2013年娄底市中考数学试卷解析

湖南省娄底市 2013 年中考数学试卷 一、精心选一选，旗开得胜（本大题共 10 道小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1．（3 分）（2013•娄底）|﹣2013|的值是（ ） A． B．﹣ C．2013 D．﹣2013 考点：绝对值． 3718684 分析：计算绝对值要根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号． 解答：解：|﹣2013|=2013． 故选 C． 点评：此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运 算当中． 绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0． 2．（3 分）（2013•娄底）下列运算正确的是（ ） A． （a4）3=a7 B．a6÷a3=a2 C．（2ab）3=6a3b3 D．﹣a5•a5=﹣a10 考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 3718684 分析：分别利用同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方法则分的判断得出即可． 解答：解：A、（a4）3=a12，故此选项错误； B、a6÷a3=a3，故此选项错误； C、（2ab）3=8a3b3，故此选项错误； D、﹣a5•a5=﹣a10，故此选项正确． 故选：D． 点评：本题考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法、积的乘方，解题的关键是掌握相关运 算的法则． 3．（3 分）（2013•娄底）下列图形中，由 AB∥CD，能使∠1=∠2 成立的是（ ） A． B． C． D． 考点：平行线的性质．3718684 分析：根据平行线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 解答：解：A、由 AB∥CD 可得∠1+∠2=180°，故本选项错误； B、∵AB∥CD， ∴∠1=∠3， 又∵∠2=∠3（对顶角相等）， ∴∠1=∠2， 故本选项正确； C、由 AC∥BD 得到∠1=∠2，由 AB∥CD 不能得到，故本选项错误； D、梯形 ABCD 是等腰梯形才可以有∠1=∠2，故本选项错误． 故选 B． 点评：本题考查了平行线的性质，等腰梯形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 4．（3 分）（2013•娄底）一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，当 y＞0 时，x 的取值范 围是（ ） A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2 考点：一次函数的图象． 3718684 分析：根据函数图象与 x 轴的交点坐标可直接解答．从函数图象的角度看，就是确定直线 y=kx+b＜0 的解集，就是图象在 x 轴下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 解答：解：因为直线 y=kx+b 与 x 轴的交点坐标为（2，0）， 由函数的图象可知当 y＞0 时，x 的取值范围是 x＜2． 故选 C． 点评：此题考查一次函数的图象，运用观察法解一元一次不等式通常是从交点观察两边得 解． 5．（3 分）（2013•娄底）有一组数据：2，5，7，2，3，3，6，下列结论错误的是（ ） A．平均数为 4 B．中位数为 3 C．众数为 2 D．极差是 5 考点：极差；算术平均数；中位数；众数． 3718684 分析：根据极差、众数及中位数的定义，结合选项进行判断即可． 解答：解：将数据从小到大排列为：2，2，3，3，5，6，7， A、平均数=（2+2+3+3+5+6+7）=4，结论正确，故本选项错误； B、中位数为 3，结论正确，故本选项错误； C、众数为 2 和 3，结论错误，故本选项正确； D、极差为 7﹣2=5，结论正确，故本选项错误； 故选 C． 点评：本题考查了中位数、众数、平均数及极差的知识，掌握各部分的定义是关键，在判断 中位数的时候一样要将数据从新排列． 6．（3 分）（2013•娄底）下列命题中，正确的是（ ） A．平行四边形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的对角线互相垂直且平分 D．梯形的对角线相等 考点：命题与定理． 3718684 分析：根据菱形、平行四边形、矩形、等腰梯形的性质分别判断得出即可． 解答：解：A、根据平行四边形的对角线互相平分不相等，故此选项错误； B、矩形的对角线相等，不互相垂直，故此选项错误； C、根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分，故此选项正确； D、根据等腰梯形的对角线相等，故此选项错误； 故选：C． 点评：此题主要考查了菱形、平行四边形、矩形、等腰梯形的性质，熟练掌握相关定理是解 题关键． 7．（3 分）（2013•娄底）式子 有意义的 x 的取值范围是（ ） A．x≥﹣且 x≠1 B．x≠1 C． D． 考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件． 3718684 分析：根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式进行计算即可得解． 解答：解：根据题意得，2x+1≥0 且 x﹣1≠0， 解得 x≥﹣且 x≠1． 故选 A． 点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数． 8．（3 分）（2013•娄底）课间休息，小亮与小明一起玩“剪刀、石头、布”的游戏，小明出“剪 刀”的概率是（ ） A． B． C． D． 考点：概率公式．3718684 分析：游戏中一共有 3 种情况：“剪刀”、“石头”、“布”，其中是“剪刀”的情况只有一种．利 用概率公式进行计算即可． 解答：解：小亮与小明一起玩“剪刀、石头、布”的游戏， 一共有 3 种情况：“剪刀”、“石头”、“布”，并且每一种情况出现的可能性相同， 所以小明出“剪刀”的概率是． 故选 B． 点评：本题考查了概率公式：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中 事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）=． 9．（3 分）（2013•娄底）下列图形中是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 考点：中心对称图形．3718684 分析：根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断． 解答：解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误； 故选：B． 点评：本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转 180° 后能够重合． 10．（3 分）（2013•娄底）如图，⊙O1，⊙O2、相交于 A、B 两点，两圆半径分别为 6cm 和 8cm，两圆的连心线 O1O2 的长为 10cm，则弦 AB 的长为（ ） A．4.8cm B．9.6cm C．5.6cm D．9.4cm 考点：相交两圆的性质． 3718684 分析：根据相交两圆的性质得出 AC=AB，进而利用勾股定理得出 AC 的长． 解答：解：连接 AO1，AO2， ∵⊙O1，⊙O2 相交于 A、B 两点，两圆半径分别为 6cm 和 8cm，两圆的连心线 O1O2 的长为 10cm， ∴O1O2⊥AB， ∴AC=AB， 设 O1C=x，则 O2C=10﹣x， ∴62﹣x2=82﹣（10﹣x）2， 解得：x=3.6， ∴AC2=62﹣x2=36﹣3.62=23.04， ∴AC=4.8cm， ∴弦 AB 的长为：9.6cm． 故选：B． 点评：此题考查了相交圆的性质与勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意 数形结合思想与方程思想的应用． 二、细心填一填，一锤定音（本大题共 8 道小题，每小题 4 分，满分 32 分） 11．（4 分）（2013•娄底）计算： = 2 ． 考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 3718684 分析：分别进行负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的化简等运算， 然后按照实数的运算法则计算即可． 解答：解：原式=3﹣1﹣4× +2 =2． 故答案为：2． 点评：本题考查了实数的运算，涉及了负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、二 次根式的化简等知识点，属于基础题． 12．（4 分）（2013•娄底）如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是 ∠B=∠C 或 AE=AD （添加一个条件即可）． 考点：全等三角形的判定．3718684 专题：开放型． 分析：要使△ABE≌△ACD，已知 AB=AC，∠A=∠A，则可以添加一个边从而利用 SAS 来 判定其全等或添加一个角从而利用 AAS 来判定其全等． 解答：解：添加∠B=∠C 或 AE=AD 后可分别根据 ASA、SAS 判定△ABE≌△ACD． 故填∠B=∠C 或 AE=AD． 点评：本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、 ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加， 根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 13．（4 分）（2013•娄底）如图，已知 A 点是反比例函数 的图象上一点，AB⊥y 轴于 B，且△ABO 的面积为 3，则 k 的值为 6 ． 考点：反比例函数系数 k 的几何意义． 3718684 分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角 形面积 S 是个定值，即 S=|k|． 解答：解：根据题意可知：S△ABO=|k|=3， 由于反比例函数的图象位于第一象限，k＞0， 则 k=6． 故答案为：6． 点评：本题主要考查了反比例函数 中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点 引 x 轴、y 轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数 形结合的思想，做此类题一定要正确理解 k 的几何意义． 14．（4 分）（2013•娄底）如图，将直角三角板 60°角的顶点放在圆心 O 上，斜边和一直角 边分别与⊙O 相交于 A、B 两点，P 是优弧 AB 上任意一点（与 A、B 不重合），则∠APB= 30° ． 考点： w w w . 圆周角定理． 3718684 分析：根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的 一半，即可得出答案． 解答：解：由题意得，∠AOB=60°， 则∠APB=∠AOB=30°． 故答案为：30°． 点评：本题考查了圆周角定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理的内容． 15．（4 分）（2013•娄底）娄底市商务局对外贸易部 2012 年进出口总额达 12.8 亿元，则 12.8 亿用科学记数法表示为 1.28×109 ． 考点：科学记数法—表示较大的数．3718684 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值是易 错点，由于 12.8 亿有 10 位，所以可以确定 n=10﹣1=9． 解答：解：12.8 亿=1 280 000 000=1.28×109． 故答案为：1.28×109． 点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键． 16．（4 分）（2013•娄底）一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形的边数为 6 ． 考点：多边形内角与外角．3718684 分析：利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题． 解答：解：∵多边形的外角和是 360 度，多边形的内角和是外角和的 2 倍， 则内角和是 720 度， 720÷180+2=6， ∴这个多边形是六边形． 故答案为：6． 点评：本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 17．（4 分）（2013•娄底）一圆锥的底面半径为 1cm，母线长 2cm，则该圆锥的侧面积为 2π cm2． 考点：圆锥的计算． 3718684 分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 解答：解：圆锥的侧面积=2π×1×2÷2=2π． 故答案为：2π． 点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的 底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长． 18．（4 分）（2013•娄底）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第 n 个图形需 2n+1 根火柴 棒． 考点：规律型：图形的变化类．3718684 分析：按照图中火柴的个数填表即可当三角形的个数为：1、2、3、4 时，火柴棒的个数分 别为：3、5、7、9，由此可以看出当三角形的个数为 n 时，三角形个数增加 n﹣1 个， 那么此时火柴棒的个数应该为：3+2（n﹣1）进而得出答案． 解答：解：根据图形可得出： 当三角形的个数为 1 时，火柴棒的根数为 3； 当三角形的个数为 2 时，火柴棒的根数为 5； 当三角形的个数为 3 时，火柴棒的根数为 7； 当三角形的个数为 4 时，火柴棒的根数为 9； … 由此可以看出：当三角形的个数为 n 时，火柴棒的根数为 3+2（n﹣1）=2n+1． 故答案为：2n+1． 点评：此题主要考查了图形变化类，本题解题关键根据第一问的结果总结规律是得到规律： 三角形的个数每增加一个，火柴棒的个数增加 2 根，然后由此规律解答． 三、用心做一做，慧眼识金（本大题共 3 道小题，每小题 7 分，满分 21 分） 19．（7 分）（2013•娄底）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣（4x3y﹣8xy3）÷2xy，其中 x= ﹣1， ． 考点：整式的混合运算—化简求值．3718684 专题：计算题． 分析：原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用多项式除单项式法则计算，去括号合并 得到最简结果，将 x 与 y 的值代入计算即可求出值． 解答：解：原式=x2﹣y2﹣2x2+4y2=﹣x2+3y2， 当 x=﹣1，y= 时，原式=﹣1+1=0． 点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：平方差公式，多项式除单项 式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 20．（7 分）（2013•娄底）2013 年 3 月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进 行救援，救援队利用生命探测仪在地面 A、B 两个探测点探测到 C 处有生命迹象．已知 A、 B 两点相距 4 米，探测线与地面的夹角分别是 30°和 45°，试确定生命所在点 C 的深度．（精 确到 0.1 米，参考数据： ） 考点：解直角三角形的应用． 3718684 分析：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，设 CD=x，在 Rt△ACD 中表示出 AD，在 Rt△BCD 中表 示出 BD，再由 AB=4 米，即可得出关于 x 的方程，解出即可． 解答：解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D， 设 CD=x， 在 Rt△ACD 中，∠CAD=30°， 则 AD= CD= x， 在 Rt△BCD 中，∠CBD=45°， 则 BD=CD=x， 由题意得， x﹣x=4， 解得：x= =2（ +1）≈5.5． 答：生命所在点 C 的深度为 5.5 米． 点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数 知识表示出相关线段的长度，注意方程思想的运用． 21．（7 分）（2013•娄底）2013 年娄底市教育局对九年级学生的信息技术、物理实验操作、 化学实验操作成绩进行抽样调查，成绩评定 A、B、C、D 四个等级．现抽取 1000 名学生成 绩进行统计分析（其中 A、B、C、D 分别表示优秀、良好、合格、不合格四个等级），其相 在数据统计如下： （1）请将上表空缺补充完整； （2）全市共有 40000 名学生参加测试，试估计该市九年级学生信息技术成绩合格以上（含 合格）的人数； （3）在这 40000 名学生中，化学实验操作达到优秀的大约有多少人？ 考点：扇形统计图；用样本估计总体；统计表． 3718684 分析：（1）根据抽取 1000 名学生成绩进行统计分析得出表格中数据即可； （2）首先求出样本中信息技术成绩合格以上的比例，进而求出该市九年级学生信息 技术成绩合格以上（含合格）的人数； （3）首先求出样本中化学实验操作达到优秀的比例，进而求出该市九年级化学实验 操作达到优秀的人数． 解答：解：（1）∵现抽取 1000 名学生成绩进行统计分析， ∴信息技术总人数为：1000×40%=400（人），物理实验操作总人数为：1000×30%=300 （人）， 化学实验操作总人数为：1000×30%=300（人）， ∴信息技术 A 级的人数为：400﹣120﹣120﹣40=120（人）， 物理实验操作 B 级的人数为：300﹣100﹣80﹣30=90（人）， 化学实验操作 C 级的人数为：300﹣120﹣90﹣20=70（人）； （2）∵样本中信息技术成绩合格以上的比例为： ×100%=90%， ∴该市九年级学生信息技术成绩合格以上（含合格）的人数为：40000×90%=36000 （人）； （3））∵化学实验操作达到优秀的比例为： ×100%=40%， ∴该市九年级学生化学实验操作达到优秀的大约有：40000×40%=16000（人）． 点评：此题主要考查了扇形统计图以及利用样本估计总体等知识，利用扇形图求出每个项目 的人数是解题关键． 四、综合用一用，马到成功（本大题共 1 道小题，满分 8 分） 22．（8 分）（2013•娄底）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾， 租用甲、乙两车运送，两车各运 12 趟可完成，需支付运费 4800 元．已知甲、乙两车单独运 完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的 2 倍，且乙车每趟运费比甲车少 200 元． （1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？ （2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？ 考点：分式方程的应用；一元一次方程的应用． 3718684 分析：（1）假设甲车单独运完此堆垃圾需运 x 趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运 2x 趟，根 据总工作效率 得出等式方程求出即可； （2）分别表示出甲、乙两车单独运每一趟所需费用，再根据关键语句“两车各运 12 趟可完成，需支付运费 4800 元”可得方程，再解出方程，再分别计算出利用甲或乙所 需费用进行比较即可． 解答：解：（1）设甲车单独运完此堆垃圾需运 x 趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运 2x 趟， 根据题意得出： + = ， 解得：x=18， 则 2x=36， 经检验得出：x=18 是原方程的解， 答：甲车单独运完需 18 趟，乙车单独运完需 36 趟； （2）设甲车每一趟的运费是 a 元，由题意得： 12a+12（a﹣200）=4800， 解得：a=300， 则乙车每一趟的费用是：300﹣200=100（元）， 单独租用甲车总费用是：18×300=5400（元）， 单独租用乙车总费用是：36×100=3600（元）， 3600＜5400， 故单独租用一台车，租用乙车合算． 点评：此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找 出题目中的等量关系，列出方程． 五、耐心想一想，再接再厉（本大题共 1 道小题，满分 9 分） 23．（9 分）（2013•娄底）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含 60°角的直角三角板 ABC 与 AFE 按如图（1）所示位置放置放置，现将 Rt△AEF 绕 A 点按 逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE 与 BC 交于点 M，AC 与 EF 交于点 N， BC 与 EF 交于点 P． （1）求证：AM=AN； （2）当旋转角α=30°时，四边形 ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由． 考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定． 3718684 分析：（1）根据旋转的性质得出 AB=AF，∠BAM=∠FAN，进而得出△ABM≌△AFN 得 出答案即可； （2）利用旋转的性质得出∠FAB=120°，∠FPC=∠B=60°，即可得出四边形 ABPF 是 平行四边形，再利用菱形的判定得出答案． 解答：（1）证明：∵用两块完全相同的且含 60°角的直角三角板 ABC 与 AFE 按如图（1） 所示位置放置放置，现将 Rt△AEF 绕 A 点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）， ∴AB=AF，∠BAM=∠FAN， 在△ABM 和△AFN 中， ， ∴△ABM≌△AFN（ASA）， ∴AM=AN； （2）解：当旋转角α=30°时，四边形 ABPF 是菱形． 理由：连接 AP， ∵∠α=30°， ∴∠FAN=30°， ∴∠FAB=120°， ∵∠B=60°， ∴AF∥BP， ∴∠F=∠FPC=60°， ∴∠FPC=∠B=60°， ∴AB∥FP， ∴四边形 ABPF 是平行四边形， ∵AB=AF， ∴平行四边形 ABPF 是菱形． 点评：此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定和全等三角形的判定等知识，根据 旋转前后图形大小不发生变化得出是解题关键． 六、探究试一试，超越自我（本大题共 2 道小题，每小题 10 分，满分 20 分） 24．（10 分）（2013•娄底）已知：一元二次方程 x2+kx+k﹣=0． （1）求证：不论 k 为何实数时，此方程总有两个实数根； （2）设 k＜0，当二次函数 y=x2+kx+k﹣的图象与 x 轴的两个交点 A、B 间的距离为 4 时， 求此二次函数的解析式； （3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为 C，过 y 轴上一点 M（0，m）作 y 轴的垂线 l， 当 m 为何值时，直线 l 与△ABC 的外接圆有公共点？ 考点：二次函数综合题． 3718684 分析：（1）根据一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac 的符号来判定已知方程的根的情况； （2）利用根与系数的关系（|xA﹣xB|= =4）列出关于 k 的方 程，通过解方程来求 k 的值； （3）根据直线与圆的位置的位置关系确定 m 的取值范围． 解答：（1）证明：∵△=k2﹣4××（k﹣）=k2﹣2k+1=（k﹣1）2≥0， ∴关于 x 的一元二次方程 x2+kx+k﹣=0，不论 k 为何实数时，此方程总有两个实数根； （2）令 y=0，则 x2+kx+k﹣=0． ∵xA+xB=﹣2k，xA•xB=2k﹣1， ∴|xA﹣xB|= = =2|k﹣1|=4，即|k﹣1|=2， 解得 k=3（不合题意，舍去），或 k=﹣1． ∴此二次函数的解析式是 y=x2﹣x﹣； （3）由（2）知，抛物线的解析式是 y=x2﹣x﹣． 易求 A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣2）， ∴AB=4，AC=2 ，BC=2 ． 显然 AC2+BC2=AB2，得△ABC 是等腰直角三角形．AB 为斜边， ∴外接圆的直径为 AB=4， ∴﹣2≤m≤2． 点评：本题综合考查了二次函数综合题，其中涉及到的知识点有：抛物线与 x 轴的交点，待 定系数法求二次函数的解析式以及直线与圆的关系，范围较广，难度较大． 25．（10 分）（2013•娄底）如图，在△ABC 中，∠B=45°，BC=5，高 AD=4，矩形 EFPQ 的 一边 QP 在 BC 边上，E、F 分别在 AB、AC 上，AD 交 EF 于点 H． （1）求证： ； （2）设 EF=x，当 x 为何值时，矩形 EFPQ 的面积最大？并求出最大面积； （3）当矩形 EFPQ 的面积最大时，该矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 DA 匀速向 上运动（当矩形的边 PQ 到达 A 点时停止运动），设运动时间为 t 秒，矩形 EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围． 考点：相似形综合题．3718684 分析：（1）由相似三角形，列出比例关系式，即可证明； （2）首先求出矩形 EFPQ 面积的表达式，然后利用二次函数求其最大面积； （3）本问是运动型问题，要点是弄清矩形 EFPQ 的运动过程： （I）当 0≤t≤2 时，如答图①所示，此时重叠部分是一个矩形和一个梯形； （II）当 2＜t≤4 时，如答图②所示，此时重叠部分是一个三角形． 解答：（1）证明：∵矩形 EFPQ， ∴EF∥BC，∴△AHF∽△ADC，∴ ， ∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴ ， ∴ ． （2）解：∵∠B=45°，∴BD=AD=4，∴CD=BC﹣BD=5﹣4=1． ∵EF∥BC，∴△AEH∽△ABD，∴ ， ∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴ ， ∴ ，即 ，∴EH=4HF， 已知 EF=x，则 EH=x． ∵∠B=45°，∴EQ=BQ=BD﹣QD=BD﹣EH=4﹣x． S 矩形 EFPQ=EF•EQ=x•（4﹣x）=﹣x2+4x=﹣（x﹣）2+5， ∴当 x=时，矩形 EFPQ 的面积最大，最大面积为 5． （3）解：由（2）可知，当矩形 EFPQ 的面积最大时，矩形的长为，宽为 4﹣×=2． 在矩形 EFPQ 沿射线 AD 的运动过程中： （I）当 0≤t≤2 时，如答图①所示． 设矩形与 AB、AC 分别交于点 K、N，与 AD 分别交于点 H1，D1． 此时 DD1=t，H1D1=2， ∴HD1=HD﹣DD1=2﹣t，HH1=H1D1﹣HD1=t，AH1=AH﹣HH1=2﹣t，． ∵KN∥EF，∴ ，即 ，得 KN=（2﹣t）． S=S 梯形 KNFE+S 矩形 EFP1Q1=（KN+EF）•HH1+EF•EQ1 = [（2﹣t）+ ] ×t+（2﹣t） = t2+5； （II）当 2＜t≤4 时，如答图②所示． 设矩形与 AB、AC 分别交于点 K、N，与 AD 交于点 D2． 此时 DD2=t，AD2=AD﹣DD2=4﹣t， ∵KN∥EF，∴ ，即 ，得 KN=5﹣t． S=S△AKN=KN•AD2 =（5﹣t）（4﹣t） =t2﹣5t+10． 综上所述，S 与 t 的函数关系式为： S= ． 点评：本题是运动型相似三角形压轴题，考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的表达 式与最值、矩形、等腰直角三角形等多个知识点，涉及考点较多，有一定的难度．难 点在于第（3）问，弄清矩形的运动过程是解题的关键．