西城区初三数学期末考试题及答案（南区）

北京市西城区 2012—2013 学年度第一学期期末试卷（南区） 九年级数学 2013.1 考 生 须 知 1．本试卷共 6 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分。考试时间 120 分钟。 2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 3．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．二次函数 2)1( 2  xy 的最小值是 A． 1 B．1 C． 2 D．2 2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠ABC＝40°，则∠AOC 的度数为 A．20° B．40° C．60° D．80° 3．两圆的半径分别为 2 和 3，若圆心距为 5，则这两圆的位置关系是 A．相交 B．外离 C．外切 D．内切 4．三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示. 若 20cm 50cmOA OA ， ，则这个三角尺的周长 与它在墙上形成的影子的周长的比是 A．5∶2 B．2∶5 C．4∶25 D．25∶4 5．如图，正方形 ABCD 的内切圆和外接圆的圆心为O，EF 与 GH 是此 外接圆的直径，EF=4，AD⊥GH，EF⊥GH，则图中阴影部分的面积是 A．π B．2π C．3π D．4π 6．袋子里有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是红色的，一枚是绿色的．从中随机 同时摸出两枚，则摸出的两枚棋子颜色相同的概率是 A． 4 1 B． 2 1 C． 3 2 D． 3 1 7．如图，直线 4 43y x   与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B 两点， △AOB 绕点 A顺时针旋转 90°后得到△ AO B  ，则点 B 的对应 点 B的坐标为 A．（3，4） B．（7，4） C．（7，3） D．（3，7） 8．如图，△ABC 中，∠B=60°，∠ACB=75°，点 D 是 BC 边上一个动点，以 AD 为直径作⊙O，分别交 AB、AC 于点 E、F，若弦 EF 长度的最小值为 1，则 AB 的长为 A. 22 B. 63 2 C. 1.5 D. 4 33 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9．扇形的半径为 9，且圆心角为 120°，则它的弧长为_______. 10．已知抛物线 2 3y x x   经过点 )2( 1yA ， 、 )3( 2yB ， ，则 1y 与 2y 的大小关系是 _______． 11．如图，PA、PB 分别与⊙O 相切于 A、B 两点，且 OP=2， ∠APB=60°．若点 C 在⊙O 上，且 AC= 2 ，则圆周角 ∠CAB 的度数为_______． 12．已知二次函数 cbxaxy  2 的图象与 x 轴交于(1,0)和( 1x ,0)，其中 12 1x    ，与 y 轴交于正半轴上一点．下列结论：① 0b ；② 2 4 1 bac  ；③ a b ；④ aca 2 ．其 中所有正确结论的序号是_______． 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．计算： 22 sin60 4cos 30 +sin 45 tan60     ． 14．已知抛物线 2 4 1y x x   ． （1）用配方法将 2 4 1y x x   化成 2( )y a x h k   的形式； （2）将此抛物线向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，求平移后所得抛物线的解析 式． 15．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，点 D 在 AC 边上．若 DB=6， AD= 1 2 CD，sin∠CBD= 2 3 ，求 AD 的长和 tanA 的值． 16．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且 CD⊥AB 于点 E． （1）求证：∠BCO=∠D； （2）若 CD= 4 2 ，AE=2，求⊙O 的半径． 17．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=6，点 P 为 AC 边中点， 点 M 是 BC 边上一点．将△CPM 沿直线 MP 翻折，交 AB 于点 E， 点 C 落在点 D 处，∠BME=120°． （1）求∠CMP 的度数；（2）求 BM 的长． 18．如图，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 45°方向，距离灯塔 100 海里的 A 处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔 P 的北偏东 30°方向上的 B 处. （1）B 处距离灯塔 P 有多远？ （2）圆形暗礁区域的圆心位于 PB 的延长线上，距离灯塔 200 海里的 O 处．已知圆形暗礁 区域的半径为 50 海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达 B 处 是否有触礁的危险，并说明理由． 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．已知抛物线 322  xxy . （1）它与 x 轴的交点的坐标为_______； （2）在坐标系中利用描点法画出它的图象； （3）将该抛物线在 x 轴下方的部分(不包含与 x 轴的交点)记为 G，若直线 bxy  与 G 只有一个公共点，则b 的取值范围是_______． 20．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 的直线 与 AB 的延长线交于点 P，∠COB=2∠PCB. （1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）点 M 是弧 AB 的中点，CM 交 AB 于点 N， 若 MN · MC=8，求⊙O 的直径. 21．平面直角坐标系 xOy 中，原点 O 是正三角形 ABC 外接圆的圆心，点 A 在 y 轴的正半 轴上，△ABC 的边长为 6．以原点 O 为旋转中心将△ABC 沿逆时针方向旋转 角，得到 △ A B C  ，点 A 、 B 、C 分别为点 A、B、C 的对应点． （1）当 =60°时， ①请在图 1 中画出△ A B C  ； ②若 AB 分别与 CA  、 BA  交于点 D、E，则 DE 的长为_______； （2）如图 2，当 CA  ⊥AB 时， BA  分别与 AB、BC 交于点 F、G，则点 A 的坐标为 _______，△FBG 的周长为_______，△ABC 与△ A B C   重叠部分的面积为 _______． 22．阅读下面的材料： 小明在学习中遇到这样一个问题：若 1≤x≤m，求二次函数 2 6 7y x x   的最大值．他 画图研究后发现， 1x  和 5x  时的函数值相等，于是他认为需要对 m 进行分类讨论． 他的解答过程如下： ∵二次函数 2 6 7y x x   的对称轴为直线 3x  ， ∴由对称性可知， 1x  和 5x  时的函数值相等． ∴若 1≤m＜5，则 1x  时， y 的最大值为 2； 若 m≥5，则 mx  时， y 的最大值为 2 6 7m m  ． 请你参考小明的思路，解答下列问题： （1）当 2 ≤x≤4 时，二次函数 142 2  xxy 的最大值为_______； （2）若 p≤x≤2，求二次函数 142 2  xxy 的最大值； （3）若 t≤x≤t+2 时，二次函数 142 2  xxy 的最大值为 31，则t 的值为_______． 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．已知抛物线 2 1 2(1 )y x m x n    经过点（ 1 ， 13 2m  ）． （1）求 n m 的值； （2）若此抛物线的顶点为（ p ，q ），用含 m 的式子分别表示 p 和 q ，并求 q 与 p 之间 的函数关系式； （3）若一次函数 2 12 8y mx   ，且对于任意的实数 x ，都有 1y ≥ 22y ，直接写出 m 的 取值范围. 24．以平面上一点 O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB 和△COD，其中 ∠ABO=∠DCO=30°． （1）点 E、F、M 分别是 AC、CD、DB 的中点，连接 FM、EM． ①如图 1，当点 D、C 分别在 AO、BO 的延长线上时， FM EM =_______； ②如图 2，将图 1 中的△AOB 绕点 O 沿顺时针方向旋转 角（0 60   ），其 他条件不变，判断 FM EM 的值是否发生变化，并对你的结论进行证明； （2）如图 3，若 BO= 3 3 ，点 N 在线段 OD 上，且 NO=2．点 P 是线段 AB 上的一个 动点，在将△AOB 绕点 O 旋转的过程中，线段 PN 长度的最小值为_______，最 大值为_______． 25．如图 1，平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 21 2y x bx c   与 x 轴交于 A、B 两点，点 C 是 AB 的中点，CD⊥AB 且 CD=AB．直线 BE 与 y 轴平行，点 F 是射线 BE 上的一个动点， 连接 AD、AF、DF. （1）若点 F 的坐标为（ 9 2 ，1），AF= 17 . ①求此抛物线的解析式； ②点 P 是此抛物线上一个动点，点 Q 在此抛物线的对称轴上，以点 A、F、P、Q 为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点 Q 的坐标； （2）若 2 2b c   ， 2b t   ，且 AB 的长为 kt ，其中 0t  ．如图 2，当∠DAF=45° 时，求 k 的值和∠DFA 的正切值. 北京市西城区 2012—2013 学年度第一学期期末试卷（南区） 九年级数学参考答案及评分标准 2013.1 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C B A D C B 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 题号 9 10 11 12 答案 6π 1 2y y 15°或 75° ②④ 阅卷说明：第 11 题写对一个答案得 2 分．第 12 题只写②或只写④得 2 分;有错解得 0 分． 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．解：原式 2 3 3 22 4 32 2 2           .................................................................. 4 分 6 3  . ..........................................................................................................5 分 14．解：（1） 2 4 1y x x   2( 4 4) 3x x    2( 2) 3x   .............................................................................................2 分 （2）∵抛物线 2 4 1y x x   的顶点坐标为 (2, 3) ， .....................................3 分 ∴平移后的抛物线的顶点坐标为 (3, 1) . ................................................... 4 分 ∴平移后所得抛物线的解析式为 2 2( 3) 1 6 8y x x x      . ..............5 分 15．解：如图 1. 在 Rt△DBC 中，∠C=90°，sin∠CBD= 2 3 ，DB=6， ∴ 2sin 6 43CD DB CBD      . ………… 1 分 ∴ AD= 1 2 CD= 1 4 22   . ……………………2 分 ∵ 2 2 2 26 4 2 5CB BD CD     ， ...............................................................3 分 AC= AD+CD=2+4=6，...........................................................................................4 分 在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ∴tanA= 2 5 5 6 3 CB AC   . ........................................................................................5 分 16．（1）证明：如图 2. ∵OC=OB， ∴∠BCO=∠B. …………………………………1 分 ∵∠B=∠D， ∴∠BCO=∠D. ………………………………2 分 （2）解：∵AB 是⊙O 的直径，且 CD⊥AB 于点 E， 图 1 图 2 ∴CE= 1 2 CD= 1 4 2 2 22   . ………… 3 分 在 Rt△OCE 中， 2 2 2OC CE OE  ， 设⊙O 的半径为 r，则 OC=r，OE=OA AE=r  2， ∴ 2 2 2(2 2) ( 2)r r   . ………………… 4 分 解得 3r  . ∴⊙O 的半径为 3. ……………………… 5 分 17．解：如图 3. （1）∵将△CPM 沿直线 MP 翻折后得到△DPM， ∴∠CMP=∠DMP . ..............................................1 分 ∵∠BME=120°， ∴∠CMP=30°. ......................................................2 分 （2）∵AC=6，点 P 为 AC 边中点， ∴CP=3. ...................................................................3 分 在 Rt△CMP 中，CP=3，∠MCP=90°，∠CMP=30°， ∴CM= 33 . ........................................................... 4 分 ∴BM= 336  . ......................................................................................................5 分 18．解：（1）作 PC⊥AB 于 C.（如图 4） 在 Rt△PAC 中，∠PCA=90°，∠CPA=90°  45°=45°. ∴ 2cos45 100 50 22PC PA     . ................... 2 分 在 Rt△PCB 中，∠PCB=90°，∠PBC=30°. ∴ 2 100 2PB PC  . 答：B 处距离灯塔 P 有100 2 海里. ........................3 分 （2）海轮若到达 B 处没有触礁的危险. ........................... 4 分 理由如下： ∵ 200 100 2OB OP PB    ， 而100 2 150 ， ∴ 200 100 2 200 150   . ∴ 50OB  . ......................................................................................................5 分 ∴B 处在圆形暗礁区域外，没有触礁的危险. 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．解：（1）它与 x 轴的交点的坐标为（-1，0），（3，0）； ………………………1 分 （2）列表： x … -1 0 1 2 3 … y … 0 -3 -4 -3 0 … 图 4 图 3 图象（如图 5）；………………… 3 分 （3） b 的取值范围是 3 1b   或 4 21b ．............................................................5 分 阅卷说明：只写 3 1b   或只写 4 21b 得 1 分. 20．（1）证明：∵OA=OC， ∴∠A=∠ACO . ∴∠COB=2∠ACO . 又∵∠COB=2∠PCB， ∴∠ACO=∠PCB . ........................................................................................ 1 分 ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACO +∠OCB=90° . ∴∠PCB +∠OCB=90°, 即 OC⊥CP. ∵OC 是⊙O 的半径， ∴PC 是⊙O 的切线. ...................................................................................2 分 （2）解：连接 MA、MB.（如图 6） ∵点 M 是弧 AB 的中点， ∴∠ACM=∠BAM. ∵∠AMC=∠AMN， ∴△AMC∽△NMA . …………………… 3 分 ∴ AM MC NM MA  . ∴ 2AM MC MN  . ∵MC·MN=8, ∴ 2 2AM  . ................................................................................................4 分 ∵AB 是⊙O 的直径，点 M 是弧 AB 的中点， ∴∠AMB=90°，AM=BM= 2 2 . ∴ 2 2 4AB AM BM   . .........................................................................5 分 21．解：（1）①如图 7 所示；...................................................1 分 ②DE 的长为 2 ；................................................. 2 分 （2）点 A 的坐标为 ( 3,3) ，△FBG 的周长为 6 ， △ABC 与△ A B C   重叠部分的面积为 27 9 3 ． ...........................5 分 阅卷说明：第（2）问每空 1 分. 22．解：（1）当 2 ≤x≤4 时，二次函数 142 2  xxy 的最大值为 49； .................1 分 （2）∵二次函数 22 4 1y x x   的对称轴为直线 1x ， ∴由对称性可知， 4x 和 2x 时函数值相等. ∴若 24  p ，则 2x 时， y 的最大值为 17. .................................... 2 分 若 4p ，则 px  时， y 的最大值为 142 2  pp . ......................... 3 分 图 7 图 6 （3）t 的值为 1 或-5 . ............................................................................................... 5 分 阅卷说明：只写 1 或只写-5 得 1 分;有错解得 0 分. 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．解：（1）∵抛物线 2 1 2(1 )y x m x n    经过点（ 1 ， 13 2m  ）， ∴ 213 ( 1) 2(1 ) ( 1)2m m n        . ∴ 3 2n m  . ..................................................................................................1 分 （2）∵ 2 1 32(1 ) 2y x m x m     ， ∴ 1p m  ， ..................................................................................................2 分 2 13 2q m m    . ....................................................................................3 分 ∵ 1p m  ， ∴ 1m p  . ∴ 2 1( 1) 3( 1) 2q p p      . ∴ 2 5 2q p p    . ..........................................................................................5 分 （3） m 的取值范围是 3 1 2 2m   且 0m  . ......................................................... 7 分 阅卷说明：只写 3 1 2 2m   或只写 0m  得 1 分. 24．解：（1）① FM EM  3 2 ；........................................................... ………………………1 分 ②结论： FM EM 的值不变.（阅卷说明：判断结论不设给分点） 证明：连接 EF、AD、BC.（如图 8） ∵Rt△AOB 中，∠AOB=90°，∠ABO=30°， ∴ 3tan30 3 AO BO   . ∵Rt△COD 中，∠COD=90°，∠DCO=30°， ∴ 3tan30 3 DO CO   . ∴ 3 3 AO DO BO CO   . 又∵∠AOD=90°+∠BOD，∠BOC=90°+∠BOD， ∴∠AOD=∠BOC. ∴△AOD∽△BOC． .....................................................................................2 分 ∴ 3 3 AD BC  ，∠1=∠2. 图 8 ∵点 E、F、M 分别是 AC、CD、DB 的中点， ∴EF∥AD，FM∥CB，且 1 2EF AD ， 1 2FM CB . ∴ 3 3 EF FM  ， ..............................................................................................3 分 ∠3=∠ADC=∠1+∠6，∠4=∠5. ∵∠2+∠5+∠6=90°， ∴∠1+∠4+∠6=90°，即∠3+∠4=90°. ∴∠EFM=90°. .............................................................................................. 4 分 ∵在 Rt△EFM 中，∠EFM=90°， 3tan 3 EFEMF FM    ， ∴∠EMF=30°. ∴ 3cos 2 FM EMFEM    . ...........................................................................5 分 （2）线段 PN 长度的最小值为 3 3 22  ，最大值为3 3 2 . ...........................7 分 阅卷说明：第（2）问每空 1 分. 25．解：（1）①∵直线 BE 与 y 轴平行，点 F 的坐标为（ 9 2 ，1）， ∴点 B 的坐标为（ 9 2 ， 0 ），∠FBA=90°，BF=1. 在 Rt△ABF 中，AF= 17 ， ∴ 2 2 17 1 4AB AF FB     . ∴点 A 的坐标为（ 1 2 ， 0 ）. ∴抛物线的解析式为 21 1 9 1 5 9( )( )2 2 2 2 2 8y x x x x      . ................. 1 分 ②点 Q 的坐标为 1Q （ 5 2 ，3）， 2Q （ 5 2 ，5 ）， 3Q （ 5 2 ， 7 ）. ............4 分 阅卷说明：答对 1 个得 1 分. （2）∵ 2 2b c   ， 2b t   ， ∴ 2 2c t  . ∴ 21 (2 ) 2 22y x t x t     . 由 21 (2 ) 2 2 02 x t x t     ， ( 2)( 2 2) 0x x t    . 解得 1 2x  ， 2 2 2x t  . ∵ 0t  ， ∴点 A 的坐标为（ 2 ， 0 ），点 B 的坐标为（ 2 2t  ， 0 ）. ∴AB= 2 2 2 2t t   ，即 2k  . ................................................................ 5 分 方法一：过点 D 作 DG∥ x 轴交 BE 于点 G，AH∥BE 交直线 DG 于点 H，延 长 DH 至点 M，使 HM=BF，连接 AM.（如图 9） ∵DG∥ x 轴，AH∥BE， ∴四边形 ABGH 是平行四边形. ∵∠ABF=90°， ∴四边形 ABGH 是矩形. 同理四边形 CBGD 是矩形. ∴AH=GB=CD=AB=GH= 2t . ∵∠HAB=90°，∠DAF=45°， ∴∠1+∠2=45°. 在△AFB 和△AMH 中， AB=AH， ∠ABF=∠AHM=90°， BF=HM， ∴△AFB≌△AMH. ...................................................................................... 6 分 ∴∠1=∠3，AF=AM，∠4=∠M. ∴∠3+∠2=45°. 在△AFD 和△AMD 中， AF=AM， ∠FAD=∠MAD， AD=AD， ∴△AFD≌△AMD. ∴∠DFA=∠M，FD=MD. ∴∠DFA=∠4. ……………………………………………………………7 分 ∵C 是 AB 的中点， ∴DG=CB=HD=t . 设 BF= x ，则 GF= 2t x ，FD=MD=t x . 在 Rt△DGF 中， 2 2 2DF DG GF  ， ∴ 2 2 2( ) (2 )t x t t x    ，解得 2 3 tx  . ∴ 2tan tan 4 2 33 AB tDFA tFB        .…8 分 方法二：过点 D 作 DM⊥AF 于 M.（如图 10） ∵CD⊥AB，DM⊥AF， ∴∠NCA=∠DMN=90°. ∵∠1=∠2， ∴∠NAC=∠NDM. ∴tan∠NAC=tan∠NDM. 图 9 图 10 ∴ NC NM AC DM  . ……………………………6 分 ∵C 是 AB 的中点，CD=AB= 2t ， ∴AC=t ， 2 2 2 2(2 ) 5AD AC CD t t t     . ∵∠DAM=45°， ∴ 2 10sin 45 5 2 2DM AM AD t t      . 设 CN= x ，则 DN= 2t x . ∴ 10 2 x NM t t  . ∴ 10 2NM x . 在 Rt△DNM 中， 2 2 2DN DM NM  ， ∴ 2 2 210 10(2 ) ( ) ( )2 2t x t x   . 2 23 8 3 0x tx t   . (3 )( 3 ) 0x t x t   . ∴ 1 3 tx  ， 2 3x t  （舍）. ∴CN= 3 t ， …………………………………………………………………7 分 AN= 2 2 10 3 3 tt t     . ∵EB∥ y 轴， ∴EB⊥ x 轴. ∵CD⊥AB， ∴CD∥EB. ∴ 1 2 AC AN AB AF   . ∴AF= 2 10 3 t . ∴MF= AF AM= 2 10 10 10 3 2 6t t t  . ∴ 10 10tan 32 6 DMDFA t tMF          . ………………………………8 分