2013年淮安市中考数学试卷解析

江苏省淮安市 2013 年中考数学试卷 一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题给出的四个人选项中， 有一项是符合题目要求的． 1．（3 分）（2013•淮安）在﹣1，0．﹣2，1 四个数中，最小的数是（ ） A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．1 考点：有理数大小比较． 分析：根据在有理数中：负数＜0＜正数；两个负数，绝对值大的反而小；据此可求得最小 的数． 解答：解：在﹣1，0．﹣2，1 四个数中，最小的数是﹣2； 故选 C． 点评：本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数， 绝对值大的反而小． 2．（3 分）（2013•淮安）计算（2a）3 的结果是（ ） A．6a B．8a C．2a3 D．8a3 考点：幂的乘方与积的乘方． 分析：利用积的乘方以及幂的乘方法则进行计算即可求出答案． 解答：解：（2a）3=8a3； 故选 D． 点评：此题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法与幂的乘方很容易混淆，一定要记 准法则是解题的关键． 3．（3 分）（2013•淮安）不等式组 的解集是（ ） A．x≥0 B．x＜1 C．0＜x＜1 D． 0≤x＜1 考点：不等式的解集． 分析：根据口诀：大小小大中间找即可求解． 解答：解：不等式组 的解集是 0≤x＜1． 故选 D． 点评：本题考查了不等式组的解集的确定，解不等式组可遵循口诀：同大取较大，同小取较 小，大小小大中间找，大大小小解不了． 4．（3 分）（2013•淮安）若反比例函数 的图象经过点（5，﹣1）．则实数 k 的值是（ ） A．﹣5 B．﹣ C． D．5 考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 分析：把点（5，﹣1）代入已知函数解析式，借助于方程可以求得 k 的值． 解答：解：∵反比例函数 的图象经过点（5，﹣1）， ∴k=xy=5×（﹣1）=﹣5，即 k 的值是﹣5． 故选 A． 点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标 的积应等于比例系数． 5．（3 分）（2013•淮安）若扇形的半径为 6，圆心角为 120°，则此扇形的弧长是（ ） A．3π B．4π C．5π D．6π 考点：弧长的计算． 3718684 分析：根据弧长的公式 l= 进行计算即可． 解答：解：∵扇形的半径为 6，圆心角为 120°， ∴此扇形的弧长= =4π． 故选 B． 点评：本题考查了弧长的计算．此题属于基础题，只需熟记弧长公式即可． 6．（3 分）（2013•淮安）如图，数轴上 A、B 两点表示的数分别为 和 5.1，则 A、B 两点 之间表示整数的点共有（ ） A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个 考点：实数与数轴；估算无理数的大小．3718684 分析：根据 比 1 大比 2 小，5.1 比 5 大比 6 小，即可得出 A、B 两点之间表示整数的点的 个数． 解答：解：∵1 ＜2，5＜5.1＜6， ∴A、B 两点之间表示整数的点有 2，3，4，5，共有 4 个； 故选 C． 点评：本题主要考查了无理数的估算和数轴，根据数轴的特点，我们把数和点对应起来，也 就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简 单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 7．（3 分）（2013• 淮安）若等腰三角形有两条边的长度为 3 和 1，则此等腰三角形的周长为 （ ） A．5 B．7 C．5 或 7 D．6 考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．3718684 分析：因为已知长度为 3 和 1 两边，没由明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨 论． 解答：解：①当 3 为底时，其它两边都为 1， ∵1+1＜3， ∴不能构成三角形，故舍去， 当 3 为腰时， 其它两边为 3 和 1， 3、3、1 可以构成三角形， 周长为 7． 故选 B． 点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一 定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答， 这点非常重要，也是解题的关键． 8．（3 分）（2013•淮安）如图，点 A、B、C 是⊙0 上的三点，若∠OBC=50°，则∠A 的度数 是（ ） A．40° B．50° C．80° D．100° 考点：圆周角定理． 3718684 分析：在等腰三角形 OBC 中求出∠BOC，继而根据圆周角定理可求出∠A 的度数． 解答：解：∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC=50°， ∴∠BOC=180°﹣50°﹣50°=80°， ∴∠A= ∠BOC=40°． 故选 A． 点评：此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这 条弧所对的圆心角的一半． 二、填空题（本大题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 9．（3 分）（2013•淮安）sin30°的值为 ． 考点：特殊角的三角函数值． 3718684 分析：根据特殊角的三角函数值计算即可． 解答：解：sin30°= ，故答案为 ． 点评：本题考查了特殊角的三角函数值，应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变 化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形 中各边特殊值规律去记． 10．（3 分）（2013•淮安）方程 的解集是 x=﹣2 ． 考点：解分式方程． 3718684 专题：计算题． 分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分 式方程的解． 解答：解：去分母得：2+x=0， 解得：x=﹣2， 经检验 x=﹣2 是分式方程的解． 故答案为：x=﹣2 点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整 式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 11．（3 分）（2013•淮安）点 A（﹣3，0）关于 y 轴的对称点的坐标是 （3，0） ． 考点：关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标．3718684 分析：根据关于 y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可以直接写出答案． 解答：解：点 A（﹣3，0）关于 y 轴的对称点的坐标是（3，0）， 故答案为：（3，0）． 点评：此题主要考查了关于 y 轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 12．（3 分）（2013•淮安）一组数据 3，9，4，9，5 的众数是 9 ． 考点：众数．3718684 分析：根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即可得出答案． 解答：解：这组数据中出现次数最多的数据为：9． 故众数为 9． 故答案为：9． 点评：本题考查了众数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握一组数据中出现次 数最多的数据叫做众数． 13．（3 分）（2013•淮安）若 n 边形的每一个外角都等于 60°，则 n= 6 ． 考点：多边形内角与外角．3718684 分析：利用多边形的外角和 360°除以 60°即可． 解答：解：n=360°÷60°=6， 故答案为：6． 点评：此题主要考查了多边形的外角和定理，关键是掌握多边形的外角和等于 360 度． 14．（3 分）（2013•淮安）如图，三角板的直角顶点在直线 l 上，看∠1=40°，则∠2 的度数 是 50° ． 考点：余角和补角． 3718684 分析：由三角板的直角顶点在直线 l 上，根据平角的定义可知∠1 与∠2 互余，又∠1=40°， 即可求得∠2 的度数． 解答：解：如图，三角板的直角顶点在直线 l 上， 则∠1+∠2=180°﹣90°=90°， ∵∠1=40°， ∴∠2=50°． 故答案为 50°． 点评：本题考查了余角及平角的定义，正确观察图形，得出∠1 与∠2 互余是解题的关键． 15．（3 分）（2013•淮安）如图，在△ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点．若 DE=3， 则 BC= 6 ． 考点：三角形中位线定理．3718684 分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可． 解答：解：∵点 D、E 分别是 AB、AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴BC=2DE=2×3=6． 故答案为：6． 点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的 关键． 16．（3 分）（2013•淮安）二次函数 y=x2+1 的图象的顶点坐标是 （0，1） ． 考点：二次函数的性质． 3718684 分析：根据顶点式解析式写出顶点坐标即可． 解答：解：二次函数 y=x2+1 的图象的顶点坐标是（0，1）． 故答案为：（0，1）． 点评：本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式是解题的关键． 17．（3 分）（2013•淮安）若菱形的两条对角线分别为 2 和 3，则此菱形的面积是 3 ． 考点：菱形的性质． 3718684 分析：菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果即可． 解答：解：由题意，知：S 菱形= ×2×3=3， 故答案为：3． 点评：本题考查了菱形的面积两种求法：（1）利用底乘以相应底上的高；（2）利用菱形的特 殊性，菱形面积= ×两条对角线的乘积；具体用哪种方法要看已知条件来选择． 18．（3 分）（2013•淮安）观察一列单项式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…，则第 2013 个单项式是 4025x2 ． 考点：单项式． 3718684 专题：规律型． 分析：先看系数的变化规律，然后看 x 的指数的变化规律，从而确定第 2013 个单项式． 解答：解：系数依次为 1，3，5，7，9，11，…2n﹣1； x 的指数依次是 1，2，2，1，2，2，1，2，2，可见三个单项式一个循环， 故可得第 2013 个单项式的系数为 4025； ∵ =671， ∴第 2013 个单项式指数为 2， 故可得第 2013 个单项式是 4025x2． 故答案为：4025x2． 点评：本题考查了单项式的知识，属于规律型题目，解答本题关键是观察系数及指数的变化 规律． 三、解答题（本大题有 10 小题，共 96 分．） 19．（10 分）（2013•淮安）计算： （1）（π﹣5）0+ ﹣|﹣3| （2）3a+（1+ ）• ． 考点：分式的混合运算；实数的运算；零指数幂．3718684 分析：（1）首先计算 0 次幂、开方运算，去掉绝对值符号，然后进行加减运算即可； （2）首先计算括号内的式子，然后进行乘法运算，最后合并同类项即可． 解答：解：（1）原式=1+2﹣3 =0； （2）原式=3a+ • =3a+a =4a． 点评：本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键． 20．（6 分）（2013•淮安）解不等式：x+1≥ +2，并把解集在数轴上表示出来． 考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集． 3718684 分析：根据不等式的性质得到 2（x+1）≥x+4，即可求出不等式的解集，再把解集在数轴上 表示出来． 解答：解：2（x+1）≥x+4， 2x+2≥x+4， x≥2． 在数轴上表示为： 点评：本题主要考查对解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，不等式的性质等知 识点的理解和掌握，能根据不等式的性质正确解不等式是解此题的关键． 21．（8 分）（2013•淮安）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的两格中，点 A、B、 C 都是格点． （1）将△ABC 向左平移 6 个单位长度得到得到△A1B1C1； （2）将△ABC 绕点 O 按逆时针方向旋转 180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2． 考点：作图-旋转变换；作图-平移变换． 3718684 分析：（1）将点 A、B、C 分别向左平移 6 个单位长度，得出对应点，即可得出△A1B1C1； （2）将点 A、B、C 分别绕点 O 按逆时针方向旋转 180°，得出对应点，即可得出 △A2B2C2． 解答：解：（1）如图所示：△A1B1C1 ，即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求． 点评：此题主要考查了图形的平移和旋转，根据已知得出对应点坐标是解题关键． 22．（8 分）（2013•淮安）如图，在平行四边形 ABCD 中，过 AC 中点 0 作直线，分别交 AD、 BC 于点 E、F． 求证：△AOE≌△COF． 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定． 3718684 专题：证明题． 分析：据平行四边形的性质可知：OA=OC，∠AEO=∠OFC，∠EAO=∠OCF，所以 △AOE≌△COF． 解答：证明：∵AD∥BC， ∴∠EAO=∠FCO． 又∵∠AOE=∠COF，OA=OC， 在△AOE 和△COF 中， ， ∴△AOE≌△COF． 点评：此题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，首先利用平行四边形 的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题． 23．（10 分）（2013•淮安）如图，某中学为合理安排体育活动，在全校喜欢乒乓球、排球、 羽毛球、足球、篮球五种球类运动的 1000 名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了 解学生最喜欢的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如下： 球类名称 乒乓球 排球 羽毛球 足球 篮球 人数 a 12 36 18 b 解答下列问题： （1）本次调查中的样本容量是 120 ； （2）a= 30 ，b= 24 ； （3）试估计上述 1000 名学生中最喜欢羽毛球运动的人数． 考点：扇形统计图；用样本估计总体；统计表． 3718684 专题：图表型． 分析：（1）用喜欢排球的人数除以其所占的百分比即可求得样本容量； （2）用样本容量乘以乒乓球所占的百分比即可求得 a，用样本容量减去其他求得 b 值； （3）用总人数乘以喜欢羽毛球的人所占的百分比即可． 解答：解：（1）∵喜欢排球的有 12 人，占 10%， ∴样本容量为 12÷10%=120； （2）a=120×25%=30 人， b=120﹣30﹣12﹣36﹣18=24 人； （3）喜欢羽毛球的人数为：1000× =300 人． 点评：本题考查了扇形统计图、用样本估计总体等知识，解题的关键是正确的从统计图中读 懂有关信息． 24．（10 分）（2013•淮安）一个不透明的袋子中装有大小、质地完全相同的 3 只球，球上分 别标有 2，3，5 三个数字． （1）从这个袋子中任意摸一只球，所标数字是奇数的概率是 ； （2）从这个袋子中任意摸一只球，记下所标数字，不放回，再从从这个袋子中任意摸一只 球，记下所标数字．将第一次记下的数字作为十位数字，第二次记下的数字作为个位数字， 组成一个两位数．求所组成的两位数是 5 的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”的方法 写出过程） 考点：列表法与树状图法．3718684 分析：（1）直接根据概率公式解答即可； （2）首先画出树状图，可以直观的得到共有 6 种情况，其中是 5 的倍数的有两种情 况，进而算出概率即可． 解答：解：（1）任意摸一只球，所标数字是奇数的概率是： ； （2）如图所示：共有 6 种情况，其中是 5 的倍数的有 25，35 两种情况， 概率为： = ． 点评：本题考查概率公式，即如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中 事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ． 25．（10 分）（2013•淮安）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件： 如果一次性购买不超过 10 件，单价为 80 元；如果一次性购买多于 10 件，那么每增加 1 件， 购买的所有服装的单价降低 2 元，但单价不得低于 50 元．按此优惠条件，小丽一次性购买 这种服装付了 1200 元．请问她购买了多少件这种服装？ 考点：一元二次方程的应用． 3718684 分析：根据一次性购买多于 10 件，那么每增加 1 件，购买的所有服装的单价降低 2 元，表 示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可． 解答：解：设购买了 x 件这种服装，根据题意得出： [80﹣2（x﹣10） ] x=1200， 解得：x1=20，x2=30， 当 x=30 时，80﹣2（30﹣10）=40（元）＜50 不合题意舍去； 答：她购买了 30 件这种服装． 点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知得出每件服装的单价是解题关键． 26．（10 分）（2013•淮安）如图，AB 是⊙0 的直径，C 是⊙0 上的一点，直线 MN 经过点 C， 过点 A 作直线 MN 的垂线，垂足为点 D，且∠BAC=∠DAC． （1）猜想直线 MN 与⊙0 的位置关系，并说明理由； （2）若 CD=6，cos=∠ACD= ，求⊙0 的半径． 考点：切线的判定；解直角三角形．3718684 分析：（1）连接 OC，推出 AD∥OC，推出 OC⊥MN，根据切线的判定推出即可； （2）求出 AD、AB 长，证△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出 AB 长即可． 解答：解：（1）直线 MN 与⊙0 的位置关系是相切， 理由是：连接 OC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵∠CAB=∠DAC， ∴∠DAC=∠OCA， ∴OC∥AD， ∵AD⊥MN， ∴OC⊥MN， ∵OC 为半径， ∴MN 是⊙O 切线； （2）∵CD=6，cos∠ACD= = ， ∴AC=10，由勾股定理得：AD=8， ∵AB 是⊙O 直径，AD⊥MN， ∴∠ACB=∠ADC=90°， ∵∠DAC=∠BAC， ∴△ADC∽△ACB， ∴ = ， ∴ = ， ∴AB=12.5， ∴⊙O 半径是 ×12.5=6.25． 点评：本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线性质，相似三角形的性质 和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力． 27．（12 分）（2013•淮安）甲、乙两地之间有一条笔直的公路 L，小明从甲地出发沿公路ι 步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路 L 骑自行车前往甲地，小亮到达甲地停留一段 时间，原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地．设小明与甲地的距离为 y1 米，小 亮与甲地的距离为 y2 米，小明与小亮之间的距离为 s 米，小明行走的时间为 x 分钟．y1、 y2 与 x 之间的函数图象如图 1，s 与 x 之间的函数图象（部分）如图 2． （1）求小亮从乙地到甲地过程中 y1（米）与 x（分钟）之间的函数关系式； （2）求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中 s（米）与 x（分钟）之间的函数关系式； （3）在图 2 中，补全整个过程中 s（米）与 x（分钟）之间的函数图象，并确定 a 的值． 考点：一次函数的应用． 3718684 分析：（1）设小亮从乙地到甲地过程中 y1（米）与 x（分钟）之间的函数关系式为 y1=k1x+b， 由待定系数法根据图象就可以求出解析式； （2）先根据函数图象求出甲乙的速度，然后与追击问题就可以求出小亮追上小明的 时间，就可以求出小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中 s（米）与 x（分钟）之间 的函数关系式； （3）先根据相遇问题建立方程就可以求出 a 值，10 分钟甲、乙走的路程就是相距的 距离，14 分钟小明走的路程和小亮追到小明时的时间就可以补充完图象． 解答：解：（1）设小亮从乙地到甲地过程中 y1（米）与 x（分钟）之间的函数关系式为 y1=k1x+b， 由图象，得 ， 解得： ， ∴y1=﹣200x+2000； （2）由题意，得 小明的速度为：2000÷40=50 米/分， 小亮的速度为：2000÷10=200 米/分， ∴小亮从甲地追上小明的时间为 24×50÷（200﹣50）=8 分钟， ∴24 分钟时两人的距离为：S=24×50=1200，32 分钟时 S=0， 设 S 与 x 之间的函数关系式为：S=kx+b，由题意，得 ， 解得： ， ∴S=﹣150x+4800； （3）由题意，得 a=2000÷（200+50）=8 分钟， 当 x=24 时，S=1200 当 x=32 时，S=0． 故描出相应的点就可以补全图象． 如图： 点评：本题时一道一次函数的综合试题，考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，追 击问题与相遇问题在实际问题中的运用，描点法画函数图象的运用，解答时灵活运用 路程、速度、时间之间的数量关系是关键． 28．（12 分）（2013•淮安）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点 P 从点 B 出发， 以每秒 1 个单位长度沿 B→C→A→B 的方向运动；点 Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位沿 C→A→B 方向的运动，到达点 B 后立即原速返回，若 P、Q 两点同时运动，相遇后同时停 止，设运动时间为ι秒． （1）当ι= 7 时，点 P 与点 Q 相遇； （2）在点 P 从点 B 到点 C 的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ 为等腰三角形？ （3）在点 Q 从点 B 返回点 A 的运动过程中，设△PCQ 的面积为 s 平方单位． ①求 s 与ι之间的函数关系式； ②当 s 最大时，过点 P 作直线交 AB 于点 D，将△ABC 中沿直线 PD 折叠，使点 A 落在直 线 PC 上，求折叠后的△APD 与△PCQ 重叠部分的面积． 考点：相似形综合题．3718684 分析：（1）首先利用勾股定理求得 AC 的长度，点 P 与点 Q 相遇一定是在 P 由 B 到 A 的过 程中，利用方程即可求得； （2）分 Q 从 C 到 A 的时间是 3 秒，P 从 A 到 C 的时间是 3 秒，则可以分当 0≤t≤2 时， 若△PCQ 为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，和当 2＜t≤3 时，若△PCQ 为等腰三角 形，则一定有 PQ=PC 两种情况进行讨论求得 t 的值； （3）在点 Q 从点 B 返回点 A 的运动过程中，P 一定在 AC 上，则 PC 的长度是 t﹣3， 然后利用相似三角形的性质即可利用 t 表示出 s 的值，然后利用二次函数的性质即可 求得 t 的值，从而求解． 解答：解：（1）在直角△ABC 中，AC= =4， 则 Q 从 C 到 B 经过的路程是 9，需要的时间是 4.5 秒．此时 P 运动的路程是 4.5，P 和 Q 之间的距离是：3+4+5﹣4.5=7.5． 根据题意得：（t﹣4.5）+2（t﹣4.5）=7.5，解得：t=7． （2）Q 从 C 到 A 的时间是 3 秒，P 从 A 到 C 的时间是 3 秒． 则当 0≤t≤2 时，若△PCQ 为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，即 3﹣t=2t，解得：t=1． 当 2＜t≤3 时，若△PCQ 为等腰三角形，则一定有 PQ=PC（如图 1）．则 Q 在 PC 的中 垂线上，作 QH⊥AC，则 QH= PC．△AQH∽△ABC， 在直角△AQH 中，AQ=2t﹣4，则 QH= AQ= ． ∵PC=BC﹣BP=3﹣t， ∴ × （2t﹣4）=3﹣t， 解得：t= ； （3）在点 Q 从点 B 返回点 A 的运动过程中，P 一定在 AC 上，则 PC=t﹣3，BQ=2t ﹣9，即 AQ=5﹣（2t﹣9）=14﹣2t． 同（2）可得：△PCQ 中，PC 边上的高是： （14﹣2t）， 故 s= （2t﹣9）× （14﹣2t）= （﹣t2+10t﹣2）． 故当 t=5 时，s 有最大值，此时，P 在 AC 的中点．（如图 2）． ∵沿直线 PD 折叠，使点 A 落在直线 PC 上， ∴PD 一定是 AC 的中垂线． 则 AP= AC=2，PD= BC= ， 则 S△APD= AP•PD= ×2× = ． AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4． 则 PC 边上的高是： AQ= ×4= ． 则 S△PCQ= PC• = ×2× = ． 故答案是：7． 点评：本题是相似三角形的性质，勾股定理、以及方程的综合应用，正确进行分类讨论是关 键．