12.请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 21 29y x （答案不唯一） ．
①过点 (31)，；
②当 0x 时，y 随 x 的增大而减小；
③当自变量的值为 2 时，函数值小于 2．
13 ． 二 次 函 数 322 xxy 的 图 象 关 于 原 点 O （ 0, 0 ） 对 称 的 图 象 的 解 析 式 是
2 2 3y x x 。
如图所示,已知 F 是以 O 为圆心,BC 为直径的半圆上任一点,A 是 BF 的中点,AD⊥BC 于点 D.
求证:AD= 1
2
BF.
证明：连接 OA，交 BF 于点 E，
∵A 是弧 BF 的中点，O 为圆心，
∴OA⊥BF，
∴BE=
1
2 BF
∵AD⊥BC 于点 D，
∴∠ADO=∠BEO=90°，
在△OAD 与△OBE 中，
∠ADO=∠BEO=90°
∠AOD=∠BOE
BO=AO
∴△OAD≌△OBE（AAS），
∴AD=BE，
∴AD=
1
2 BF
如图,⊙O 的直径 AB 的两侧有定点 C 和动点 P.已知 BC=4,CA=3,点 P 在 AB 上运动,过点 C 作
CP 的垂线,与 PB 的延长线交于点 Q.
(1)当点 P 运动到与点 C 关于 AB 对称时 ,求 C Q 的长.
(2)当点 P 运动到弧 AB 的中点时,求 C Q 的长.
(3)当点 P 运动到什么位置时,CQ 取到最大值,并求此时 CQ 的长.
.
OD C
F
B
A
解：（1）当点 P 与点 C 关于 AB 对称时，CP⊥AB，设垂足为 D，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC=4，AC=3，
∵AC•BC=AB•CD，
∴CD=
12
5
∴PC=
24
5
．
在 Rt△ACB 和 Rt△PCQ 中，
∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
∴△ACB∽△PCQ，
∴ AC BC
PC CQ
∴CQ=
4
3
PC=
32
5
（2）当点 P 运动到 AB 的中点时，过点 B 作 BE⊥PC 于点 E．
∵点 P 是 AB 的中点，
∴∠PCB=45°，
BE=CE=
2 2 22 BC
在 Rt△EPB 中，tan∠EPB=
4
3
BE
PE
∴PE=
3 3 2
4 2BE
∴PC=PE+CE=
7 2
2
．
∴CQ=
4 14 2
3 3BE
（3）点 P 在 AB 上运动时，恒有 CQ=
4
3 PC
所以 PC 最大时，CQ 取到最大值，
当 PC 过圆心 O，即 PC 取最大值 5 时，CQ 最大值为 20
3
23.如图，把两个全等的 Rt△AOB 和 Rt△COD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边 OB、
OD 在 x 轴上．已知点 A（1，2），过 A、C 两点的直线分别交 x 轴、y 轴于点 E、F．抛物线
y=ax2+bx+c 经过 O、A、C 三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点 P 为线段 OC 上一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 M，交 x 轴于点
N，问是否存在这样的点 P，使得四边形 ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点 P 的坐标；
若不存在，请说明理由．
（3）若△AOB 沿 AC 方向平移（点 A 始终在线段 AC 上，且不与点 C 重合），△AOB 在
平移过程中与△COD 重叠部分面积记为 S．试探究 S 是否存在最大值？若存在，求出这个
最大值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 O、A、C，
可得 c=0，∴ ，
解得 a= ，b= ，
∴抛物线解析式为 y= x2+ x．
（2）设点 P 的横坐标为 t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得 PN=
∴P（t， ），∵点 M 在抛物线上，∴M（t， t2+ t）．
如解答图 1，过 M 点作 MG⊥AB 于 G，过 P 点作 PH⊥AB 于 H，
AG=yA﹣yM=2﹣（ t2+ t）= t2﹣ t+2，BH=PN= ．
当 AG=BH 时，四边形 ABPM 为等腰梯形，
∴ t2﹣ t+2= ，
化简得 3t2﹣8t+4=0，解得 t1=2（不合题意，舍去），t2= ，
∴点 P 的坐标为（ ， ）
∴存在点 P（ ， ），使得四边形 ABPM 为等腰梯形．
（3）如解答图 2，△AOB 沿 AC 方向平移至△A′O′B′，A′B′交 x 轴于 T，交 OC 于 Q，A′O′
交 x 轴于 K，交 OC 于 R．
求得过 A、C 的直线为 yAC=﹣x+3，可设点 A′的横坐标为 a，则点 A′（a，﹣a+3），
易知△OQT∽△OCD，可得 QT= ，
∴点 Q 的坐标为（a， ）．
解法一：
设 AB 与 OC 相交于点 J，
∵△ARQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴ =
∴HT= = =2﹣a，
KT= A′T= （3﹣a），A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣ =3﹣ a．
S 四边形 RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ= KT•A′T﹣ A′Q•HT
= • •（3﹣a）﹣ •（3﹣ a）•（﹣a+2）
= a2+ a﹣ = （a﹣ ）2+
由于 ＜0，
∴在线段 AC 上存在点 A′（ ， ），能使重叠部分面积 S 取到最大值，最大值为 ．
解法二：
过点 R 作 RH⊥x 轴于 H，则由△ORH∽△OCD，得 ①
由△RKH∽△A′O′B′，得 ②
由①，②得 KH= OH，
OK= OH，KT=OT﹣OK=a﹣ OH ③
由△A′KT∽△A′O′B′，得 ，
则 KT= ④
由③，④得 =a﹣ OH，即 OH=2a﹣2，RH=a﹣1，所以点 R 的坐标为 R（2a﹣2，a﹣1）
S 四边形 RKTQ=S△QOT﹣S△ROK= •OT•QT﹣ •OK•RH
= a• a﹣ （1+ a﹣ ）•（a﹣1）
= a2+ a﹣ = （a﹣ ）2+
由于 ＜0，
∴在线段 AC 上存在点 A′（ ， ），能使重叠部分面积 S 取到最大值，最大值为 ．
解法三：
∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB= ，
∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（﹣a+3）• = a+ ，
∴OK=OT﹣KT=a﹣（ a+ ）= a﹣ ，
过点 R 作 RH⊥x 轴于 H，∵tan∠OAB=tan∠RKH= =2，∴RH=2KH
又∵tan∠OAB=tan∠ROH= = = ，
∴2RH=OK+KH= a﹣ + RH，∴RH=a﹣1，OH=2（a﹣1），
∴点 R 坐标 R（2a﹣2，a﹣1）
S 四边形 RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ= •KT•A′T﹣ A′Q•（xQ﹣xR）
= • •（3﹣a）﹣ •（3﹣ a）•（﹣a+2）
= a2+ a﹣ = （a﹣ ）2+
由于 ＜0，
∴在线段 AC 上存在点 A′（ ， ），能使重叠部分面积 S 取到最大值，最大值为 ．
微信/支付宝扫码支付