2013年常州市中考数学试卷解析(数学组)

常州市 2013 中考数学试卷分析 数 学 试 题 注意事项： 1. 本试卷共 6 页，全卷满分 120 分，考试时间为 20 分钟，考生将答案全部填写在答题卡位 置上，写在本试卷上无效，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，考试时不允许使 用计算器。 2. 答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并赶写好答题卡上的考生信息。 3. 作图必须用 2B 铅笔，并加黑加粗，描写清楚。 一．选择题（本大题共有 8 小题，每小题 2 分，共 16 分，在每小题所给的四个选项中，只有 一项是正确的） 1. 在下列实数中，无理数是 （ ） A．2 B．3.14 C． 2 1 D． 3 答案:D 解析：无理数指无限不循环小数，而 A、B、C 分别是整数、有理数、分数，而 D 是无理 数。 2.如图所示圆柱的左视图是 （ ） （第 2 题） A． B． C． D． 答案：C 解析：圆柱体：正视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是圆形 3. 下列函数中，图像经过点（1，-1)的反比例函数关系式是 （ ） A. xy 1 B. xy 1 C. xy 2 D. xy 2 答案：A 解析：将点坐标带入各个选项中，发现只有 A 选项符合 4.下列计算中，正确的是 （ ） A．（a3b）2=a6b2 B．a*a4=a4 C．a6÷a2=a3 D．3a+2b=5ab 答案：A 解析：幂运算公式的应用，B 为 a 的 5 次方，C 为 a 的 4 次方，D 为原式 5.已知：甲乙两组数据的平均数都是 5，甲组数据的方差 12 12 甲S ，乙组数据的方差 10 12 乙S ，下列结论中正确的是 （ ） A．甲组数据比乙组数据的波动大 B．乙组数据的比甲组数据的波动大 C．甲组数 据与乙组数据的波动一样大 D．甲组数据与乙组数据的波动不能比较 答案：B 解析：当均值相同时，方差越大，成绩越不稳定，反之亦然。 6.已知⊙O 的半径是 6，点 O 到直线 l 的距离为 5，则直线 l 与⊙O 的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 答案：C 解析：圆半径为 6，圆心到直线距离为 5，当圆心到直线距离小于半径时，直线与圆相交。 7.二次函数 cbxaxy  2 （a、b、c 为常数且 a≠0）中的 x 与 y 的部分对应值如下表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y 12 5 0 -3 -4 -3 0 5 12 给出了结论： (1)二次函数 cbxaxy  2 有最小值，最小值为-3； (2)当 22 1  x 时，ya)的矩形纸片，5 张边长为 b 的 正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一 个正方形（按原纸乍进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 （ ） A．a+b B．2a+b C．3a+b D．a+2b 答案：D 解析：将各个选项进行完全平方展开，C 首先排除，需要 9 个正方形才行，A、B、D 都可 以，但是由于 b>a，所以表达式中 b 越大，则面积越大，故选 D 二．填空题（本大题共有 9 小题，第 9 小题 4 分，其余 8 小题每小题 2 分，共 20 分，不需写 出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 9.计算-(-3)=____3____,|-3|=___3____,(-3)-1=___-4____,(-3)2=___-6____. 解析：考查绝对值及相反数的运算。 10.已知点 P（3，2），则点 P 关于 y 轴的对称点 P1 的坐标是_（-3,2）_____,点 P 关于原 点 O 的对称点 P2 的坐标是_（-3，-2）_______. 解析：考查点关于 x 轴、y 轴及原点对称问题。 11.已知一次函数 y=kx+b(k、b 为常数且 k≠0)的图象经过点 A（0,-2）和点 B（1,0），则 k=___2___，b=__-2____。 解析：一次函数，利用待定系数法，将 A，B 两点代入一次函数解析式可得 k 与 b 12.已知扇形的半径为 6cm，圆心角为 150°，则此扇形的弧长是__5π____cm，扇形的面 积是____15π____cm2（结果保留π）。 解析：求有关弧长、面积问题，扇形弧长 l= 180 rn ，扇形面积= lr2 1 13.函数 y= 3x 中自变量 x 的取值范围是__x_>=3_____，若分式 1 32   x x 的值为 0，则 x=_ 2 3 ___。 解析：二次根式及分式的概念 14.我市某一周的每一天的最高气温统计如下表： 最高气温（℃） 25 26 27 28 天数 1 1 2 3 则这组数据的中位数是__27______，众数是___28____。 解析：考查中位数、众数基本概念 15.已知 x=-1 是关于 x 的方程 2x2+ax-a2=0 的一个根，则 a=_-2 或 1 ______。 解析：本题主要考察一元二次方程知识点，首先可以根据 x 的解代入方程， 得到 a2+a-2=0，转化为关于 a 的一元二次方程，从而可根据一元二次方程的四种 解法解出 a 的值，用因式分解法颇为简单 16.如图，△ABC 内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD 为⊙O 的直径，AD=6， 则 DC=___ 32 _____. 解析：考查圆内相关问题。由∠BAC=120°，AB=AC 得∠C=30°，则∠D=30°， 由直径所对的圆周角为直角得 AB= 32 ，∠DBC=30°，在同圆中圆周角所对的弦相等得 AB=CD 17.在平面直角坐标系 xOy 中，已知第一象限内的点 A 在反比例函数 xy 1 的图象上，第 二象限内的点 B 在反比例函数 x ky  的图象上，连接 OA、OB，若 OA⊥OB，OB= 2 2 OA， 则 k=__ 2 1 _____. 解析：考查反比例函数，相似的性质。过点 A 作 AC 垂直 x 轴交与 C 点，过点 B 作 BD 垂直 与 x 轴于 D 点，由已知得 OBDAOC  ∽ ，由 OB= 2 2 OA 得 1:2:  OBDAOC SS ，又 2 || 2 1 k OBDAOC SS   ， 三、解答题（本大题共 2 小题，共 18 分） 18.化简（每小题 4 分，共 8 分） 00 60cos2)2013(4  解析：=2－1＋1 =2 本题目主要考察平方根、幂的运算和锐角三角函数最基本的知识点，属于简单题 2 1 4 2 2  xx x 解析：本题目主要考察分式的化简习题，首先要去寻找分母的最小公倍数，需要注意的是当 把后面分式的分母 x+2 化为 x2－4 时，分母上此时变为 x－2，这时候减去的需要时一个整体 －（x－2） 19.解方程组和不等式组：（每小题 5 分，共 10 分）      643 02 yx yx 解析：本题目主要考察二元一次方程的解法，我们可以采用代入消元法或加减消元法去做 法一：我们可以把 x 用 y 代替，或把 y 用 x 代替，代入另外一个式子，从而解出其中一个字 母，最后解出另外一个，此方法为代入消元法 法二：我们可以把 x 或 y 前面的系数化为相等或相反的数，从而再把他们相减或相加，起到 消元的效果，此方法为加减消元法 2 5 2 7 x 解析：此题目主要考察解分式方程，解分式方程的中心思想是要把分式方程转化为整式方程， 最终还要把结果进行检验，以免产生增根 四、解答题（本大题共 2 小题，共 15 分请在答题卡指定区域内作答，解答或写出文字说明及 演算步骤） 20.（本小题满分 7 分） 为保证中小学生每天锻炼一小时，某校开展了形式多样的体育活动项目，小明对某班同学参 加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的统计图（1）和图（2）。 （1）请根据所给信息在图（1）中将表示“乒乓球”项目的图形补充完整； （2）扇形统计图（2）中表示”足球”项目扇形的圆心角度数为____72°____. 解析：本题目主要考察统计相关知识点，思路简单，主要思路为根据已知某项具体的人数及 所占的比例求出总的人数，可算出各自所占的百分比，最后算出对应的圆心角的度数。该题 属于基础型题。 21.（本小题满分 8 分） 一只不透明的箱子里共有 3 个球，其中 2 个白球，1 个红球，它们除颜色外均相同。 （1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？ (2 ) 从箱子中随机摸出一个球，，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球， 求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图。 解：（1）∵共有 3 个球，2 个白球， ∴随机摸出一个球是白球的概率为 2/3 （2）根据题意画出树状图如下： 一共有 6 种情况，两次摸出的球都是白球的情况有 2 种， 所以，P（两次摸出的球都是白球）=2/6=1/3． 解析：此题目是和概率相关的题目，考察学科对树状图和列表法的理解；始终遵循一个原则： 分母上为总的可能性，分子上为符合题目意思的可能性，在第二问中需要注意的是他是有放 回的，所以共有 9 种选择。 五．解答题（本大题共 2 小时，共 13 分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出证明过程） 22．（本小题满分 6 分） 如图，C 是 AB 的中点，AD=BE，CD=CE。 求证：∠A=∠B。 23.如图，在△ABC 中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA 是△ABC 的两个外角，AD 平分∠ FAC，CD 平分∠ECA。 求证：四边形 ABCD 是菱形。 解析：22、23 两题都是初中阶段平面几何的证明题。22 题属于容易题，通过 AC=CB 和 CD=CE、 AD=BE 三个条件利用 SSS 证明全等；23 题属于中等偏容易的题型，由 AB=AC，∠B=60°以及 两个外角的条件，通过平分可以得知△ACD 也是等边，从而原题得证。 六．解答题（本大题共 2 小题，请在答题卡指定区域内作答，共 13 分） 24.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC= 3 ，点 O 为 Rt△ABC 内一点，连接 A0、BO、CO,且 ∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）： 以点 B 为旋转中心，将△AOB 绕点 B 顺时针方向旋转 60°，得到△A′O′B （得到 A、O 的对应点分别为点 A′、O′），并回答下列问题： ∠ABC=___30°___,∠A′BC=___90°__,OA+OB+OC=__ 7 __. 解析：解直角三角形求出∠ABC=30°，然后过点 B 作 BC 的垂线，在截取 A′B=AB，再以点 A′ 为圆心，以 AO 为半径画弧，以点 B 为圆心，以 BO 为半径画弧，两弧相交于点 O′，连接 A′O′、 BO′，即可得到△A′O′B；根据旋转角与∠ABC 的度数，相加即可得到∠A′BC； 根据直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半 求出 AB=2AC，即 A′B 的长，再根据旋转的性质求出 △BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相 等可得 BO=OO′，等边三角形三个角都是 60°求出 ∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出 C、O、A′、O′四点 共线，再利用勾股定理列式求出 A′C，从而得到 OA+OB+OC=A′C． 25.（本小题满分 7 分） 某饮料厂以 300 千克的 A 种果汁和 240 千克的 B 种果汁为原料，配制生产甲、乙两种新型饮 料，已知每千克甲种饮料含 0.6 千克 A 种果汁，含 0.3 千克 B 种果汁；每千克乙种饮料含 0.2 千克 A 种果汁，含 0.4 千克 B 种果汁。饮料厂计划生产甲、乙两种新型饮料共 650 千克，设 该厂生产甲咱饮料 x（千克）。 （1） 列出满足题意的关于 x 的不等式组，并求出 x 的取值范围； （2） 已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每 1 千克 3 元，乙种饮料销售价是每 1 千克 4 元， 那么该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克，才能使得这批饮料销售总金额最大？ 解：（1）设该厂生产甲种饮料 x 千克，则生产乙种饮料（650-x）千克，根据题意得， 0.6x+0.2(650-x)≤300① 0.3x+0.4(650-x)≤240② 由①得，x≤425， 由②得，x≥200， 所以，x 的取值范围是 200≤x≤425； （2）设这批饮料销售总金额为 y 元， 根据题意得，y=3x+4（650-x）=3x+2600-4x=-x+2600， 即 y=-x+2600， ∵k=-1＜0， ∴当 x=200 时，这批饮料销售总金额最大，为-200+2600=2400 元． 解析：本题考查了一次函数的应用，列一元一次不等式组解实际问题，根据 A、B 果汁的数量 列出不等式组是解题的关键，（2）主要利用了一次函数的增减性． 七．解答题（本大题共 3 小题，共 25 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 26（本小题满分 6 分） 用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为 1 的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点， 以格点为顶点的多边形称为格点多边形。设格点多边形的面积为 S，该多边形各边上的格点个 数和为 a,内部的格点个数为 b，则 12 1  baS (史称“皮克公式”). 小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角 形网格中每个小正三角形面积为 1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格 点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形： 根据图中提供的信息填表： 格点多边形各边 上的格点的个数 格点边多边形内 部的格点个数 格点多边形的面 积 多边形 1 8 1 8 多边形 2 7 3 11 … … … … 一般格点多边形 a b S 则 S 与 a、b 之间的关系为 S=____S=a+2（b-1）______(用含 a、b 的代数式表示)。 解析：考查了作图-应用与设计作图．此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规 律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算． 27.（本小题满分 9 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（6，0）,点 B(0,6)，动点 C 在以半径为 3 的⊙O 上，连 接 OC,过 O 点作 OD⊥OC,OD 与⊙O 相交于点 D（其中点 C、O、D 按逆时针方向排列），连接 AB。 （1） 当 OC∥AB 时，∠BOC 的度数为____45°或 135°___; （2） 连接 AC，BC，当点 C 在⊙O 上运动到什么位置时，△ABC 的面积最大？并求出△ABC 的面积的最大值。 （3） 连接 AD，当 OC∥AD 时， 1 求出点 C 的坐标；②直线 BC 是否为⊙O 的切线？请作出判断，并说明理由。 解析：作为压轴题之一，27 题考查了圆中的动态问题，同时对考生图形的旋转带来的变化提 出了较高的能力要求。（1）较为容易，Rt△ABO 是明显的等腰直角三角形； （1）根据点 A 和点 B 坐标易得△OAB 为等腰直角三角形，则∠OBA=45°，由于 OC∥AB，所以当 C 点在 y 轴左 侧时，有∠BOC=∠OBA=45°；当 C 点在 y 轴右侧时，有∠BOC=180°-∠OBA=135°； （2），根据三角形面积公式得到当点 C 到 AB 的距离最大时，△ABC 的面积最大，过 O 点作 OE⊥AB 于 E，OE 的反向延长线交⊙O 于 C，此时 C 点到 AB 的距离的最大值为 CE 的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出 OE，然后计算△ABC 的面积； （3）①过 C 点作 CF⊥x 轴于 F，易证 Rt△OCF∽Rt△AOD，则 CF= 2 3 ，所以∠COF=30°，则可得到∴BOC=60°， ∠AOD=60°，然后根据“SAS”判断△BOC≌△AOD，所以∠BCO=∠ADC=90°，再根据切线的判定定理可确定直 线 BC 为⊙O 的切线． 28.(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=2x+2 的图象与 x 轴交于 A，与 y 轴交于点 C，点 B 的 坐标为(a,0),(其中 a>0),直线 l 过动点 M(0,m)(0