北师大版八年级下册数学综合能力测试题

综合能力测试 1.如图①是一个长为 2a,宽为 2b 的长方形纸片,其长方形的面积显然为 4ab,现将此长方形纸片沿 图中虚线剪开,分成 4 个小长方形,然后拼成如图②的一个正方形. (1)图②中阴影正方形 EFGH 的边长为: _________________； (2)观察图②,代数式(a -b)2 表示哪个图形的面积？代数式(a+b)2 呢？ (3)用两种不同方法表示图②中的阴影正方形 EFGH 的面积,并写出关于代数式(a+b)2、(a -b)2 和 4ab 之间的等量关系； (4)根据(3)题中的等量关系,解决如下问题:若 a+b=7,ab=5,求:(a -b)2 的值. 2.如图(1)线段 AB、CD 相交于点 O,连接 AD、CB．如图(2),在图(1)的条件下,∠DAB 和∠BCD 的平 分线 AP 和 CP 相交于点 P，并且与 CD、AB 分别相交于 M、N． 试解答下列问题： (1)在图(1)中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D 之间的等量关系； (2)在图(2)中,若∠D=40°,∠B=30°,试求∠P 的度数；（写出解答过程） (3)如果图(2)中,∠D 和∠B 为任意角,其他条件不变,试写出∠P 与∠D、∠B 之间数量关系．(直 接写出结论即可) 3.某同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B＝90°，∠ A：30°；图②中，∠D＝ 90°，∠F＝45°．图③是该同学所做的一个实验：他将△DEF 的直角边 DE 与△ABC 的斜边 AC 重合在一起，并将△DEF 沿 AC 方向移动．在移动过程中，D、E 两点始终在 AC 边上(移动开始时点 D 与点 A 重合)． (1)在△DEF 沿 AC 方向移动的过程中，该同学发现：F、C 两点间的距离逐渐_______；连接 FC，∠ FCE 的度数逐渐_______．（填“不变”、“变大”或“变小”） (2)△DEF 在移动的过程中，∠FCE 与∠CFE 度数之和是否为定值，请加以说明； (3)能否将△DEF 移动至某位置，使 F、C 的连线与 AB 平行？请求出∠CFE 的度数． 4．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)如图 a，若 AB∥CD，点 P 在 AB、CD 外部，则有∠B＝∠BOD.又因∠BOD 与 ∠POD 的互补，∠POD＋∠BPD＋∠D＝180 º，故∠BOD＝∠BPD＋∠D，得∠BPD＝∠B－∠D.将点 P 移 到 AB、CD 内部，如图 b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D 之间有何数量关系？请证明你的结论；（4 分） (2)在图 b 中，将直线 AB 绕点 B 逆时针方向旋转一定角度交直线 CD 于点 Q，如图 c，则∠BPD、∠B、 ∠D、∠BQD 之间有何数量关系？(不需证明)（3 分） (3)根据(2)的结论求图 d 中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F 的度数．（4 分） 5.用水平线和竖直线将平面分成若干边长为 1 的小正方形网格,小正方形的顶点叫格点，以格点为顶 点的多边形叫格点多边形.利用小正方形网格，可以求出格点多边形的面积.下图在网格中画出了 按一定规律排列的一些格点多边形，观察图形，找出规律，解答下列问题. ⑴对照图形，把下表空格填写完整. 多边形的序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 多边形内的格点数 1 2 3 4 5 …… n 多边形边界上的格点数 6 6 8 …… ---- 多边形的面积（平方单位） 3 4 6 …… ---- ⑵根据①—⑤个多边形的内部格点数、边界上的格点数和多边形面积的关系，用含 n(n 为奇数时) 的代数式表示按此规律排列的第 个多边形内部的格点数、边界上的格点数和面积. ⑶求在网格中按图中排列规律排列的 n 个多边形面积的和（用含 n 的代数式表示）. 6. 小明和小刚玩猜数游戏，小明说：“你任意选择三个一位数，按下列步骤计算：①把第一个数乘 以 5；②加上 2；③乘以 4；④加上第二个数的 2 倍；⑤乘以 5；⑥加上第三个数.只要你告诉我 计算的最后结果，我就知道你选择的三个一位数分别是多少.” ⑴第一次小刚计算的结果是 163，小明说小刚选择的三个数分别是 1、2、3；第二次小刚计算的 结果是 829，小明说小刚选择的三个数分别是 7、8、9；又试了几次，小明都说对了.若小刚 计算的结果是 199，你能说出小刚选择的三个数吗？ ⑵请你用所学的数学知识说明小明为什么每次都能说对小刚选择的三个一位数？ n n ① ② ③ ④ ⑤ 第 5 题图 7.一列火车从 A 站开往 B 站，沿途经过 n 个车站（包括起点站 A 和终点站 B）．该车挂有一节邮政车 厢，厢内装有从 A 站发往沿途每车站的邮包各１个．运行时，需要在每个车站停靠，每停靠一个 站不仅要卸下已通过各车站发给该车站的邮包各 1 个，还要装上发给下面行程中每个车站的邮包 各 1 个（到终点站 B 不再装进邮包）．w W w . ⑴火车从 A 站开出后（未到达第二站前），邮政车厢内装有多少个邮包？ ⑵当火车驶过第二站后（未到达第三站前）、驶过第三站后（未到达第四站前）、驶过第 x 个站后 （未到达下站前），邮政车厢内各装有多少个邮包？ ⑶若沿途共有车站２０个（包括 A、Ｂ两站），当驶过第 10 个站后（未到达下站前），邮政车厢 内装有多少个邮包？ 8、2005 年 6 月 1 日以来，台湾的十多种水果陆续地以零关锐登陆福建、上海等地.某水果商户抓住 商机，准备用 24000 元从福建采购两种畅销水果到内地销售.经市场调查，台湾芒果的批发价为每箱 40 元，台湾凤梨的批发价为每箱 50 元，同时了解到，投入市场销售后，芒果和凤梨分别可获得 25% 与 30%的利润.由于受保持期的销售量的限制，芒果的进购 量(箱数)不得超过凤梨进购量的 4 3 ，凤梨的进购量不得超过 320 箱，如果没芒果的进购量的 x(箱)， 两种水量全部销售完后所获得的利润为 y(元). (1)求所获利润 y(元)与进购量 x(箱)之间的函数关系式. (2)水果商应怎样进购两种水果，经销售完后所获利润最大，最大利润是多少? 9.近年来，全市中小学校在校人数呈逐年减少的趋势，但城区各中小学的在校人 数不但没有减少，反而有增加的趋势，镇（处）学校的部分学生流向城区学校，在学校 现有教育资源有限的情况下，给城区学校方面带来了很大的压力. 某校 2005 年的毕业人数占学校总人数的1 3 ，根据当年招生计划，该校招收的 新生将比已毕业的年级减少一个班.由于服务区外的新生大量涌入，使得招收的新生年级 班级名额严重超编，学校只能扩大班级的数目，新生班级数目在原计划的基础上增加了 1 3 ，使学校实际招收的新生人数占到学校在校人数的 4 11 .若各年级按平均每班 60 人计算， 设 2005 届学生毕业前学校共有班级 x 个. （现在校人数=上年在校人数+招收新生数-毕业人数） ⑴用含 x 的代数式表示 2005 年该校计划招生的班级数； ⑵求该校现有的班级数及在校人数. 数学问题