机密★启用前 试卷类型：
A
淄博市 2013 年初中学业考试
数 学 试 题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 6 页．满分 120 分．考试时间 120 分钟．考试结
束后，将本试卷和答题卡一并交回．w w w .
注意事项：
1．答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将区县、毕业学校、姓名、考试号、座号
填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上．
3．第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．
4．答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允
许使用计算器．
第Ⅰ卷（选择题 共 48 分）
一、选择题：本题共 12 小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题
4 分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分．
1．9 的算术平方根是
（A） 3 （B） 3
（C）3 （D） 3
2．下列运算错误的是
（A）
2
2
( ) 1( )
a b
b a
（B） 1a b
a b
（C） 0.5 5 10
0.2 0.3 2 3
a b a b
a b a b
（D） a b b a
a b b a
3．把一根长 100cm 的木棍锯成两段，使其中一段的长比另一段的 2 倍少 5cm，则锯出的木
棍的长不可能为
（A）70cm （B）65cm
（C）35cm （D）35cm 或 65cm
4．下面关于正六棱柱的视图（主视图、左视图、俯视图）中，画法错误的是
（第 4 题）
AB
C D
d
a
b
c
e
（第 8 题）
（第 6 题）
A B
CD
E
C
P
y
A
O B
C
P
x
（第 9 题）
5．如果分式
2 1
2 2
x
x
的值为 0，则 x 的值是
（A）1 （B）0
（C） 1 （D） 1
6．如图，菱形纸片 ABCD 中，∠A=60°，折叠菱形纸片 ABCD，
使点 C 落在 DP（P 为 AB 中点）所在的直线上，得到经过点
D 的折痕 DE．则∠DEC 的大小为
（A）78° （B）75°
（C）60° （D）45°
7．如图，Rt△OAB 的顶点 A（－2，4）在抛物线 2y ax 上，将
Rt△OAB 绕点 O 顺时针旋转 90°，得到△OCD，边 CD 与该抛
物线交于点 P，则点 P 的坐标为
（A） 2（ ， 2） （B） 2（ ， 2）
（C） 2（ ， 2） （D） 2（ ， 2）
8．如图，直角梯形 ABCD 中， AB CD∥ ， =C 90°， =BDA 90°， AB a ，
BD b ，CD c ， BC d ， AD e ，则下列等式成立的是
（A） 2b ac （B） 2b ce
（C）be ac （D） bd ae
9．如图，矩形 AOBC 的面积为 4，反比例函数 ky x
的图象的一支经过
矩形对角线的交点 P，则该反比例函数的解析式是
（A） 4y x
（B） 2y x
（C） 1y x
（D） 1
2y x
（A） （B） （C） （D）
（第 7 题）
A
OB
CD P
x
y
10．如果 m 是任意实数，则点 ( 4P m ， 1)m 一定不在
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
11．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同．如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟
中恰有两只雌鸟的概率是
（A） 1
6
（B） 3
8
（C） 5
8
（D） 2
3
12．如图，△ABC 的周长为 26，点 D，E都在边 BC 上，∠ABC
的平分线垂直于 AE，垂足为 Q，∠ACB 的平分线垂直于
AD，垂足为 P，若 BC=10，则 PQ 的长为
（A） 3
2
（B） 5
2
（C）3 （D）4
第Ⅱ卷（非选择题 共 72 分）
二、填空题：本题共 5 小题，满分 20 分．只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分．
13．当实数 a＜0 时，6+a 6-a（填“＜”或“＞”）.
14．请写出一个概率小于 1
2
的随机事件： .
15．在△ABC中，P是AB上的动点（P 异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三
角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，
AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有 条.
16．如图，AB是⊙O的直径， AD DE ，AB=5，BD=4，则sin∠ECB= .
17．如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之
和都相等，则第2013个格子中的整数是 .
－4 a b c 6 b －2 …
三、解答题：本大题共 7 小题，共 52 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
18．（本题满分 5 分）
A
B CD E
P Q
（第 12 题）
A
B C
P
（第 15 题）
D
A B
EC
O
（第 16 题）
解方程组 2 3 3
2 2.
x y
x y
19．（本题满分 5 分）
如图，AD∥BC，BD 平分∠ABC．求证：AB=AD.
20．（本题满分 8 分）
某中学积极开展跳绳活动，体育委员统计了全班同学 1 分钟跳绳的次数，并列出了频
数分布表：
次数 60≤x＜
80
80≤x＜
100
100≤x＜
120w w w .
120≤x＜
140
140≤x＜
160
160≤x＜
180
频数 5 6 14 9 4
（1）跳绳次数 x 在 120≤x＜140 范围的同学占全班同学的 20%，在答题卡中完成上表；
（2）画出适当的统计图，表示上面的信息.
21．（本题满分 8 分）
关于 x 的一元二次方程 2( 6) 8 9 0a x x 有实根.
（1）求 a 的最大整数值；
（2）当 a 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求 2
2
32 72 8 11
xx x x
的值.
（第 19 题）
C
DA
B
，
22．（本题满分 8 分）
分别以□ ABCD（ CDA 90°）的三边 AB，CD，DA 为斜边作等腰直角三角形，△ABE，
△CDG，△ADF.
（1）如图 1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接 GF，EF．请判
断 GF 与 EF 的关系（只写结论，不需证明）；
（2）如图 2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接 GF，EF，(1)中
结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.
23．（本题满分9 分）
△ABC 是等边三角形，点 A 与点 D 的坐标分别是 A（4，0），D（10，0）.
（1）如图 1，当点 C 与点 O 重合时，求直线 BD 的解析式；
（2）如图 2，点 C 从点 O 沿 y 轴向下移动，当以点 B 为圆心，AB 为半径的⊙B 与 y
轴相切（切点为 C）时，求点 B 的坐标；
（3）如图 3，点 C 从点 O 沿 y 轴向下移动，当点 C 的坐标为 C（0， 2 3 ）时，求
∠ODB 的正切值.
A
BC
D
G
F
E
图 1
A
BC
D
G
F E
图 2
24．（本题满分 9 分）
矩形纸片 ABCD 中，AB=5，AD=4.
（1）如图 1，四边形 MNEF 是在矩形纸片 ABCD 中裁剪出的一个正方形．你能否在该
矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；
（2）请用矩形纸片 ABCD 剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图 2 的矩形 ABCD
中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形
的顶点都在网格的格点上）.
淄博市 2013 年初中学业考试
数学试题（A 卷）参考答案及评分标准
D
A B
CD
M
N
E
F
图 1
A B
C
图 2
评卷说明：
1．选择题和填空题中的每小题，只有满分和零分两个评分档，不给中间分．
2．解答题每小题的解答中所对应的分数，是指考生正确解答到该步骤所应得的累计分
数．每小题只给出一种或两种解法，对考生的其它解法，请参照评分意见进行评分．
3．如果考生在解答的中间过程出现计算错误，但并没有改变试题的实质和难度，其后
续部分酌情给分，但最多不超过正确解答分数的一半；若出现严重的逻辑错误，后续部分
就不再给分．
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题每题 4 分，共 48 分．错选、不选或选出的答案超过
一个，均记零分）：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D A A A B C A C D B C
二、填空题 (本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分) ：
13． ；14．答案不唯一. 如：掷一个骰子，向上一面的点数为 2；
15．3； 16． 4
5
； 17．－2．
三、解答题 (本大题共 7 小题，共 52 分) ：
18．(本题满分 5 分)
解： 2 3 3,
2 2.
x y
x y
①－2×②，得 －7y=7，
y=－1. …………………………………3′
把 y=－1 带入②，得 x=0. …………………………………4′
所以这个方程组的解为 0,
1.
x
y
…………………………………5′
19．(本题满分 5 分)
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD.…………………………………………2′
∵BD 平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD.…………………………………………3′
∴∠ADB =∠ABD.
∴AB=AD.……………………………………………………5′
20．(本题满分 8 分)
解(1)7………3′
(2)如图………8′
次数/个
频数
2
4
6
8
10
12
14
60 80 100 120 140 160 180
0
①
②
21．（本题满分 8 分）
解：(1)△= 2( 8) 4( 6) 9a =－36a+280，……………………1′
∵该方程有实根，
∴△≥0，即－36a+280≥0 ， a≤ 70
9 .……………………2′
∴a 的最大整数值为 7.…………………………………………3′
(2) ①一元二次方程为 2 8 9 0x x ，
8 28 4 72x .
1 24 7 4 7x x .…………………………………………5′
②∵ 2 8 9 0x x ，
∴ 2 8 9x x .…………………………………………6′
2 2
2
32 7 32 72 28 11 9 11
x xx xx x
…………………………7′
= 2 27 7 7 292 16 2( 8 ) 2 ( 9)2 2 2 2x x x x .…………………8′
22．（本题满分 8 分）
解：(1)GF⊥EF，GF=EF.………………………………………………………2′
(2)GF⊥EF，GF=EF 成立.………………………………………………………3′
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=DC，∠DAB+∠ADC=180°.
∵△ABE，△CDG，△ADF. 都是等腰直角三角形，
∴DG=AE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠DAF=∠BAE=45°.…………………5′
∴∠BAE+∠DAF+∠EAF+∠ADF+∠CDF =180°.
∴∠EAF+∠CDF =45°.
∵∠CDF+∠GDF =45°，
∴∠GDF=∠EAF.
∴△GDF≌△EAF.………………………………………………………………6′
∴GF=EF，∠GFD=∠EFA.即∠GFD+∠GFA =∠EFA+∠GFA
∴∠GFE=∠DFA=90°.
∴GF⊥EF.…………………………………………………………………………8′
23．（本题满分 9 分）
解：(1)∵A（4,0），
∴OA=4，等边三角形△ABC的高为 2 3
∴B 点的坐标为（2,－2 3 ）.…………………………………………1′
设直线 BD 的解析式为： y kx b
则 2 2 3
10 0
k b
k b
解得
3
4
5 3
2
k
b
∴直线 BD 的解析式为： 3 5 3
4 2y x .………………………………3′
(2)∵以 AB 为半径的⊙B 与 y 轴相切于点 C，
∴BC 与 y 轴垂直.
∵△ABC 是等边三角形，A（4,0），
∴B 点的坐标为（8，－4 3 ）.…………………………………………5′
(3)以点 B 为圆心，AB 为半径作⊙B，交 y 轴于 C，E，过点 B 作 BF⊥CE 垂足为 F，
连接 AE.…………………………………………6′
∵△ABC 是等边三角形，A（4,0），
∴∠OEA= 1
2
∠ABC=30°.
∴AE=8.
在 Rt △OAE 中，
∴OE= 4 3 .
∵OC= 2 3 ，
∴AC= 2 7 .………………………………7′
∴CE=OE－OC= 2 3 .
∴OF=OC+CF= 3 3 .
在 Rt △CFB 中，
2 2 2BF BC CF =25， BF=5
∴B 点的坐标为(5, 3 3 ) ，
过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 Q，
tan∠ODB= 3 3
5
BQ
QD
.…………………………………………9′
24．（本题满分 9 分）
解：（1）正方形的最大面积是 16.…………………………………………1′
设 AM=x(0≤x≤4) ，
则 MD=4－x.
x
y
O
A
B
C
D
图 3
E
F
P
Q
∵四边形 MNEF 是正方形，
∴MN=MF，∠AMN+∠FMD=90°.
∵∠AMN+∠ANM=90°，
∴∠ANM=∠FMD.
∴Rt△ANM≌Rt△DMF.…………………………………………2′
∴DM=AN.
∴ 2 2 2 2 2 2(4 ) 2 8 16MNEFS MN AM AN x x x x 正方形
22( 2) 8x .………………………4′
∵函数 22( 2) 8MNEFS x 正方形 的开口向上，
对称轴是 x=2，
函数图象如图所示，
∵0≤x≤4，
∴当 x=0 或 x=4 时，
正方形 MNEF 的面积最大.
最大值是 16.……………………5′
(2)如图，画出分割线 7′；
拼出图形 9′.
A B
CD
x
y
O 2
16
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