2013年长春市中考数学试卷及答案

2013 年长春市初中毕业生学业考试 数 学 本试卷包括三道大题，共 24 小题.共 6 页．全卷满分 120 分．考试时间为 120 分钟．考 试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴 在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题卷 上答题无效． 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1． 的绝对值等于 （A） . （B）4. （C） . （D） . 2．右图是由四个相同的小长方体组成的立体图形，这个立体图形的正视图是 （A） （B） （C） （D） 3．我国第一艘航空母舰辽宁航空舰的电力系统可提供 14 000 000 瓦的电力．14 000 000 这 个数用科学记数法表示为 （A） . （B） . （C） . （D） . 4．不等式 的解集在数轴上表示为 （A） （B） （C） （D） 5．如图，含 30°角的直角三角尺 DEF 放置在△ABC 上，30°角的顶点 D 在边 AB 上，DE ⊥AB．若 为锐角，BC∥DF，则 的大小为 （A）30°. （B）45°. （C）60°. （D）75°. （第 5 题） （第6 题） 6．如图，△ABC 内接于⊙O，∠ABC=71º，∠CAB=53 °点 D 在 AC 弧上，则∠ADB 的大 小为 （A）46°. （B）53°. （C）56°. （D）71°. 7．如图， °, ，AB=3，BD=2，则 CD 的长为 （A） . （B） . （C）2. （D）3. （第 2 题） （第 7 题） （第 8 题） 8．如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（0,3），△OAB 沿 x 轴向右平移后得到△ O′A′B′，点 A 的对应点在直线 上一点，则点 B 与其对应点 B′间的距离为 （A） . （B）3. （C）4. （D）5 . 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 9．计算： ＝ . 10．吉林广播电视塔“五一”假期第一天接待游客 m 人，第二天接待游客 n 人，则这 2 天 平均每天接待游客 人（用含 m、n 的代数式表示）. 11．如图，MN 是⊙O 的弦，正方形 OABC 的顶点 B、C 在 MN 上，且点 B 是 CM 的中点. 若正方形 OABC 的边长为 7，则 MN 的长为 . （第 11 题） （第 12 题） 12．如图，以△ABC 的顶点 A 为圆心，以 BC 长为半径作弧；再以顶点 C 为圆心，以 AB 长为半 径作弧，两弧交于点 D；连结 AD、CD．若∠B=65°，则∠ADC 的大小为 度. 13．如图，在平面直角坐标系中，边长为 6 的正六边形 ABCDEF 的对称中心与原点 O 重合，点 A 在 轴上，点 B 在反比例函数 位于第一象限的图象上，则 的值为 . （第 13 题） （第 14 题） 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ＝ 与 y 轴交于点 A，过点 A 与 x 轴平行的 直线交抛物线 ＝ 于点 B、C，则 BC 的长值为 . 三、解答题（本大题共 10 小题，共 78 分） 15．（6 分）先化简，再求值： ，其中 ＝ . 16．（6 分）甲、乙两人各有一个不透明的口袋，甲的口袋中装有 1 个白球和 2 个红球，乙 的口袋中装有 2 个白球和 1 个红球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人分别从各 自口袋中随机摸出 1 个球，用画树状图（或列表）的方法，求两人摸出的球颜色相同的 概率. 17．（6 分）某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书 24 本，第二 组同学共带图书 27 本.已知第一组同学比第二组同学平均每人多带 1 本图书，第二组人 数是第一组人数的 1.5 倍．求第一组的人数． 18．（6 分）在△ABC 中，AB＝AC，点 D、E、F 分别是 AC、BC、BA 延长线上的点，四边 形 ADEF 为平行四边形．求证：AD＝BF． 19．（7 分）如图，岸边的点 A 处距水面的高度 AB 为 2.17 米，桥墩顶部点 C 距水面的高度 CD 为 23.17 米．从点 A 处测得桥墩顶部点 C 的仰角为 26°，求岸边的点 A 与桥墩顶部 点 C 之间的距离．（结果精确到 0.1 米） 【参考数据：sin26°=0.44，cos26°=0.90，tan26°=0.49】 （第 18 题） （第 19 题） 20．（7 分）某校学生会为了解学生在学校食堂就餐剩饭情况，随机对上周在食堂就餐的 n 名学生进行了调查，先调查是否剩饭的情况，然后再对其中剩饭的每名学生的剩饭次数 进行调查．根据调查结果绘制成如下统计图． （第 20 题） （1）求这 n 名学生中剩饭学生的人数及 n 的值． （2）求这 n 名学生中剩饭 2 次以上的学生占这 n 名学生人数的百分比． （3）按上述统计结果，估计上周在学校食堂就餐的 1 200 名学生中剩饭 2 次以上的人数． 21．（8 分）甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面，乙队在甲队清理后铺设路 面．乙队在中途停工了一段时间，然后按停工前的工作效率继续工作．在整个工作过程 中，甲队清理完的路面长 y（米）与时间 x（时）的函数图象为线段 OA，乙队铺设完的 路面长 y（米）与时间 x（时）的函数图象为折线 BC-CD-DE，如图所示，从甲队开始 工作时计时． （1）分别求线段 BC、DE 所在直线对应的函数关系式． （2）当甲队清理完路面时，求乙队铺设完的路面长． （第 21 题） 22．（9 分）探究：如图①， 在四边形 ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD,AE⊥CD 于点 E．若 AE=10,求四边形 ABCD 的面积. 应用：如图②，在四边形 ABCD 中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,AE⊥BC 于点 E.若 AE=19， BC=10,CD=6,则四边形 ABCD 的面积为 . （第 22 题） 23．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx-2 与 x 轴交于点 A（-1，0）、B （4，0）．点 M、N 在 x 轴上，点 N 在 点 M 右侧，MN=2．以 MN 为直角边向上作等腰 直角三角形 CMN，∠CMN=90°．设点 M 的横坐标为 m． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式. （2）求点 C 在这条抛物线上时 m 的值. （3）将线段 CN 绕点 N 逆时针旋转 90°后，得到对应线段 DN. ①当点 D 在这条抛物线的对称轴上时，求点 D 的坐标. ②以 DN 为直角边作等腰直角三角形 DNE, 当点 E 在这条抛物线的对称轴上时， 直接写出所有符合条件的 m 值. 【参考公式：抛物线 （a≠0）的顶点坐标为 】 （第 23 题） 24．（12 分）如图①，在□ABCD 中，AB＝13，BC＝50，BC 边上的高为 12．点 P 从点 B 出发，沿 B-A-D-A 运动，沿 B-A 运动时的速度为每秒 13 个单位长度，沿 A-D-A 运动 时的速度为每秒 8 个单位长度．点 Q 从点 B 出发沿 BC 方向运动，速度为每秒 5 个单位 长度. P、Q 两点同时出发，当点 Q 到达点 C 时，P、Q 两点同时停止运动．设点 P 的运 动时间为 t（秒）．连结 PQ． （1）当点 P 沿 A-D-A 运动时，求 AP 的长（用含 t 的代数式表示）． （2）连结 AQ，在点 P 沿 B-A-D 运动过程中，当点 P 与点 B、点 A 不重合时，记△APQ 的 面积为 S．求 S 与 t 之间的函数关系式. （3）过点 Q 作 QR//AB，交 AD 于点 R，连结 BR，如图②．在点 P 沿 B-A-D 运动过程中， 当线段 PQ 扫过的图形（阴影部分）被线段 BR 分成面积相等的两部分时 t 的值. （4）设点 C、D 关于直线 PQ 的对称点分别为 、 ，直接写出 //BC 时 t 的值. （第 24 题） 2013 年长春市初中毕业生学业考试 数学参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．C 7．B 8．C 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 9． 10． 11．28 12．65 13． 14．6 三、解答题（本大题共 10 小题，共 78 分） 15．原式＝ ＝ ＝ ． （4 分） 当 ＝ 时，原式＝ ＝11． （6 分） 16． （4 分） ∴P（两人摸出的球颜色相同）＝ ． （6 分） 17．设第一组有 人． 根据题意，得 ＝ ． （3 分） 解得 ＝ . 经检验， ＝ 是原方程的解，且符合题意． 答：第一组有 6 人． （6 分） 18. ∵四边形 ADEF 为平行四边形， 白 红 红 白 （白， 白） （红， 白） （红， 白） 白 （白， 白） （红， 白） （红， 白） 红 （白， 红） （红， 红） （红， 红） 或 甲 乙 结果 ∴AD＝EF ,AD∥EF. ∴∠ACB＝∠FEB. （3 分） ∵AB＝AC, ∴∠ACB＝∠B. ∴∠FEB＝∠B. （5 分） ∴EF＝BF. ∴AD＝BF. （7 分） 19．由题意知,DE＝AB＝2.17, ∴ ＝ ＝ ＝10. 在 Rt△CAE 中,∠CAE＝ , ＝ , （3 分） ∴ ＝ ＝ ＝ (米) . 答: 岸边的点 A 与桥墩顶部点 C 之间的距离约为 米. （7 分） 20．（1）58+41+6＝105（人） ，105÷70%＝150, 所以这 n 名学生中剩饭的学生有 105 人，n 的值为 150. （3 分） （2） ＝4%, 所以剩饭 2 次以上的学生占这 n 名学生人数的 4%. （5 分） （3） ＝48（人）. 所以估计上周在学校食堂就餐的 1 200 名学生中剩饭 2 次以上的约有 48 人.（7 分） 21.（1）设线段 BC 所在直线对应的函数关系式为 ＝ . ∵图象经过（3，0）、（5，50）, ∴ ∴线段 BC 所在直线对应的函数关系式为 ＝ . （2 分） 设线段 DE 所在直线对应的函数关系式为 ＝ . ∵乙队按停工前的工作效率继续工作， ∴ ＝25. ∵图象经过（6.5，50）, ∴ ＝50，解得 ＝ . ∴线段 DE 所在直线对应的函数关系式为 ＝ . （5 分） （2）甲队每小时清理路面的长为 ＝20， 甲队清理完路面时, ＝ ＝8. 把 ＝8 代入 ＝ ，得 ＝ ＝87.5. 答：当甲队清理完路面时,乙队铺设完的路面长为 87.5 米. （8 分） 22．探究：过点 A 作 AF⊥CB,交 CB 的延长线于点 F. ∵AE⊥CD，∠BCD＝ ， ∴四边形 AFCE 为矩形. （2 分） ∴∠FAE＝ . ∴∠FAB＋∠BAE＝ . ∵∠EAD＋∠BAE＝ ， ∴∠FAB＝∠EAD. ∵AB＝AD，∠F＝∠AED＝ ， ∴△AFB≌△AED. ∴AF＝AE. ∴四边形 AFCE 为正方形. ∴ ＝ ＝ ＝ ＝100. （6 分） 拓展： . （9 分） 23．（1）∵抛物线经过点 A( ,0)、B(4,0)， ∴ 解得 ∴抛物线所对应的函数关系式为 ＝ . （2 分） （2）由题意知，点 C 的坐标为(m, )， （3 分） ∵点 C(m,2)在抛物线上， ∴ ＝2， 解得 ＝ ， ＝ . ∴点 C 在这条抛物线上时， 的值为 或 . （5 分） （3）①由旋转得，点 D 的坐标为(m，-2). 抛物线 ＝ 的对称轴为直线 ＝ . ∵点 D 在这条抛物线的对称轴上， ∴点 D 的坐标为 . （7 分） ② ＝ 或 ＝ 或 ＝ 或 ＝ . （10 分） 24. （1）当点 P 沿 A D 运动时，AP＝ ＝ . 当点 P 沿 D A 运动时，AP＝50×2 8 ＝108 . （2 分） （2）当点 P 与点 A 重合时，BP＝AB，t＝1. 当点 P 与点 D 重合时，AP＝AD， ＝50，t＝ . 当 0＜t＜1 时，如图①. 作过点 Q 作 QE⊥AB 于点 E. S△ABQ＝ ＝ ， ∴QE＝ ＝ ＝ . ∴S＝ . 当 1＜t≤ 时，如图②. S＝ ＝ ， ∴S＝ . （6 分） （3）当点 P 与点 R 重合时，AP＝BQ， ＝ ，t＝ . 当 0＜t≤1 时，如图③.∵ ＝ ， ∴PM＝QM. ∵AB∥QR， ∴△BPM≌△RQM. ∴BP＝AB， ∴ ＝13，解得 t＝1 当 1＜t≤ 时，如图④. ∵BR 平分阴影部分面积， ∴P 与点 R 重合. ∴t＝ . 当 ＜t≤ 时，如图⑤. ∵ ＝ ， ∴ ＜ . ∴BR 不能把四边形 ABQP 分成面积相等的两部分. 综上，当 t＝1 或 时，线段 PQ 扫过的图形（阴影部分）被线段 BR 分成面积相等 的两部分. （9 分） （4）t＝ ，t＝ ，＝ . （12 分） 提示：当 C′D′在 BC 上方且 C′D′∥BC 时，如图⑥. QC＝OC， ∴ ＝ ，或 ＝ ， 解得 t＝7 或 t＝ . 当 C′D′在 BC 下方且 C′D′∥BC 时，如图⑦. OD＝PD， ∴ ＝ ， 解得 t＝ .