2013年株洲市中考数学试卷解析

湖南省株洲市 2013 年中考数学试卷 一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．（2013•株洲）一元一次方程 2x=4 的解是（ ） A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4 考点：解一元一次方程． 分析：方程两边都除以 2 即可得解． 解答：解：方程两边都除以 2，系数化为 1 得，x=2． 故选 B． 点评：本题考查了解一元一次方程，是基础题． 2．（2013•株洲）下列计算正确的是（ ） A．x+x=2x2 B．x3•x2=x5 C．（x2）3=x5 D．（2x）2=2x2 考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法． 3718684 分析：根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答 案． 解答：解：A、x+x=2x≠2x2，故本选项错误； B、x3•x2=x5，故本选项正确； C、（x2）3=x6≠x5，故本选项错误； D、（2x）2=4x2≠2x2，故本选项错误． 故选：B． 点评：此题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识，解题要 注意细心． 3．（2013•株洲）孔明同学参加暑假军事训练的射击成绩如下表： 射击次序 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 成绩（环） 9 8 7 9 6 则孔明射击成绩的中位数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 考点： w w w . 中位数． 分析：将数据从小到大排列，根据中位数的定义即可得出答案． 解答：解：将数据从小到大排列为：6，7，8，9，9， 中位数为 8． 故选 C． 点评：本题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后， 最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的 概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 4．（2013•株洲）下列几何体中，有一个几何体的俯视图的形状与其它三个不一样，这个几 何体是（ ） A． 正方体 B． 圆柱 C． 圆锥 D． 球 考点：简单几何体的三视图 分析：俯视图是分别从物体上面看所得到的图形．分别写出四个几何体的俯视图即可得到答 案． 解答：解：正方体的俯视图是正方形；圆柱体的俯视图是圆；圆锥体的俯视图是圆；球的俯 视图是圆． 故选：A． 点评：本题主要考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现 在三视图中． 5．（2013•株洲）如图是株洲市的行政区域平面地图，下列关于方位的说法明显错误的是 （ ） A．炎陵位于株洲市区南偏东约 35°的方向上 B．醴陵位于攸县的北偏东约 16°的方向上 C．株洲县位于茶陵的南偏东约 40°的方向上 D．株洲市区位于攸县的北偏西约 21°的方向上 考点：坐标确定位置． 分析：根据坐标确定位置以及方向角对各选项分析判断后利用排除法求解． 解答：解：A、炎陵位于株洲市区南偏东约 35°的方向上正确，故本选项错误； B、醴陵位于攸县的北偏东约 16°的方向上正确，故本选项错误； C、应为株洲县位于茶陵的北偏西约 40°的方向上，故本选项正确； D、株洲市区位于攸县的北偏西约 21°的方向上正确，故本选项错误． 故选 C． 点评：本题考查了利用坐标确定位置，方向角的定义，是基础题，熟记方向角的概念并准确 识图是解题的关键． 6．（2013•株洲）下列四种图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最多的图形是（ ） A．等边三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 考点：轴对称图形． 3718684 分析：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称 图形，这条直线叫做对称轴，分别判断出各图形的对称轴条数，继而可得出答案． 解答：解：A、等边三角形有 3 条对称轴； B、矩形有 2 条对称轴； C、菱形有 2 条对称轴； D、正方形有 4 条对称轴； 故选 D． 点评：本题考查了轴对称图形的知识，注意掌握轴对称及对称轴的定义． 7．（2013•株洲）已知点 A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数 的图象 上，则 y1、y2、y3 的大小关系是（ ） A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1 考点：反比例函数图象上点的坐标特征．3718684 专题：探究型． 分析：分别把各点代入反比例函数 y= 求出 y1、y2、，y3 的值，再比较出其大小即可． 解答：解：∵点 A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数 的图象上， ∴y1= =6；y2= =3；y3= =﹣2， ∵6＞3＞﹣2， ∴y1＞y2＞y3． 故选 D． 点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一 定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 8．（2013•株洲）二次函数 y=2x2+mx+8 的图象如图所示，则 m 的值是（ ） A．﹣8 B．8 C．±8 D．6 考点：抛物线与 x 轴的交点． 3718684 分析：根据抛物线与 x 轴只有一个交点，△=0，列式求出 m 的值，再根据对称轴在 y 轴的 左边求出 m 的取值范围，从而得解． 解答：解：由图可知，抛物线与 x 轴只有一个交点， 所以，△=m2﹣4×2×8=0， 解得 m=±8， ∵对称轴为直线 x=﹣ ＜0， ∴m＞0， ∴m 的值为 8． 故选 B． 点评：本题考查了二次函数图象与 x 轴的交点问题，本题易错点在于要根据对称轴确定出 m 是正数． 二、填空题（本题共 2 小题，每小题 0 分，共 24 分） 9．（2013•株洲）在平面直角坐标系中，点（1，2）位于第 一 象限． 考点：点的坐标．3718684 分析：根据各象限的点的坐标特征解答． 解答：解：点（1，2）位于第一象限． 故答案为：一． 点评：本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关 键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限 （﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 10．（2013•株洲）某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按 60%、面试按 40%计算加权 平均数，作为总成绩．孔明笔试成绩 90 分，面试成绩 85 分，那么孔明的总成绩是 88 分． 考点：加权平均数． 分析：根据笔试和面试所占的百分比以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可． 解答：解：∵笔试按 60%、面试按 40%， ∴总成绩是（90×60%+85×40%）=88 分， 故答案为：88． 点评：此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式，用到的知识点 是加权平均数． 11．（2013•株洲）计算： = 2 ． 考点：分式的加减法．3718684 分析：分母不变，直接把分子相加即可． 解答：解：原式= = =2． 故答案为：2． 点评：本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减． 12．（2013•株洲）如图，直线 l1∥l2∥l3，点 A、B、C 分别在直线 l1、l2、l3 上．若∠1=70°， ∠2=50°，则∠ABC= 120 度． 考点：平行线的性质．3718684 分析：根据两直线平行，同位角相等求出∠3，再根据两直线平行，内错角相等求出∠4，然 后相加即可得解． 解答：解：如图，∵l1∥l2∥l3，∠1=70°，2=50°， ∴∠3=∠1=70°，∠4=∠2=50°， ∴∠ABC=∠3+∠4=70°+50°=120°． 故答案为：120． 点评：本题考查了两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质是 解题的关键． 13．（2013•株洲）如图 AB 是⊙O 的直径，∠BAC=42°，点 D 是弦 AC 的中点，则∠DOC 的度数是 48 度． 考点：垂径定理． 分析：根据点 D 是弦 AC 的中点，得到 OD⊥AC，然后根据∠DOC=∠DOA 即可求得答案． 解答：解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴OA=OC ∵∠A=42° ∴∠ACO=∠A=42° ∵D 为 AC 的中点， ∴OD⊥AC， ∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°． 故答案为：48． 点评：本题考查了垂径定理的知识，解题的关键是根的弦的中点得到弦的垂线． 14．（2013•株洲）一元一次不等式组 的解集是 ＜x≤1 ． 考点：解一元一次不等式组． 3718684 分析：求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可． 解答： 解： ∵解不等式①得：x＞ ， 解不等式②得：x≤1， ∴不等式组的解集为： ＜x≤1， 故答案为： ＜x≤1 点评：本题考查了解一元一次不等式（组）的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式 组的解集． 15．（2013•株洲）多项式 x2+mx+5 因式分解得（x+5）（x+n），则 m= 6 ，n= 1 ． 考点：因式分解的意义． 3718684 专题：计算题． 分析：将（x+5）（x+n）展开，得到，使得 x2+（n+5）x+5n 与 x2+mx+5 的系数对应相等即 可． 解答：解：∵（x+5）（x+n）=x2+（n+5）x+5n， ∴x2+mx+5=x2+（n+5）x+5n ∴ ， ∴ ， 故答案为 6，1． 点评：本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可． 16．（2013•株洲）已知 a、b 可以取﹣2、﹣1、1、2 中任意一个值（a≠b），则直线 y=ax+b 的图象不经过第四象限的概率是 ． 考点：列表法与树状图法；一次函数图象与系数的关系． 3 分析：列表得出所有等可能的结果数，找出 a 与 b 都为正数，即为直线 y=ax+b 不经过第四 象限的情况数，即可求出所求的概率． 解答：解：列表如下： ﹣2 ﹣1 1 2 ﹣2 （﹣1，﹣2） （1，﹣2） （2，﹣2） ﹣1 （﹣2，﹣1） （1，﹣1） （2，﹣1） 1 （﹣2，1） （﹣1，1） （2，1） 2 （﹣2，2） （﹣1，2） （1，2） 所有等可能的情况数有 12 种，其中直线 y=ax+b 不经过第四象限情况数有 2 种， 则 P= = ． 故答案为： 点评：此题考查了列表法与树状图法，以及一次函数图象与系数的关系，用到的知识点为： 概率=所求情况数与总情况数之比． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分） 17．（4 分）（2013•株洲）计算： ． 考点：实数的运算；特殊角的三角函数值． 3718684 专题：计算题． 分析：分别根据算术平方根、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数 混合运算的法则进行计算即可． 解答：解：原式=2+3﹣2× =5﹣1 =4． 点评：本题考查的是实数的运算，熟知算术平方根、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是 解答此题的关键． 18．（4 分）（2013•株洲）先化简，再求值：（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣3），其中 x=3． 考点：整式的混合运算—化简求值．3718684 专题：计算题． 分析：原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并 得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值． 解答：解：原式=x2﹣1﹣x2+3x=3x﹣1， 当 x=3 时，原式=9﹣1=8． 点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：平方差公式，去括号法则， 以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 19．（6 分）（2013•株洲）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度 y（单位：厘米）与观 察时间 x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC 是线段，直线 CD 平行 x 轴）． （1）该植物从观察时起，多少天以后停止长高？ （2）求直线 AC 的解析式，并求该植物最高长多少厘米？ 考点：一次函数的应用． 3718684 分析：（1）根据平行线间的距离相等可知 50 天后植物的高度不变，也就是停止长高； （2）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线 AC 的解 析式，再把 x=50 代入进行计算即可得解． 解答：解：（1）∵CD∥x 轴， ∴从第 50 天开始植物的高度不变， 答：该植物从观察时起，50 天以后停止长高； （2）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b（k≠0）， ∵经过点 A（0，6），B（30，12）， ∴ ， 解得 ． 所以，直线 AC 的解析式为 y= x+6（0≤x≤50）， 当 x=50 时，y= ×50+6=16cm． 答：直线 AC 的解析式为 y= x+6（0≤x≤50），该植物最高长 16cm． 点评：本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量 求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键． 20．（6 分）（2013•株洲）已知 AB 是⊙O 的直径，直线 BC 与⊙O 相切于点 B，∠ABC 的 平分线 BD 交⊙O 于点 D，AD 的延长线交 BC 于点 C． （1）求∠BAC 的度数； （2）求证：AD=CD． 考点：切线的性质；等腰直角三角形；圆周角定理． 3718684 分析：（1）由 AB 是⊙O 的直径，易证得∠ADB=90°，又由∠ABC 的平分线 BD 交⊙O 于 点 D，易证得△ABD≌△CBD，即可得△ABC 是等腰直角三角形，即可求得∠BAC 的度数； （2）由 AB=CB，BD⊥AC，利用三线合一的知识，即可证得 AD=CD． 解答：解：（1）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠CDB=90°，BD⊥AC， ∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD 和△CBD 中， ， ∴△ABD≌△CBD（ASA）， ∴AB=CB， ∵直线 BC 与⊙O 相切于点 B， ∴∠ABC=90°， ∴∠BAC=∠C=45°； （2）证明：∵AB=CB，BD⊥AC， ∴AD=CD． 点评：此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此 题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 21．（6 分）（2013•株洲）某学校开展课外体育活动，决定开设 A：篮球、B：乒乓球、C： 踢毽子、D：跑步四种活动项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种）， 随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信 息解答下列问题． （1）样本中最喜欢 A 项目的人数所占的百分比为 40% ，其所在扇形统计图中对应的圆 心角度数是 144 度； （2）请把条形统计图补充完整； （3）若该校有学生 1000 人，请根据样本估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约是多少？ w w w . 考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 3718684 分析：（1）利用 100%减去 D、C、B 三部分所占百分比即可得到最喜欢 A 项目的人数所占 的百分比；所在扇形统计图中对应的圆心角度数用 360°×40%即可； （2）根据频数=总数×百分比可算出总人数，再利用总人数减去 D、C、B 三部分的人 数即可得到 A 部分的人数，再补全图形即可； （3）利用样本估计总每个体的方法用 1000×样本中喜欢踢毽子的人数所占百分比即 可． 解答：解：（1）100%﹣20%﹣10%﹣30%=40%， 360°×40%=144°； （2）抽查的学生总人数：15÷30%=50， 50﹣15﹣5﹣10=20（人）．如图所示： （3）1000×10%=100（人）． 答：全校最喜欢踢毽子的学生人数约是 100 人． 点评：此题主要考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统 计图中得到必要 的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图 直接反映部分占总体的百分比大小．] 22．（8 分）（2013•株洲）已知四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠BAD=60°，对角线 AC 与 BD 交于点 O，过点 O 的直线 EF 交 AD 于点 E，交 BC 于点 F． （1）求证：△AOE≌△COF； （2）若∠EOD=30°，求 CE 的长． 考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直 角三角形；勾股定理． 3718684 分析：（1）根据菱形的对角线互相平分可得 AO=CO，对边平行可得 AD∥BC，再利用两直 线平行，内错角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角边角”证明△AOE 和△COF 全 等； （2）根据菱形的对角线平分一组对角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后 求出 AO 的长，再求出 EF 的长，然后在 Rt△CEF 中，利用勾股定理列式计算即可得 解． 解答：（1）证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AO=CO，AD∥BC， ∴∠OAE=∠OCF， 在△AOE 和△COF 中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）； （2）解：∵∠BAD=60°， ∴∠DAO= ∠BAD= ×60°=30°， ∵∠EOD=30°， ∴∠AOE=90°﹣30°=60°， ∴∠AEF=180°﹣∠BOD﹣∠AOE=180°﹣30°﹣60°=90°， ∵菱形的边长为 2，∠DAO=30°， ∴OD= AD= ×2=1， ∴AO= = = ， ∴AE=CF= × = ， ∵菱形的边长为 2，∠BAD=60°， ∴高 EF=2× = ， 在 Rt△CEF 中，CE= = = ． 点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形 30°角所对的直角边 等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，（2）求出△CEF 是直角三角形是解题的关 键，也是难点． 23．（8 分）（2013•株洲）已知在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点 Q 是线段 AC 上的一个动点，过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB（如图 1）或线段 AB 的延长线（如图 2） 于点 P． （1）当点 P 在线段 AB 上时，求证：△APQ∽△ABC； （2）当△PQB为等腰三角形时，求 AP 的长． 考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．3718684 分析：（1）由两对角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），证明△APQ∽△ABC； （2）当△PQB 为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论． （I）当点 P 在线段 AB 上时，如题图 1 所示．由三角形相似（△APQ∽△ABC）关 系计算 AP 的长； （II）当点 P 在线段 AB 的延长线上时，如题图 2 所示．利用角之间的关系，证明点 B 为线段 AP 的中点，从而可以求出 AP． 解答：（1）证明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°， ∴∠APQ=∠C． 在△APQ 与△ABC 中， ∵∠APQ=∠C，∠A=∠A， ∴△APQ∽△ABC． （2）解：在 Rt△ABC 中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5． ∵∠BPQ 为钝角， ∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是 PB=PQ． （I）当点 P 在线段 AB 上时，如题图 1 所示． 由（1）可知，△APQ∽△ABC， ∴ ，即 ，解得：PB= ， ∴AP=AB﹣PB=3﹣ = ； （II）当点 P 在线段 AB 的延长线上时，如题图 2 所示． ∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P， ∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°， ∴∠AQB=∠A， ∴BQ=AB， ∴AB=BP，点 B 为线段 AB 中点， ∴AP=2AB=2×3=6． 综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为 或 6． 点评：本题考查相似三角形及分类讨论的数学思想，难度不大．第（2）问中，当△PQB 为 等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论，避免漏解． 24．（10 分）（2013•株洲）已知抛物线 C1 的顶点为 P（1，0），且过点（0， ）．将抛物线 C1 向下平移 h 个单位（h＞0）得到抛物线 C2．一条平行于 x 轴的直线与两条抛物线交于 A、 B、C、D 四点（如图），且点 A、C 关于 y 轴对称，直线 AB 与 x 轴的距离是 m2（m＞0）． （1）求抛物线 C1 的解析式的一般形式； （2）当 m=2 时，求 h 的值； （3）若抛物线 C1 的对称轴与直线 AB 交于点 E，与抛物线 C2 交于点 F．求证：tan∠EDF ﹣tan∠ECP= ． 考点：二次函数综合题． 专题：代数几何综合题． 分析：（1）设抛物线 C1 的顶点式形式 y=a（x﹣1）2，（a≠0），然后把点（0， ）代入求出 a 的值，再化为一般形式即可； （2）先根据 m 的值求出直线 AB 与 x 轴的距离，从而得到点 B、C 的纵坐标，然后 利用抛物线解析式求出点 C 的横坐标，再根据关于 y 轴对称的点的横坐标互为相反 数，纵坐标相同求出点 A 的坐标，然后根据平移的性质设出抛物线 C2 的解析式，再 把点 A 的坐标代入求出 h 的值即可； （3）先把直线 AB 与 x 轴的距离是 m2 代入抛物线 C1 的解析式求出 C 的坐标，从而 求出 CE，再表示出点 A 的坐标，根据抛物线的对称性表示出 ED，根据平移的性质 设出抛物线 C2 的解析式，把点 A 的坐标代入求出 h 的值，然后表示出 EF，最后根据 锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证． 解答：（1）解：设抛物线 C1 的顶点式形式 y=a（x﹣1）2，（a≠0）， ∵抛物线过点（0， ）， ∴a（0﹣1）2= ， 解得 a= ， ∴抛物线 C1 的解析式为 y= （x﹣1）2， 一般形式为 y= x2﹣ x+ ； （2）解：当 m=2 时，m2=4， ∵BC∥x 轴， ∴点 B、C 的纵坐标为 4， ∴ （x﹣1）2=4， 解得 x1=5，x2=﹣3， ∴点 B（﹣3，4），C（5，4）， ∵点 A、C 关于 y 轴对称， ∴点 A 的坐标为（﹣5，4）， 设抛物线 C2 的解析式为 y= （x﹣1）2﹣h， 则 （﹣5﹣1）2﹣h=4， 解得 h=5； （3）证明：∵直线 AB 与 x 轴的距离是 m2， ∴点 B、C 的纵坐标为 m2， ∴ （x﹣1）2=m2， 解得 x1=1+2m，x2=1﹣2m， ∴点 C 的坐标为（1+2m，m2）， 又∵抛物线 C1 的对称轴为直线 x=1， ∴CE=1+2m﹣1=2m， ∵点 A、C 关于 y 轴对称， ∴点 A 的坐标为（﹣1﹣2m，m2）， ∴AE =ED=1﹣（﹣1﹣2m）=2+2m， 设抛物线 C2 的解析式为 y= （x﹣1）2﹣h， 则 （﹣1﹣2m﹣1）2﹣h=m2， 解得 h=2m+1， ∴EF=h+m2=m2+2m+1， ∴tan∠EDF﹣tan∠ECP= ﹣ = ﹣ = ﹣ = ， ∴tan∠EDF﹣tan∠ECP= ． 点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象 与结合变换，关于 y 轴对称的点的坐标特征，抛物线上点的坐标特征，锐角的正切的 定义，（3）用 m 表示出相应的线段是解题的关键，也是本题的难点．