成都市武侯区九年级数学期末试题卷及答案

武侯区 2012～2013 学年度上期期末质量测评试题卷 九年级数学 说明：1、本试卷分为 A 卷和 B 卷，其中 A 卷共 100 分，B 卷共 50 分，满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2、此试卷上不答题，所有题的答案请一律答在答题卷上． 题号 A 卷 A 卷 B 卷 B 卷 全卷一 1-10 二 11-14 三 15，16 四 17, 18 五 19，20 一 21-25 二 26 三 27 四 28 得分 A 卷（满分 100 分） 一、选择题：(每小题 3 分，共 30 分) 1．用配方法解方程 x2+x=2，要使方程左边为 x 的完全平方式，应把方程两边同时 A．加 4 1 B．加 2 1 C．减 4 1 D．减 2 1 2．如图，⊙O 的直径 CD⊥AB，∠AOC=60°，则∠CDB= ww w. A．20°， B．30°，C．40°，D．50° 3．如图，科丽村准备在坡角为 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离 为 5 米，那么这两树在坡面上的距离 AB=（）米 A． cos5 B． cos 5 C． sin5 D． sin 5 4．双曲线 y= 与直线 y=2x+1 的一个交点横坐标为﹣1，则 k= A．﹣2 B．﹣1 C． 1 D．2 5．对于抛物线 21 ( 1)2y x   -3 的说法错误的是 A.抛物线的开口向下 B.抛物线的顶点坐标是(1,-3) C.抛物线的对称轴是直线 1x   D.当 1x  时, y 随 x 的增大而增大 6．如图，小明设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 OA、OB 在 O 点钉在一起， 并使它们保持垂直，在测直径时，把 O 点靠在圆周上，读得刻度 OE=8 个单位，OF= 6 个单位，则圆直径为 A．9 个单位 B．10 个单位 C．12 个单位 D．15 个单位 7．△ABC 中，∠A、∠B 都是锐角，且 sinA= 2 1 ，cosB= 2 3 ，则△ABC 的形状是 A． 锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 8． 已知反比例函数 ky x  的图象如图所示，二次函数 2 22y kx x k   的图象大致为 9．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点 C，交 AB 的延长线于 D，且 CO=CD， 则∠PCA= A．30° B．45° C．60° D．67.5° 10．如果关于 x 的一元二次方程 kx2－ 1k3  x＋1＝0 有两个不相等的实数根， 那么 k 的取值范围是 A． － 3 1 ≤k＜1 且 k≠0 B．k＜1 且 k≠0 C．－ 3 1 ≤k＜1 D．k＜1 二、填空题(每小题 4 分，共 16 分) 11．方程 x(3x-2)=4(3x-2)的根为 ． 12.已知方程 22 3 5 0  x x 两根为 5 , 12  ,则抛物线 22 3 5  y x x 与 x 轴 两个交点间距离为 . 13．如图，△ABC 的外接圆的圆心坐标为 ． 14．如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC＝10 cm，BD＝6 cm，则 sin∠DAC= ． 三、（第 15 题每小题 6 分，第 16 题 6 分，共 18 分） 15．（1）解方程：2x2－6x＋1＝0． ⑵ 计算：   sin60 cos60tan45 － ·tan 30° 16．一艘轮船自西向东航行，在 A 处测得东偏北 21.3°方向有一座小岛 C，继续向东航行 60 海里到达 B 处， 测得小岛 C 此时在轮船的东偏北 63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛 C 最近？ （参考数据：sin21.3°≈ 9 25 ，tan21.3°≈ 2 5 ， sin63.5°≈ 9 10 ，tan63.5°≈2） 四、（第 17 题 9 分，第 18 题 9 分，共 18 分） 17．已知甲同学手中藏有三张分别标有数字 1 2 ，1 4 ，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有数字1，3 ，2 的 卡片，卡片外形相同.现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为 a ，b . （1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 α 5 米 A B （第 2 题图） A B O C D B C DA （第 3 题图） （第 6 题图） B F 0 E A O D C A B （第 14 题图） C DA O P B （第 9 题图） （第 13 题图） O A B x y D C （2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的 a ，b 能使得 2 1 0ax bx   有两个不相等的实数根，则甲 获胜；否则乙获胜.请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释． w ww. 18．如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点 D 在 AC 上，连结 BD 并延长与 CE 交于点 E． （1）求证：△ABD∽△CED． （2）若 AB＝6，AD＝2CD，求 BE 的长． 五、（第 19 题 9 分，第 20 题 9 分，共 18 分） 19．4 月初某地香菇价格大幅度下调，下调后每斤香菇价格是原价格的 2 3 ，原来用 60 元买到的香菇下调后可 多买 2 斤．香菇价格 4 月底开始回升，经过两个月后，香菇价格上调为每斤 14.4 元． （1）求 4 月初香菇价格下调后每斤多少元？（2）求 5、6 月份香菇价格的月平均增长率． 20． 如图，已知 A、B 两点的坐标分别为 A（0，2 3），B（2，0）直 线 AB 与反比例函数 y＝m x 的图象交与点 C 和点 D（－1，a）． （1）求直线 AB 和反比例函数的解析式； （2）求∠ACO 的度数． B 卷（共 50 分） 一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 21．设 04-xxxx 2 21 是方程、 两个实数根，则 105 2 2 3 1  xx =_______． 22． 已知 a、b≠0，且 ，02b-ab3a 22  则  ab ba-a b-b a 22 ________． 23．已知：Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于 D 点，AB＝2m， BD＝m－1， 5 4cos A ．则 m=___________． 24．如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝4，过点 B 作⊙O 的切线，C 是切线上一点，且 BC＝2，P 是线段 OA 中点， 连结 PC 交⊙O 于点 D，过点 P 作 PC 的垂线，交切线 BC 于点 E，交⊙O 于点 F，连结 DF 交 AB 于点 G，则 PE 的长为 ． 25．如图，已知双曲线 （k 为常数）与直线 l 相交于 A、B 两点，第一 象限内的点 M（点 M 在 A 的左侧）在双曲线 上，设直线 AM、BM 分 别与 y 轴交于 P、Q 两点．若 AM=m•MP，BM=n•MQ，则 m﹣n 的值是______． (第 24 题图)A D E B FC C A B D M O P M E M F MG M (第 25 题图) 二、解答题（共 9 分） 26．某商店经销某玩具每个进价 60 元，每个玩具不得低于 80 元出售．玩具的销售单价 m（元/个）与销售数 量 n（个）之间的函数关系如图所示． （1）试求表示线段 AB 的函数的解析式，并求出当销售数量 n=20 时单价 m 的值； （2）写出该店当一次销售 n（n＞10）个时，所获利润 w（元）与 n（个）之间的函数关系式： （3）店长李明经过一段时间的销售发现：卖 27 个赚的钱反而比卖 30 个赚的钱多，你能用数学知识解释这一 现象吗？为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把售价最低价每个 80 元至少提高到多少？ 三、解答题（共 9 分） 27． 如图，△ABC 内接于半圆，圆心为 O，AB 是直径，过 A 作直线 MN，若∠MAC=∠ABC． （1）求证：MN 是半圆的切线； （2）设 D 是弧 AC 的中点，连接 BD 交 AC 于 G，过 D 作 DE⊥AB 于 E，交 AC 于 F．求证：DE= AC； （3）在（2）的条件下，若△DFG 的面积为 S，且 DG=a，GC=b，试求△BCG 的面积． （用 a、b、s 的代数式表示） ww w. 四、解答题（共 12 分） 28．已知两直线 l1、l2 分别经过点 A（3，0），点 B（﹣1，0），并且当两条直线同时相交于 y 轴负半轴的点 C 时，恰好有 l1⊥l2，经过点 A、B、C 的抛物线的对称轴与直线 l2 交于点 K，如图所示． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在点 P，使得以 A、B、C、P 为顶点的四边形的面积等于△ABC 的面积的 倍？若存 在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）将直线 l1 按顺时针方向绕点 C 旋转α°（0＜α＜90），与抛物线的另一个交点为 M．求在旋转过程中△MCK 为等腰三角形时的α的值． 成都市武侯区 2012-2013 学年度上期教学质量测评试题 九年级数学试卷参考答案及评分标准 说明：1、本试卷分为 A 卷和 B 卷，其中 A 卷共 100 分，B 卷共 50 分，满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2、此试卷上不答题，所有题的答案请一律答在答题卷上． 题号 A 卷 A 卷 B 卷 B 卷 全卷一 1-10 二 11-14 三 15，16 四 17, 18 五 19，20， 一 21-25 二 26 三 27 四 28 满分 30 16 18 18 18 100 20 9 9 12 50 150 A 卷（共 100 分） 一、选择题：(每小题 3 分，共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C D B C D D A 二、填空题(每小题 4 分，共 16 分) 题号 11 12 13 14 答案 4，或 3 2 2 7 （5,2） 34 343 三、（第 15 题每小题 6 分，第 16 题 6 分，共 18 分） 15．（1）解方程：2x2－6x＋1＝0． 解：因为 a＝2，b＝－6，c＝1， （1 分） ∴b2－4ac＝(－6)2－4×2×1＝28． （2 分） a acbbx 2 42  （3 分）   2 73 4 726 22 286 （5 分） ∴原方程的根为  2 73,2 73 21 xx （6 分） ⑵ 计算：   sin60 cos60tan45 － ·tan 30° 解：原式= 3 1 2 3 2 1-1  （4 分）= 3 1 3 1  （5 分）= 3 1 （6 分）w . 16．解：过 C 作 AB 的垂线，交直线 AB 于点 D，得到 Rt△ACD 与 Rt△BCD．设 BD＝x 海里，（1 分） 在 Rt△BCD 中，tan∠CBD＝ CD BD ，∴CD＝x ·tan63.5°≈2x 海里．（2 分） 在 Rt△ACD 中，AD＝AB＋BD＝(60＋x)海里，tan∠A＝ CD AD ∴CD＝( 60＋x ) ·tan21.3°≈ 2 5 ( 60＋x )海里． （3 分） ∴  22 60 5 x x  ．解得，x＝15． （5 分） 答：轮船继续向东航行 15 海里，距离小岛 C 最近（6 分） 四、（第 17 题 9 分，第 18 题 9 分，共 18 分） 17．解：（1）（a,b）的可能结果有      1,2 1 、      2,2 1 、      3,2 1 、      1,4 1 、      2,4 1 、      3,4 1 、（1，1）、（1，2）及（1，3）,∴(a,b)取值结果共有 9 种 （4 分）． （2）∵Δ=b2－4a 与对应（1）中的结果为： －1、2、7、0、3、8、－3、0、5 （7 分） ∴P(甲获胜)= P(Δ＞0)= 9 5 ＞P(乙获胜) ＝ 9 4 （8 分） ∴这样的游戏规则对甲有利，不公平. （9 分） 18． （1）证明：∵ △ABC 是等边三角形 ∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°．∠ACF＝120° （2 分） ∵ CE 是外角平分线， ∴ ∠ACE＝60°．∴ ∠BAC＝∠ACE 又∵ ∠ADB＝∠CDE，∴ △ABD∽△CED （4 分） （2）解：作 BM⊥AC 于点 M，AC＝AB＝6 （5 分） ∴ AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝3 3 （6 分） ∵ AD＝2CD，∴ CD＝2，AD＝4，MD＝1 在 Rt△BDM 中，BD＝ 2 2BM MD ＝ 2 7 （7 分） 由（1）△ABD∽△CED 得， BD AD ED CD  ， 2 7 2ED  （8 分） ∴ ED＝ 7 ，∴ BE＝BD＋ED＝3 7 ． （9 分） 五、（第 19 题 9 分，第 20 题 9 分，共 18 分） 19．解：（1）设 4 月初香菇价格下调后每斤 x 元． 根据题意，得 60 60 23 2 x x   ，解得 10x  （3 分）， 经检验， 10x  是原方程的解 B C DA A D E B FC M O A B x y D C 答：4 月初香菇价格下调后每斤 10 元． （4 分） （2）设 5、6 月份香菇价格的月平均增长率为 y ． 根据题意，得 210(1 ) 14.4y  （7 分） 解得 1 20.2 20% 2.2y y   ， （舍去） 答：5、6 月份香菇价格的月平均增长率为 20%．（9 分） 20．解：（1）设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b，将 A（0，2 3），B（2，0）代入 得 b＝2 3 2k＋b＝0 解得 k＝－ 3 b＝2 3 ∴直线 AB 的解析式为 y＝－ 3x＋2 3 （2 分） 将 D（－1，a）代入 y＝－ 3x＋2 3，得 a＝3 3 ∴D（－1，3 3）， （3 分） 将 D（－1，3 3）代入 y＝m x 中，得 m＝－3 3 ∴反比例函数的解析式为 y＝－3 3 x （4 分） （2）解方程组得 y＝－ 3x＋2 3 y＝－3 3 x 得 x1＝3 y1＝－ 3 x2＝－1 y2＝3 3 ， ∴点 C 坐标为（3，－ 3） （6 分） 过点 C 作 CH⊥x 轴于点 H，在 Rt△OMC 中，CH＝ 3，OH＝3 ∴tan∠COH＝ CH OH ＝ 3 3 ，∴∠COH＝30° （8 分） 在 Rt△AOB 中，tan∠ABO＝ AO OB ＝ 2 3 2 ＝ 3，∴∠ABO＝60°（9 分） ∴∠ACO＝∠ABO－∠COH＝30°． B 卷（共 50 分） 一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 题号 21 22 23 24 25 答案 -19 -3 或 2 7 25 132 3 -2 二、解答题（共 9 分） 26． 解：（1）设 m=kx+b，把 A（10，100）和 B（30，80）代入上式， 得 10k+b=100，30k+b=80， 解得 k=﹣1，b=110， ∴线段 AB 的函数的解析式为 m=﹣n+110（10≤n≤30）；（2 分） 当 n=20 时，m=﹣20+110=90；（3 分） （2）当 10＜n＜30 时，W=（m﹣60）n=（﹣n+110﹣60）n=﹣n2+50n， 当 n≥30 时，W=（80﹣60）n=20n； （3）W=﹣n2+50n=﹣（n﹣25）2+625， ①当 10＜n≤25 时，W 随 n 的增大而增大，即卖的越多，利润越大； ②当 25＜n≤30 时，W 随 n 的增大而减小，即卖的越多，利润越小； ∴卖 27 个赚的钱反而比卖 30 个赚的钱多． 所以为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个 80 元至少提高到 85 元． 三、解答题（共 9 分） 27． 解：（1）∵AB 是直径，∴∠C=90°，∴∠CBA+∠BAC=90°，（1 分） 又∵∠MAC=∠ABC，∴∠MAC+∠CAB=90°， 即∠BAM=90°，∴OA⊥MN，（2 分） ∴MN 是⊙O 的切线；（3 分） （2）连接 OD 交 AC 于 H， ∵D 是 AC 中点，∴OD⊥AC，AH= AC，（4 分） ∵∠DOE=∠AOH，∠OHA=∠OED=90°，OA=OD，（5 分）∴△OAH≌△ODE， ∴DE=AH= AC；（6 分） （3）连接 AD，由（2）知△OAH≌△ODE，∴∠ODE=∠OAH， 又∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠ODA﹣ODE=∠OAD﹣∠OAH， 即∠FDA=∠FAD，∴FD=FA，（7 分） ∵AB 是直径，∴∠BDA=90°， ∴∠FDA+∠GDF=90°，∠DAF+∠DGF=90°，∴∠GDF=∠DGF， ∴FG=DF，∴FG=FA=FD，∴S△DGF= S△ADG，（8 分） 又∵△BCG∽△ADG，∴S△BCG：S△ADG=（ ）2=（ ）2，∴S△BCG= ．（9 分） 四、解答题（共 12 分） 28． 解：（1）在 Rt△ABC 中，OB=1，OA=3，且 CO⊥AB；∴OC= = ，则 C（0，﹣ ）； 设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），代入点 C 的坐标后，得： a（0+1）（0﹣3）=﹣ ，a= ∴抛物线的解析式：y= （x+1）（x﹣3）= x2﹣ x﹣ ．（3 分） （2）OA=3、OB=1、OC= ，则：S△ABC= AB•OC= ×4× =2 ． ①当点 P 在 x 轴上方时，由题意知：S△ABP= S△ABC，则： 点P到x 轴的距离等于点C到x 轴距离的一半，即 点P的纵坐标为 ； 令 y= x2﹣ x﹣ = ，化简得：2x2﹣4x﹣9=0 解得 x= ；∴P1（ ， ）、P2（ ， ）；（5 分） ②当点 P 在抛物线的 B、C 段时，显然△BCP 的面积要小于 S△ABC，此种情况不合题意；（6 分） ③当点 P 在抛物线的 A、C 段时，S△ACP= AC•h= S△ABC= ，则 h=1； 在射线 CK 上取点 D，使得 CD=h=1，过点 D 作直线 DE∥l1，交 y 轴于点 E，如右图； 在 Rt△CDE 中，∠ECD=∠BCO=30°，CD=1，则 CE= 、OE=OC+CE= ，点 E（0，﹣ ） ∴直线 DE：y= x﹣﹣ ，联立抛物线的解析式，有： ，解得： 、 ∴P3（1，﹣ ）、P4（2，﹣ ）；（8 分） 综上，存在符合条件的点 P 为（ ， ）、（ ， ）、（1，﹣ ）、（2，﹣ ）．（8 分） （3）由（1）知：y= x2﹣ x﹣ = （x﹣1）2﹣ ， ∴抛物线的对称轴 x=1； 在 Rt△OBC 中，OB=1，OC= ，则∠BCO=∠1=30°、∠2=∠3=90°﹣∠BCO=60°、BC=2； 过点 C 作直线 CN∥x 轴，交抛物线于点 N，如右图； 由抛物线的对称性可得：N（2，﹣ ），所以 CN=2； 易知直线 BC：y=﹣ x﹣ ，则 K（1，﹣2 ），CK= =2； 在△CKN 中，∠2=60°，CN=CK=2，那么△CKN 是等边三角形﹣﹣﹣﹣①． Ⅰ、KC=KM 时，点 C、M 关于抛物线的对称轴对称，符合①的情况，即点 M、N 重合； Ⅱ、KC=CN 时，由于 KC=BC，所以此时点 M 与 B、N 重合； Ⅲ、MK=MC 时，点 M 在线段 CK 的中垂线上，此时 M、N 重合； 综上，只有一个符合条件的点 M（即点 N），此时直线 l1 的旋转角度α=∠ACN=90°﹣∠2=30°．（12 分）