2013年绍兴市中考数学试卷解析

浙江省绍兴市 2013 年中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，请选出每小题中一个最符合题意 的选项，不选、多选、错选，均不得分） 1．（4 分）（2013•绍兴）﹣2 的绝对值是（ ） A．2 B．﹣2 C．0 D． 考点：绝对值． 3718684 分析：根据绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值可直接得到答 案． 解答：解：﹣2 的绝对值是 2， 故选：A． 点评：此题主要考查了绝对值，关键 是掌握绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0． 2．（4 分）（2013•绍兴）计算 3a•（2b）的结果是（ ） A．3ab B．6a C．6ab D．5ab 考点：单项式乘单项式． 3718684 分析：根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字 母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 解答：解：3a•（2b）=3×2a•b=6ab． 故选 C． 点评：本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（4 分）（2013•绍兴）地球半径约为 6400000 米，则此数用科学记数法表示为（ ） A．0.64×109 B．6.4×106 C．6.4×104 D．64×103 考点：科学记数法—表示较大的数．3718684 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答：解：6 400 000=6.4×106， 故选：B． 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 4．（4 分）（2013•绍兴）由 5 个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ） A． B． C． D． 考点：简单组合体的三视图． 3718684 分析：细心观察图中几何体摆放的位置，根据主视图是从正面看到的图象判定则可． 解答：解：从正面可看到从左往右三列小正方形的个数为：1，1，2． 故选 C． 点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 5．（4 分）（2013•绍兴）一个不透明的袋子中有 3 个白球、2 个黄球和 1 个红球，这些球除 颜色可以不同外其他完全相同，则从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率为（ ） A． B． C． D． 考点：概率公式．3718684 分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的 比值就是其发生的概率，即可求出答案． 解答：解：根据题意可得：袋子中有 3 个白球，2 个黄球和 1 个红球，共 6 个， 从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率 2÷6= ． 故选：B． 点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中 事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ． 6．（4 分）（2013•绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离 CD 为 8m， 桥拱半径 OC 为 5m，则水面宽 AB 为（ ） A．4m B．5m C．6m D．8m 考点：垂径定理的应用；勾股定理．3718684 分析：连接 OA，根据桥拱半径 OC 为 5m，求出 OA=5m，根据 CD=8m，求出 OD=3m，根 据 AD= 求出 AD，最后根据 AB=2AD 即可得出答案． 解答：解：连接 OA， ∵桥拱半径 OC 为 5m， ∴OA=5m， ∵CD=8m， ∴OD=8﹣5=3m， ∴AD= = =4m， ∴AB=2AD=2×4=8（m）； 故选；D． 点评：此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、 勾股定理． 7．（4 分）（2013•绍兴）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的 侧面展开图的圆心角是（ ） A．90° B．120° C．150° D．180° 考点：圆锥的计算． 3718684 分析：设正圆锥的底面半径是 r，则母线长是 2r，底面周长是 2πr，然后设正圆锥的侧面展 开图的圆心角是 n°，利用弧长的计算公式即可求解． 解答：解：设正圆锥的底面半径是 r，则母线长是 2r，底面周长是 2πr， 设正圆锥的侧面展开图的圆心角是 n°，则 =2πr， 解得：n=180． 故选 D． 点评：正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的 母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 8．（4 分）（2013•绍兴）如图是我国古代计时器“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水 从壶底的小孔漏出．壶壁内画有刻度，人们根据壶中水面的位置计时，用 x 表示时间，y 表 示壶底到水面的高度，则 y 与 x的函数关系式的图象是（ ） A． B． C． D． 考点：函数的图象． 3718684 分析：由题意知 x 表示时间，y 表示壶底到水面的高度，然后根据 x、y 的初始位置及函数图 象的性质来判断． 解答：解：由题意知：开始时，壶内盛一定量的水，所以 y 的初始位置应该大于 0，可以排 除 A、B； 由于漏壶漏水的速度不变，所以图中的函数应该是一次函数，可以排除 D 选项； 故选 C． 点评：本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图 象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正 确的结论． 9．（4 分）（2013•绍兴）小敏在作⊙O 的内接正五边形时，先做了如下几个步骤： （1）作⊙O 的两条互相垂直的直径，再作 OA 的垂直平分线交 OA 于点 M，如图 1； （2）以 M 为圆心，BM 长为半径作圆弧，交 CA 于点 D，连结 BD，如图 2．若⊙O 的半径 为 1，则由以上作图得到的关于正五边形边长 BD 的等式是（ ） A． BD2= OD B． BD2= OD C．BD2= OD D．BD2= OD 考点：正多边形和圆．3718684 分析：首先连接 BM，根据题意得：OB=OA=1，AD⊥OB，BM=DM，然后由勾股定理可求 得 BM 与 OD 的长，继而求得 BD2 的值． 解答：解：如图 2，连接 BM， 根据题意得：OB=OA=1，AD⊥OB，BM=DM， ∵OA 的垂直平分线交 OA 于点 M， ∴OM=AM= OA= ， ∴BM= = ， ∴DM= ， ∴OD=DM﹣OM= ﹣ = ， ∴BD2=OD2+OB2= = = OD． 故选 C． 点评：此题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分母有理化的知识．此题难度适中， 注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 10．（4 分）（2013•绍兴）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上 升 10℃，加热到 100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min） 成反比例关系．直至水温降至 30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述 自动程序．若在水温为 30℃时，接通电源后，水温 y（℃）和时间（min）的关系如图，为 了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过 50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上 午的（ ） A．7：20 B．7：30 C．7：45 D．7：50 考点：反比例函数的应用．3718684 分析：第 1 步：求出两个函数的解析式； 第 2 步：求出饮水机完成一个循环周期所需要的时间； 第 3 步：求出每一个循环周期内，水温不超过 50℃的时间段； 第 4 步：结合 4 个选择项，逐一进行分析计算，得出结论． 解答：解：∵开机加热时每分钟上升 10℃， ∴从 30℃到 100℃需要 7 分钟， 设一次函数关系式为：y=k1x+b， 将（0，30），（7，100）代入 y=k1x+b 得 k1=10，b=30 ∴y=10x+30（0≤x≤7），令 y=50，解得 x=2； 设反比例函数关系式为：y= ， 将（7，100）代入 y= 得 k=700，∴y= ， 将 y=30 代入 y= ，解得 x= ； ∴y= （7≤x≤ ），令 y=50，解得 x=14． 所以，饮水机的一个循环周期为 分钟．每一个循环周期内，在 0≤x≤2 及 14≤x≤ 时间段内，水温不超过 50℃． 逐一分析如下： 选项 A：7：20 至 8：45 之间有 85 分钟．85﹣ ×3=15，位于 14≤x≤ 时间段内，故 可行； 选项 B：7：30 至 8：45 之间有 75 分钟．75﹣ ×3=5，不在 0≤x≤2 及 14≤x≤ 时间 段内，故不可行； 选项 C：7：45 至 8：45 之间有 60 分钟．60﹣ ×2= ≈13.3，不在 0≤x≤2 及 14≤x≤ 时间段内，故不可行； 选项 D：7：50 至 8：45 之间有 55 分钟．55﹣ ×2= ≈8.3，不在 0≤x≤2 及 14≤x≤ 时间段内，故不可行． 综上所述，四个选项中，唯有 7：20 符合题意． 故选 A． 点评：本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，还有时间的讨论问题．同学们在解 答时要读懂题意，才不易出错． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 11．（5 分）（2013•绍兴）分解因式：x2﹣y2= （x+y）（x﹣y） ． 考点：因式分解-运用公式法． 3718684 分析：因为是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解即可． 解答：解：x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）． 点评：本题考查了平方差公式因式分解，熟记平方差公式的特点：两项平方项，符号相反， 是解题的关键． 12．（5 分）（2013•绍兴）分式方程 =3 的解是 x=3 ． 考点：解分式方程． 3718684 专题：计算题． 分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分 式方程的解． 解答：解：去分母得：2x=3x﹣3， 解得：x=3， 经检验 x=3 是分式方程的解． 故答案为：x=3 点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整 式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 13．（5 分）（2013•绍兴）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一题，今有鸡兔同笼， 上有 35 头，下有 94 足，问鸡兔各几何？此题的答案是：鸡有 23 只，兔有 12 只，现在小敏 将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有 33 头，下有 88 足，问鸡兔各几何？则此时的答案是： 鸡有 22 只，兔有 11 只． 考点：二元一次方程组的应用．3718684 分析：设鸡有 x 只，兔有 y 只，就有 x+y=33，2x+4y=88，将这两个方程构成方程组求出其 解即可． 解答：解：设鸡有 x 只，兔有 y 只，由题意，得 ， 解得： ， ∴鸡有 22 只，兔有 11 只． 故答案为：22，11 点评：本题考查了列二元一次方程解生活实际问题的运用，二元一次方程的解法的运用，解 答时根据条件找到反应全题题意的等量关系建立方程是关键． 14．（5 分）（2013•绍兴）在平面直角坐标系中，O 是原点，A 是 x 轴上的点，将射线 OA 绕点 O 旋转，使点 A 与双曲线 y= 上的点 B 重合，若点 B 的纵坐标是 1，则点 A 的横坐 标是 2 或﹣2 ． 考点：坐标与图形变化-旋转；反比例函数图象上点的坐标特征． 3718684 分析：根据反比例函数的性质得出 B 点坐标，进而得出 A 点坐标． 解答：解：如图所示： ∵点 A 与双曲线 y= 上的点 B 重合，点 B 的纵坐标是 1， ∴点 B 的横坐标是 ， ∴OB= =2， ∵A 点可能在 x 轴的正半轴也可能在负半轴， ∴A 点坐标为：（2，0），（﹣2，0）． 故答案为：2 或﹣2． 点评：此题主要考查了勾股定理以及反比例函数的性质等知识，根据已知得出 BO 的长是解 题关键． 15．（5 分）（2013•绍兴）如图钢架中，焊上等长的 13 根钢条来加固钢架，若 AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A 的度数是 12° ． 考点：等腰三角形的性质．3718684 分析：设∠A=x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和求出∠AP7P8，∠AP8P7，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解． 解答：解：设∠A=x， ∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A， ∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x， ∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x， ∴∠P2P3P4=∠P13P12P10=3x， …， ∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x， ∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x， 在△AP7P8 中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°， 即 x+7x+7x=180°， 解得 x=12°， 即∠A=12°． 故答案为：12°． 点评：本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和的性质，规律探寻题，难度较大． 16．（5 分）（2013•绍兴）矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，P，Q 是对角线 BD 上不重合的两 点，点 P 关于直线 AD，AB 的对称点分别是点 E、F，点 Q 关于直线 BC、CD 的对称点分 别是点 G、H．若由点 E、F、G、H 构成的四边形恰好为菱形，则 PQ 的长为 2.8 ． 考点：几何变换综合题． 3718684 分析：如解答图所示，本题要点如下： （1）证明矩形的四个顶点 A、B、C、D 均在菱形 EFGH 的边上，且点 A、C 分别为 各自边的中点； （2）证明菱形的边长等于矩形的对角线长； （3）求出线段 AP 的长度，证明△AON 为等腰三角形； （4）利用勾股定理求出线段 OP 的长度； （5）同理求出 OQ 的长度，从而得到 PQ 的长度． 解答：解：由矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，可得对角线 AC=BD=5． 依题意画出图形，如右图所示． 由轴对称性质可知，∠PAF+∠PAE=2∠PAB+2∠PAD=2（∠PAB+∠PAD）=180°， ∴点 A 在菱形 EFGH 的边 EF 上．同理可知，点 B、C、D 均在菱形 EFGH 的边上． ∵AP=AE=AF，∴点 A 为 EF 中点．同理可知，点 C 为 GH 中点． 连接 AC，交 BD 于点 O，则有 AF=CG，且 AF∥CG， ∴四边形 ACGF 为平行四边形， ∴FG=AC=5，即菱形 EFGH 的边长等于矩形 ABCD 的对角线长． ∴EF=FG=5， ∵AP=AE=AF，∴AP= EF=2.5． ∵OA= AC=2.5， ∴AP=AO，即△APO 为等腰三角形． 过点 A 作 AN⊥BD 交 BD 于点 N，则点 N 为 OP 的中点． 由 S△ABD= AB•AD= AC•AN，可求得：AN=2.4． 在 Rt△AON 中，由勾股定理得：ON= = =0.7， ∴OP=2ON=1.4； 同理可求得：OQ=1.4， ∴PQ=OP+OQ=1.4+1.4=2.8． 故答案为：2.8． 点评：本题是几何变换综合题，难度较大．首先根据题意画出图形，然后结合轴对称性质、 矩形性质、菱形性质进行分析，明确线段之间的数量关系，最后由等腰三角形和勾股 定理求得结果． 三、解答题（本大题共有 8 小题，第 17--20 小题每小题 8 分，第 21 小题 10 分，第 22、23 小题每小题 8 分，第 24 小题 14 分，共 80 分，解答需写出毕必要的文字说明、演算步骤或 证明过程） 17．（8 分）（2013•绍兴）（1）化简：（a﹣1）2+2（a+1） （2）解不等式： + ≤1． 考点：整式的混合运算；解一元一次不等式．3718684 专题：计算题． 分析：（1）原式第一项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果． 解答：解：（1）原式=a2﹣2a+1+2a+2=a2+3； （2）去分母得：3（x+1）+2（x﹣1）≤6， 去括号得：3x+3+2x﹣1≤6， 解得：x≤1． 点评：此题考查了整式的混合运算，以及解一元一次不等式，涉及的知识有：完全平方公式， 去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 18．（8 分）（2013•绍兴）某市出租车计费方法如图所示，x（km）表示行驶里程，y（元） 表示车费，请根据图象回答下面的问题： （1）出租车的起步价是多少元？当 x＞3 时，求 y 关于 x 的函数关系式． （2）若某乘客有一次乘出租车的车费为 32 元，求这位乘客乘车的里程． 考点：一次函数的应用． 3718684 分析：（1）根据函数图象可以得出出租车的起步价是 8 元，设当 x＞3 时，y 与 x 的函数关 系式为 y=kx+b，运用待定系数法就可以求出结论； （2）将 y=32 代入（1）的解析式就可以求出 x 的值． 解答：解：（1）由图象得： 出租车的起步价是 8 元，； 设当 x＞3 时，y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b，由函数图象，得 ， 解得： ， 故 y 与 x 的函数关系式为：y=2x+2； （2）当 y=32 时， 32=2x+2， x=15 答：这位乘客乘车的里程是 15km． 点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用， 解答时理解函数图象是重点，求出函数的解析式是关键． 19．（8 分）（2013•绍兴）如图，矩形 ABCD 中，AB=6，第 1 次平移将矩形 ABCD 沿 AB 的方向向右平移 5 个单位，得到矩形 A1B1C1D1，第 2 次平移将矩形 A1B1C1D1 沿 A1B1 的方 向向右平移 5 个单位，得到矩形 A2B2C2D2…，第 n 次平移将矩形 An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1 沿 An﹣ 1Bn﹣1 的方向平移 5 个单位，得到矩形 AnBnCnDn（n＞2）． （1）求 AB1 和 AB2 的长． （2）若 ABn 的长为 56，求 n． 考点：平移的性质；一元一次方程的应用；矩形的性质． 3718684 专题：规律型． 分析：（1）根据平移的性质得出 AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1﹣A1A2=6﹣5=1，进而求出 AB1 和 AB2 的长； （2）根据（1）中所求得出数字变化规律，进而得出 ABn=（n+1）×5+1 求出 n 即可． 解答：解：（1）∵AB=6，第 1 次平移将矩形 ABCD 沿 AB 的方向向右平移 5 个单位，得到 矩形 A1B1C1D1， 第 2 次平移将矩形 A1B1C1D1 沿 A1B1 的方向向右平移 5 个单位，得到矩形 A2B2C2D2…， ∴AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1﹣A1A2=6﹣5=1， ∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+1=11， ∴AB2 的长为：5+5+6=16； （2）∵AB1=2×5+1=11，AB2=3×5+1=16， ∴ABn=（n+1）×5+1=56， 解得：n=10． 点评：此题主要考查了平移的性质以及一元一次方程的应用，根据平移的性质得出 AA1=5， A1A2=5 是解题关键． 20．（8 分）（2013•绍兴）某校体育组为了了解学生喜欢的体育项目，从全校同学中随机抽 取了若干名同学进行调查，每位同学从兵乓球、篮球、羽毛球、排球、跳绳中选择一项最喜 欢的项目，并将调查的结果绘制成如下的两幅统计图．根据以上统计图，解答下列问题： （1）这次被调查的共有多少名同学？并补全条形统计图． （2）若全校有 1200 名同学，估计全校最喜欢篮球和排球的共有多少名同学？ 考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 3718684 分析：（1）利用条形统计图可得喜欢排球的人数有 12 人，根据扇形统计图可得喜欢排球的 人数有 15%，利用 12÷15%即可得到被调查的总人数；用总人数﹣喜欢乒乓球的人数 ﹣喜欢篮球的人数﹣喜欢羽毛球的人数﹣喜欢排球的人数可得喜欢跳绳的人数，再补 图即可； （2）计算出调查的人数中喜欢篮球和排球的人数所占百分比，再乘以 1200 即可． 解答：解：（1）这次被调查的学生总数：30÷15%=200（人）， 跳绳人数：200﹣70﹣40﹣30﹣12=48，如图所示： （2）1200× ×100%=312（人）． 答：全校有 1200 名同学，估计全校最喜欢篮球和排球的共有 312 名同学． 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及样本估计总体，读懂统计图， 从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每 个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21．（10 分）（2013•绍兴）如图，伞不论张开还是收紧，伞柄 AP 始终平分同一平面内两条 伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，结点 D 与点 M 重合，且点 A、E、D 在同一条直线上， 已知部分伞架的长度如下：单位：cm 伞架 DE DF AE AF AB AC 长度 36 36 36 36 86 86 （1）求 AM 的长． （2）当∠BAC=104°时，求 AD 的长（精确到 1cm）． 备用数据：sin52°=0.788，cos52°=0.6157，tan52°=1.2799． 考点：解直角三角形的应用． 3718684 分析：（1）根据 AM=AE+DE 求解即可； （2）先根据角平分线的定义得出∠EAD= ∠BAC=52°，再过点 E 作 EG⊥AD 于 G， 由等腰三角形的性质得出 AD=2AG，然后在△AEG 中，利用余弦函数的定义求出 AG 的长，进而得到 AD 的长度． 解答：解：（1）由题意，得 AM=AE+DE=36+36=72（cm）． 故 AM 的长为 72cm； （2）∵AP 平分∠BAC，∠BAC=104°， ∴∠EAD= ∠BAC=52°． 过点 E 作 EG⊥AD 于 G， ∵AE=DE=36， ∴AG=DG，AD=2AG． 在△AEG 中，∵∠AGE=90°， ∴AG=AE•cos∠EAG=36•cos52°=36×0.6157=22.1652， ∴AD=2AG=2×22.1652≈44（cm）． 故 AD 的长约为 44cm． 点评：本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，其中涉及到角平分线的定义，等腰三 角形的性质，三角函数的定义，难度适中． 22．（12 分）（2013•绍兴）若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图 1，矩形 ABCD 中，BC=2AB，则称 ABCD 为方形． （1）设 a，b 是方形的一组邻边长，写出 a，b 的值（一组即可）． （2）在△ABC 中，将 AB，AC 分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结为一边 作矩形，使这些矩形的边 B1C1，B2C2，B3C3，B4C4 的对边分别在 B2C2，B3C3，B4C4，BC 上，如图 2 所示． ①若 BC=25，BC 边上的高为 20，判断以 B1C1 为一边的矩形是不是方形？为什么？ ②若以 B3C3 为一边的矩形为方形，求 BC 与 BC 边上的高之比． 考点：四边形综合题．3718684 分析：（1）答案不唯一，根据已知举出即可； （2）①求出△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，推出 = = ， = = ， = = ， = = ，求出 B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15， B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，MN=GN=GH=HE=4，BQ=B2O=B3Z=B4K=4， 根据已知判断即可； ②设 AM=h，根据△ABC∽△AB3C3，得出 = = ，求出 MN=GN=GH=HE= h， 分为两种情况：当 B3C3=2× h，时，当 B3C3= × h 时，代入求出即可． 解答：解：（1）答案不唯一，如 a=2，b=4； （2）①以 B1C1 为一边的矩形不是方形． 理由是：过 A 作 AM⊥BC 于 M，交 B1C1 于 E，交 B2C2 于 H，交 B3C3 于 G，交 B4C4 于 N，则 AM⊥B4C4，AM⊥B3C3，AM⊥B2C2，AM⊥B1C1， ∵由矩形的性质得：BC∥B1C1∥B2C2∥B3C3∥B4C4， ∴△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4， ∴ = ， = = ， = = ， = = ， ∵AM=20，BC=25， ∴B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16， ∴MN=GN=GH=HE=4， ∴BQ=B2O=B3Z=B4K=4， 即 B1C1≠2B1Q，B1Q≠2B1C1， ∴以 B1C1 为一边的矩形不是方形； ②∵以 B3C3 为一边的矩形为方形，设 AM=h， ∴△ABC∽△AB3C3， ∴ = = ， 则 AG= h， ∴MN=GN=GH=HE= h， 当 B3C3=2× h，时， = ； 当 B3C3= × h 时， = ． 综合上述：BC 与 BC 边上的高之比是 或 ． 点评：本题考查了相似三角形的性质和判定和矩形的性质的应用，注意：相似三角形的对应 高的比等于相似比． 23．（12 分）（2013•绍兴）在△ABC 中，∠CAB=90°，AD⊥BC 于点 D，点 E 为 AB 的中点， EC 与 AD 交于点 G，点 F 在 BC 上． （1）如图 1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD． （2）如图 2，AC：AB=1： ，EF⊥CE，求 EF：EG 的值． 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 3718684 分析：（1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据 AC：AB=1：2 及点 E 为 AB 的中 点，得出 AC=BE，再利用 AAS 证明△ACD≌△BEF，即可得出 EF=CD； （2）作 EH⊥AD 于 H，EQ⊥BC 于 Q，先证明四边形 EQDH 是矩形，得出∠QEH=90°， 则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出 EF： EG=EQ：EH，然后在△BEQ 中，根据正弦函数的定义得出 EQ= BE，在△AEH 中， 根据余弦函数的定义得出 EH= AE，又 BE=AE，进而求出 EF：EG 的值． 解答：（1）证明：如图 1， 在△ABC 中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC 于点 D， ∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB． ∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC， ∵点 E 为 AB 的中点，∴AB=2BE， ∴AC=BE． 在△ACD 与△BEF 中， ， ∴△ACD≌△BEF， ∴CD=EF，即 EF=CD； （2）解：如图 2，作 EH⊥AD 于 H，EQ⊥BC 于 Q， ∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC， ∴四边形 EQDH 是矩形， ∴∠QEH=90°， ∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG， 又∵∠EQF=∠EHG=90°， ∴△EFQ∽△EGH， ∴EF：EG=EQ：EH． ∵AC：AB=1： ，∠CAB=90°， ∴∠B=30°． 在△BEQ 中，∵∠BQE=90°， ∴sin∠B= = ， ∴EQ= BE． 在△AEH 中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°， ∴cos∠AEH= = ， ∴EH= AE． ∵点 E 为 AB 的中点，∴BE=AE， ∴EF：EG=EQ：EH= BE： AE=1： ． 点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质， 解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形， 并且证明四边形 EQDH 是矩形． 24．（14 分）（2013•绍兴）抛物线 y=（x﹣3）（x+1）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C，点 D 为顶点． （1）求点 B 及点 D 的坐标． （2）连结 BD，CD，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E． ①若线段 BD 上一点 P，使∠DCP=∠BDE，求点 P 的坐标． ②若抛物线上一点 M，作 MN⊥CD，交直线 CD 于点 N，使∠CMN=∠BDE，求点 M 的坐 标． 考点：二次函数综合题． 3718684 分析：（1）解方程（x﹣3）（x+1）=0，求出 x=3 或﹣1，根据抛物线 y=（x﹣3）（x+1）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），确定点 B 的坐标为（3，0）；将 y=（x﹣3） （x+1）配方，写成顶点式为 y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，即可确定顶点 D 的坐标； （2）①根据抛物线 y=（x﹣3）（x+1），得到点 C、点 E 的坐标．连接 BC，过点 C 作 CH⊥DE 于 H，由勾股定理得出 CD= ，CB=3 ，证明△BCD 为直角三角形．分 别延长 PC、DC，与 x 轴相交于点 Q，R．根据两角对应相等的两三角形相似证明 △BCD∽△QOC，则 = = ，得出 Q 的坐标（﹣9，0），运用待定系数法求出直 线CQ 的解析式为y=﹣ x﹣3，直线BD 的解析式为y=2x﹣6，解方程组 ， 即可求出点 P 的坐标； ②分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当点 M 在对称轴右侧时．若点 N 在射线 CD 上，如 备用图1，延长MN 交y 轴于点F，过点M 作MG⊥y 轴于点G，先证明△MCN∽△DBE， 由相似三角形对应边成比例得出 MN=2CN．设 CN=a，再证明△CNF，△MGF 均为 等腰直角三角形，然后用含 a 的代数式表示点 M 的坐标，将其代入抛物线 y=（x﹣3） （x+1），求出 a 的值，得到点 M 的坐标；若点 N 在射线 DC 上，同理可求出点 M 的 坐标；（Ⅱ）当点 M 在对称轴左侧时．由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根据直 角三角形两锐角互余得出∠MCN＞45°，而抛物线左侧任意一点 K，都有∠KCN＜45°， 所以点 M 不存在． 解答：解：（1）∵抛物线 y=（x﹣3）（x+1）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧）， ∴当 y=0 时，（x﹣3）（x+1）=0， 解得 x=3 或﹣1， ∴点 B 的坐标为（3，0）． ∵y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴顶点 D 的坐标为（1，﹣4）； （2）①如右图． ∵抛物线 y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3 与与 y 轴交于点 C， ∴C 点坐标为（0，﹣3）． ∵对称轴为直线 x=1， ∴点 E 的坐标为（1，0）． 连接 BC，过点 C 作 CH⊥DE 于 H，则 H 点坐标为（1，﹣3）， ∴CH=DH=1， ∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°， ∴CD= ，CB=3 ，△BCD 为直角三角形． 分别延长 PC、DC，与 x 轴相交于点 Q，R． ∵∠BDE=∠DCP=∠QCR， ∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP， ∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP， ∴∠CDB=∠QCO， ∴△BCD∽△QOC， ∴ = = ， ∴OQ=3OC=9，即 Q（﹣9，0）． ∴直线 CQ 的解析式为 y=﹣ x﹣3， 直线 BD 的解析式为 y=2x﹣6． 由方程组 ，解得 ． ∴点 P 的坐标为（ ，﹣ ）； ②（Ⅰ）当点 M 在对称轴右侧时． 若点 N 在射线 CD 上，如备用图 1，延长 MN 交 y 轴于点 F，过点 M 作 MG⊥y 轴于 点 G． ∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°， ∴△MCN∽△DBE， ∴ = = ， ∴MN=2CN． 设 CN=a，则 MN=2a． ∵∠CDE=∠DCF=45°， ∴△CNF，△MGF 均为等腰直角三角形， ∴NF=CN=a，CF= a， ∴MF=MN+NF=3a， ∴MG=FG= a， ∴CG=FG﹣FC= a， ∴M（ a，﹣3+ a）． 代入抛物线 y=（x﹣3）（x+1），解得 a= ， ∴M（ ，﹣ ）； 若点 N 在射线 DC 上，如备用图 2，MN 交 y 轴于点 F，过点 M 作 MG⊥y 轴于点 G． ∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°， ∴△MCN∽△DBE， ∴ = = ， ∴MN=2CN． 设 CN=a，则 MN=2a． ∵∠CDE=45°， ∴△CNF，△MGF 均为等腰直角三角形， ∴NF=CN=a，CF= a， ∴MF=MN﹣NF=a， ∴MG=FG= a， ∴CG=FG+FC= a， ∴M（ a，﹣3+ a）． 代入抛物线 y=（x﹣3）（x+1），解得 a=5 ， ∴M（5，12）； （Ⅱ）当点 M 在对称轴左侧时． ∵∠CMN=∠BDE＜45°， ∴∠MCN＞45°， 而抛物线左侧任意一点 K，都有∠KCN＜45°， ∴点 M 不存在． 综上可知，点 M 坐标为（ ，﹣ ）或（5，12）． 点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征， 二次函数的性质，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，等腰 直角三角形、相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．（2）中第②问 进行分类讨论及运用数形结合的思想是解题的关键．