2013年遵义市中考数学试卷解析

贵州省遵义市 2013 年中考数学试卷 一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满．） 1．（3 分）（2013•遵义）如果+30m 表示向东走 30m，那么向西走 40m 表示为（ ） A．+40m B．﹣40m C．+30m D．﹣30m 考点：正数和负数． 分析：此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：向东走记为正，则向西走就记为负， 直接得出结论即可． 解答：解：如果+30 米表示向东走 30 米，那么向西走 40m 表示﹣40m． 故选 B． 点评：此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为 正，则和它意义相反的就为负． 2．（3 分）（2013•遵义）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A． B． C． D． 考点：由三视图判断几何体 分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．结合图 形，使用排除法来解答． 解答：解：如图，俯视图为三角形，故可排除 A、B．主视图以及左视图都是矩形，可排除 C，故选 D． 点评：本题考查了由三视图判断几何体的知识，难度一般，考生做此类题时可利用排除法解 答． 3．（3 分）（2013•遵义）遵义市是国家级红色旅游城市，每年都吸引众多海内外游客前来观 光、旅游．据有关部门统计报道：2012 年全市共接待游客 3354 万人次．将 3354 万用科学 记数法表示为（ ） A．3.354×106 B．3.354×107 C．3.354×108 D．33.54×106 考点：科学记数法—表示较大的数． 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答：解：将 3354 万用科学记数法表示为：3.354×107． 故选：B． 点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 4．（3 分）（2013•遵义）如图，直线 l1∥l2，若∠1=140°，∠2=70°，则∠3 的度数是（ ） A．70° B．80° C．65° D．60° 考点：平行线的性质；三角形的外角性质． 3718684 分析：首先根据平行线的性质得出∠1=∠4=140°，进而得出∠5 度数，再利用三角形内角和 定理以及对顶角性质得出∠3 的度数． 解答：解：∵直线 l1∥l2，∠1=140°， ∴∠1=∠4=140°， ∴∠5=180°﹣140°=40°， ∵∠2=70°， ∴∠6=180°﹣70°﹣40°=70°， ∵∠3=∠6， ∴∠3 的度数是 70°． 故选：A． 点评：此题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，根据已知得出∠5 的度 数是解题关键． 5．（3 分）（2013•遵义）计算（﹣ ab2）3 的结果是（ ） A．﹣ a3b6 B．﹣ a3b5 C．﹣ a3b5 D．﹣ a3b6 考点：幂的乘方与积的乘方． 3718684 分析：利用积的乘方与幂的乘方的运算法则求解即可求得答案． 解答：解：（﹣ ab2）3=（﹣ ）3•a3（b2）3=﹣ a3b6． 故选 D． 点评：此题考查了积的乘方与幂的乘方．注意掌握指数的变化是解此题的关键． 6．（3 分）（2013•遵义）如图，在 4×4 正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑， 使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是（ ） A． B． C． D． 考点：概率公式；利用轴对称设计图案．3718684 分析：由白色的小正方形有 12 个，能构成一个轴对称图形的有 2 个情况，直接利用概率公 式求解即可求得答案． 解答：解：∵白色的小正方形有 12 个，能构成一个轴对称图形的有 2 个情况， ∴使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是： = ． 故选 A． 点评：此题考查了概率公式的应用与轴对称．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 7．（3 分）（2013•遵义）P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函数 y=﹣ x 图象上的两点， 下列判断中，正确的是（ ） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．当 x1＜x2 时，y1＜ y2 D．当 x1＜x2 时，y1＞ y2 考点：一次函数图象上点的坐标特征． 3718684 分析：根据正比例函数图象的性质：当 k＜0 时，y 随 x 的增大而减小即可求解． 解答：解：∵y=﹣ x，k=﹣ ＜0， ∴y 随 x 的增大而减小． 故选 D． 点评：本题考查正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当 k＞0 时，图象经过 一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当 k＜0 时，图象经过二、四象限，y 随 x 的增大 而减小． 8．（3 分）（2013•遵义）如图，A、B 两点在数轴上表示的数分别是 a、b，则下列式子中成 立的是（ ） A．a+b＜0 B．﹣a＜﹣b C．1﹣2a＞1﹣2b D．|a|﹣|b|＞0 考点：实数与数轴． 3718684 分析：根据 a、b 两点在数轴上的位置判断出其取值范围，再对各选项进行逐一分析即可． 解答：解：a、b 两点在数轴上的位置可知：﹣2＜a＜﹣1，b＞2， ∴a+b＞0，﹣a＞b，故 A、B 错误； ∵a＜b， ∴﹣2a＞﹣2b， ∴1﹣2a＞1﹣2b，故 C 正确； ∵|a|＜2，|b|＞2， ∴|a|﹣|b|＜0，故 D 错误． 故选 C． 点评：本题考查的是数轴的特点，根据 a、b 两点在数轴上的位置判断出其取值范围是解答 此题的关键． 9．（3 分）（2013•遵义）如图，将边长为 1cm 的等边三角形 ABC 沿直线 l 向右翻动（不滑 动），点 B 从开始到结束，所经过路径的长度为（ ） A． cm B．（2+ π）cm C． cm D．3cm 考点：弧长的计算；等边三角形的性质；旋转的性质．3718684 分析：通过观察图形，可得从开始到结束经过两次翻动，求出点 B 两次划过的弧长，即可得 出所经过路径的长度． 解答：解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴∠AC（A）=120°， 点 B 两次翻动划过的弧长相等， 则点 B 经过的路径长=2× = π． 故选 C． 点评：本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是仔细观察图形，得到点 B 运动的路径，注 意熟练掌握弧长的计算公式． 10．（3 分）（2013•遵义）二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图如图所示，若 M=a+b﹣c， N=4a﹣2b+c，P=2a﹣b．则 M，N，P 中，值小于 0 的数有（ ） A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 考点：二次函数图象与系数的关系．3718684 专题：计算题． 分析：根据图象得到 x=﹣2 时对应的函数值小于 0，得到 N=4a﹣2b+c 的值小于 0，根据对 称轴在直线 x=﹣1 右边，利用对称轴公式列出不等式，根据开口向下得到 a 小于 0， 变形即可对于 P 作出判断，根据 a，b，c 的符号判断得出 a+b﹣c 的符号． 解答：解：∵图象开口向下，∴a＜0， ∵对称轴在 y 轴左侧， ∴a，b 同号， ∴a＜0，b＜0， ∵图象经过 y 轴正半轴， ∴c＞0， ∴M=a+b﹣c＜0， 当 x=﹣2 时，y=4a﹣2b+c＜0， ∴N=4a﹣2b+c＜0， ∵﹣ ＞﹣1， ∴ ＜1， ∴b＞2a， ∴2a﹣b＜0， ∴P=2a﹣b＜0， 则 M，N，P 中，值小于 0 的数有 M，N，P． 故选：A． 点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据图象判断出对称轴以及 a，b，c 的 符号是解题关键． 二、填空题（本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分．答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直 接在答题卡的相应位置上．） 11．（4 分）（2013•遵义）计算：20130﹣2﹣1= ． 考点：负整数指数幂；零指数幂． 3718684 分析：根据任何数的零次幂等于 1，负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数进行计算即 可得解． 解答：解：20130﹣2﹣1， =1﹣ ， = ． 故答案为： ． 点评：本题考查了任何数的零次幂等于 1，负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，是 基础题，熟记两个性质是解题的关键． 12．（4 分）（2013•遵义）已知点 P（3，﹣1）关于 y 轴的对称点 Q 的坐标是（a+b，1﹣b）， 则 ab 的值为 25 ． 考点：关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标．3718684 分析：根据关于 y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得 a+b=﹣3，1 ﹣b=﹣1，再解方程可得 a、b 的值，进而算出 ab 的值． 解答：解：∵点 P（3，﹣1）关于 y 轴的对称点 Q 的坐标是（a+b，1﹣b）， ∴a+b=﹣3，1﹣b=﹣1， 解得：b=2，a=﹣5， ab=25， 故答案为：25． 点评：此题主要考查了关于 y 轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 13．（4 分）（2013•遵义）分解因式：x3﹣x= x（x+1）（x﹣1） ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．3718684 分析：本题可先提公因式 x，分解成 x（x2﹣1），而 x2﹣1 可利用平方差公式分解． 解答：解：x3﹣x， =x（x2﹣1）， =x（x+1）（x﹣1）． 点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进 行因式分解，分解因式一定要彻底． 14．（4 分）（2013•遵义）如图，OC 是⊙O 的半径，AB 是弦，且 OC⊥AB，点 P 在⊙O 上， ∠APC=26°，则∠BOC= 52° 度． 考点：圆周角定理；垂径定理．3718684 分析： 由 OC 是⊙O 的半径，AB 是弦，且 OC⊥AB，根据垂径定理的即可求得： = ， 又由圆周角定理，即可求得答案． 解答：解：∵OC 是⊙O 的半径，AB 是弦，且 OC⊥AB， ∴ = ， ∴∠BOC=2∠APC=2×26°=52°． 故答案为：52°． 点评：此题考查了垂径定理与圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 15．（4 分）（2013•遵义）已知 x=﹣2 是方程 x2+mx﹣6=0 的一个根，则方程的另一个根是 3 ． 考点：根与系数的关系． 3718684 专题：计算题． 分析：根据根与系数的关系得到﹣2•x1=﹣6，然后解一次方程即可． 解答：解：设方程另一个根为 x1，根据题意得﹣2•x1=﹣6， 所以 x1=3． 故答案为 3． 点评：本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为 x1， x2，则 x1+x2=﹣ ，x1•x2= ． 16．（4 分）（2013•遵义）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 分别是 AO、AD 的中点，若 AB=6cm，BC=8cm，则△AEF 的周长= 9 cm． 考点：三角形中位线定理；矩形的性质．3718684 分析：先求出矩形的对角线 AC，根据中位线定理可得出 EF，继而可得出△AEF 的周长． 解答：解：在 Rt△ABC 中，AC= =10cm， ∵点 E、F 分别是 AO、AD 的中点， ∴EF 是△AOD 的中位线，EF= OD= BD= AC= ，AF= AD= BC=4cm， AE= AO= AC= ， ∴△AEF 的周长=AE+AF+EF=9cm． 故答案为：9． 点评：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理及矩形的性质，解答本题需要我们熟练掌 握三角形中位线的判定与性质． 17．（4 分）（2013•遵义）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E 为 BC 边上的 一点，以 A 为圆心，AE 为半径的圆弧交 AB 于点 D，交 AC 的延长于点 F，若图中两个阴 影部分的面积相等，则 AF 的长为 （结果保留根号）． 考点：扇形面积的计算． 3718684 分析：若两个阴影部分的面积相等，那么△ABC 和扇形 ADF 的面积就相等，可分别表示出 两者的面积，然后列出方程即可求出 AF 的长度． 解答：解：∵图中两个阴影部分的面积相等， ∴S 扇形 ADF=S△ABC，即： = ×AC×BC， 又∵AC=BC=1， ∴AF2= ， ∴AF= ． 故答案为 ． 点评：此题主要考查了扇形面积的计算方法及等腰直角三角形的性质，能够根据题意得到 △ABC 和扇形 ADF 的面积相等，是解决此题的关键，难度一般． 18．（4 分）（2013•遵义）如图，已知直线 y= x 与双曲线 y= （k＞0）交于 A、B 两点，点 B 的坐标为（﹣4，﹣2），C 为双曲线 y= （k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC 的 面积为 6，则点 C 的坐标为 （2，4） ． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 3718684 分析：把点 B 的坐标代入反比例函数解析式求出 k 值，再根据反比例函数图象的中心对称性 求出点 A 的坐标，然后过点 A 作 AE⊥x 轴于 E，过点 C 作 CF⊥x 轴于 F，设点 C 的 坐标为（a， ），然后根据 S△AOC=S△COF+S 梯形 ACFE﹣S△AOE 列出方程求解即可得到 a 的值，从而得解． 解答：解：∵点 B（﹣4，﹣2）在双曲线 y= 上， ∴ =﹣2， ∴k=8， 根据中心对称性，点 A、B 关于原点对称， 所以，A（4，2）， 如图，过点 A 作 AE⊥x 轴于 E，过点 C 作 CF⊥x 轴于 F，设点 C 的坐标为（a， ）， 则 S△AOC=S△COF+S 梯形 ACFE﹣S△AOE， = ×8+ ×（2+ ）（4﹣a）﹣ ×8， =4+ ﹣4， = ， ∵△AOC 的面积为 6， ∴ =6， 整理得，a2+6a﹣16=0， 解得 a1=2，a2=﹣8（舍去）， ∴ = =4， ∴点 C 的坐标为（2，4）． 故答案为：（2，4）． 点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数系数的几何意义，作辅助 线并表示出△ABC 的面积是解题的关键． 三、解答题（本题共 9 小题，共 88 分．答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接在答题卡的 相应位置上．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或盐酸步骤．） 19．（6 分）（2013•遵义）解方程组 ． 考点：解二元一次方程组．3718684 专题：计算题． 分析：由第一个方程得到 x=2y+4，然后利用代入消元法其解即可． 解答： 解： ， 由①得，x=2y+4③， ③代入②得 2（2y+4）+y﹣3=0， 解得 y=﹣1， 把 y=﹣1 代入③得，x=2×（﹣1）+4=2， 所以，方程组的解是 ． 点评：本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当 未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 20．（8 分）（2013•遵义）已知实数 a 满足 a2+2a﹣15=0，求 ﹣ ÷ 的值． 考点：分式的化简求值． 3718684 分析：先把要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分， 得到一个最简分式，最后把 a2+2a﹣15=0 进行配方，得到一个 a+1 的值，再把它整体 代入即可求出答案． 解答： 解： ﹣ ÷ = ﹣ • = ﹣ = ， ∵a2+2a﹣15=0， ∴（a+1）2=16， ∴原式= = ． 点评：此题考查了分式的化简求值，关键是掌握分式化简的步骤，先进行通分，再因式分解， 然后把除法转化成乘法，最后约分；化简求值题要将原式化为最简后再代值． 21．（8 分）（2013•遵义）我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成 宣传牌（AB），放置在教学楼的顶部（如图所示）．小明在操场上的点 D 处，用 1 米高的测 角仪 CD，从点 C 测得宣传牌的底部 B 的仰角为 37°，然后向教学楼正方向走了 4 米到达点 F 处，又从点 E 测得宣传牌的顶部 A 的仰角为 45°．已知教学楼高 BM=17 米，且点 A，B， M 在同一直线上，求宣传牌 AB 的高度（结果精确到 0.1 米，参考数据： ≈1.73，sin37°≈0.60， cos37°≈0.81，tan37°≈0.75）． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 3718684 分析：首先过点 C 作 CN⊥AM 于点 N，则点 C，E，N 在同一直线上，设 AB=x 米，则 AN=x+ （17﹣1）=x+16（米），则在 Rt△AEN 中，∠AEN=45°，可得 EN=AN=x+16，在 Rt△BCN 中，∠BCN=37°，BM=17，可得 tan∠BCN= =0.75，则可得方程： ，解此 方程即可求得答案． 解答：解：过点 C 作 CN⊥AM 于点 N，则点 C，E，N 在同一直线上， 设 AB=x 米，则 AN=x+（17﹣1）=x+16（米）， 在 Rt△AEN 中，∠AEN=45°， ∴EN=AN=x+16， 在 Rt△BCN 中，∠BCN=37°，BM=17， ∴tan∠BCN= =0.75， ∴ ， 解得：x=1 ≈1.3． 经检验：x=1 是原分式方程的解． 答：宣传牌 AB 的高度约为 1.3m． 点评：此题考查了俯角的定义．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的 关键． 22．（10 分）（2013•遵义）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某校政教处对部分学生及家 长就校园安全知识的了解程度，进行了随机抽样调查，并绘制成如图所示的两幅统计图，请 根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）参与调查的学生及家长共有 400 人； （2）在扇形统计图中，“基本了解”所对应的圆心角的度数是 135 度． （3）在条形统计图中，“非常了解”所对应的学生人数是 62 人； （4）若全校有 1200 名学生，请你估计对“校园安全”知识达到“非常了解”和“基本了解”的学 生共有多少人？ 考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 3718684 分析：（1）根据参加调查的人中，不了解的占 5%，人数是 16+4=20 人，据此即可求解； （2）利用 360°乘以对应的比例即可求解； （3）利用总人数减去其它的情况的人数即可求解； （4）求得调查的学生总数，则对“校园安全”知识达到“非常了解”和“基本了解”所占的 比例即可求得，利用求得的比例乘以 1200 即可得到． 解答：解：（1）参与调查的学生及家长总人数是：（16+4）÷5%=400（人）； （2）基本了解的人数是：73+77=150（人）， 则对应的圆心角的底数是：360× =135°； （3）“非常了解”所对应的学生人数是：400﹣83﹣77﹣73﹣54﹣31﹣16﹣4=62； （4）调查的学生的总人数是：62+73+54+16=205（人）， 对“校园安全”知识达到“非常了解”和“基本了解”的学生是 62+73=135（人）， 则全校有 1200 名学生中，达到“非常了解”和“基本了解”的学生是：1200× ≈790 （人）． 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中 得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇 形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 23．（10 分）（2013•遵义）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外 其余都相同），其中有红球 2 个，篮球 1 个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的 概率为 ． （1）求口袋中黄球的个数； （2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列 表法”，求两次摸出都是红球的概率； （3）现规定：摸到红球得 5 分，摸到黄球得 3 分（每次摸后放回），乙同学在一次摸球游戏 中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，若随机，再摸一次，求乙同学三 次摸球所得分数之和不低于 10 分的概率． 考点：列表法与树状图法；概率公式． 3718684 分析：（1）首先设口袋中黄球的个数为 x 个，根据题意得： = ，解此方程即可求得 答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都 是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案； （3）由若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于 10 分的有 3 种情 况，且共有 4 种等可能的结果；直接利用概率公式求解即可求得答案． 解答：解：（1）设口袋中黄球的个数为 x 个， 根据题意得： = ， 解得：x=1， 经检验：x=1 是原分式方程的解； ∴口袋中黄球的个数为 1 个； （2）画树状图得： ∵共有 12 种等可能的结果，两次摸出都是红球的有 2 种情况， ∴两次摸出都是红球的概率为： = ； （3）∵摸到红球得 5 分，摸到黄球得 3 分，而乙同学在一次摸球游戏中，第一次随 机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球， ∴乙同学已经得了 7 分， ∴若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于 10 分的有 3 种情况， 且共有 4 种等可能的结果； ∴若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于 10 分的概率为： ． 点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏 的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以 上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 24．（10 分）（2013•遵义）如图，将一张矩形纸片 ABCD 沿直线 MN 折叠，使点 C 落在点 A 处，点 D 落在点 E 处，直线 MN 交 BC 于点 M，交 AD 于点 N． （1）求证：CM=CN； （2）若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为 3：1，求 的值． 考点：矩形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．3718684 分析：（1）由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，由四边形 ABCD 是矩形，可得 ∠ANM=∠CMN，则可证得∠CMN=∠CNM，继而可得 CM=CN； （2）首先过点 N 作 NH⊥BC 于点 H，由△CMN 的面积与△CDN 的面积比为 3：1， 易得 MC=3ND=3HC，然后设 DN=x，由勾股定理，可求得 MN 的长，继而求得答案． 解答：（1）证明：由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ANM=∠CMN， ∴∠CMN=∠CNM， ∴CM=CN； （2）解：过点 N 作 NH⊥BC 于点 H， 则四边形 NHCD 是矩形， ∴HC=DN，NH=DC， ∵△CMN 的面积与△CDN 的面积比为 3：1， ∴ = = =3， ∴MC=3ND=3HC， ∴MH=2HC， 设 DN=x，则 HC=x，MH=2x， ∴CM=3x=CN， 在 Rt△CDN 中，DC= =2 x， ∴HN=2 x， 在 Rt△MNH 中，MN= =2 x， ∴ = =2 ． 点评：此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及三角形的面积．此题难度适中， 注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 25．（10 分）（2013•遵义）2013 年 4 月 20 日，四川雅安发生 7.0 级地震，给雅安人民的生 命财产带来巨大损失．某市民政部门将租用甲、乙两种货车共 16 辆，把粮食 266 吨、副食 品 169 吨全部运到灾区．已知一辆甲种货车同时可装粮食 18 吨、副食品 10 吨；一辆乙种货 车同时可装粮食 16 吨、副食 11 吨． （1）若将这批货物一次性运到灾区，有哪几种租车方案？ （2）若甲种货车每辆需付燃油费 1500 元；乙种货车每辆需付燃油费 1200 元，应选（1）中 的哪种方案，才能使所付的费用最少？最少费用是多少元？ 考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用． 3718684 分析：（1）设租用甲种货车 x 辆，表示出租用乙种货车为（16﹣x）辆，然后根据装运的粮 食和副食品数不少于所需要运送的吨数列出一元一次不等式组，求解后再根据 x 是正 整数设计租车方案； （2）方法一：根据所付的费用等于两种车辆的燃油费之和列式整理，再根据一次函 数的增减性求出费用的最小值； 方法二：分别求出三种方案的燃油费用，比较即可得解． 解答：解：（1）设租用甲种货车 x 辆，租用乙种货车为（16﹣x）辆， 根据题意得， ， 由①得，x≥5， 由②得，x≤7， 所以，5≤x≤7， ∵x 为正整数， ∴x=5 或 6 或 7， 因此，有 3 种租车方案： 方案一：组甲种货车 5 辆，乙种货车 11 辆； 方案二：组甲种货车 6 辆，乙种货车 10 辆； 方案三：组甲种货车 7 辆，乙种货车 9 辆； （2）方法一：由（1）知，租用甲种货车 x 辆，租用乙种货车为（16﹣x）辆，设两 种货车燃油总费用为 y 元， 由题意得，y=1500x+1200（16﹣x）， =300x+19200， ∵300＞0， ∴当 x=5 时，y 有最小值， y 最小=300×5+19200=20700 元； 方法二：当 x=5 时，16﹣5=11， 5×1500+11×1200=20700 元； 当 x=6 时，16﹣6=10， 6×1500+10×1200=21000 元； 当 x=7 时，16﹣7=9， 7×1500+9×1200=21300 元； 答：选择（1）中的方案一租车，才能使所付的费用最少，最少费用是 20700 元． 点评：本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，找出题中不 等量关系，列出不等式组是解题的关键． 26．（12 分）（2013•遵义）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点 M， N 从点 C 同时出发，均以每秒 1cm 的速度分别沿 CA、CB 向终点 A，B 移动，同时动点 P 从点 B 出发，以每秒 2cm 的速度沿 BA 向终点 A 移动，连接 PM，PN，设移动时间为 t（单 位：秒，0＜t＜2.5）． （1）当 t 为何值时，以 A，P，M 为顶点的三角形与△ABC 相似？ （2）是否存在某一时刻 t，使四边形 APNC 的面积 S 有最小值？若存在，求 S 的最小值； 若不存在，请说明理由． 考点：相似形综合题．3718684 分析：根据勾股定理求得 AB=5cm． （1）分类讨论：△AMP∽△ABC 和△APM∽△ABC 两种情况．利用相似三角形的 对应边成比例来求 t 的值； （2）如图，过点 P 作 PH⊥BC 于点 H，构造平行线 PH∥AC，由平行线分线段成比 例求得以 t 表示的 PH 的值；然后根据“S=S△ABC﹣S△BPH”列出 S 与 t 的关系式 S= （t ﹣ ）2+ （0＜t＜2.5），则由二次函数最值的求法即可得到 S 的最小值． 解答：解：∵如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm． ∴根据勾股定理，得 =5cm． （1）以 A，P，M 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况： ①当△AMP∽△ABC 时， = ，即 = ， 解得 t= ； ②当△APM∽△ABC 时， = ，即 = ， 解得 t=0（不合题意，舍去）； 综上所述，当 t= 时，以 A、P、M 为顶点的三角形与△ABC 相似； （2）存在某一时刻 t，使四边形 APNC 的面积 S 有最小值．理由如下： 假设存在某一时刻 t，使四边形 APNC 的面积 S 有最小值． 如图，过点 P 作 PH⊥BC 于点 H．则 PH∥AC， ∴ = ，即 = ， ∴PH= t， ∴S=S△ABC﹣S△BPH， = ×3×4﹣ ×（3﹣t）• t， = （t﹣ ）2+ （0＜t＜2.5）． ∵ ＞0， ∴S 有最小值． 当 t= 时，S 最小值= ． 答：当 t= 时，四边形 APNC 的面积 S 有最小值，其最小值是 ． 点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，二次函数最值的求 法以及三角形面积公式．解答（1）题时，一定要分类讨论，以防漏解．另外，利用 相似三角形的对应边成比例解题时，务必找准对应边． 27．（14 分）（2013•遵义）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣ ）， 且与 y 轴交于点 C（0，2），与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边）． （1）求抛物线的解析式及 A，B 两点的坐标； （2）在（1）中抛物线的对称轴 l 上是否存在一点 P，使 AP+CP 的值最小？若存在，求 AP+CP 的最小值，若不存在，请说明理由； （3）在以 AB 为直径的⊙M 相切于点 E，CE 交 x 轴于点 D，求直线 CE 的解析式． 考点：二次函数综合题． 3718684 专题：综合题． 分析：（1）利用顶点式求得二次函数的解析式后令其等于 0 后求得 x 的值即为与 x 轴交点 坐标的横坐标； （2）线段 BC 的长即为 AP+CP 的最小值； （3）连接 ME，根据 CE 是⊙M 的切线得到 ME⊥CE，∠CEM=90°，从而证得 △COD≌△MED，设 OD=x，在 RT△COD 中，利用勾股定理求得 x 的值即可求得点 D 的坐标，然后利用待定系数法确定线段 CE 的解析式即可． 解答：解：（1）由题意，设抛物线的解析式为 y=a（x﹣4）2﹣ （a≠0） ∵抛物线经过（0，2） ∴a（0﹣4）2﹣ =2 解得：a= ∴y= （x﹣4）2﹣ 即：y= x2﹣ x+2 当 y=0 时， x2﹣ x+2=0 解得：x=2 或 x=6 ∴A（2，0），B（6，0）； （2）存在， 如图 2，由（1）知：抛物线的对称轴 l 为 x=4， 因为 A、B 两点关于 l 对称，连接 CB 交 l 于点 P，则 AP=BP，所以 AP+CP=BC 的值 最小 ∵B（6，0），C（0，2） ∴OB=6，OC=2 ∴BC=2 ， ∴AP+CP=BC=2 ∴AP+CP 的最小值为 2 ； （3）如图 3，连接 ME ∵CE 是⊙M 的切线 ∴ME⊥CE，∠CEM=90° 由题意，得 OC=ME=2，∠ODC=∠MDE ∵在△COD 与△MED 中 ∴△COD≌△MED（AAS）， ∴OD=DE，DC=DM 设 OD=x 则 CD=DM=OM﹣OD=4﹣x 则 RT△COD 中，OD2+OC2=CD2， ∴x2+22=（4﹣x）2 ∴x= ∴D（ ，0） 设直线 CE 的解析式为 y=kx+b ∵直线 CE 过 C（0，2），D（ ，0）两点， 则 解得： ∴直线 CE 的解析式为 y=﹣ +2； 点评：本题考查了二次函数的综合知识，特别是用顶点式求二次函数的解析式，更是中考中 的常考内容，本题难度偏大．