF2＝22＋(2 )2＝16（或利用 AF2＝AO·AB＝2×8＝16） ∴AH·AQ＝16 即：AH·AQ 为定值。 …………… 14 分