12.请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 21 29y x (答案不唯一) .
①过点 (31),;
②当 0x 时,y 随 x 的增大而减小;
③当自变量的值为 2 时,函数值小于 2.
13 . 二 次 函 数 322 xxy 的 图 象 关 于 原 点 O ( 0, 0 ) 对 称 的 图 象 的 解 析 式 是
2 2 3y x x 。
如图所示,已知 F 是以 O 为圆心,BC 为直径的半圆上任一点,A 是 BF 的中点,AD⊥BC 于点 D.
求证:AD= 1
2
BF.
证明:连接 OA,交 BF 于点 E,
∵A 是弧 BF 的中点,O 为圆心,
∴OA⊥BF,
∴BE=
1
2 BF
∵AD⊥BC 于点 D,
∴∠ADO=∠BEO=90°,
在△OAD 与△OBE 中,
∠ADO=∠BEO=90°
∠AOD=∠BOE
BO=AO
∴△OAD≌△OBE(AAS),
∴AD=BE,
∴AD=
1
2 BF
如图,⊙O 的直径 AB 的两侧有定点 C 和动点 P.已知 BC=4,CA=3,点 P 在 AB 上运动,过点 C 作
CP 的垂线,与 PB 的延长线交于点 Q.
(1)当点 P 运动到与点 C 关于 AB 对称时 ,求 C Q 的长.
(2)当点 P 运动到弧 AB 的中点时,求 C Q 的长.
(3)当点 P 运动到什么位置时,CQ 取到最大值,并求此时 CQ 的长.
.
OD C
F
B
A
解:(1)当点 P 与点 C 关于 AB 对称时,CP⊥AB,设垂足为 D,
∵AB 为⊙O 的直径,
∴∠ACB=90°,
∴BC=4,AC=3,
∵AC•BC=AB•CD,
∴CD=
12
5
∴PC=
24
5
.
在 Rt△ACB 和 Rt△PCQ 中,
∠ACB=∠PCQ=90°,∠CAB=∠CPQ,
∴△ACB∽△PCQ,
∴ AC BC
PC CQ
∴CQ=
4
3
PC=
32
5
(2)当点 P 运动到 AB 的中点时,过点 B 作 BE⊥PC 于点 E.
∵点 P 是 AB 的中点,
∴∠PCB=45°,
BE=CE=
2 2 22 BC
在 Rt△EPB 中,tan∠EPB=
4
3
BE
PE
∴PE=
3 3 2
4 2BE
∴PC=PE+CE=
7 2
2
.
∴CQ=
4 14 2
3 3BE
(3)点 P 在 AB 上运动时,恒有 CQ=
4
3 PC
所以 PC 最大时,CQ 取到最大值,
当 PC 过圆心 O,即 PC 取最大值 5 时,CQ 最大值为 20
3
23.如图,把两个全等的 Rt△AOB 和 Rt△COD 分别置于平面直角坐标系中,使直角边 OB、
OD 在 x 轴上.已知点 A(1,2),过 A、C 两点的直线分别交 x 轴、y 轴于点 E、F.抛物线
y=ax2+bx+c 经过 O、A、C 三点.
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)点 P 为线段 OC 上一个动点,过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 M,交 x 轴于点
N,问是否存在这样的点 P,使得四边形 ABPM 为等腰梯形?若存在,求出此时点 P 的坐标;
若不存在,请说明理由.
(3)若△AOB 沿 AC 方向平移(点 A 始终在线段 AC 上,且不与点 C 重合),△AOB 在
平移过程中与△COD 重叠部分面积记为 S.试探究 S 是否存在最大值?若存在,求出这个
最大值;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 O、A、C,
可得 c=0,∴ ,
解得 a= ,b= ,
∴抛物线解析式为 y= x2+ x.
(2)设点 P 的横坐标为 t,∵PN∥CD,∴△OPN∽△OCD,可得 PN=
∴P(t, ),∵点 M 在抛物线上,∴M(t, t2+ t).
如解答图 1,过 M 点作 MG⊥AB 于 G,过 P 点作 PH⊥AB 于 H,
AG=yA﹣yM=2﹣( t2+ t)= t2﹣ t+2,BH=PN= .
当 AG=BH 时,四边形 ABPM 为等腰梯形,
∴ t2﹣ t+2= ,
化简得 3t2﹣8t+4=0,解得 t1=2(不合题意,舍去),t2= ,
∴点 P 的坐标为( , )
∴存在点 P( , ),使得四边形 ABPM 为等腰梯形.
(3)如解答图 2,△AOB 沿 AC 方向平移至△A′O′B′,A′B′交 x 轴于 T,交 OC 于 Q,A′O′
交 x 轴于 K,交 OC 于 R.
求得过 A、C 的直线为 yAC=﹣x+3,可设点 A′的横坐标为 a,则点 A′(a,﹣a+3),
易知△OQT∽△OCD,可得 QT= ,
∴点 Q 的坐标为(a, ).
解法一:
设 AB 与 OC 相交于点 J,
∵△ARQ∽△AOJ,相似三角形对应高的比等于相似比,∴ =
∴HT= = =2﹣a,
KT= A′T= (3﹣a),A′Q=yA′﹣yQ=(﹣a+3)﹣ =3﹣ a.
S 四边形 RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ= KT•A′T﹣ A′Q•HT
= • •(3﹣a)﹣ •(3﹣ a)•(﹣a+2)
= a2+ a﹣ = (a﹣ )2+
由于 <0,
∴在线段 AC 上存在点 A′( , ),能使重叠部分面积 S 取到最大值,最大值为 .
解法二:
过点 R 作 RH⊥x 轴于 H,则由△ORH∽△OCD,得 ①
由△RKH∽△A′O′B′,得 ②
由①,②得 KH= OH,
OK= OH,KT=OT﹣OK=a﹣ OH ③
由△A′KT∽△A′O′B′,得 ,
则 KT= ④
由③,④得 =a﹣ OH,即 OH=2a﹣2,RH=a﹣1,所以点 R 的坐标为 R(2a﹣2,a﹣1)
S 四边形 RKTQ=S△QOT﹣S△ROK= •OT•QT﹣ •OK•RH
= a• a﹣ (1+ a﹣ )•(a﹣1)
= a2+ a﹣ = (a﹣ )2+
由于 <0,
∴在线段 AC 上存在点 A′( , ),能使重叠部分面积 S 取到最大值,最大值为 .
解法三:
∵AB=2,OB=1,∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB= ,
∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=(﹣a+3)• = a+ ,
∴OK=OT﹣KT=a﹣( a+ )= a﹣ ,
过点 R 作 RH⊥x 轴于 H,∵tan∠OAB=tan∠RKH= =2,∴RH=2KH
又∵tan∠OAB=tan∠ROH= = = ,
∴2RH=OK+KH= a﹣ + RH,∴RH=a﹣1,OH=2(a﹣1),
∴点 R 坐标 R(2a﹣2,a﹣1)
S 四边形 RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ= •KT•A′T﹣ A′Q•(xQ﹣xR)
= • •(3﹣a)﹣ •(3﹣ a)•(﹣a+2)
= a2+ a﹣ = (a﹣ )2+
由于 <0,
∴在线段 AC 上存在点 A′( , ),能使重叠部分面积 S 取到最大值,最大值为 .