2013年孝感市中考数学试卷及答案

湖北省孝感市 2013 年初中毕业生学业考试 数学试题 一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题 给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律 得 0 分） 1、计算 23 的值是 A、9 B、 9 C、 6 D、 6 2．太阳的半径约为 696 000km，把 696 000这个数用科学记数法表示为 A、 36.96 10 B． 569.6 10 C． 56.96 10 D、 66.96 10 3、如图， 1= 2  ， 3=40 ．则 4 等于 A、120 B、130 C、140 D、 40 4、下列计算正确的是 A、 3 2 3 2a a a a    B、 2a a= C、 2 2 42 3a a a  D、（a－b）2=a2－b2 5、为了考察某种小麦的长势，从中抽取了 10 株麦苗，测得苗高（单位：cm）为： 16 9 14 11 12 10 16 8 17 19 则这组数据的中位数和极差分别是 A．13，16 B．14，11 C．12，11 D．13，11 6、下列说法正确的是 A、平分弦的直径垂直于弦 B、半圆（或直径）所对的圆周角是直角 C、相等的圆心角所对的弧相等 D、若两个圆有公共点，则这两个圆相交 7、使不等式 x－1≥2 与 3x－7＜8 同时成立的 x 的整数值是 A、3，4 B、4，5 C、3，4，5 D、不存在 8、式子 22cos30 tan 45 (1 tan 60 )    的值是 A、 2 3 2 B、0 C、 2 3 D、2 9、在平面直角坐标系中，已知点 E(－4,2)，F(－2,－2)，以原点 O 为位似中心，相似 比为 1 2 ，把△EFO 缩小，则点 E 的对应点 E′的坐标是 A、(－2,1) B、(－8,4) C、(－8,4)或(8,－4) D、(－2,1)或(2,－1) (第 3 题) (第 12 题) (第 10 题) 主视图 俯视图 (第 15 题)  A B C D 10、由8 个大小相同的正方体组成的几何体的主视图 和俯视图如图所示，则这个几何体的左视图是 A、 B、 C、 D、 11、如图，函数 y x=- 与函数 4y x   的图像相交于 A，B 两 点，过 A，B 两点分别作 y 轴 的垂线，垂足分别为点 C，D．则四边形 ACBD 的面积为 A、2 B、4 C、6 D、8 12、如图，在△ ABC 中， AB AC a  ， ( )BC b a b  ．在△ ABC 内依次作 CBD A   ， DCE CBD   ， EDF DCE   ．则 EF 等于 A、 3 2 b a B、 3 2 a b C、 4 3 b a D、 4 3 a b 二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请将结果 直接填写在答题卡相应位置上） 13、分解因式： 2 2 3ax ax a   。 14、在 5 瓶饮料中，有 2 瓶已过了保质期，从这 5 瓶饮料中任取 1 瓶，取到已过保质期饮料 的概率为 （结果用分数表示）。 15、如图，两建筑物的水平距离 BC 为 18m，从 A 点测得 D 点的 俯角 为 30°，测得 C 点的俯角  为 60°．则建筑物 CD 的高度为 m（结果不作近似计算）。 16、用半径为 10cm，圆心角为 216°的扇形作一个圆锥的侧面， 则这个圆锥的高是 cm。 17、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如： xO D C A B y (第 11 题) (第 18 题) (第 17 题) 称图中的数 1，5，12，22…为五边形数，则第 6 个五边形数是 。 18、一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的 4 分钟内只进水不出水，在随后的 8 分钟内既进水 又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完． 假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内 的水量 y (单位：升)与时间 x （单位：分）之间的 部分关系如图所示．那么，从关闭进水管起 分钟该容器内的水恰好放完。 三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共 7 小题，满分 66 分．解答写在答题卡上） 19、（本题满分 6 分）先化简，再求值： 1 1 1( )x y y x   ，其中 3 2x   ， 3 2y   。 20、（本题满分 8 分）如图，已知△ ABC 和点O 。 （1）把△ ABC 绕点O 顺时针旋转 90°得到△ 1 1 1A B C ，在网格中画出△ 1 1 1A B C ；（4 分） （2）用直尺和圆规作△ ABC 的边 AB ， AC 的垂直平分线，并标出两条垂直平分线的 交点 P （要求保留作图痕迹．．，不写作法）；指出点 P 是△ ABC 的内心，外心，还 是重心？（4 分） 地点 (第 21 题) 0 10 20 人数 30 A B C D 21、（本题满分 10 分）暑假快要到了，某市准备组织同学们分别到 A，B，C，D 四个地方 进行夏令营活动，前往四个地方的人数如图所示。 （1）去 B 地参加夏令营活动人数占总人数的 40%，根据统计图求去 B 地的人数？（4 分） （2）若一对姐弟中只能有一人参加夏令营，姐弟俩提议让父亲决定。父亲说：现有 4 张卡片上分别写有 1，2，3，4 四个整数，先让姐姐随机地抽取一张后放回，再由弟弟随机 地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是 5 的倍数则姐姐参加，若抽取的两张卡片上 的数字之和是 3 的倍数则弟弟参加．用列表法或树形图分析这种方法对姐弟俩是否公平？（6 分） 22、（本题满分 10 分）在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动， 他们购进一批单价为 20 元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母 亲。经试验发现，若每件按 24 元的价格销售时，每天能卖出 36 件；若每件按 29 元的价格 销售时，每天能卖出 21 件．假定每天销售件数 y（件）与销售价格 x（元/件）满足一个以 x 为自变量的一次函数。 （1）求 y 与 x 满足的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围）；（4 分） （2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的 利润 P 最大？（6 分） (第 23 题) 23、（本题满分 10 分）如图，△ ABC 内接于⊙O ， B  60°，CD 是⊙ O 的直径，点 P 是CD 延长线上的一点，且 AP AC 。 （1）求证： PA 是⊙O 的切线；（5 分） （2）若 3PD  ，求⊙ O 的直径。（5 分） 24、（本题满分 10 分）已知关于 x 的一元二次方程 2 2(2 1) 2 0x k x k k     有两个实数 根 1x ， 2x 。 （1）求实数k 的取值范围；（4 分） （2）是否存在实数k 使得 2 2 1 2 1 2x x x x   ≥ 0 成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说 明理由。（6 分） 25、（本题满分 12 分）如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 BC 上， 若 AEF  90°，且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F 。 （1）图 1 中若点 E 是边 BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明 AE EF ， 请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（3 分） （2）如图 2，若点 E 在线段 BC 上滑动（不与点 B ，C 重合）。 ① AE EF 是否总成立？请给出证明；（5 分） ②在如图所示的直角坐标系中，当点 E 滑动到某处时，点 F 恰好落在抛物线 2 1y x x    上，求此时点 F 的坐标．（4 分） (第 25 题) 图 1 图 2 x y (第 20 题) 2013 年孝感市高中阶段学校招生考试 数学参考答案及评分说明 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C A D B A B D B D C 二、填空题 13． ( 3)( 1)a x x  ； 14． 2 5 ； 15．12 3 ； 16．8 ； 17． 51 ； 18．8 ． 三、解答题 19．解：原式= 1 x y x y xy  ……………………………………… 2 分 = 1 xy x y x y  = 2( ) xy x y ……… ……………………………… 4 分 当 3 2x   ， 3 2y   时， 原式= 2 ( 3 2)( 3 2) 1 8( 3 2 3 2)       ． ……………………………………… 6 分 20．解：（1）△ 1 1 1A B C 如图所示； …………………………………………………4 分 （2）如图所示； ……………………………… 6 分 点 P 是△ ABC 的外心．……………… 8 分 21．解：（1）设去 B 地的人数为 x ， 则由题意有： 40%30 20 10 x x    …………… 2 分 解得： 40x  ． ∴去 B 地的人数为 40 人． …………… 4 分 （2）列表： …………… 7 分 说明： 能正确画出树形图给 3 分. 姐姐能参加的概率 ( ) 4 1 16 4 P  姐 ，弟弟能参加的概率为 ( ) 5 16 P 弟 …………… 9 分 ∵ ( ) 4 16 P 姐 < ( ) 5 16 P 弟 ，∴不公平． …………… 10 分 22．解：（1）设 y 与 x 满足的函数关系式为： y kx b  ． …………… 1 分 由题意可得： 36 24 21 29 . k b k b      ， …………… 2 分 解得 3 108. k b     ， …………… 3 分 ∴ y 与 x 的函数关系式为： 3 108y x   ． …………… 4 分 （2）每天获得的利润为： ( 3 108)( 20)P x x    …………… 6 分 23 168 2160x x    23( 28) 192x    ． ……………8 分 ∴当销售价定为 28 元时，每天获得的利润最大． ……………10 分 23．（1）证明：连接 OA …………………1 分 ∵ 60B   ，∴ 2 120AOC B     ． ……2 分 又∵OA OC ，∴ 30OAC OCA     . 又∵ AP AC ，∴ 30P ACP     ， ∴ 90OAP AOC P       ， ………………4 分 4 (1，4) (2，4) (3，4) (4，4) 3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) 2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) 1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) 1 2 3 4 (第 23 题) ∴OA PA ， ∴ PA 是⊙O 的切线. ……………… 5 分 （2）在 Rt△OAP 中， ∵ 30P   ， ∴ 2 =PO OA OD PD  ． ………………7 分 又∵OA OD ， ∴ PD OA ， ∵ 3PD  ， ∴ 2 2 2 3OA PD  ． ∴⊙O 的直径为 2 3 . ……………10 分 24．解：（1）∵原方程有两个实数根， ∴ 2 2[ (2 1)] 4( 2 )k k k    ≥ 0 ……………1 分 ∴ 2 24 4 1 4 8k k k k    ≥ 0 ∴1 4k ≥ 0 ， ……………3 分 ∴ k ≤ 1 4 ． ∴当 k ≤ 1 4 时，原方程有两个实数根． ……………4 分 （2）假设存在实数k 使得 2 2 1 2 1 2x x x x   ≥ 0 成立． ∵ 1x ， 2x 是原方程的两根， ∴ 2 1 2 1 22 1 2x x k x x k k     ， ． ……………5 分 由 2 2 1 2 1 2x x x x   ≥ 0 ， 得 2 1 2 1 23 ( )x x x x   ≥ 0 ． ……………7 分 ∴ 2 23( 2 ) (2 1)k k k   ≥ 0 ，整理得： 2( 1)k  ≥ 0 ， ∴只有当 1k  时，上式才能成立． ……………9 分 又由（1）知 k ≤ 1 4 ， ∴不存在实数k 使得 2 2 1 2 1 2x x x x   ≥ 0 成立． ……………10 分 25．解：（1）如图 1，取 AB 的中点G ，连接 EG ． ……………2 分 △ AGE 与△ ECF 全等． ……………3 分 （2）①若点 E 在线段 BC 上滑动时 AE EF 总成立． 证明：如图 2，在 AB 上截取 AM EC ．…… 4 分 ∵ AB BC ，∴ BM BE ， ∴△ MBE 是等腰直角三角形， ∴ 180 45 135AME       ， 又CF 平分正方形的外角，∴ 135ECF   ， ∴ AME ECF   ． ………… 6 分 而 90BAE AEB CEF AEB         , y 图 1 ∴ BAE CEF   ， ………… 7 分 ∴△ AME ≌△ ECF ． ∴ AE EF ． ………… 8 分 ②过点 F 作 FH x 轴于 H ， ………… 9 分 由①知， FH BE CH  ， 设 BH a ，则 1FH a  ， ∴点 F 的坐标为 ( 1)F a a ， ． ……… 10 分 ∵点 F 恰好落在抛物线 2 1y x x    上， ∴ 21 1a a a     ， ∴ 2 2a  ， 2a  （负值不合题意，舍去）， ∴ 1 2 1a  ＝ ． ∴点 F 的坐标为 ( 2 2 1)F ， ．…………… 12 分 注意：1．按照评分标准分步评分，不得随意变更给分点； 2．第 19 题至第 25 题的其它解法，只要思路清晰，解法正确，都应按步骤给予相应分数．