2013年湛江市中考数学试题及答案

湛江市 2013 年初中毕业生学业考试 数学试卷 说明：1．本试卷满分 150分，考试时间 90分钟． 2．本试卷共 4页，共 3大题． 3．答题前，请认真阅读答题卡上的“注意事项”，然后按要求写在答题卡相应的位置 上． 4．请考生保持答题卡的整洁，考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 注意：在答题卡上作图必须用黑色字迹的钢笔或签字笔. 一、选择题：本大题 12小题，每小题 4分，共 48分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） .A 1 .B 1 2 .C 0 .D 1 2. 国家提倡“低碳减排”，湛江某公司计划在海边建风能发电站，电站年均发电量约为 213000000度，若将数据 213000000用科学记数法表示为（ ） .A 6213 10 .B 721.3 10 .C 82.13 10 .D 92.13 10 3. 气候宜人的省级度假旅游胜地吴川吉兆，测得一至五月份的平均气温分别为 17、17、20、 22、24（单位： C ），这组数据的中位数是（ ） .A 24 .B 22 .C 20 .D 17 4、如下左图是由 6个大小相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（ ） 5、已知一个多边形的内角和是540 ，则这个多边形是（ ） .A 四边形 .B 五边形 .C 六边形 .D 七边形 6、在平面直角坐标系中，点 A  2, 3 在第（ ）象限. .A 一 .B 二 .C 三 .D 四 7、下列运算正确的是（ ） .A 2 3 6a a a  .B  42 6a a .C 4 3a a a  .D  2 2 2x y x y   8、函数 3y x  中，自变量 x的取值范围是（ ） .A 3x   .B 3x   .C 3x   .D 3x   9、计算 2 2 2 x x x    的结果是（ ） .A 0 .B 1 .C 1 .D x 10、由于受 H7N9禽流感的影响，今年 4月份鸡的价格两次大幅下降，由原来每斤 12元， 连续两次下降 %a 售价下调到每斤是 5元，下列所列方程中正确的是（ ） .A  212 1 % 5a  .B  212 1 % 5a  .C  12 1 2 % 5a  .D  212 1 % 5a  11、如图， AB是O的直径， 110AOC   ， 则 D （ ） .A 24 .B 22 .C 20 .D 17 12、四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如下图所示的四个图形，在看不到图形的情况 下从中任意抽出一张，则抽出的卡片是轴对称图形的概率为（ ） .A 1 2 .B 1 4 .C 3 4 .D 1 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分． 13、分解因式： 2 4x   ． 14、抛物线 2 1y x  的最小值是 ． 15、若反比例函数 ky x  的图象经过点  1,2A ，则 k  ． 16、如图，所有正三角形的一边平行于 x轴，一顶点在 y轴 上．从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8, , ，顶点依次用 1 2 3 4A A A A 、 、 、 、 表示，其中 1 2A A 与 x轴、底边 1 2A A 与 4 5A A 、 4 5A A 与 7 8A A 、均相距一个单位，则顶点 3A 的坐标是 ， 92A 的坐标是 ． 三、解答题：本大题共 10 小题，其中 17~18 每小题 6 分，19~22 每小题 8 分，23~25每小 题 10分，26题 12分，共 86分． 17、计算：  2-6 + 9 1  ．. 18、解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来． w w w . 19、如图，点 B F C E、 、 、 在一条直线上， FB CE ， / / , / / ,AB ED AC FD 求证： AC DF ． 2 1 1 0 x x x      ① ② 20、把大小和形状完全相同的 6张卡片分成两组，每组 3张，分别标上数字 1、2、3，将这 两组卡片分别放入两个盒子中搅均，再从中各随机抽取一张． （１）试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率． （２）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙 胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 21、如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛 在渔政船的北 偏西30 的方向上，随后渔政船以 80海里 /小时的速度向北偏东30 的方向航行，半小时后到达 B处，此时又测得钓鱼岛 A在渔政船 的北偏西60 的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛 A的距离 AB． （结果保留小数点后一位， 3 1.732 ） w w w . 22、2013年 3月 28日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了 全校 1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为 100 分）进行统计，请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：w w w . （１）这次抽取了 名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m  ， n  ； （２）补全频数分布直方图； （３）若成绩在 70分以下（含 70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育， 则该校安全意识不强的学生约有多少人？ 23、如图，已知 AB是⊙O的直径， P为⊙O外一点，且 / /OP BC， . P BAC  ． （１）求证： PA为⊙O 的切线； （２）若 255, 3 OB OP  ，求 AC的长． 24、阅读下面的材料，先完成阅读填空，再将要求答题： 1 3sin 30 ,cos30 2 2    ，则 2 2sin 30 cos 30   ； ① 2 2sin 45 ,cos 45 2 2    ，则 2 2sin 45 cos 45   ； ② 2 2sin 60 ,cos60 2 2    ，则 2 2sin 60 cos 60   ． ③ …… 观察上述等式，猜想：对任意锐角 A，都有 2 2sin cosA A  ．④ （１）如图，在锐角三角形 ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理 对 A 证明你的猜想； （２）已知： A 为锐角  cos 0A  且 3sin 5 A  ，求 cos A． 25、周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发 1小时后到达南亚所（景点），游玩一段时间后按原速前 往湖光岩．小明离家１小时 50分钟，妈妈驾车沿相同 路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程  y km 与小明离 家时间  x h 的函数图象． （１）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间； （２）若妈妈在出发后 25分钟时，刚好在湖光岩门口追上 小明，求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函数解析式． 26、如图，在平面直角坐标系中，顶点为  3,4 的抛物线交 y轴与 A点，交 x轴与 B C、 两点（点 B在点C的左侧）， 已知 A点坐标为  0, 5 ． （１）求此抛物线的解析式； （２）过点 B作线段 AB的垂线交抛物线与点D，如果以 点C为圆心的圆与直线 BD相切，请判断抛物线的 对称轴 l与⊙C的位置关系，并给出证明． （３）在抛物线上是否存在一点 P，使 ACP 是以 AC为 直角边的直角三角形．若存在，求点 P的坐标； 若不存在，请说明理由． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C C A B D C B C B B C 13、 ， 14、1 15、2 16、 17、 解：原式 18、 解：由①，得 由②，得 不等式①、②的解集在数轴上表示为： 不等式组的解集为： 19、 证明： , △ ≌△ 20、 解：（１）从 6张卡片分两组，从中各随机抽取一张，各种情况画树状图如下： 从树状图可见，取出的两张卡片数字之和共 9种情况，其中数字之和为奇数只有 4种，所以 取出的两张卡片数字之和为奇数的概率为： （２）由（１）的树状图可知，取出的两张卡片数字之和为偶数有 5 种情况，从而乙胜的 概率为： ，而甲胜的概率是 ，所以两者概率不相等，故这个游戏不公平。 21、 解：延长 至 ，则 ， 两张卡片的数字之和： ， 在 △ 中， ， ， 答：此时渔政船距钓鱼岛 的距离 约为： 海里 22、 解：（１） ， ， （２）由（１）知， 70，图略. （３） 答：该校安全意识不强的学生约有 420人 23、 解：（１） 是⊙O的直径， ，又 △ ∽△ ， ， 为⊙O 的切线。 （２） ，由（１）知，△ ∽△ ， ，在 △ 中， ， 的长为 8。 24、 （１）证明：过点 作 于 ，在 △ 中， ， 由勾股定理得， ， （２）解： 为锐角 ， ， 25、 解：（１）由图象知，小明 1小时骑车 20 ，所以小明骑车的速度为： 图象中线段 表明小明游玩的时间段，所以小明在南亚所游玩的时 间为： （２）由题意和图象得，小明从南亚所出发到湖光岩门口所用的时间为： ，所以从南亚所出发到湖光岩门口的路程为： 于是从家到湖光岩门口的路程为： ，故妈妈驾车的速度为： 设 所在直线的函数解析式为： 由题意知，点 解得， 所在直线的函数解析式为： 26、 解：（１）由题意可设此抛物线的解析式为： 此抛物线过点 ， 此抛物线的解析式为： ，即 （２）此时抛物线的对称轴与⊙ 相离。证明： 令 ，即 ，得 或 ， 设直线 的解析式为： ，则 ， 直线 与直线 垂直， 直线 可表示为： ， ， ， 直线 为： 点 到直线 的距离为： 点 为圆心的圆与直线 相切， ⊙ 的半径为： 又点 到抛物线对称轴的距离为： 而 ，。所以此时抛物线的对称轴 与⊙ 相离。 （３）假设存在满足条件的点 ，， ， 1 当 时，在 中，由勾股定理，得 ，整理，得 点 在抛物线 上， ， ，解得 或 ， 或 点 为 或 （舍去） 2 当 时，在 中，由勾股定理，得 ，整理，得 点 在抛物线 上， ， ，解得 或 ， 或 点 为 或 （舍去） 综上，满足条件的点 的坐标为 或 以上的答案供大家参考，各题可能有不同的解法，希望大家再探究。