2013年玉林市、防城港中考数学试卷解析

广西玉林市防城港市 2013 年中考数学试卷 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分）在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求。 1．（3 分）（2013•玉林）2 的相反数是（ ） A．2 B．﹣2 C． D． 考点：相反数． 分析：根据相反数的定义求解即可． 解答：解：2 的相反数为：﹣2． 故选 B． 点评：本题考查了相反数的知识，属于基础题，掌握相反数的定义是解题的关键． 2．（3 分）（2013•玉林）若∠α=30°，则∠α的补角是（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 考点：余角和补角． 专题：计算题． 分析：相加等于 180°的两角称作互为补角，也作两角互补，即一个角是另一个角的补角．因 而，求这个角的补角，就可以用 180°减去这个角的度数． 解答：解：180°﹣30°=150°． 故选 D． 点评：本题主要是对补角概念的考查，是需要在学习中识记的内容． 3．（3 分）（2013•玉林）我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为 67500 吨，用科学记数法表 示这个数字是（ ） A．6.75×103 吨 B．67.5×103 吨 C．6.75×104 吨 D．6.75×105 吨 考点：科学记数法—表示较大的数． 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值是易 错点，由于 67500 有 5 位，所以可以确定 n=5﹣1=4． 解答：解：67 500=6.75×104． 故选 C． 点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键． 4．（3 分）（2013•玉林）直线 c 与 a，b 均相交，当 a∥b 时（如图），则（ ） A．∠1＞∠2 B．∠1＜∠2 C．∠1=∠2 D．∠1+∠2=90° 考点：平行线的性质 分析：根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得答案． 解答：解：∵a∥b， ∴∠1=∠2， 故选：C． 点评：此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等． 5．（3 分）（2013•玉林）在数轴上表示不等式 x+5≥1 的解集，正确的是（ ） A． B． C． D． 考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式． 3718684 专题：计算题 分析：求出不等式的解集，表示在数轴上即可． 解答：解：不等式 x+5≥1， 解得：x≥﹣4， 表示在数轴上，如图所示： 故选 B 点评：此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞， ≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表 示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要 几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 6．（3 分）（2013•玉林）已知一组从小到大的数据：0，4，x，10 的中位数是 5，则 x=（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 考点：中位数 分析：根据中位数是 5，得出（4+x）÷2=5，求出 x 的值即可． 解答：解：一组从小到大的数据：0，4，x，10 的中位数是 5， 则（4+x）÷2=5， x=6； 故选 B． 点评：此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中 间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，是一道基础题． 7．（3 分）（2013•玉林）某几何体的三视图如图所示，则组成该几何体共用了（ ）小方 块． A．12 块 B．9 块 C．7 块 D．6 块 考点：由三视图判断几何体． 3718684 分析：观察该几何体的三视图发现该几何体共有三层，第一层有三个，第二层有两个，第三 层也有两个，由此可以得到答案． 解答：解：∵观察该几何体的三视图发现该几何体共有三层，第一层有三个，第二层有两个， 第三层也有两个， ∴该几何体共有 3+2+2=7 个， 故选 C． 点评：本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是会利用物体的三视图判断出该 几何体的形状． 8．（3 分）（2013•玉林）如图是某手机店今年 1﹣5 月份音乐手机销售额统计图．根据图中 信息，可以判断相邻两个月音乐手机销售额变化最大的是（ ） A．1 月至 2 月 B．2 月至 3 月 w w w . C．3 月至 4 月 D．4 月至 5 月 考点：折线统计图． 分析：根据折线图的数据，分别求出相邻两个月的音乐手机销售额的变化值，比较即可得解． 解答：解：1 月至 2 月，30﹣23=7 万元， 2 月至 3 月，30﹣25=5 万元， 3 月至 4 月，25﹣15=10 万元， 4 月至 5 月，19﹣14=5 万元， 所以，相邻两个月中，用电量变化最大的是 3 月至 4 月． 故选 C． 点评：本题考查折线统计图的运用，折线统计图表示的是事物的变化情况，根据图中信息求 出相邻两个月的音乐手机销售额变化量是解题的关键． 9．（3 分）（2013•玉林）方程 的解是（ ） A．x=2 B．x=1 C．x= D．x=﹣2 考点：解分式方程． 专题：计算题． 分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分 式方程的解． 解答：解：去分母得：x+1﹣3（x﹣1）=0， 去括号得：x+1﹣3x+3=0， 解得：x=2， 经检验 x=2 是分式方程的解． 故选 A． 点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整 式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 10．（3 分）（2013•玉林）如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人 的作法如下： 甲：连接 AC，作 AC 的垂直平分线 MN 分别交 AD，AC，BC 于 M，O，N，连接 AN，CM， 则四边形 ANCM 是菱形． 乙：分别作∠A，∠B 的平分线 AE，BF，分别交 BC，AD 于 E，F，连接 EF，则四边形 ABEF 是菱形． 根据两人的作法可判断（ ） A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 考点：菱形的判定． 3718684 分析：首先证明△AOM≌△CON（ASA），可得 MO=NO，再根据对角线互相平分的四边形 是平行四边形可判定判定四边形 ANCM 是平行四边形，再由 AC⊥MN，可根据对角 线互相垂直的四边形是菱形判定出 ANCM 是菱形；四边形 ABCD 是平行四边形，可 根据角平分线的定义和平行线的定义，求得 AB=AF，所以四边形 ABEF 是菱形． 解答：解：甲的作法正确； ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACN， ∵MN 是 AC 的垂直平分线， ∴AO=CO， 在△AOM 和△CON 中 ， ∴△AOM≌△CON（ASA）， ∴MO=NO， ∴四边形 ANCM 是平行四边形， ∵AC⊥MN， ∴四边形 ANCM 是菱形； 乙的作法正确； ∵AD∥BC， ∴∠1=∠2，∠6=∠7， ∵BF 平分∠ABC，AE 平分∠BAD， ∴∠2=∠3，∠5=∠6， ∴∠1=∠3，∠5=∠7， ∴AB=AF，AB=BE， ∴AF=BE ∵AF∥BE，且 AF=BE， ∴四边形 ABEF 是平行四边形， ∵AB=AF， ∴平行四边形 ABEF 是菱形； 故选：C． 点评：此题主要考查了菱形形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻 边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 11．（3 分）（2013•玉林）一列数 a1，a2，a3，…，其中 a1= ，an= （n 为不小于 2 的整数），则 a100=（ ） A． B．2 C．﹣1 D．﹣2 考点：规律型：数字的变化类． 专题：规律型． 分析：根据表达式求出前几个数不难发现，每三个数为一个循环组依次循环，用 100 除以 3， 根据商和余数的情况确定 a100 的值即可． 解答： 解：根据题意得，a2= =2， a3= =﹣1， a4= = ， a5= =2， …， 依此类推，每三个数为一个循环组依次循环， ∵100÷3=33…1， ∴a100 是第 34 个循环组的第一个数，与 a1 相同， 即 a100= ． 故选 A． 点评：本题是对数字变化规律的考查，计算并观察出每三个数为一个循环组依次循环是解题 的关键． 12．（3 分）（2013•玉林）均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满．在注水过程 中，水面 高度 h 随时间 t 的变化规律如图所示，则这个瓶子的形状是下列的（ ） A． B． C． D． 考点：函数的图象． 3718684 分析：根据图象可得水面高度开始增加的快，后来增加的慢，从而可判断容器下面粗，上面 细，结合选项即可得出答案． 解答：解：因为水面高度开始增加的快，后来增加的慢， 所以容器下面粗，上面细． 故选 B． 点评：本题考查了函数的图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类 型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 13．（3 分）（2013•玉林）|﹣1|= 1 ． 考点：绝对值． 3718684 分析：计算绝对值要根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号． 解答：解：|﹣1|=1． 故答案为：1． 点评：此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运 算当中． 绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0． 14．（3 分）（2013•玉林）化简： = ． 考点：分母有理化． 3718684 分析：根据 的有理化因式是 ，进而求出即可． 解答：解： = = ． 故答案为： ． 点评：此题主要考查了分母有理化，正确根据定理得出有理化因式是解题关键． 15．（3 分）（2013•平凉）分解因式：x2﹣9= （x+3）（x﹣3） ． 考点：因式分解-运用公式法． 3718684 分析：本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式． 解答：解：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）． 点评：主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两 项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法． 16．（3 分）（2013•玉林）如图，实线部分是半径为 15m 的两条等弧组成的游泳池，若每条 弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长是 40π m． 考点：弧长的计算． 分析：如图，连接 O1O2，CD，可求得∠C02O1=60°，∠C02D=120°，再由弧长公式 l= 求 得答案． 解答：解：：如图，连接 O1O2，CD，CO2， ∵O1O2=C02=CO1=15cm， ∴∠C02O1=60°， ∴∠C02D=120°， 则圆 O1，O2 的圆心角为 360°﹣120°=240°， 则游泳池的周长为=2× =2× =40π（m）． 故答案为：40π． 点评：本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是根据弧长公式计算，在计算的过程中首先 要利用圆的半径的关系求出圆心角． 17．（3 分）（2013•玉林）如图，在直角坐标系中，O 是原点，已知 A（4，3），P 是坐标轴 上的一点，若以 O，A，P 三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点 P 共有 6 个， 写出其中一个点 P 的坐标是 （5，0） ． 考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质． 3718684 专题：数形结合． 分析：作出图形，然后利用数形结合的思想求解，再根据平面直角坐标系写出点 P 的坐标即 可． 解答：解：如图所示，满足条件的点 P 有 6 个， 分别为（5，0）（8，0）（0，5）（0，6）（﹣5，0）（0，﹣5）． 故答案为：6；（5，0）（答案不唯一，写出 6 个中的一个即可）． 点评：本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，利用数形结合的思想求解更简便． 18．（3 分）（2013•玉林）如图，△ABC 是⊙O 内接正三角形，将△ABC 绕点 O 顺时针旋转 30°得到△DEF，DE 分别交 AB，AC 于点 M，N，DF 交 AC 于点 Q，则有以下结论： ①∠DQN=30°；②△DNQ≌△ANM；③△DNQ 的周长等于 AC 的长；④NQ=QC．其中 正确的结论是 ①②③ ．（把所有正确的结论的序号都填上） 考点：圆的综合题． 3718684 分析：连结 OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF，根据旋转的性质得∠AOD=∠COF=30°， 再根据圆周角定理得∠ACD=∠FDC=15°，然后根据三角形外角性质得 ∠DQN=∠QCD+∠QDC=30°； 同理可得∠AMN=30°，由△DEF 为等边三角形得 DE=DF，则弧 DE=弧 DF，得到弧 AE=弧 DC，所以∠ADE=∠DAC，根据等腰三角形的性质有 ND=NA，于是可根据 “AAS”判断△DNQ≌△ANM；利用 QD=QC，ND=NA 可判断△DNQ 的周长等于 AC 的长；由于∠NDQ=60°，∠DQN=30°，则∠DNQ=90°，所以 QD＞NQ，而 QD=QC， 所以 QC＞NQ． 解答：解：连结 OA、OD、OF、OC、DC、AD、CF，如图， ∵△ABC 绕点 O 顺时针旋转 30°得到△DEF， ∴∠AOD=∠COF=30°， ∴∠ACD= ∠AOD=15°，∠FDC= ∠COF=15°， ∴∠DQN=∠QCD+∠QDC=15°+15°=30°，所以①正确； 同理可得∠AMN=30°， ∵△DEF 为等边三角形， ∴DE=DF， ∴弧 DE=弧 DF， ∴弧 AE+弧 AD=弧 DC+弧 CF， 而弧 AD=弧 CF， ∴弧 AE=弧 DC， ∴∠ADE=∠DAC， ∴ND=NA， 在△DNQ 和△ANM 中 ， ∴△DNQ≌△ANM（AAS），所以②正确； ∵∠ACD=15°，∠FDC=15°， ∴QD=QC， 而 ND=NA， ∴ND+QD+NQ=NA+QC+NQ=AC， 即△DNQ 的周长等于 AC 的长，所以③正确； ∵△DEF 为等边三角形， ∴∠NDQ=60°， 而∠DQN=30°， ∴∠DNQ=90°， ∴QD＞NQ， ∵QD=QC， ∴QC＞NQ，所以④错误． 故答案为①②③． 点评：本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何 证明中经常用到，同时熟练掌握三角形全等的判定、等边三角形的性质以及旋转的性 质． 三、解答题（共 8 小题，满分 66 分） 19．（6 分）（2013•玉林）计算： +2cos60°﹣（π﹣2﹣1）0． 考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 3718684 分析：分别进行三次根式的化简、零指数幂的运算，然后特殊角的三角函数值后合并即可得 出答案． 解答：解：原式=2+2× ﹣1=2． 点评：本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂及特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数 值是需要我们熟练记忆的内容． 20．（6 分）（2013•玉林）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D． 求证：△ABC≌△AED． 考点：全等三角形的判定． 专题：证明题． 分析：首先根据∠1=∠2 可得∠BAC=∠EAD，再加上条件 AB=AE，∠C=∠D 可证明 △ABC≌△AED． 解答：证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC， 即∠BAC=∠EAD， ∵在△ABC 和△AED 中， ， ∴△ABC≌△AED（AAS）． 点评：此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、 SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参 与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 21．（6 分）（2013•玉林）已知关于 x 的方程 x2+x+n=0 有两个实数根﹣2，m．求 m，n 的值． 考点：根与系数的关系． 3718684 分析：利用根与系数的关系知﹣2+m=﹣1，﹣2m=n，据此易求 m、n 的值． 解答：解：∵关于 x 的方程 x2+x+n=0 有两个实数根﹣2，m， ∴ ， 解得， ，即 m，n 的值分别是 1、﹣2． 点评：本题考查了根与系数的关系，属于基础题．解题过程中，需要熟记公式 x1+x2=﹣ ， x1•x2= ． 22．（8 分）（2013•玉林）某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为：可回垃 圾、厨余垃圾、其他垃圾三类，分别记为 A，B，C：并且设置了相应的垃圾箱，依次记为 a，b，c． （1）若将三类垃圾随机投入三个垃圾箱，请你用树形图的方法求垃圾投放正确的概率： （2）为了调查小区垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总重 500kg 生活 垃圾，数据如下（单位：） a b c A 40 15 10 B 60 250 40 C 15 15 55 试估计“厨余垃圾”投放正确的概率． 考点：列表法与树状图法；利用频率估计概率． 3718684 分析：（1）根据题意画出树状图，由树状图可知总数为 9，投放正确有 3 种，进而求出垃圾 投放正确的概率； （2）由题意和概率的定义易得所求概率． 解答：解：（1）如图所示：共有 9 种情况，其中投放正确的有 3 种情况，故垃圾投放正确的 概率： = ； （2）“厨余垃圾”投放正确的概率为： = ． 点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏 的列出所有可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数：总情况数． 23．（9 分）（2013•玉林）如图，以△ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆，经过 A，B 两点， 且与 BC 边交于点 E，D 为 BE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交 BC 于 F，若 AC=FC． （1）求证：AC 是⊙O 的切线： （2）若 BF=8，DF= ，求⊙O 的半径 r． 考点：切线的判定． 分析：（1）连接 OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求 出∠OAD+∠CAF=90°，根据切线的判定推出即可； （2）OD=r，OF=8﹣r，在 Rt△DOF 中根据勾股定理得出方程 r2+（8﹣r）2=（ ） 2，求出即可． 解答： （1）证明： 连接 OA、OD， ∵D 为弧 BE 的中点， ∴OD⊥BC， ∠DOF=90°， ∴∠D+∠OFD=90°， ∵AC=AF，OA=OD， ∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D， ∵∠CFA=∠OFD， ∴∠OAD+∠CAF=90°， ∴OA⊥AC， ∵OA 为半径， ∴AC 是⊙O 切线； （2）解：∵⊙O 半径是 r， 当 F 在半径 OE 上时， ∴OD=r，OF=8﹣r， 在 Rt△DOF 中，r2+（8﹣r）2=（ ）2， r= ，r= （舍去）； 当 F 在半径 OB 上时， ∴OD=r，OF=r﹣8， 在 Rt△DOF 中，r2+（r﹣8）2=（ ）2， r= ，r= （舍去）； 即⊙O 的半径 r 为 ． 点评：本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，主要 考查学生的推理和计算的能力． 24．（9 分）（2013•玉林）工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要 将材料烧到 800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过 8min 时，材料温度降为 600℃．煅 烧时温度 y（℃）与时间 x（min）成一次函数关系；锻造时，温度 y（℃）与时间 x（min） 成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是 32℃． （1）分别求出材料煅烧和锻造时 y 与 x 的函数关系式，并且写出自变量 x 的取值范围； （2）根据工艺要求，当材料温度低于 480℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？ 考点：反比例函数的应用；一次函数的应用． 分析：（1）首先根据题意，材料加热时，温度 y 与时间 x 成一次函数关系；停止加热进行 操作时，温度 y 与时间 x 成反比例关系； 将题中数据代入用待定系数法可得两个函数的关系式； （2）把 y=480 代入 y= 中，进一步求解可得答案． 解答：解：（1）停止加热时，设 y= （k≠0）， 由题意得 600= ， 解得 k=4800， 当 y=800 时， 解得 x=6， ∴点 B 的坐标为（6，800） 材料加热时，设 y=ax+32（a≠0）， 由题意得 800=6a+32， 解得 a=128， ∴材料加热时，y 与 x 的函数关系式为 y=128x+32（0≤x≤5）． ∴停止加热进行操作时 y 与 x 的函数关系式为 y= （5＜x≤20）； （2）把 y=480 代入 y= ，得 x=10， 故从开始加热到停止操作，共经历了 10 分钟． 答：从开始加热到停止操作，共经历了 10 分钟． 点评：考查了反比例函数和一次函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变 量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出 它们的关系式． 25．（10 分）（2013•玉林）如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD⊥DC，点 A 关于对 角线 BD 的对称点 F 刚好落在腰 DC 上，连接 AF 交 BD 于点 E，AF 的延长线与 BC 的延长 线交于点 G，M，N 分别是 BG，DF 的中点． （1）求证：四边形 EMCN 是矩形； （2）若 AD=2，S 梯形 ABCD= ，求矩形 EMCN 的长和宽． 考点：直角梯形；矩形的判定与性质 专题：几何综合题． 分析：（1）根据轴对称的性质可得 AD=DF，DE⊥AF，然后判断出△ADF、△DEF 是等腰 直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出∠DAF=∠EDF=45°，根据两直线平 行，内错角相等求出∠BCE=45°，然后判断出△BGE 是等腰直角三角形，根据等腰直 角三角形的性质可得 EM⊥BC，EN⊥CD，再根据矩形的判定证明即可； （2）判断出△BCD 是等腰直角三角形，然后根据梯形的面积求出 CD 的长，再根据 等腰直角三角形的性质求出 DN，即可得解． 解答：（1）证明：∵点 A、F 关于 BD 对称， ∴AD=DF，DE⊥AF， 又∵AD⊥DC， ∴△ADF、△DEF 是等腰直角三角形， ∴∠DAF=∠EDF=45°， ∵AD∥BC， ∴∠G=∠GAF=45°， ∴△BGE 是等腰直角三角形， ∵M，N 分别是 BG，DF 的中点， ∴EM⊥BC，EN⊥CD， 又∵AD∥BC，AD⊥DC， ∴BC⊥CD， ∴四边形 EMCN 是矩形； （2）解：由（1）可知，∠EDF=45°，BC⊥CD， ∴△BCD 是等腰直角三角形， ∴BC=CD， ∴S 梯形 ABCD= （AD+BC）•CD= （2+CD）•CD= ， 即 CD2+2CD﹣15=0， 解得 CD=3，CD=﹣5（舍去）， ∵△ADF、△DEF 是等腰直角三角形， ∴DF=AD=2， ∵N 是 DF 的中点， ∴EN=DN= DF= ×2=1， ∴CN=CD﹣DN=3﹣1=2， ∴矩形 EMCN 的长和宽分别为 2，1． 点评：本题考查了直角梯形的性质，轴对称的性质，矩形的判定，等腰直角三角形的判定与 性质，熟练掌握轴对称的性质判断出相关的等腰直角三角形是解题的关键，也是本题 的难点． 26．（12 分）（2013•玉林）如图，抛物线 y=﹣（x﹣1）2+c 与 x 轴交于 A，B（A，B 分别在 y 轴的左右两侧）两点，与 y 轴的正半轴交于点 C，顶点为 D，已知 A（﹣1，0）． （1）求点 B，C 的坐标； （2）判断△CDB 的形状并说明理由； （3）将△COB 沿 x 轴向右平移 t 个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE 与△CDB 重 叠部分（如图中阴影部分）面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点 B，C 的坐标； （2）分别求出△CDB 三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB 为直角三角形； （3）△COB 沿 x 轴向右平移过程中，分两个阶段： （I）当 0＜t≤ 时，如答图 2 所示，此时重叠部分为一个四边形； （II）当 ＜t＜3 时，如答图 3 所示，此时重叠部分为一个三角形． 解答：解：（1）∵点 A（﹣1，0）在抛物线 y=﹣（x﹣1）2+c 上， ∴0=﹣（﹣1﹣1）2+c，得 c=4， ∴抛物线解析式为：y=﹣（x﹣1）2+4， 令 x=0，得 y=3，∴C（0，3）； 令 y=0，得 x=﹣1 或 x=3，∴B（3，0）． （2）△CDB 为直角三角形．理由如下： 由抛物线解析式，得顶点 D 的坐标为（1，4）． 如答图 1 所示，过点 D 作 DM⊥x 轴于点 M，则 OM=1，DM=4，BM=OB﹣OM=2． 过点 C 作 CN⊥DM 于点 N，则 CN=1，DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1． 在 Rt△OBC 中，由勾股定理得：BC= = = ； 在 Rt△CND 中，由勾股定理得：CD= = = ； 在 Rt△BMD 中，由勾股定理得：BD= = = ． ∵BC2+CD2=BD2， ∴△CDB 为直角三角形（勾股定理的逆定理）． （3）设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，∵B（3，0），C（0，3）， ∴ ， 解得 k=﹣1，b=3， ∴y=﹣x+3， 直线 QE 是直线 BC 向右平移 t 个单位得到， ∴直线 QE 的解析式为：y=﹣（x﹣t）+3=﹣x+3+t； 设直线 BD 的解析式为 y=mx+m，∵B（3，0），D（1，4）， ∴ ， 解得：m=﹣2，n=6， ∴y=﹣2x+6． 连接 CQ 并延长，射线 CQ 交 BD 于点 G，则 G（ ，3）． 在△COB 向右平移的过程中： （I）当 0＜t≤ 时，如答图 2 所示： 设 PQ 与 BC 交于点 K，可得 QK=CQ=t，PB=PK=3﹣t． 设 QE 与 BD 的交点为 F，则： ，解得 ，∴F（3﹣t，2t）． S=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE= PE•PQ﹣ PB•PK﹣ BE•yF= ×3×3﹣ （3﹣t）2﹣ t•2t= t2+3t； （II）当 ＜t＜3 时，如答图 3 所示： 设 PQ 分别与 BC、BD 交于点 K、点 J． ∵CQ=t， ∴KQ=t，PK=PB=3﹣t． 直线 BD 解析式为 y=﹣2x+6，令 x=t，得 y=6﹣2t， ∴J（t，6﹣2t）． S=S△PBJ﹣S△PBK= PB•PJ﹣ PB•PK= （3﹣t）（6﹣2t）﹣ （3﹣t）2= t2﹣3t+ ． 综上所述，S 与 t 的函数关系式为： S= ． 点评：本题是运动型二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函 数的图象与性质、勾股定理及其逆定理、图形面积计算等知识点．难点在于第（3） 问，弄清图形运动过程是解题的先决条件，在计算图形面积时，要充分利用各种图形 面积的和差关系．