2013年衢州市中考数学试卷解析

浙江省衢州市 2013 年中考数学试卷 一、选择题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.请选出各题中一个符合题意的选 项，不选、多选、错选均不给分.） 1．（3 分）（2013•衢州）比 1 小 2 的数是（ ） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣2 考点：有理数的减法． 分析：根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解． 解答：解：1﹣2=﹣1． 故选 C． 点评：本题考查了有理数的减法，是基础题． 2．（3 分）（2013•衢州）下列计算正确的是（ ） A．3a+2b=5ab B．a﹣a4=a4 C．a6÷a2=a3 D．（﹣a3b）2=a6b2 考点：同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方． 分析：根据同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；合并同类项， 只把系数相加减，字母与字母的次数不变，对各选项分析判断后利用排除法求解． 解答：解：A、3a+2b=5ab 无法合并，故本选项错误； B、a﹣a4=a4，无法合并，故本选项错误； C、a6÷a2=a4，故本选项错误； D、（﹣a3b）2=a6b2 ，故本选项正确． 故选：D． 点评：本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解 题的关键． 3．（3 分）（2013•衢州）衢州新闻网 2 月 16 日讯，2013 年春节“黄金周”全市接待游客总数 为 833100 人次．将数 833100 用科学记数法表示应为（ ） A．0.833×106 B．83.31×105 C．8.331×105 D．8.331×104 考点：科学记数法—表示较大的数． 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答：解：833100=8.331×105， 故选：C． 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 4．（3 分）（2013•衢州）下面简单几何体的左视图是（ ） A． B． C． D． 考点：简单组合体的三视图． 分析：找到简单几何体从左面看所得到的图形即可． 解答：解：从左面看可得到左右两列正方形个数分别为：2，1． 故选 A． 点评：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图． 5．（3 分）（2013•衢州）若函数 y= 的图象在其所在的每一象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是（ ） A．m＜﹣2 B．m＜0 C．m＞﹣2 D．m＞0 考点：反比例函数的性质． 分析：根据反比例函数的性质可得 m+2＜0，再解不等式公式即可． 解答：解：∵函数 y= 的图象在其所在的每一象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大， ∴m+2＜0， 解得：m＜﹣2， 故选：A． 点评：本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数 y=，当 k＞0 时，在每一个象限内， 函数值 y 随自变量 x 的增大而减小；当 k＜0 时，在每一个象限内，函数值 y 随自变 量 x 增大而增大． 6．（3 分）（2013•衢州）将一个有 45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3cm 的纸带边沿 上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30°角， 如图，则三角板的最大边的长为（ ） A．3cm B．6cm C． cm D． cm 考点：含 30 度角的直角三角形；等腰直角三角形． 分析：过另一个顶点 C 作垂线 CD 如图，可得直角三角形，根据直角三角形中 30°角所对的 边等于斜边的一半，可求出有 45°角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求 出最大边． 解答：解：过点 C 作 CD⊥AD，∴CD=3， 在直角三角形 ADC 中， ∵∠CAD=30°， ∴AC=2CD=2×3=6， 又三角板是有 45°角的三角板， ∴AB=AC=6， ∴BC2=AB2+AC2=62+62=72， ∴BC=6 ， 故选：D． 点评：此题考查的知识点是含 30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先由求得 直角边，再由勾股定理求出最大边． 7．（3 分）（2013•衢州）一次数学测试 ，某小组五名同学的成绩如下表所示（有两个数据被 遮盖）． 组员日 期 甲 乙 丙 丁 戊 方差 平均成绩 得分 81 79 ■ 80 82 ■ 80 那么被遮盖的两个数据依次是（ ） A．80，2 B．80， C．78，2 D．78， 考点：方差；算术平均数． 分析：根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据方差公式进行计算即可得出答案． 解答：解：根据题意得： 80×5﹣（81+79+80+82）=78， 方差= [（81﹣80）2+（79﹣80）2+（78﹣80）2+（80﹣80）2+（82﹣80）2 ] =2． 故选 C． 点评：本题考查了平均数与方差，掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键，一般地设 n 个数据，x1，x2，…xn 的平均数为，则方差 S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2 ] ， 它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 8．（3 分）（2013•衢州）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在 B 处仰望树顶，测 得仰角为 30°，再往大树的方向前进 4m，测得仰角为 60°，已知小敏同学身高（AB）为 1.6m， 则这棵树的高度为（ ）（结果精确到 0.1m， ≈1.73）． A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 专题：应用题． 分析：设 CD=x，在 Rt△ACD 中求出 AD，在 Rt△CED 中求出 ED，再由 AE=4m，可求出 x 的值，再由树高=CD+FD 即可得出答案． 解答：解：设 CD=x， 在 Rt△ACD 中，CD=x，∠CAD=30°， 则 AD= x， 在 Rt△CED 中，CD=x，∠CED=60°， 则 ED= x， 由题意得，AD﹣ED= x﹣ x=4， 解得：x=2 ， 则这棵树的高度=2 +1.6≈5.1m． 故选 D． 点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的 知识表示出相关线段的长度． 9．（3 分）（2013•衢州）抛物线 y=x2+bx+c 的图象先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单 位，所得图象的函数解析式为 y=（x﹣1）2﹣4，则 b、c 的值为（ ） A．b=2，c=﹣6 B．b=2，c=0 C．b=﹣6，c=8 D．b=﹣6，c=2 考点：二次函数图象与几何变换． 分析：先确定出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标 减求出平移前的抛物线的顶点坐标，然后写出平移前的抛物线的顶点式形式，然后整 理成一般形式，即可得到 b、c 的值． 解答：解：函数 y=（x﹣1）2﹣4 的顶点坐标为（1，﹣4）， ∵是向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位得到， ∴1﹣2=﹣1，﹣4+3=﹣1， ∴平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）， ∴平移前的抛物线为 y=（x+1）2﹣1， 即 y=x2+2x， ∴b=2，c=0． 故选 B． 点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减， 利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便． 10．（3 分）（2013•衢州）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，P 为正方形边上一动点，沿 A→D→C→B→A 的路径匀速移动，设 P 点经过的路径长为 x，△APD 的面积是 y，则下列 图象能大致反映 y 与 x 的函数关系的是（ ） A． B． C． D． 考点：动点问题的函数图象． 分析：根据动点从点 A 出发，首先向点 D 运动，此时 y 不随 x 的增加而增大，当点 p 在 DC 山运动时，y 随着 x 的增大而增大，当点 p 在 CB 上运动时，y 不变，据此作出选择 即可． 解答：解：当点 P 由点 A 向点 D 运动时，y 的值为 0； 当点 p 在 DC 上运动时，y 随着 x 的增大而增大； 当点 p 在 CB 上运动时，y 不变； 当点 P 在 BA 上运动时，y 随 x 的增大而减小． 故选 B． 点评：本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现 y 随 x 的 变化而变化的趋势． 二、填空题（本大题共有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．） 11．（4 分）（2013•衢州）不等式组 的解集是 x≥2 ． 考点：解一元一次不等式组． 专题：计算题． 分析：分别计算出每个不等式的解集，再求其公共部分． 解答： 解： ， 由①得，x≥2； 由②得，x≥﹣； 则不等式组的解集为 x≥2． 故答案为 x≥2． 点评：本题考查了解一元一次不等式组，找到公共解是解题的关键，求不等式的公共解，要 遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 12．（4 分）（2013•衢州）化简： = ． 考 点： 分式的加减法． 专 题： 计算题． 分 析： 先将 x2﹣4 分解为（x+2）（x﹣2），然后通分，再进行计算． 解 答： 解： = = = ． 点 评： 本题考查了分式的计算和化简．解决这类题关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通分， 乘除的本质是约分． 13．（4 分）（2013•衢州）小芳同学有两根长度为 4cm、10cm 的木棒，她想钉一个三角形相 框，桌上有五根木棒供她选择（如图所示），从中任选一根，能钉成三角形相框的概率是 ． 考点：概率公式；三角形三边关系． 分析：由桌上有五根木棒供她选择（如图所示），从中任选一根，能钉成三角形相框的有： 10cm，12cm 长的木棒，直接利用概率公式求解即可求得答案． 解答：解：∵小芳同学有两根长度为 4cm、10cm 的木棒， ∴桌上有五根木棒供她选择（如图所示），从中任选一根，能钉成三角形相框的有： 10cm，12cm 长的木棒， ∴从中任选一根，能钉成三角形相框的概率是：． 故答案为：． 点评：此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 14．（4 分）（2013•衢州）如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一 边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（ ）对应的圆心角（∠AOB） 为 120°，OC 的长为 2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为 +2 ． 考点：扇形面积的计算． 专题：数形结合． 分析：在 Rt△OBC中求出 OB、BC，然后求出扇形 OAB 及△OBC 的面积即可得出答案． 解答：解：∵∠AOB=120°， ∴∠BOC=60°， 在 Rt△OBC 中，OC=2cm，∠BOC=60°， ∴∠OBC=30°， ∴OB=4cm，BC=2 cm， 则 S 扇形 OAB= = ，S△OBC=OC×BC=2 ， 故 S 重叠=S 扇形 OAB+S△OBC= +2 ． 故答案为： +2 ． 点评：本题考查了扇形的面积计算，解答本题关键是求出扇形的半径，注意熟练掌握扇形的 面积公式，难度一般． 15．（4 分）（2013•衢州）某果园有 100 棵橘子树，平均每一棵树结 600 个橘子．根据经验 估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结 5 个橘子．设果园增种 x 棵橘子树，果园橘子总 个数为 y 个，则果园里增种 10 棵橘子树，橘子总个数最多． 考点：二次函数的应用． 分析：根据题意设多种 x 棵树，就可求出每棵树的产量，然后求出总产量 y 与 x 之间的关系 式，进而求出 x=﹣ 时，y 最大． 解答：解：假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有（x+100）棵橙子树， ∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子， ∴这时平均每棵树就会少结 5x 个橙子， 则平均每棵树结（600﹣5x）个橙子． ∵果园橙子的总产量为 y， ∴则 y=（x+100）（600﹣5x） =﹣5x2+100x+60000， ∴当 x=﹣ =﹣ =10（棵）时，橘子总个数最多． 故答案为：10． 点评：此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出 y 与 x 之间的二次函数关系式 是解题关键． 16．（4 分）（2013•衢州）如图，在菱形 ABCD 中，边长为 10，∠A=60°．顺次连结菱形 ABCD 各边中点，可得四边形 A1B1C1D1；顺次连结四边形 A1B1C1D1 各边中点，可得四边形 A2B2C2D2；顺次连结四边 形 A2B2C2D2 各边中点，可得四边形 A3B3C3D3；按此规律继续下去…．则四边形 A2B2C2D2 的周长是 20 ；四边形 A2013B2013C2013D2013 的周长是 ． 考点：中点四边形；菱形的性质． 专题：规律型． 分析：根据菱形的性质以及三角形中位线的性质以及勾股定理求出四边形各边长得出规律 求出即可． 解答：解：∵菱形 ABCD 中，边长为 10，∠A=60°，顺次连结菱形 ABCD 各边中点， ∴△AA1D1 是等边三角形，四边形 A2B2C 2D2 是菱形， ∴A1D1=5，C1D1=AC=5 ，A2B2=C2D2=C2B2=A2D2=5， ∴四边形 A2B2C2D2 的周长是：5×4=20， 同理可得出：A3D3=5×，C3D3=AC=×5 ， A5D5=5×（）2，C5D5=AC=（）2×5 ， … ∴四边形 A2013B2013C2013D2013 的周长是： = ． 故答案为：20， ． 点评：此题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质和中点四边形的性质等知识，根据已知得 出边长变化规律是解题关键． 三、简答题（本大题共有 8 小题，共 66 分．务必写出解答过程．） 17．（6 分）（2013•衢州） ﹣23÷|﹣2|×（﹣7+5） 考点：实数的运算． 专题：计算题． 分析：先进行开方和乘方运算得到原式=2﹣8÷2×（﹣2），再进行乘除运算，然后进行加法运 算． 解答：解：原式=2﹣8÷2×（﹣2） =2+8 =10． 点评：本题考查了实数的运算：先算乘方或开方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先 算括号． 18．（6 分）（2013•衢州）如图所示，在长和宽分别是 a、b 的矩形纸片的四个角都剪去一个 边长为 x 的正方形． （1）用 a，b，x 表示纸片剩余部分的面积； （2）当 a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长． 考点：一元二次方程的应用． 专题：几何图形问题． 分析：（1）边长为 x 的正方形面积为 x2，矩形面积减去 4 个小正方形的面积即可． （2）依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出 x 的值即可． 解答：解：（1）ab﹣4x2；（2 分） （2）依题意有：ab﹣4x2=4x2，（4 分） 将 a=6，b=4，代入上式，得 x2=3，（6 分） 解得 x1= ，x2=﹣ （舍去）．（7 分） 即正方形的边长为 点评：本题是利用方程解答几何问题，充分体现了方程的应用性． 依据等量关系“剪去部分的面积等于剩余部分的面积”，建立方程求解． 19．（6 分）（2013•衢州）如图，函数 y1=﹣x+4 的图象与函数 y2= （x＞0）的图象交于 A （a，1）、B（1，b）两点． （1）求函数 y2 的表达式； （2）观察图象，比较当 x＞0 时，y1 与 y2 的大小． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 分析：（1）由函数 y1=﹣x+4 的图象与函数 y2= （x＞0）的图象交于 A（a，1）、B（1，b） 两点，把 A 代入函数 y1=﹣x+4，可求得 A 的坐标，继而求得函数 y2 的表达式； （2）观察图象可得即可求得：当 x＞0 时，y1 与 y2 的大小． 解答：解：（1）把点 A 坐标代入 y1=﹣x+4， 得﹣a+4=1， 解得：a=3，…（1 分） ∴A（3，1）， 把点 A 坐标代入 y2= ， ∴k2=3， ∴函数 y2 的表达式为：y2=； …（3 分） （2）∴由图象可知， 当 0＜x＜1 或 x＞3 时，y1＜y2，…（4 分） 当 x=1 或 x=3 时，y1=y2，…（5 分） 当 1＜x＜3 时，y1=y2． …（6 分） 点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．此题难度适中，注意掌握方程思想与 数形结合思想的应用． 20．（8 分）（2013•衢州）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，BC⊥AB，连结 OC，弦 AD∥OC， 直线 CD 交 BA 的延长线于点 E． （1）求证：直线 CD 是⊙O 的切线； （2）若 DE=2BC，求 AD：OC 的值． 考点：切线的判定；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质． 分析：（1）首选连接 OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相 等，求得∠CDO=90°，即可证得直线 CD 是⊙O 的切线； （2）由△COD≌△COB．可得 CD=CB，即可得 DE=2CD，易证得△EDA∽△ECO， 然后由相似三角形的对应边成比例，求得 AD：OC 的值． 解答：（1）证明：连结 DO． ∵AD∥OC， ∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．…（1 分） 又∵OA=OD， ∴∠DAO=∠ADO， ∴∠COD=∠COB．…（2 分） 在△COD 和△COB 中， ， ∴△COD≌△COB（SAS）…（3 分） ∴∠CDO=∠CBO=90°． 又∵点 D 在⊙O 上， ∴CD 是⊙O 的切线．…（4 分） （2）解：∵△COD≌△COB． ∴CD=CB．…（5 分） ∵DE=2BC， ∴ED=2CD． …（6 分） ∵AD∥OC， ∴△EDA∽△ECO．…（7 分） ∴ ．…（8 分） 点评：此题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此 题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 21．（8 分）（2013•衢州）据《2012 年衢州市国民经济和社会发展统计公报》（2013 年 2 月 5 日发布），衢州市固定资产投资的相关数据统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： （1）求 2012 年的固定资产投资增长速度（年增长速度即年增长率）； （2）求 2005﹣2012 年固定资产投资增长速度这组数据的中位数； （3）求 2006 年的固定资产投资金额，并补全条形图； （4）如果按照 2012 年的增长速度，请预测 2013 年衢州市的固定资产投资金额可达到多少 亿元（精确到 1 亿元）？ 考点：折线统计图；条形统计图；中位数． 分析：（1）根据 2012 年和 2011 年投资进而求出增长率即可； （2）根据中位数的定义，按大小排列后找出最中间的两个求出平均数即可； （3）设 2006 年的固定资产投资金额为 x 亿元，进而得出 280﹣x=12%x 求出即可； （4）根据 2012 年的增长率，得出 565×（1+13%）求出即可． 解答：解：（1）根据题意得出： ×100%=13%； 答：2012 年的固定资产投资增长速度为 13%； （2）数据按大小排列得出： 10.71%，12%，13%，13.16%，16.28%，18.23%，22.58，25%， ∴中位数为： =14.72%； 答：2005﹣2012 年固定资产投资增长速度这组数据的中位数是 14.72%； （3）设 2006 年的固定资产投资金额为 x 亿元，则有： 280﹣x=12%x（或 x﹣200=25%×200）， 解得：x=250， 答：2006 年的投资额是 250 亿元； 如图所示； （4）565×（1+13%）=638.45≈638（亿元）， 答：预测 2013 年可达 638 亿元． 点评：此题主要考查了折线图与条形图以及增长率和中位数的定义等知识，根据已知得出增 长率求法是解题关键． 22．（10 分）（2013•衢州）【提出问题】 （1）如图 1，在等边△ABC 中，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点 B、C），连结 AM， 以 AM 为边作等边△AMN，连结 CN．求证：∠ABC=∠ACN． 【类比探究】 （2）如图 2，在等边△ABC 中，点 M 是 BC 延长线上的任意一点（不含端点 C），其它条 件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN 还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图 3，在等腰△ABC 中，BA=BC，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点 B、C）， 连结 AM，以 AM 为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结 CN．试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由． 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 分析：（1）利用 SAS 可证明△BAM≌△CAN，继而得出结论； （2）也可以通过证明△BAM≌△CAN，得出结论，和（1）的思路完全一样． （3）首先得出∠BAC=∠MAN，从而判定△ABC∽△AMN，得到 = ，根据 ∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，从而 判定△BAM∽△CAN，得出结论． 解答：（1）证明：∵△ABC、△AMN 是等边三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°， ∴∠BAM=∠CAN， ∵在△BAM 和△CAN 中， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴∠ABC=∠ACN． （2）解：结论∠ABC=∠ACN 仍成立． 理由如下：∵△ABC、△AMN 是等边三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°， ∴∠BAM=∠CAN， ∵在△BAM 和△CAN 中， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴∠ABC=∠ACN． （3）解：∠ABC=∠ACN． 理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN， ∴底角∠BAC=∠MAN， ∴△ABC∽△AMN， ∴ = ， 又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC， ∴∠BAM=∠CAN， ∴△BAM∽△CAN， ∴∠ABC=∠ACN． 点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是 仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论． 23．（10 分）（2013•衢州）“五•一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要 长时间排队等候检票．经调查发现，在车站开始检票时，有 640 人排队检票．检票开始后， 仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定 的．检票时，每分钟候车室新增排队检票进站 16 人，每分钟每个检票口检票 14 人．已知检 票的前 a 分钟只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数 y（人）与检票时间 x（分钟）的关系如图所示． （1）求 a 的值． （2）求检票到第 20 分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数． （3）若要在开始检票后 15 分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随 到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？ 考点：一次函数的应用． 分析：（1）根据原有的人数﹣a 分钟检票额人数+a 分钟增加的人数=520 建立方程求出其解 就可以； （2）设当 10≤x≤30 时，y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b，由待定系数法求出函数 的解析式，再将 x=20 代入解析式就可以求出结论； （3）设需同时开放 n 个检票口，根据原来的人数+15 分进站人数≥n 个检票口 15 分钟 检票人数建立不等式，求出其解即可． 解答：解：（1）由图象知，640+16a﹣2×14a=520， ∴a=10； （2）设当 10≤x≤30 时，y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b，由题意，得 ， 解得： ， y=﹣26x+780，当 x=2 时， y=260， 即检票到第 20 分钟时，候车室排队等候检票的旅客有 260 人． （3）设需同时开放 n 个检票口，则由题意知 14n×15≥640+16×15 解得：n≥4 ， ∵n 为整数， ∴n=5． 答：至少需要同时开放 5 个检票口． 点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次不等式的运用，解答的 过程中求出函数的解析式是关键，建立一元一次不等式是重点． 24．（12 分）（2013•衢州）在平面直角坐标系 x、y 中，过原点 O 及点 A（0，2）、C（6，0） 作矩形 OABC，∠AOC 的平分线交 AB 于点 D．点 P 从点 O 出发，以每秒 个单位长度的 速度沿射线 OD 方向移动；同时点 Q 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴正方 向移动．设移动时间为 t 秒． （1）当点 P 移动到点 D 时，求出此时 t 的值； （2）当 t 为何值时，△PQB 为直角三角形； （3）已知过 O、P、Q 三点的抛物线解析式为 y=﹣（x﹣t）2+t（t＞0）．问是否存在某一时 刻 t，将△PQB 绕某点旋转 180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）首先根据矩形的性质求出 DO 的长，进而得出 t 的值； （2）要使△PQB 为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，进而利用勾股 定理分别分析得出 PB2=（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2=（6﹣2t）2+22，PQ2=（2t﹣t）2+t2=2t2， 再分别就∠PQB=90°和∠PBQ=90°讨论，求出符合题意的 t 值即可； （3）存在这样的 t 值，若将△PQB 绕某点旋转 180°，三个对应顶点恰好都落在抛物 线上，则旋转中心为 PQ 中点，此时四边形 PBQB′为平行四边形，根据平行四边形的 性质和对称性可求出 t 的值． 解答：解：（1）∵四边形 OABC 是矩形， ∴∠AOC=∠OAB=90°， ∵OD 平分∠AOC， ∴∠AOD=∠DOQ=45°， ∴在 Rt△AOD 中，∠ADO=45°， ∴AO=AD=2，OD=2 ， ∴t= =2； （2）要使△PQB 为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°． 如图 1，作 PG⊥OC 于点 G，在 Rt△POG 中， ∵∠POQ=45°，∴∠OPG=45°， ∵OP= t，∴OG=PG=t， ∴点 P（t，t） 又∵Q（2t，0），B（6，2）， 根据勾股定理可得：PB2=（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2=（6﹣2t）2+22，PQ2=（2t﹣t） 2+t2=2t2， ①若∠PQB=90°，则有 PQ2+BQ2=PB2， 即：2t2+[（6﹣2t）2+22 ] =（6﹣t）2+（2﹣t）2， 整理得：4t2﹣8t=0， 解得：t1=0（舍去），t2=2， ∴t=2， ②若∠PBQ=90°，则有 PB2+QB2=PQ2， ∴[（6﹣t） 2+（2﹣t）2 ] +[（6﹣2t）2+22 ] =2t2， 整理得：t2﹣10t+20=0， 解得：t=5± ． ∴当 t=2 或 t=5+ 或 t=5﹣ 时，△PQB 为直角三角形． 解法 2：①如图 2，当∠PQB=90°时， 易知∠OPQ=90°，∴BQ∥OD∴∠BQC=∠POQ=45° 可得 QC=BC=2，∴OQ=4， ∴2t=4， ∴t=2， ②如图 3，当∠PBQ=90°时，若点 Q 在 OC 上， 作 PN⊥x 轴于点 N，交 AB 于点 M， 则易证∠PBM=∠CBQ， ∴△PMB∽△QCB ∴ = ， ∴CB•PM=QC•MB， ∴2（t﹣2）=（2t﹣6）（t﹣6）， 化简得 t2﹣10t+20=0， 解得：t=5± ， ∴t=5﹣ ； ③如图 3，当∠PBQ=90°时，若点 Q 在 OC 的延长线上， 作 PN⊥x 轴于点 N，交 AB 延长线于点 M， 则易证∠BPM=∠MBQ=∠BQC， ∴△PMB∽△QCB， ∴ = ， ∴CB•PM=QC•MB， ∴2（t﹣2）=（2t﹣6）（t﹣6）， 化简得 t2﹣10t+20=0， 解得：t=5± ， ∴t=5+ ； （3）存在这样的 t 值，理由如下： 将△PQB 绕某点旋转 180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上， 则旋转中心为 PQ 中点，此时四边形 PBQB′为平行四边形． ∵PO=PQ，由 P（t，t），Q（2t，0），知旋转中心坐标可表示为（t， t）， ∵点 B 坐标为（6，2），∴点 B′的坐标为（3t﹣6，t﹣2）， 代入 y=﹣（x﹣t）2+t，得：2t2﹣13t+18=0， 解得：t1=，t2=2． 点评：本题考查了相似形综合题，涉及了动点问题，勾股定理的运用，矩形的性质，直角三 角形的性质以及平行四边形的判定和性质，解答本题关键是讨论点 P 的位置，由题意 建立方程从而求出符合题意的 t 值，同时要数形结合进行思考，难度较大．