2013年珠海市中考数学试卷解析

2013 年广东省珠海市中考数学试卷 一、选择题（本大题 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确 的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑 1．（3 分）（2013•珠海）实数 4 的算术平方根是（ ） A．﹣2 B．2 C．±2 D．±4 2．（3 分）（2013•珠海）如图两平行线 a、b 被直线 l 所截，且∠1=60°，则∠2 的度数为（ ） A．30° B．45° C．60° D．120° 3．（3 分）（2013•珠海）点（3，2）关于 x 轴的对称点为（ ） A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3） 4．（3 分）（2013•珠海）已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2﹣2x﹣3=0．下列说法正确的是（ ） A．①②都有实数解 B．①无实数解，②有实数解 C．①有实数解，②无实数解 D．①②都无实数解 5．（3 分）（2013•珠海）如图，▱ ABCD 的顶点 A、B、D 在⊙O 上，顶点 C 在⊙O 的直径 BE 上， ∠ADC=54°，连接 AE，则∠AEB 的度数为（ ） A．36° B．46° C．27° D．63° 二、填空题（本大题 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）请将行李各题的正确答案填写在答题卡相应的 位置上。 6．（4 分）（2013•珠海）使式子 有意义的 x 的取值范围是 _________ ． 7．（4 分）（2013•珠海）已知，函数 y=3x 的图象经过点 A（﹣1，y1），点 B（﹣2，y2），则 y1 _________ y2（填“＞”“＜”或“=”） 8．（4 分）（2013•珠海）若圆锥的母线长为 5cm，地面半径为 3cm，则它的测面展开图的面积为 _________ cm2（结果保留π） 9．（4 分）（2013•珠海）已知 a、b 满足 a+b=3，ab=2，则 a2+b2= _________ ． 10．（4 分）（2013•珠海）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，顺次连接正方形 ABCD 四边的中点得到 第一个正方形 A1B1C1D1，由顺次连接正方形 A1B1C1D1 四边的中点得到第二个正方形 A2B2C2D2…， 以此类推，则第六个正方形 A6B6C6D6 周长是 _________ ． 三、解答题（一）（本大题 5 小题，每小题 6 分，共 30分） 11．（6 分）（2013•珠海）计算： ﹣（ ）0+| | 12．（6 分）（2013•珠海）解方程： ． 13．（6 分）（2013•珠海）某初中学校对全校学生进行一次“勤洗手”的问卷调查，学校七、八、九三 个年级学生人数分别为 600 人、700 人、600 人，经过数据整理将全校的“勤洗手”调查数据绘制成统 计图． （1）根据统计图，计算八年级“勤洗手”学生人数，并补全下列两幅统计图． （2）通过计算说明那个年级“勤洗手”学生人数占本年级学生人数的比例最大？ 14．（6 分）（2013•珠海）如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E； 求证：BC=DC． 15．（6 分）（2013•珠海）某渔船出海捕鱼，2010 年平均每次捕鱼量为 10 吨，2012 年平均每次捕鱼 量为 8.1 吨，求 2010 年﹣2012 年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率． 四、解答题（二））（本大题 4 小题，每小题 7 分，共 28 分） 16．（7 分）（2013•珠海）一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度 AC，如图所示，他 先在点 B 测得山顶点 A 的仰角为 30°，然后向正东方向前行 62 米，到达 D 点，在测得山顶点 A 的 仰角为 60°（B、C、D 三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度 AC（结果精 确的 1 米，参考数值： ） 17．（7 分）（2013•珠海）如图，⊙O 经过菱形 ABCD 的三个顶点 A、C、D，且与 AB 相切于点 A （1）求证：BC 为⊙O 的切线； （2）求∠B 的度数． 18．（7 分）（2013•珠海）把分别标有数字 2、3、4、5 的四个小球放入 A 袋内，把分别标有数字 、 、 、 、 的五个小球放入 B 袋内，所有小球的形状、大小、质地完全相同，A、B 两个袋子不透 明、 （1）小明分别从 A、B 两个袋子中各摸出一个小球，求这两个小球上的数字互为倒数的概率； （2）当 B 袋中标有 的小球上的数字变为 _________ 时（填写所有结果），（1）中的概率为 ． 19．（7 分）（2013•珠海）已知，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在 y 轴正 半轴上，OA=OB，函数 y= 的图象与线段 AB 交于 M 点，且 AM=BM． （1）求点 M 的坐标； （2）求直线 AB 的解析式． 五、解答题（三）（本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 20．（9 分）（2013•珠海）阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b 则﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣ax2+x2+a+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b） ∵对应任意 x，上述等式均成立，∴ ，∴a=2，b=1 ∴ = =x2+2+ 这样，分式 被拆分成了一个整式 x2+2 与一个分式 的和． 解答： （1）将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． （2）试说明 的最小值为 8． 21．（9 分）（2013•珠海）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，点 P 为 AC 边上的一点，将线段 AP 绕 点 A 顺时针方向旋转（点 P 对应点 P′），当 AP 旋转至 AP′⊥AB 时，点 B、P、P′恰好在同一直线上， 此时作 P′E⊥AC 于点 E． （1）求证：∠CBP=∠ABP； （2）求证：AE=CP； （3）当 ，BP′=5 时，求线段 AB 的长． 22．（9 分）（2013•珠海）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 y 轴 和 x 轴的正半轴上，且长分别为 m、4m（m＞0），D 为边 AB 的中点，一抛物线 l 经过点 A、D 及点 M（﹣1，﹣1﹣m）． （1）求抛物线 l 的解析式（用含 m 的式子表示）； （2）把△OAD 沿直线 OD 折叠后点 A 落在点 A′处，连接 OA′并延长与线段 BC 的延长线交于点 E， 若抛物线 l 与线段 CE 相交，求实数 m 的取值范围； （3）在满足（2）的条件下，求出抛物线 l 顶点 P 到达最高位置时的坐标． 2013 年广东省珠海市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确 的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑 1．（3 分）（2013•珠海）实数 4 的算术平方根是（ ） A．﹣2 B．2 C．±2 D．±4 考点：算术平方根． 3481324 分析：根据算术平方根的定义解答即可． 解答：w w w . 解：∵22=4， ∴4 的算术平方根是 2， 即 =2． 故选 B． 点评：本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 2．（3 分）（2013•珠海）如图两平行线 a、b 被直线 l 所截，且∠1=60°，则∠2 的度数为（ ） A．30° B．45° C．60° D．120° 考点：平行线的性质．3481324 分析：由 a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3=∠1=60°，又由对顶角相等，即可求 得答案． 解答：解：∵a∥b， ∴∠3=∠1=60°， ∴∠2=∠3=60°． 故选 C． 点评：此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 3．（3 分）（2013•珠海）点（3，2）关于 x 轴的对称点为（ ） A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3） 考点：关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标．3481324 分析：根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接写出答案． 解答：解：点（3，2）关于 x 轴的对称点为（3，﹣2）， 故选：A． 点评：此题主要考查了关于 x 轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 4．（3 分）（2013•珠海）已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2﹣2x﹣3=0．下列说法正确的是（ ） A．①②都有实数解 B．①无实数解，②有实数解 C．①有实数解，②无实数解 D．①②都无实数解 考点：根的判别式． 3481324 分析：求出①、②的判别式，根据： ①当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△=0 时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0 时，方程无实数根． 即可得出答案． 解答：解：方程①的判别式△=4﹣12=﹣8，则①没有实数解； 方程②的判别式△=4+12=20，则②有两个实数解． 故选 B． 点评：本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握跟的判别式与方程根的关系． 5．（3 分）（2013•珠海）如图，▱ ABCD 的顶点 A、B、D 在⊙O 上，顶点 C 在⊙O 的直径 BE 上， ∠ADC=54°，连接 AE，则∠AEB 的度数为（ ） A．36° B．46° C．27° D．63° 考点：圆周角定理；平行四边形的性质．3481324 分析：根据 BE 是直径可得∠BAE=90°，然后在▱ ABCD 中∠ADC=54°，可得∠B=54°，继而可求得 ∠AEB 的度数． 解答：解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∠ADC=54°， ∴∠B=∠ADC=54°， ∵BE 为⊙O 的直径， ∴∠BAE=90°， ∴∠AEB=90°﹣∠B=90°﹣54°=36°． 故选 A． 点评：本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行四边形的性质得出 ∠B=∠ADC． 二、填空题（本大题 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）请将行李各题的正确答案填写在答题卡相应的 位置上。 6．（4 分）（2013•珠海）使式子 有意义的 x 的取值范围是 x≥﹣ ． 考点：二次根式有意义的条件．3481324 分析：二次根式的被开方数是非负数． 解答：解：根据题意，得 2x+1≥0， 解得，x≥﹣ ． 故答案是：x≥﹣ ． 点评：考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被 开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 7．（4 分）（2013•珠海）已知，函数 y=3x 的图象经过点 A（﹣1，y1），点 B（﹣2，y2），则 y1 ＞ y2 （填“＞”“＜”或“=”） 考点：一次函数图象上点的坐标特征． 3481324 分析：分别把点 A（﹣1，y1），点 B（﹣2，y2）代入函数 y=3x，求出点 y1，y2 的值，并比较出其大 小即可． 解答：解：∵点 A（﹣1，y1），点 B（﹣2，y2）是函数 y=3x 上的点， ∴y1=﹣3，y2=﹣6， ∵﹣3＞﹣6， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数 的解析式． 8．（4 分）（2013•珠海）若圆锥的母线长为 5cm，地面半径为 3cm，则它的测面展开图的面积为 15π cm2（结果保留π） 考点：圆锥的计算． 3481324 专题：计算题． 分析：先计算出圆锥底面圆的周长 2π×3，再根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底 面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可． 解答：解：圆锥的测面展开图的面积= ×2π×3×5=15π（cm2）． 故答案为 15π． 点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇 形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式． 9．（4 分）（2013•珠海）已知 a、b 满足 a+b=3，ab=2，则 a2+b2= 5 ． 考点：完全平方公式．3481324 专题：计算题． 分析：将 a+b=3 两边平方，利用完全平方公式化简，将 ab 的值代入计算，即可求出所求式子的值． 解答：解：将 a+b=3 两边平方得：（a+b）2=a2+2ab+b2=9， 把 ab=2 代入得：a2+4+b2=9， 则 a2+b2=5． 故答案为：5． 点评：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 10．（4 分）（2013•珠海）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，顺次连接正方形 ABCD 四边的中点得到 第一个正方形 A1B1C1D1，由顺次连接正方形 A1B1C1D1 四边的中点得到第二个正方形 A2B2C2D2…， 以此类推，则第六个正方形 A6B6C6D6 周长是 ． 考点：中点四边形． 3481324 专题：规律型． 分析：根据题意，利用中位线定理可证明顺次连接正方形 ABCD 四边中点得正方形 A1B1C1D1 的面 积为正方形 ABCD 面积的一半，根据面积关系可得周长关系，以此类推可得正方形 A6B6C6D6 的周长． 解答：解：顺次连接正方形 ABCD 四边的中点得正方形 A1B1C1D1，则得正方形 A1B1C1D1 的面积为 正方形 ABCD 面积的一半，即 ，则周长是原来的 ； 顺次连接正方形 A1B1C1D1 中点得正方形 A2B2C2D2，则正方形 A2B2C2D2 的面积为正方形 A1B1C1D1 面积的一半，即 ，则周长是原来的 ； 顺次连接正方形 A2B2C2D2 得正方形 A3B3C3D3，则正方形 A3B3C3D3 的面积为正方形 A2B2C2D2 面积的一半，即 ，则周长是原来的 ； 顺次连接正方形 A3B3C3D3 中点得正方形 A4B4C4D4，则正方形 A4B4C4D4 的面积为正方形 A3B3C3D3 面积的一半 ，则周长是原来的 ； … 以此类推：第六个正方形 A6B6C6D6 周长是原来的 ， ∵正方形 ABCD 的边长为 1， ∴周长为 4， ∴第六个正方形 A6B6C6D6 周长是 ． 故答案为： ． 点评：本题考查了利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方的性质．进 而得到周长关系． 三、解答题（一）（本大题 5 小题，每小题 6 分，共 30 分） 11．（6 分）（2013•珠海）计算： ﹣（ ）0+| | 考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂． 3481324 专题：计算题． 分析：根据零指数幂与负整数指数幂得到原式=3﹣1+ ﹣ ，然后化为同分母后进行加减运算． 解答：解：原式=3﹣1+ ﹣ = ． 点评：本题考查了实数的运算：先算乘方或开方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先算括号．也 考查了零指数幂与负整数指数幂． 12．（6 分）（2013•珠海）解方程： ． 考点：解分式方程． 3481324 专题：计算题． 分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程 的解． 解答：解：去分母得：x（x+2）﹣1=x2﹣4， 去括号得：x2+2x﹣1=x2﹣4， 解得：x=﹣ ， 经检验 x=﹣ 是分式方程的解． 点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程 求解．解分式方程一定注意要验根． 13．（6 分）（2013•珠海）某初中学校对全校学生进行一次“勤洗手”的问卷调查，学校七、八、九三 个年级学生人数分别为 600 人、700 人、600 人，经过数据整理将全校的“勤洗手”调查数据绘制成统 计图． （1）根据统计图，计算八年级“勤洗手”学生人数，并补全下列两幅统计图． （2）通过计算说明那个年级“勤洗手”学生人数占本年级学生人数的比例最大？ 考点：条形统计图；扇形统计图． 3481324 分析：（1）由七年级“勤洗手”的人数除以所占的百分比，求出全校“勤洗手”的人数，进而求出八年 级“勤洗手”的人数，补全条形统计图；求出九年级“勤洗手”人数所占的百分比，补全扇形统 计图即可； （2）求出三个年级“勤洗手”人数所占的百分比，比较大小即可． 解答：解：（1）根据题意得：300÷25%=1200（人）， 则八年级“勤洗手”人数为 1200×35%=420（人）， （2）七年级“勤洗手”学生人数占本年级学生人数的比例为 ×100%=50%； 八年级“勤洗手”学生人数占本年级学生人数的比例为 ×100%=60%； 九年级“勤洗手”学生人数占本年级学生人数的比例为 ×100%=80%， 则九年级“勤洗手”学生人数占本年级学生人数的比例最大． 点评：此题考查了条形统计图，以及扇形统计图，弄清题意是解本题的关键． 14．（6 分）（2013•珠海）如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E； 求证：BC=DC． 考点：全等三角形的判定与性质． 3481324 专题：证明题． 分析：先求出∠ACB=∠ECD，再利用“角边角”证明△ABC 和△EDC 全等，然后根据全等三角形对 应边相等证明即可． 解答：证明：∵∠BCE=∠DCA， ∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE， 即∠ACB=∠ECD， 在△ABC 和△EDC 中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴BC=DC． 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，求出相等的角∠ACB=∠ECD 是解题的关键，也是本 题的难点． 15．（6 分）（2013•珠海）某渔船出海捕鱼，2010 年平均每次捕鱼量为 10 吨，2012 年平均每次捕鱼 量为 8.1 吨，求 2010 年﹣2012 年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率． 考点：一元二次方程的应用． 3481324 专题：增长率问题． 分析：解答此题利用的数量关系是：2010 年平均每次捕鱼量×（1﹣每次降价的百分率）2=2012 年平 均每次捕鱼量，设出未知数，列方程解答即可． 解答：解：设 2010 年﹣2012 年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率 x，根据题意列方程得， 10×（1﹣x）2=8.1， 解得 x1=0.1，x2=﹣1.9（不合题意，舍去）． 答：2010 年﹣2012 年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率为10%． 点评：本题考查的下降的百分率也就是增长率问题，两年前是 10 吨，下降后现在是 8.1 吨，求每年 的下降的百分率，可列式求解． 四、解答题（二））（本大题 4 小题，每小题 7 分，共 28 分） 16．（7 分）（2013•珠海）一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度 AC，如图所示，他 先在点 B 测得山顶点 A 的仰角为 30°，然后向正东方向前行 62 米，到达 D 点，在测得山顶点 A 的 仰角为 60°（B、C、D 三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度 AC（结果精 确的 1 米，参考数值： ） 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 3481324 分析：首先利用三角形的外角的性质求得∠BAD 的度数，得到 AD 的长度，然后在直角△ADC 中， 利用三角函数即可求解． 解答：解：∵∠ADC=∠B+∠BAD， ∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=60°﹣30°=30°， ∴∠B=∠BAD， ∴AD=BD=62（米）． 在直角△ACD 中，AC=AD•sin∠ADC=62× =31 ≈31×1.7=52.7≈53（米）． 答：小岛的高度是 53 米． 点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 17．（7 分）（2013•珠海）如图，⊙O 经过菱形 ABCD 的三个顶点 A、C、D，且与 AB 相切于点 A （1）求证：BC 为⊙O 的切线； （2）求∠B 的度数． 考点：切线的判定与性质；菱形的性质．3481324 分析：（1）连结 OA、OB、OC、BD，根据切线的性质得 OA⊥AB，即∠OAB=90°，再根据菱形的 性质得 BA=BC，然后根据“SSS”可判断△ABC≌△CBO，则∠BOC=∠OAC=90°，于是可根 据切线的判定方法即可得到结论； （2）由△ABC≌△CBO 得∠AOB=∠COB，则∠AOB=∠COB，由于菱形的对角线平分对角， 所以点 O 在 BD 上，利用三角形外角性质有∠BOC=∠ODC+∠OCD，则∠BOC=2∠ODC， 由于 CB=CD，则∠OBC=∠ODC，所以∠BOC=2∠OBC，根据∠BOC+∠OBC=90°可计算出 ∠OBC=30°，然后利用∠ABC=2∠OBC 计算即可． 解答：（1）证明：连结 OA、OB、OC、BD，如图， ∵AB 与⊙切于 A 点， ∴OA⊥AB，即∠OAB=90°， ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴BA=BC， 在△ABC 和△CBO 中 ， ∴△ABC≌△CBO， ∴∠BOC=∠OAC=90°， ∴OC⊥BC， ∴BC 为⊙O 的切线； （2）解：∵△ABC≌△CBO， ∴∠AOB=∠COB， ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴BD 平分∠ABC，CB=CD， ∴点 O 在 BD 上， ∵∠BOC=∠ODC+∠OCD， 而 OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD， ∴∠BOC=2∠ODC， 而 CB=CD， ∴∠OBC=∠ODC， ∴∠BOC=2∠OBC， ∵∠BOC+∠OBC=90°， ∴∠OBC=30°， ∴∠ABC=2∠OBC=60°． 点评：本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂 直于过切点的半径．也考查了全等三角形相似的判定与性质以及菱形的性质． 18．（7 分）（2013•珠海）把分别标有数字 2、3、4、5 的四个小球放入 A 袋内，把分别标有数字 、 、 、 、 的五个小球放入 B 袋内，所有小球的形状、大小、质地完全相同，A、B 两个袋子不透 明、 （1）小明分别从 A、B 两个袋子中各摸出一个小球，求这两个小球上的数字互为倒数的概率； （2）当 B 袋中标有 的小球上的数字变为 、 、 、 时（填写所有结果），（1）中的概率为 ． 考点：列表法与树状图法．3481324 分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这两个小球上的数字 互为倒数的情况，再利用概率公式即可求得答案； （2）由概率为 ，可得这两个小球上的数字互为倒数的有 5 种情况，继而可求得答案． 解答：解：（1）画树状图得： ∵共有 20 种等可能的结果，这两个小球上的数字互为倒数的有 4 种情况， ∴这两个小球上的数字互为倒数的概率为： = ； （2）∵当 B 袋中标有 的小球上的数字变为 、 、 、 时（填写所有结果）， ∴这两个小球上的数字互为倒数的有 5 种情况， ∴这两个小球上的数字互为倒数的概率为： = ． 故答案为： 、 、 、 ． 点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出 所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事 件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 19．（7 分）（2013•珠海）已知，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在 y 轴正 半轴上，OA=OB，函数 y= 的图象与线段 AB 交于 M 点，且 AM=BM． （1）求点 M 的坐标； （2）求直线 AB 的解析式． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 3481324 专题：计算题． 分析：（1）过点 M 作 MC⊥x 轴，MD⊥y 轴，根据 M 为 AB 的中点，MC∥OB，MD∥OA，利用 平行线分线段成比例得到点 C 和点 D 分别为 OA 与 OB 的中点，从而得到 MC=MD，设出点 M 的坐标代入反比例函数解析式中，求出 a 的值即可得到点 M 的坐标； （2）根据（1）中求出的点 M 的坐标得到 MC 与 MD 的长，从而求出 OA 与 OB 的长，得到 点 A 与点 B 的坐标，设出一次函数的解析式，把点 A 与点 B 的坐标分别代入解析式中求出 k 与 b 的值，确定出直线 AB 的表达式． 解答：解：（1）过点 M 作 MC⊥x 轴，MD⊥y 轴， ∵AM=BM， ∴点 M 为 AB 的中点， ∵MC⊥x 轴，MD⊥y 轴， ∴MC∥OB，MD∥OA， ∴点 C 和点 D 分别为 OA 与 OB 的中点， ∴MC=MD， 则点 M 的坐标可以表示为（﹣a，a）， 把 M（﹣a，a）代入函数 y= 中， 解得 a=2 ， 则点 M 的坐标为（﹣2 ，2 ）； （2）∵则点 M 的坐标为（﹣2 ，2 ）， ∴MC=2 ，MD=2 ， ∴OA=OB=2MC=4 ， ∴A（﹣4 ，0），B（0，4 ）， 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b， 把点 A（﹣4 ，0）和 B（0，4 ）分别代入 y=kx+b 中得 ， 解得： ． 则直线 AB 的解析式为 y=x+4 ． 点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行线分线段成比例，以及中位线定理，用 待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法． 五、解答题（三）（本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 20．（9 分）（2013•珠海）阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b 则﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣ax2+x2+a+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b） ∵对应任意 x，上述等式均成立，∴ ，∴a=2，b=1 ∴ = =x2+2+ 这样，分式 被拆分成了一个整式 x2+2 与一个分式 的和． 解答： （1）将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． （2）试说明 的最小值为 8． 考 点： 分式的混合运算． 3481324 专 题： 阅读型． x 分 析： （1）由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣6x2+8=（﹣x2+1）（x2+a）+b，按照题意，求出 a 和 b 的值，即可 把分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； （2）对于 x2+7+ 当 x=0 时，这两个式 子的和有最小值，最小值为 8，于是求出 的最小值． 解 答： 解：（1）由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣6x2+8=（﹣x2+1）（x2+a）+b 则﹣x4﹣6x2+8=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣ax2+x2+a+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b） ∵对应任意 x，上述等式均成立， ∴ ， ∴a=7，b=1， ∴ = = =x2+7+ 这样，分式 被拆分成了一个整式 x2+7 与一个分式 的和． （2）由 =x2+7+ 知， 对于 x2+7+ 当 x=0 时，这两个式子的和有最小值，最小值为 8， 即 的最小值为 8． 点 评： 本题主要考查分式的混合运算等知识点，解答本题的关键是能熟练的理解题意，此题难度不是很大． 21．（9 分）（2013•珠海）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，点 P 为 AC 边上的一点，将线段 AP 绕 点 A 顺时针方向旋转（点 P 对应点 P′），当 AP 旋转至 AP′⊥AB 时，点 B、P、P′恰好在同一直线上， 此时作 P′E⊥AC 于点 E． （1）求证：∠CBP=∠ABP； （2）求证：AE=CP； （3）当 ，BP′=5 时，求线段 AB 的长． 考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．3481324 专题：几何综合题． 分析：（1）根据旋转的性质可得 AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P，再根据等 角的余角相等证明即可； （2）过点 P 作 PD⊥AB 于 D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 CP=DP，然 后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角边”证明△APD 和△P′AE 全等，根据全等三角形对应边相 等可得 AE=DP，从而得证； （3）设 CP=3k，PE=2k，表示出 AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出 P′E=4k， 再求出△ABP′和△EPP′相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出 P′A= AB，然后在 Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可． 解答：（1）证明：∵AP′是 AP 旋转得到， ∴AP=AP′， ∴∠APP′=∠AP′P， ∵∠C=90°，AP′⊥AB， ∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°， 又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等）， ∴∠CBP=∠ABP； （2）证明：如图，过点 P 作 PD⊥AB 于 D， ∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°， ∴CP=DP， ∵P′E⊥AC， ∴∠EAP′+∠AP′E=90°， 又∵∠PAD+∠EAP′=90°， ∴∠PAD=∠AP′E， 在△APD 和△P′AE 中， ， ∴△APD≌△P′AE（AAS）， ∴AE=DP， ∴AE=CP； （3）解：∵ = ， ∴设 CP=3k，PE=2k， 则 AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k， 在 Rt△AEP′中，P′E= =4k， ∵∠C=90°，P′E⊥AC， ∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠P′PE=90°， ∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等）， ∴∠CBP=∠P′PE， 又∵∠BAP′=∠P′EP=90°， ∴△ABP′∽△EPP′， ∴ = ， 即 = ， 解得 P′A= AB， 在 Rt△ABP′中，AB2+P′A2=BP′2， 即 AB2+ AB2=（5 ）2， 解得 AB=10． 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等 的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段 DP 并得到全 等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出 P′A= AB 是解题的关键． 22．（9 分）（2013•珠海）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 y 轴 和 x 轴的正半轴上，且长分别为 m、4m（m＞0），D 为边 AB 的中点，一抛物线 l 经过点 A、D 及 点 M（﹣1，﹣1﹣m）． （1）求抛物线 l 的解析式（用含 m 的式子表示）； （2）把△OAD 沿直线 O D 折叠后点 A 落在点 A′处，连接 OA′并延长与线段 BC 的延长线交于点 E， 若抛物线 l 与线段 CE 相交，求实数 m 的取值范围； （3）在满足（2）的条件下，求出抛物线 l 顶点 P 到达最高位置时的坐标． 考点：二次函数综合题． 3481324 分析：（1）设抛物线 l 的解析式为 y=ax2+bx+c，将 A、D、M 三点的坐标代入，运用待定系数法即 可求解； （2）设 AD 与 x 轴交于点 M，过点 A′作 A′N⊥x 轴于点 N．根据轴对称及平行线的性质得出 DM=OM=x，则 A′M=2m﹣x，OA′=m，在 Rt△OA′M 中运用勾股定理求出 x，得出 A′点坐标， 运用待定系数法得到直线 OA′的解析式，确定 E 点坐标（4m，﹣3m），根据抛物线 l 与线段 CE 相交，列出关于 m 的不等式组，求出解集即可； （3）根据二次函数的性质，结合（2）中求出的实数 m 的取值范围，即可求解． 解答：解：（1）设抛物线 l 的解析式为 y=ax2+bx+c， 将 A（0，m），D（2m，m），M（﹣1，﹣1﹣m）三点的坐标代入， 得 ，解得 ， 所以抛物线 l 的解析式为 y=﹣x2+2mx+m； （2）设 AD 与 x 轴交于点 M，过点 A′作 A′N⊥x 轴于点 N． ∵把△OAD 沿直线 OD 折叠后点 A 落在点 A′处， ∴△OAD≌△OA′D，OA=OA′=m，AD=A′D=2m，∠OAD=∠OA′D=90°，∠ADO=∠A′DO， ∵矩形 OABC 中，AD∥OC， ∴∠ADO=∠DOM， ∴∠A′DO=∠DOM， ∴DM=OM． 设 DM=OM=x，则 A′M=2m﹣x， 在 Rt△OA′M 中，∵OA′2+A′M2=OM2， ∴m2+（2m﹣x）2=x2， 解得 x= m． ∵S△OA′M= OM•A′N= OA′•A′M， ∴A′N= = m， ∴ON= = m， ∴A′点坐标为（ m，﹣ m）， 易求直线 OA′的解析式为 y=﹣ x， 当 x=4m 时，y=﹣ ×4m=﹣3m， ∴E 点坐标为（4m，﹣3m）． 当 x=4m 时，﹣x2+2mx+m=﹣（4m）2+2m•4m+m=﹣8m2+m， 即抛物线 l 与直线 CE 的交点为（4m，﹣8m2+m）， ∵抛物线 l 与线段 CE 相交， ∴﹣3m≤﹣8m2+m≤0， ∵m＞0， ∴﹣3≤﹣8m+1≤0， 解得 ≤m≤ ； （3）∵y=﹣x2+2mx+m=﹣（x﹣m）2+m2+m， ≤m≤ ， ∴当 x=m 时，y 有最大值 m2+m， 又∵m2+m=（m+ ）2﹣ ， ∴当 ≤m≤ 时，m2+m 随 m 的增大而增大， ∴当 m= 时，顶点 P 到达最高位置，m2+m=（ ）2+ = ， 故此时抛物线 l 顶点 P 到达最高位置时的坐标为（ ， ）． 点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，轴 对称的性质，勾股定理，两个函数交点坐标的求法，二次函数、矩形的性质，解不等式组等 知识，综合性较强，有一定难度．（2）中求出 A′点的坐标是解题的关键．