讲义 09 平行四边形的性质与判定
1.平行四边形不一定具有的性质是( )
A.对边平行 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分
2.下列说法正确的是（ ）．
A．有两组对边分别平行的图形是平行四边形 B．平行四边形的对角线相等
C．平行四边形的对角互补，邻角相等 D．平行四边形的对边平等且相等
3.在四边形 ABCD 中，从（1）AB∥ CD，（2）BC ∥ AD （3）AB=CD（4）BC=AD 这四个条件
中任选两个，能使四边形 ABCD 是平行四边形的选法有（ ）
A 3 种 B 4 种 C 5 种 D 6 种
4.若 A、B、C 三点不共线，则以其为顶点的平行四边形共有（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
5.在ABCD 中，∠A：∠B：∠C=2：3：2，则∠D=（ ）
A. 36° B. 108° C. 72° D. 60°
6.平行四边形的周长为 24cm，相邻两边长的比为 3：1， 那么这个平行四边形较短的边长
为（ ）．
A. 6cm B. 3cm C. 9cm D. 12cm
7.在ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，则能通过旋转达到重合的三角形有（ ）．
A. 2 对 B. 3 对 C. 4 对 D. 5 对
8.一个平行四边形的两条邻边的长分别是 4cm 和 5cm，它们的夹角是 30°，这个平行四边形
的面积是（ ）．
A．10cm2 B．10 3 cm2 C．5cm2 D．5 3 cm2
9.如图，P是四边形 ABCD 的 DC 边上的一个动点．当四边形 ABCD 满足条件______时，△PBA
的面积始终保持不变（注：只需填上你认为正确的一种条件即可）．
10.如图，在ABCD 中，∠A 的平分线交 BC 于点 E．若 AB=16cm，AD=25cm，则 BE=______，
EC=________．
11.平行四边形两邻角的平分线相交所成的角为________
12.已知 AD∥BC，要使四边形 ABCD 为平行四边形，需要增加的条件是__________________
（ 填一个你认为正确的条件）
13.一个四边形的边长依次是 a、b、c、d且 ，则这个四边形的
形状为 ；其理由是 .
14.ΔABC 的三条边为 4cm、5cm 和 7cm，分别以ΔABC 的任意两边为边做平行四边形，这样的
平行四边形能做几个？ ；它们的周长分别为：
15.如图：平行四边形 ABCD 的周长为 32cm，一组邻边 AB：BC＝3:5，∠B＝600，E 为 AB 边上
的任意一点，则ΔCED 的面积为 .
bdacdcba 222222
16.若一个平行四边形的一边长是 8，一条对角线长是 6，则它的另一条对角线长 x 的取值范
围是
17.如图，口 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，以 BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点 A正好落在 CD 上
的点 F，若△FDE 的周长为 8，△FCB 的周长为 22，则 FC 的长为 .
18.已知平行四边形的面积是 144,相邻两边上的高分别为 8和 9,则它的周长是__________
19.如图：平行四边形 ABCD 中，E、F 分别为对角线 BD 上的点，且 BE＝DF，判断四边形 AECF
的形状，并说明理由.
20.如图,平行四边形ABCD中,AB=5cm, BC=3cm, ∠D与∠C的平分线分别交AB于 F,E, 求 AE,
EF, BF 的长?
FE
D C
BA
21.如图所示：ΔABC 中，D 为 BC 边的中点，F、E 分别为 AD 及其延长线上的点，且 CF∥BE.
（1）说明：ΔBDE≌ΔCDF；（2）连结 BF、CE，试判断四边形 BECF 的形状，并说明理由.
22.如图：ΔABC 中，BD 平分∠ABC，DE∥BC，∠EFB＝∠C，判断 BE 与 FC 的数量关系，并说
明理由.
23.如图：平行四边形 ABCD，在 AB 的延长线上截取 BE＝AB，BF＝BD，连结 CE、DF 交于 G点，
试说明：CD＝CG。
24.在平行四边形 ABCD 中，AB：AD＝1:2，M 为 AD 的中点，求 ∠BMC 的度数.
25.已知：如图 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，E、F是 AC 上的两点，并且 AE=CF．求证：
四边形 BFDE 是平行四边形．
26.已知：O 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点，EF 经过点 O，且与 AB 交于 E，与 CD 交
于 F. 求证：四边形 AECF 是平行四边形.
27.如图，□ABCD 中， AE、AF 分别为 BC、CD 上的高，AE=2 ㎝，AF=5 ㎝，∠EAF=30°，求，
□ABCD 各内角度数和周长。
28.如图，ABCD 中，AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=30°，AE=4cm，AF=3cm，求ABCD 周长．
29.如图所示，在ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 任作一条直线分别交 AB，
CD 于点 E，F．（1）求证：OE=OF；（2）若 AB=7，BC=5，OE=2，求四边形 BCFE 的周长．
30.如图所示，在形状为平行四边形的一块地 ABCD 中，有一条小折路 EFG． 现在想把它改
为经过点 E 的直路，要求小路两侧土地的面积都不变， 请在图中画出改动后的小路．
31.如图,为公园的一块草坪,其四角上各有一棵树,现园林工人想使这个草坪的面积扩大一
倍,又要四棵树不动,并使扩大后的草坪为平行四边形,试问这个想法能否实现,若能请你设
计出草图,否则说明理由.
32.已知，如图，△ABC 是等边三角形，过 AC 边上的点 D 作 DG∥BC，交 AB 于点 G，在 GD 和
延长线上取点 E，使 DE＝DC，连接 AE、BD。
（1）求证：△AGE≌△DAB；
（2）过点 E 作 EF∥DB，交 BC 于点 F，连结 AF，求∠AFE 的度数。
课堂小练-08 期中综合复习题 姓名：
1.如图所示，在ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，图中全等三角形有（ ）
A．5对 B．4 对 C．3对 D．2 对
2.在ABCD 中，∠A 的平分线交 BC 于点 E，若 CD=10，AD=16，则 EC 为（ ）
A．10 B．16 C．6 D．13
3.已知ABCD 的一条边长是 5，则两条对角线的长可能是（ ）
A．6和 16 B．6 和 6 C．5和 5 D．8和 18
4.将一张平行四边形纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积， 则这样的折纸方法有（ ）
A．1种 B．2 种 C．3种 D．无数种
5.如图所示，在ABCD 中，若∠A=45°，AD= 6 ，则 AB 与 CD 之间的距离为（ ）
A． 6 B． 3 C． 2 D．3
6.在ABCD 中，若 AB：BC=2：3，周长为 30cm，则 AB=______cm，BC=______cm．
7.如图所示，在ABCD 中，两条对角线交于点 O，若 AO=2cm，△ABC 的周长为 13cm，则ABCD 的
周长为______cm．
8.已知点 O 是□ABCD 两条对角线的交点，对角线 AC=24mm，BD=38mm，一边 BC=28mm，则△OAD 的周长为
mm.
9.在□ABCD 中，两邻边的差是 4cm，较短的一条边长是 6cm，在□ABCD 的周长是
10.在□ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，△OAD 的面积为 3，则□ABCD 的面积为
11.□ABCD 的周长为 120，对角线 AC、BD 相交于点 O，若△AOB 的周长比△BOC 的周长大 10，则 CD= ，
AD=
12.若一个平行四边形的一条边长为 10,一条对角线为 7,则另一条对角线长 x 的取值范围是
13.如图，AD∥BC，AE∥CD，BD 平分∠ABC，求证 AB=CE。
14.如图，平行四边形 ABCD 中，AC 交 BD 于 O，AE⊥BD 于 E，∠EAD=60°，AE=2cm,AC+BD=14cm, 求三角
形 BOC 的周长。
15.如图所示，在 ABCD 中，∠ABC=60°，且 AB=BC，∠MAN=60°．请探索 BM，DN 与 AB 的数量关系，
并证明你的结论．
讲义 10 平行四边形 02 矩形
性质：(1)具有平行四边形的一切性质． (2)矩形的四个角都是直角．
(3)矩形的对角线相等． (4)矩形是轴对称图形．
判定：(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
(2)定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形．
(3)定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形．
课堂练习：
1.如图，周长为 68 的矩形 ABCD 被分成 7 个全等的矩形，则矩形 ABCD 的面积为（ ）．
A.98 B.196 C.280 D.284
2.如图，矩形 ABCD，R 是 CD 的中点，点 M在 BC 边上运动，E，F 分别是 AM，MR 的中点，则
EF 的长随着 M点的运动（ ）
A.变短 B.变长 C.不变 D.无法确定
3.如图，已知矩形 ABCD 的对角线 AC 的长为 10cm，连接各边中点 E，F，G，H 得四边形 EFGH，
则四边形 EFGH 的周长为
4.如图，长方形 ABCD 中，E 点在 BC 上，且 AE 平分∠BAC．若 BE=4，AC=15，则△AEC 面积为
（ ） A.15 B.30 C.45 D.60
5.如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4，点 P 在 AD 上，PE⊥AC 于 E，PF⊥BD 于 F，则 PE+PF
等于（ ） A.
7
5 B.
12
5 C.
13
5 D.
14
5
6.如图，双曲线 )0( ＞k
x
ky 经过矩形 QABC 的边 BC 的中点 E，交 AB 于点 D。若梯形 ODBC
的面积为 3，则双曲线的解析式为（ ）
A.
x
y 1
B.
x
y 2
C.
x
y 3
D.
x
y 6
7.如图（1）将矩形纸片ABCD沿 AE折叠，使点B落在直角梯形AECD的中位线FG上，若AB= 3，
则 AE 的长为（ ） A.2 3 B.3 C. 2 D. 3 3
2
8.如图，将边长为 8㎝的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边的中点 E 处，点 A 落在 F处，
折痕为 MN，则线段 CN 的长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
9.如图，矩形 ABCD中， 3 5AB BC ， ．过对角线交点O作OE AC 交 AD于 E，则 AE
的长是（ ）
A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.4
10.将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，AE、EF 为折痕，∠BAE＝30°，AB＝ 3，折叠
后，点 C 落在 AD 边上的 C1处，并且点 B 落在 EC1边上的 B1处．则 BC 的长为（ ）．
A. 3 B.2 C.3 D. 32
11.如图 1，在矩形MNPQ中，动点R从点N 出发，沿 N → P→Q→M 方向运动至点M
处停止．设点 R 运动的路程为 x， MNR△ 的面积为 y，如果 y关于 x的函数图象如图 2 所
示，则当 9x 时，点 R 应运动到（ ）
A．N处 B．P 处 C．Q 处 D．M 处
12.在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，若对角线 AC=10cm， 边 BC= 8cm， 则△
ABO 的周长为________．
13.如图 2，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（ 小路任何地方水平宽度都相等），
则剩余实验田的面积为________．
14.如图,在矩形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，且 MA⊥MD． 若矩形 ABCD 的周长为 48cm，
则矩形 ABCD 的面积为_______cm2．
15.如图，在矩形 ABCD 中，E 为 DC 上一点，且 BE=BA，∠EAD=150，则矩形两边 AD:AB 的值为
16.如图，在矩形ABCD中，BC=6cm，AE= 2
3
AD，∠a=300，且点A与点F关于BE对称，则BE= ，
AB= 。
17.如图，利用四边形的不稳定性改变矩形 ABCD 的形状，得到平行四边形 A1BCD1，若平行四
边形 A1BCD1的面积是矩形 ABCD 面积的一半，则∠A1BC 的度数是 度．
18.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 分别是 AO、AD 的中点，若
AC=8，则 EF=
19.如图，长方形 ABCD 的长为 8，宽为 5，E 是 AB 的中点，点 F 在 BC 上，已知△DEF 的面积
为 16，则点 D到直线 EF 的距离为
20.如图矩形 ABCD 中，AB=8cm，CB=4cm，E 是 DC 的中点，，则四边形 DBFE 的面积为 cm2．
21.如图，已知矩形 ABCD 中，E 是 AD 上的一点，F是 AB 上的一点，EF⊥EC，且 EF=EC，DE=4cm，
矩形 ABCD 的周长为 32cm，求 AE 的长．
22.如图，矩形 ABCD 中，点 E、F 分别在 AB、BC 上，△DEF 为等腰直角三角形，∠DEF=90°，
AD+CD=10，AE=2，求 AD 的长．
23.如图, 在矩形 ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分 CBH.
24.如图, 在矩形 ABCD 中, AD=12, AB=7, DF 平分 ADC, AF EF, (1)求 EF 长; (2)在平
面上是否存在点 Q, 使得 QA=QD=QE=QF? 若存在, 求出 QA 的长; 若不存在, 说明理由.
25.如图,在平行四边形 ABCD 中，以 AC 为斜边作 Rt△ACE，又∠BED=90°，则四边形 ABCD 是
矩形.试说明理由.
26.如图，四边形 ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N 分别是 AC、BD的中点，那么 MN⊥BD
成立吗？试说明理由．
27.如图矩形 ABCD中，延长CB到 E，使CE AC ， F 是 AE中点．求证： BF DF ．
28.如图所示，在△ABC 中，点 O是 AC 边上的一个动点，过 O 作直线 MN∥BC，设 MN 交∠ACB
的平分线于点 E，交∠ACB 的外角平分线于 F．
（1）求证：OE=OF；
（2）当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论．
29.如图，四边形 ABDC 中，∠ABC=∠ADC=90°，M、E 分别是 AC，BD 的中点，
求证：(1)MD=MB；(2)ME⊥BD
30.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E，交 AD 于点
F，且∠DBF=150，求证：OF=EF。
31.如图，在矩形 ABCD 中, CE=AC，F 为 AE 的中点，猜想 BF 与 DF 的位置关系。
32.如图，矩形 ABCD 中，AB＝4cm，BC＝8cm，动点 M 从点 D 出发，按折线 DCBAD 方向以 2cm/s
的速度运动，动点 N 从点 D 出发，按折线 DABCD 方向以 1cm/s 的速度运动．
（1）若动点 M、N 同时出发，经过几秒钟两点相遇？
（2）若点 E 在线段 BC 上，且 BE＝3cm，若动点 M、N 同时出发，相遇时停止运动，经过几
秒钟，点 A、E、M、N 组成平行四边形？
课堂小练-10 平行四边形 02 矩形 姓名：
1.顺次连结四边形 ABCD 各边中点得到四边形 EFGH，要使四边形 EFGH 是矩形，可以添加的一个条件是（ ）
A．AD∥BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AD=AB
2.矩形的面积是 12cm2，一边与一条对角线的比为 3：5，则矩形的对角线长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．12cm
3.矩形的边长为 10cm 和 15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分长分别为（ ）
A．4cm 和 11cm B．5cm 和 10cm C．6cm 和 9cm D．7cm 和 8cm
4.如图，矩形 ABCD 的周长为 20cm，两条对角线相交于 O 点，过点 O 作 AC 的垂线 EF，分别交 AD，BC 于 E，
F点，连接 CE，则△CDE 的周长为（ ）
A、5cm B、8cm C、9cm D、10cm
5.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 的交点为 O，矩形的长、宽分别为 7cm、4cm，EF 过点 O 分别交
AD、CB 于 E、F，那么图中阴影部分面积为 cm2．
6.如图所示，矩形纸片 ABCD 中，E 是 AD 的中点且 AE=1，BE 的垂直平分线 MN 恰好过点 C．则矩形的一边
AB 长度为
7.如图所示，矩形 ABCD 的两条对角线相交于 O，∠AOD=120°，AB=8cm，则矩形对角线 AC 长为______cm．
8.如图所示， 把两个大小完全相同的矩形拼成“L ”型图案，则∠FAC=_____，∠FCA=_____．
如图，在矩形 ABCD 中，DC=2BC，在 DC 上取一点 E，使 EB=AB，连结 EA，则∠DAE=
9.已知，如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 分别是 OA，OB 的中点．
（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若 AD=4cm，AB=8cm，求 OF 的长．
10.如图，在等边 ABC 中，点 D 是 AC 的中点，F是 BC 的中点，以 BD 为边作等边 BDE，求证：四边形 AEBF
为矩形。
11.如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB=8cm，BC=10cm，折叠矩形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的中点 F 处，
折痕为 AE，求 CE 的长．
12.如图所示，在直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点，A 的坐标为(1，0)，对角线的交点 P的坐标为(
5
2
，1)
⑴ 写出 B、C、D 三点的坐标；
⑵ 若在线段 AB 上有一点 E，过 E 点的直线将矩形 ABCD 的面积分为相等的两部分，求直线的解析式；
⑶ 若过 C 点的直线 l将矩形 ABCD 的面积分为 4：3 两部分，并与 y 轴交于点 M，求 M点的坐标．
讲义 11 平行四边形 03 菱形
定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质：1）菱形具有平行四边形所具有的一切性质.
2）菱形的四条边都相等.
3）菱形的对角线互相垂直并且每条对角线平分一组对角.
4）菱形的面积等于对角线乘积的一半.（如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这
个四边形的面积等于对角线乘积的一半）
判定方法： 1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3）四条边都相等的四边形是菱形.
课堂练习：
1.从菱形的钝角的顶点向对边引垂线，并且这条垂线平分对边， 则该菱形的钝角为（ ）．
A．110° B．120° C．135° D．150°
2.若顺次连接四边形 ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形 ABCD 一定是( )
A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形 C．矩形 D．对角线相等的四边形
3.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 为 AB 的中点，且 OE=a，则菱形 ABCD
的周长为（ ） A.16a B.12a C.8a D.4a
4.如图，D是△ABC 内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、
BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
5.已知菱形的两条对角线长分别为 4cm 和 10cm，则菱形的边长为（ ）
A.116cm B.29cm C. cm D. cm
6.菱形的周长等于高的 8 倍，则此菱形的较大内角是（ ）
A、60° B、90° C、120° D、150°
7.菱形的周长为 20cm，两邻角的比为 1：3，则菱形的面积为（ ）
A、25cm2 B、16cm2 C、 cm2 D、 cm2
8.如图为菱形 ABCD 与△ABE 的重迭情形，其中 D 在 BE 上．若 AB=17，BD=16，AE=25，则 DE
的长度为何？（ ） A、8 B、9 C、11 D、12
9.如图，D 是菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点，E、F 分别是 OA、OC 的中点．下列结论：
①S△ADE=S△EOD；②四边形 BFDE 也是菱形；③四边形 ABCD 的面积为 EF×BD；④∠ADE=∠EDO；
⑤△DEF 是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）
A、5个 B、4 个 C、3个 D、2 个
10.如图，在菱形 ABCD 中，∠A=110°，E，F 分别是边 AB 和 BC 的中点，EP⊥CD 于点 P，则
∠FPC=（ ）
A、35° B、45° C、50° D、55°
11.如图，菱形 OABC 的一边 OA 在 x 轴上，将菱形 OABC 绕原点 O顺时针旋转 75°至 OA′B′
C′的位置，若 OB=2 3，∠C=120°，则点 B′的坐标为（ ）
A．(3， 3 ) B．(3，- 3 ) C．( 6 ， 6 ) D．( 6 ，- 6 )
12.如图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为 20cm，
墙上悬挂晾衣架的两个铁钉 A、B 之间的距离为 20 cm，则∠1 等于（ ）
A、90° B、60° C、45° D、30°
13.如图，点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上的一个动点，点 M、N 分别是 AB、BC 边
上的中点，MP+NP 的最小值是（ ）
A.2 B.1 C. 2 D.
1
2
14.菱形 ABCD 的 AC 交 BD 于 O，AB=13，BO=12，AO=5，求菱形的周长=_____，面积= ____．
15.已知菱形的一条对角线的长为 12cm，面积是 30cm2，则这个菱形的另一条对角线的长
为 cm.
16.已知菱形的面积等于 80cm2，高等于 8cm，则菱形的周长为 .
17.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC＝8，BD＝6，过点 O 作 OH 丄 AB，垂
足为 H，则点 O到边 AB 的距离
18.如图，两条宽度为 1 的纸带，相交成 60°角，那么重叠部分的面积是
19.如图，在□ABCD 中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过 BC 的中点 E 作 EF⊥AB，垂足为点
F，与 DC 的延长线相交于点 H，则△DEF 的面积是 .
20.如图，在由 12 个边长都为 1且有一个锐角为 60°的小菱形组成的网格中，点 P是其中的
一个顶点，以点 P 为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出
所有可能的直角三角形斜边的长 _________ ．
21.如图所示，两个全等菱形的边长为 1 厘米，一只蚂蚁由 A 点开始按 ABCDEFCGA 的顺序沿
菱形的边循环运动，行走 2013 厘米后停下，则这只蚂蚁停在 _________ 点．
22.如图，点 O 是 AC 的中点，将周长为 4 ㎝的菱形 ABCD 沿对角线 AC 方向平移 OC 长度得到
菱形 OB’C’D’,则四边形 OECF 的周长是 ㎝.
23.如图，在 ABC△ 中，点 D、E、F 分别在边 AB、BC、CA上，且DE CA∥ ，DF BA∥ ．下
列四种说法： ①四边形 AEDF 是平行四边形；②如果 90BAC ，那么四边形 AEDF 是
矩形；③如果 AD平分 BAC ，那么四边形 AEDF 是菱形；
④如果 AD BC 且 AB AC ，那么四边形 AEDF 是菱形.
其中，正确的有 .（只填写序号）
24.如图，在菱形 ABCD中， 60B ，点 E F， 分别从点 B D， 出发以同样的速度沿边
BC DC， 向点C运动．给出以下四个结论：① AE AF ② CEF CFE ③当点 E F，
分别为边 BC DC， 的中点时， AEF△ 是等边三角形④当点E F， 分别为边 BC DC， 的中
点时， AEF△ 的面积最大．上述结论中正确的序号有 ．（把你认为正确的序号都填上）
25.如图，四边形 ABCD 为菱形，已知 A（0，4），B（﹣3，0）．
（1）求点 D 的坐标；（2）求经过点 C 的反比例函数解析式．
26.在四边形 ABCD 中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，顺次连接 EF、FG、GH、
HE．（1）请判断四边形 EFGH 的形状，并给予证明；
（2）试添加一个条件，使四边形 EFGH 是菱形．（写出你添加的条件，不要求证明）
27.如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，ED⊥BC，DF//AB。求证：AD 与 EF 互相垂直
平分。
A
B CD
E
F
28.如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE=2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF=BE，
连接 CF．（1）求证：四边形 BCFE 是菱形；（2）若 CE=4，∠BCF=120°，
求菱形 BCFE 的面积．
19.已知：如图，C 是线段 BD 上一点，△ABC 和△ECD 都是等边三角形，R、F、G、H 分别是
四边形 ABDE 各边的中点，求证：四边形 RFGH 是菱形。
20.如图所示，已知菱形 ABCD 中 E 在 BC 上，且 AB=AE，∠BAE=
1
2
∠EAD，AE 交 BD 于 M，试说
明 BE=AM．
3
4
2
1
M
E
D
CB
A
21.如图所示，已知菱形 ABCD 中，E、F 分别在 BC 和 CD 上，且∠B=∠EAF= 60°，∠BAE=15°，
求∠CEF 的度数．
22.如图 1，在△ABC 中，AB=BC=5，AC=6．△ECD 是△ABC 沿 BC 方向平移得到的，连接 AE、
AC 和 BE 相交于点 O．（1）判断四边形 ABCE 是怎样的四边形，说明理由；
（2）如图 2，P 是线段 BC 上一动点（图 2），（不与点 B、C 重合），连接 PO 并延长交线段 AB
于点 Q，QR⊥BD，垂足为点 R．四边形 PQED 的面积是否随点 P 的运动而发生变化？若变化，
请说明理由；若不变，求出四边形 PQED 的面积．
23.如图，△ABC 中，∠A=90°, ∠B 的平分线交 AC 于 D，AH、DF 都垂直于 BC，H、F 为垂足，
求证：四边形 AEFD 为菱形。
A
B C
D
E
FH
24.已知
4 4 4 4 4a b c d abcd ，判定以 a、b、c、d 为边的四边形的形状。
24.如图，在 ABCD 中，AB＝2BC，BE⊥AD 于 E，F为 CD 中点，设∠DEF＝α，∠EFC＝β，
求证：β＝3α。
25.如图，四边形 ABCD 中，∠ADC＝90°，AC＝CB，E、F 分别是 AC、AB 的中点，且∠DEA＝
∠ACB＝45°，BG⊥AE 于 G，求证：（1）四边形 AFGD 是菱形；（2）若 AC＝BC＝10，求菱形的
面积。
讲义 12 平行四边形 04 正方形
性质：1．对边平行且四条边都相等；2．对角相等且四个角都是直角；
3．对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角；
判定：
①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
③有一组邻边相等的矩形是正方形；
④对角线互相垂直的矩形是正方形；
⑤有一个角是直角的菱形是正方形；
⑥对角线相等的菱形是正方形；
⑦对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
课堂练习：
1.下列说法中错误的是（ ）
A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；B．两条对角线相等的四边形是矩形；
C．两条对角线互相垂直的矩形是正方形； D．两条对角线相等的菱形是正方形．
2.在下列说法中不正确的是（ ）
A.两条对角线互相垂直的矩形是正方形;
B.两条对角线相等的菱形是正方形;
C.两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形;
D.两条对角线垂直且相等的四边形是正方形
3.如图所示，在正方形 ABCD 中，H 是 BC 延长线上一点，使 CE＝CH，连结 DH，延长 BE 交 DH
于 G，则下面结论错误的是＿＿＿＿。（ ）
A.BE＝DH B.∠H＋∠BEC＝90° C.BG⊥DH D.∠HDC＋∠ABE＝90°
4.如图所示，以正方形 ABCD 中 AD 边为一边向外作等边ΔADE，则∠AEB＝（ ）。
A.10° B.15° C.20° D.12.5°
5.如图，在一个由 4×4 个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形 ABCD 的面
积比是 （ ）
A.3：4 B.5：8 C.9：16 D.1：2
6.如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O 点，在 BD 上截取 BE=BC，连接 CE，点 P是
CE 上任意一点，PM⊥BD 于 M，PN⊥BC 于 N，若正方形 ABCD 的边长为 1，则 PM+PN=（ ）
A.1 B. C. D.1+
7.如图，将 n 个边长都为 1cm 的正方形按如图所示摆放，点 A1、A2、…、An分别是正方形的
中心，则 n 个这样的正方形重叠部分的面积和为（ ）
A．
4
1
cm2 B．
4
n
cm2 C．
4
1n
cm2 D．
n)
4
1( cm2
8.如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12， ABE△ 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在
对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ）
A． 2 3 B． 2 6 C．3 D． 6
9.已知：如图所示，E为正方形 ABCD 外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，则∠AEB＝＿＿
A B
D C
F
E
10.如图，在正方形 ABCD 中，AB=8，AE=2, EF=2 5 . 点 E 在 AB 上，点 F 在 AD 上，则 CF=_____
11.以正方形 ABCD 的对角线 AC 为一边作菱形 AEFC，则∠FAB＝＿＿＿
12,已知：矩形 ABCD 中，AB＝2CB，点 E 中 DC 上，且 AE＝AB，则∠EBC＝＿＿
13.正方形 ABCD 中，对角线的长是 10cm，点 P 是 AB 上任意一点，则点 P 到 AC、BD 的距离之
和是＿＿
14.如图，正方形 ABCD 和正方形 OEFG 的边长均为 4，O 是正方形 ABCD 的旋转对称中心，则
图中阴影部分的面积是＿＿
15.如图，ABCD 是正方形，M 是 BC 中点，将正方形折起，使点 A 与点 M 重合，设折痕为 EF, 若
正方形面积为 64，那么△AEM 的面积是_________
16.如图，以正方形 ABCD 的对角线 BD 为边作正三角形 BDE,过 E 作 EF⊥AD,交 DA 的延长线于
F,则∠AEF=_____；若正三角形 BDE 的周长是12 2 ，正方形面积为_______
17.正方形ABCD边长为8，M在DC上，且DM=2,N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为_______
18.正方形 ABCD 的 CD 边长作等边△DCE,AC 和 BE 相交于点 F，连接 DF.
(1)求 AFD 的度数；(2)求证：AF=EF.
E
F
A
B C
19.已知：如图所示，在正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有一具公共顶点 A，把正方形 AEFG 绕 A
点旋转到如图所示位置，连结 DG、BE。试说明：DG＝BE。
20.如图，在正方形 ABCD 中，F是对角线 AC 上任一点，BF⊥EF,求证：BF=EF.
21.如图，P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，PE⊥BC,PF⊥CD,E、F 分别为垂足,求证：AP=EF.
B C
A D
P F
E
22.分别以三角形 ABC 两边向形外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG，求证：BG=CE。
23.如图，正方形 ABCD 对角线 BD、AC 交于 O，E 是 OC 上一点，AG⊥DE 交 BD 于 F，
求证：EF∥DC。
24.如图，在正方形 ABCD 中，取 AD、CD 边的中点 E、F，连接 CE、BF 交于点 G，连接 AG。试
判断 AG 与 AB 是否相等，并说明道理。
25.如图所示，在正方形 ABCD 中，E 为 BD 上一点，AE 的延长线交 BC 的延长线于 F，交 CD 于
H，G为 FH 中点，求证：EC⊥CG。
26.已知：如图所示，E、F分别是正方形的边 BC、DC 上的点，且∠EAF＝45°，
求证：BE＋DF＝EF
27.如图所示，在正方形 ABCD 中，M为 AB 上任意一点，MN⊥DM，BN 平分∠CBE，试说明：MD
＝MN。
28.如图所示，在正方形 ABCD 中，M是 CD 的中点，E 是 CD 上一点，且∠BAE＝2∠DAM。求证：
AE＝BC＋CE。
29.如图，已知 P 点是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E，F分别是垂足，
求证：AP＝EF．
30.如图，E，F分别为正方形 ABCD 的边 AB,BC 上的点，EF 与 AC 平行，G 在 DA 的延长线上，
且 AG=AD,GE 的延长线交 DF 于 H,求证：HA=DA.
31.如图①所示，已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 AC 上一点，过 A 作 AG
⊥EB，垂足为 G，AG 交 BD 于 F，请说明 OE＝OF。
对于上述命题，若点 E 在 AC 的延长线上，AG⊥EB 交 EB 的延长线于点 G，AG 的延长线交
DB 的延长线于点 F，其他条件不变，如图②所示，请你想一想，结论“OE＝OF”还成立吗？
如果成立，请给予说明；如果不成立，请说明理由。
32.已知：如图所示，ABCD 是正方形，过 B 作 BF∥AC，E 是 BF 上一点，四边形 AEFC 是菱形，
试说明：∠FCA＝5∠F。
讲义十三 平行四边形
1.延长平形四边形 ABCD 的一边 AB 到 E，使 BE＝BD，连结 DE 交 BC 于 F，若∠DAB＝120°，
∠CFE＝135°，AB＝1，则 AC 的长为（ ）
A.1 B.1.2 （C）
3
2
（D）1.5
2.如图，在平行四边形 ABCD 中，CE 是∠DCB 的平分线，F 是 AB 的中点，AB＝6，BC＝4，则
AE︰EF︰FB 为（ ）
A．1︰2︰3 B． 2︰1︰3 C． 3︰2︰1 D． 3︰1︰2
3.在平行四边形 ABCD 中，点 A1、A2、A3、A4和 C1、C2、C3、C4分别 AB 和 CD 的五等分点,点 B1、B2和
D1、D2分别是 BC 和 DA 的三等分点,已知四边形 A4 B2 C4 D2的面积为 1,则平行四边形 ABCD 面积
为（ ）A.2 B. C. D.15
4.如图，已知矩形纸片 ABCD，点 E 是 AB 的中点，点 G 是 BC 上的一点， 60BEG ，现沿
直线 EG 将纸片折叠，使点 B 落在约片上的点 H 处，连接 AH，则与 BEG 相等的角的个数为
( )
A.4 B. 3 C.2 D.1
5.如图所示，菱形 ABCD中，对角线 AC BD， 相交于点O，若再补充一个条件能使菱形
ABCD成为正方形，则这个条件是 （只填一个条件即可）．
6.如图，已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，且 BP = BC，则∠ACP 度数是 ．
7.如图，正方形是由 k 个相同的矩形组成，上下各有 2个水平放置的矩形，中间竖放若干个
矩形，则 k=
8.若矩形的对角线的长等于较长边 a 的一半与较短边 b 的和，则 a:b= 。
9.如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由 6个颜色不同的正方形组成，设中间最
小的一个正方形边长为 1，则这个矩形色块图的面积为
10.如图，若直角△ABC 的边 AB=2，AC=3，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以 AB、BC、AC 为边的正方形，
则图中三个阴影部分面积之和为________。
11.如图所示，菱形 ABCD 中，∠B=600，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 1800至△AEF 的位置，则
∠1的度数为 。
12.如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC,AB=DC=AD,∠C=60
0
,AE BD 于点 E,F 是 CD 的中点。求
证：四边形 AEFD 是平行四边形。
13.如图，在正方形 ABCD 的边 BC 上任取一点 M，过点 C作 CN⊥DM 交 AB 于 N，设正方形对角
线交点为 O，试确定 OM 与 ON 之间的关系，并说明理由．
14.如图，ABCD 是正方形，CE∥BD，BE＝BD，BE 交 DC 于点 F，
求证：（1）∠BEC＝30°；（2）DE＝DF
15.如图，平形四边形 ABCD 周长 32cm，AB：BC＝5：3，AF⊥CD 于 F,AE⊥BC 于 E 且∠EAF＝2
∠C。求 AE 和 AF 的长。
16.如图，BF，BE 分别是∠ABC 及它的邻补角的平分线，AE⊥BE 于 E，AF⊥BF 于 F，EF 分别
交 AB，AC 于 M，N。求证：（1）AEBF 为矩形；（2）MN＝
1
2
BC。
17.菱形 ABCD 的周长为 24，∠DAB＝600，E 为 AB 的中点，F为对角线 AC 上的一个动点，当 F
点运动到何处时ΔFEB 的周长最小？最小周长是多少？
18.已知：如图 1，O 为正方形 ABCD 的中心，分别延长 OA 到点 F，OD 到点 E，使 OF＝2OA，
OE＝2OD，连结 EF，将△FOE 绕点 O 逆时针旋转α角得到△ ' 'F OE （如图 2）.
（1） 探究 AE′与 BF'的数量关系，并给予证明；
（2） 当α＝30°时，求证：△AOE′为直角三角形.
19.如图，从矩形 ABCD 顶点 C 作对角线 BD 的垂线与∠A的平分线相交于 E点，求证：BD=CE。
20.如图，D 是等腰 RtABC 的直角边上的一点，AD 的垂直平分线 EF 分别交 AC、AD、AB 于 E、O、
F三点，且 BC=2。（1）当 CD= 2时，求 AE 的长；（2）当 CD=2（ 2 -1）时，证明：四边形 AEDF
是菱形。
21.ΔABC 中，BD、CE 分别为∠ABC 和∠ACB 的平分线，AF⊥CE，AG⊥BD.
试说明： )(
2
1 BCACABFG
22.若一次函数 y＝2x-1 和反比例函数
x
ky
2
的图象都经过点(1，1)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)已知点 A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，利用图象求点 A 的坐标；
(3)利用(2)的结果，若点 B 的坐标为(2，0)，且以点 A、O、B、P 为顶点的四边形是平行四
边形，请你直接写出点 P 的坐标．
23.如图，点 A(m，m＋1)，B(m＋3，m－1)在反比例函数
x
ky 的图象上．(1)求 m，k的值；
(2)如果 M为 x 轴上一点，N 为 y轴上一点，以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，
试求直线 MN 的函数表达式．
课堂小练-13 平行四边形 姓名：
1.如图，在直角坐标系中，将矩形 OABC 沿 OB 对折，使点 A落在点 A1处，已知 OA＝ 3，AB＝1，则点
A1的坐标是（ ）
A.(
2
3
,
2
3
) B.(
2
3
,3) C.(
2
3
,
2
3
) D.(
2
1
,
2
3
)
2.如图，正方形的面积为 256，点 F在 AD 上，点 E在 AB 的延长线上，Rt△CEF 的面积为 200，则 BE 的
值为( ) A.10 B.11 C.12 D.15
3.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AD 边上的中点．若∠ABE=∠EBC，AB=2，则平行四边形 ABCD 的
周长是
4.如图，在矩形 ABCD 中，BC=6cm，AE=
2
3
AD，∠a=300，且点 A与点 F 关于 BE 对称，则 BE= ，AB=
5.如图，正方形 ABCD 的边长为 1，P为 AB 上的点，Q 为 AD 上的点且△APQ 的周长为 2，则∠PCQ=___度。
6.如图，若四边形 ABCD 是正方形，△CDE 是等边三角形，则∠EAB 的度数为______。
7.已知矩形两条对角线的交点到较短边的距离比到较长边的距离多 2cm， 而矩形的面积为 cm2。
8.如图，已知矩形 ABCD，AD 在 y 轴上，AB=3，BC=2，点 A 的坐标为(0，1)，在 AB 边上有一点 E(2，1)，
过点 E 的直线与 CD 交于点 F.若 EF 平分矩形 ABCD 的面积，则直线 EF 的解析式为 .
9.如图，已知矩形 ABCD 的周长为 80cm，AE 平分∠BAD 交 BC 于点 E，四边形 AECD 的周长比 ABE 的周长
多 20cm，求 AB、AD 的长。
10.如图所示．在平行四边形 ABCD 中，△ABE 和△BCF 都是等边三角形．求证：△DEF 是等边三角形．
11.在 ABC 中，AB=AC，BD 平分 ABC ，DE BD ，垂足 D，DE 交 BC 于点 E.求证： 1
2
CD BE .
讲义十四 梯形
1.若等腰梯形的两底差等于一腰长，那么它的腰与下底的夹角为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
2.梯形 ABCD 中，AB//DC，AB=5，BC=3 2 ，∠BCD=45°，∠CDA=60°，则 DC 的长度是（ ）
A．7＋
2 3
3
B．9
1
2
C．8＋ 3 D．8＋3 3
3.等腰梯形的两条对角线互相垂直，则梯形的高 h 和中位线的长 m 之间的关系是（ ）
A．m＞h B．m=h C．m＜h D．无法确定
4.如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，点 E、F、G 分别是 BD、AC、DC 的中点.已知两底差是 6，两
腰和是 12，则△EFG 的周长是（ ） A.8 B.9 C.10
D.12
5.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,中位线 EF 与对角线 AC、BD 交于 M、N两点,若 EF=18 cm,MN=8
cm,则 AB 的长等于( )
A.10 cm B.13 cm C.20 cm D.26 cm
6.如图，由六个全等的等边三角形拼成的图案中，等腰梯形有 个．
7.如图，OBCD 是边长为 1 的正方形，∠BOx=60°，则点 C 的坐标为______
8.已知一个梯形的面积为 22 cm2，高为 2 cm，则该梯形的中位线的长等于________cm．
9.以线段 16a 、 13b 为梯形的两底，以 10c 为一腰，则另一腰长 d 的范围是______
10.如图是一块待开发的土地，规划人员把它分割成①号区、②号区、③号区三块，拟在①
号区种花，②号区建房，③号区种树，已知图中四边形 ABCD 与四边形 EFGH 是两个相同的直
角梯形，则①号区种花的面积是__________________.
11.如图,在梯形 ABCD 中，已知 AB∥CD，点 E为 BC 的中点，设△DEA 的面积为 S1，梯形 ABCD
的面积为 S2，则 S1与 S2的关系为________________.
12.如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC⊥BD，且 AC＝8cm，BD＝6cm，则此梯形的高
为 cm．
13.如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，AD＝1，BC＝3，E、F 分别是 AD、BC
的中点，则 EF＝
14.如图，梯形 ABCD 中，AD//BC，EF 是中位线，G 是 BC 边上任意一点，如果 S GEF =2 2 cm 2 ，
那么梯形 ABCD 的面积为_________
15.如图，在梯形 ABCD 中，AB//DC，AD=BC，AB=10，CD=4，延长 BD 到 E，使 DE=DB，作 EF
⊥AB 交 BA 的延长线于点 F，则 AF=___________.
16.如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC，AB=DC=10cm，AC 与 BD 相交于 G，且∠AGD=60°，设 E
为 CG 中点，F是 AB 中点，则 EF 长为___________.
17.如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB∥DC，AD=BC，∠ABC=60°，AC 平分∠DAB，E，F 分别是
对角线 AC，BD 中点，且 EF= ，则梯形 ABCD 的面积为________
18.如图，梯形 ABCD中，AD BC∥ ． 90C ∠ ，且 AB AD ．连结 BD，过 A点作 BD
的垂线，交 BC 于 E ．如果 3cmEC ， 4cmCD ，那么，梯形 ABCD 的面积是
____________
2cm ．
19.如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E 是 BC 的中点.点 P 以每秒 1 个单位长
度的速度从点 A 出发，沿 AD 向点 D 运动；点 Q 同时以每秒 2 个单位长度的速度从点 C 出发，
沿 CB 向点 B 运动.点 P 停止运动时，点 Q 也随之停止运动.当运动时间 t＝ 秒时，以点
P，Q，E，D 为顶点的四边形是平行四边形.
20.如图所示，梯形 ABCD 中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线 BD 折叠，点 A 恰好落在 DC
边上的点 A处，若 20A BC °，求 A BD 的度数．
21.已知，如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，E是 AB 的中点，DE⊥CE，求证：AD+BC=DC．
22.如图，在梯形 ABCD 中，∠B=40°，∠C=50°，M、N分别是 BC、DA 的中点，
求证：MN=
1
2
(BC－AD).（BC＞AD）
23.如图，在等腰梯形 ABCD 中，CD//AB，对角线 AC、BD 相交于 O，∠ACD=60°，点 S、P、Q
分别为 OD、OA、BC 的中点。
（1）求证：△PQS 是等边三角形；
（2）若 AB=5，CD=3，求△PQS 的面积；
（3）若△PQS 的面积与△AOD 的面积的比是 7：8，求梯形上、下两底的比 CD：AB。
24.如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD//BC，AB=CD，点 P为 BC 边上一点，PE⊥AB，PF⊥CD，BG
⊥CD，垂足分别为 E、F、G，求证：PE＋PF=BG.
25.如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC，E、F分别为 AB、AC 中点，BD 与 EF 相交于 G，
求证：GF=
1
2
(BC－AD).
26.如图，在梯形 ABCD 中，AB//DC，M 是腰 BC 的中点，MN⊥AD，求证：S ABCD四边形 =MN·AD.
课堂小练- 平行四边形-梯形 姓名：
1.如图，在梯形 ABCD 中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD 的大小是（ ）
A．40°． B．45°． C．50°． D．60°．
2.如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD=BC，点 E,F,G,H 分别是 AB,BC，CD，DA 的中点，则下列结论一定正
确的是( ).
A. ∠HGF = ∠GHE B. ∠GHE = ∠HEF C. ∠HEF = ∠EFG D. ∠HGF = ∠HEF
3.如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD＝BC，对角线 AC⊥BD，垂足为 O．若 CD＝3，AB＝5，则 AC 的长为（ ）
A． 24 B．4 C． 33 D． 52
4.如图，在梯形 ABCCD 中，AD∥BC，∠ABC=90º，对角线 BD、AC 相交于点 O。下列条件中，不能判断对角
线互相垂直的是（ ）
A. ∠1=∠4 B. ∠1=∠3 C. ∠2=∠3 D.OB2+OC2=BC2
5.如图，欲用一块面积为 800 cm2的等腰梯形彩纸作风筝，用竹条作梯形的对角线且对角线恰好互相垂直，
那么需要竹条多少厘米？
6.如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,对角线 AC 与 BD 垂直相交于 O,MN 是梯形 ABCD 的中位线,∠DBC=30°,
求证:AC=MN.
7.如图，在梯形 ABCD中， AB DC∥ ， 90BCD ，AM⊥DC 于 M 且 2
DM
AM 1AB ， 2BC ．
（1）求证： DC BC ；
（2） E是梯形内一点， F 是梯形外一点，且 EDC FBC ， DE BF ，试判断 ECF△ 的形状，并证
明你的结论；
（3）在（2）的条件下，当 : 1: 2BE CE ， 135BEC 时，求
BF
BE
的值．
8.如图，直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰 CD 以 D 为中心逆时针旋转 90°至 DE，连接 AE、
CE，△ADE 的面积为 3，求 BC 的长。
讲义十五 期末复习练习
1.平行四边形两邻边分别为 24 和 16，若两长边间的距离为 8，则两短边间的距离为( )．
A.5 B.6 C.8 D.12
2.如图，矩形 ABCD 中，AB＞AD，AB=a，AN 平分∠DAB，DM⊥AN 于点 M，CN⊥AN 于点 N．则
DM+CN 的值为（用含 a的代数式表示）( )
A．a B． a
5
4
C． a
2
2
D． a
2
3
3.如图，在平面直角坐标系中，OABC 是正方形，点 A的坐标是（4，0），点 P 为边 AB 上一点，
∠CPB=60°，沿 CP 折叠正方形，折叠后，点 B落在平面内点 B’处，则 B’点的坐标为（ ）
A.( 32,2 ) B. ( 3-2,
2
3
) C.( 324,2 ) D. ( 32-4,
2
3
)
4.如图，梯形 AOBC 的顶点 A，C 在反比例函数图象上，OA∥BC，上底边 OA 在直线 y=x 上，
下底边 BC 交 x 轴于 E（2，0），则四边形 AOEC 的面积为（ ）
A.3 B. 3 C. 13 D. 13
5.如图所示，在△ABC 中，M是 BC 的中点，AN 平分∠BAC，BN⊥AN．若 AB= 14， AC=19，
则 MN 的长为（ ）．
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
6.如图，在等腰 Rt△ABC 中，AC=BC，以斜边 AB 为一边作等边△ABD，使点 C、D 在 AB 的同
侧；再以 CD 为一边作等边△CDE，使点 C、E 落在 AD 的异侧．若 AE=1，则 CD 的长为（ ）．
A． 13 B．
2
13
C． 26 D．
2
26
7.若分式
23
1
x
x
的值为正数，则 x 的取值范围是_________
8.当 23 x 时，
44
3
2
62
2 xx
x
x
x
9.已知 31
a
a ，则
2
24 1
a
aa
10.如图，在□ABCD 中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD 于 E，则∠BCE＝______．
11.如图，四边形 ABCD 是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点 D 的折痕 DE 将 A 角翻折，使点
A落在 BC 上的 A1处，则∠EA1B＝______°。
12.如图，直角梯形 OABF 中,∠OAB=∠B=90°,A 点在 x轴上,双曲线
ky
x
过点 F,与 AB 交于
E点，连 EF，若 2
3
BF
OA
， BEFS =4，则 k=________
13.如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∠B＝60°，直线 MN 为梯形 ABCD 的对称
轴，P为 MN 上一点，那么 PC＋PD 的最小值为______．
14.如图，已知在等腰ΔABC 中，AB=AC=20cm，AB 的中垂线交另一腰于 D 点，ΔBCD 的周长是
30cm，则 BC 的长为
15.已知菱形的一边与两条对角线的夹角之差是 180,则菱形的各个内角分别是
16.已知菱形的周长为 2p,对角线之和为 q,则菱形的面积等于
17.已知等腰梯形的一条对角线平分锐角，这条对角线又将中位线分成 10 厘米和 18 厘米两
段，则这个梯形的周长为 厘米。
18.如图所示，四边形 ABCD 中，∠A=90
0
，∠B=60
0
，∠C=120
0
，CD=BD=4cm，试求四边形 ABCD
的面积。
19.如图，已知 AE 与 BD 相交于点 C，AB=AC，DE=DC，M、N、P 分别是 BC、CE、AD 的中点，
求证：PM=PN。
20.如图，腰长为 6cm 的等腰 RtΔFED 和腰长为 9cm 的等腰 RtΔABC 部分重叠在一起，且
BE=1cm，求阻影部分的面积。
21.如图，在 RtΔABC 中，∠ACB=900，∠BAC=300，ΔADC 和ΔABE 是等边三角形，DE 交 AB 于
点 F，求证：F 是 DE 的中点。
22.如图,点 E、F、G、H 分别是线段 AB、BD、CD 、CA 的中点.求证：四边形 EFGH 是平行四
边形.
23.已知：如图，E、F 为ABC的边 AB、BC 的中点，在 AC 上取 G、H 两点，使 AG=GH=HC，
连结 EG、FH，并延长交于 D点。求证：四边形 ABCD 是平行四边形。
24.如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AD＝1，BC＝4，E 为 AB 中点，
EF∥DC 交 BC 于点 F，求 EF 的长．
25.如图，在ΔABC 中，BM、CN 平分∠B、∠C的补角，AM⊥BM 于点 M，AN⊥CN 于点 N，
求证：MN=
1
2
(AB+BC+AC).
26.如图，AD 平分∠BAC，BD⊥AD，E 是 BC 的中点，求证：ED=
1
2
(AB-AC).
27.如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB =CD，∠ DBC＝45○ ,翻折梯形使点 B重合于点 D，
折痕分别交边 AB、BC 于点 F、E，若 AD=2，BC=8，求 BE 的长．
28.已知：如图，在直角梯形COAB中，OC AB∥ ，以O为原点建立平面直角坐标系，A B C， ，
三点的坐标分别为 (8 0) (810) (0 4)A B C，， ， ， ， ，点D为线段 BC的中点，动点 P从点O出发，
以每秒 1 个单位的速度，沿折线 OABC 的路线移动，移动的时间为 t秒．
（1）求直线 BC的解析式；
（2）若动点 P在线段OA上移动，当 t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积
的 2
7
？
（3）动点 P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设 OPD△ 的面积为 S，请直
接写出 S与 t的函数关系式，并指出自变量 t的取值范围；
29.如图 1，在平面直角坐标系中，点 O是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（－
3，4），点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点 H．
（1）求直线 AC 的解析式；
（2）连接 BM，如图 2，动点 P从点 A出发，沿折线 ABC 方向以 2 个单位／秒的速度向终点 C
匀速运动，设△PMB 的面积为 S（S≠0），点 P 的运动时间为 t秒，求 S 与 t 之间的函数关系
式（要求写出自变量 t 的取值范围）；
讲义十六 八年级下期末复习一
1.如果
x
2
1 是二次根式，那么 x应满足的条件是（ ）
A. x≠2 的实数 B. x＜2 的实数 C. x＞2的实数 D. x＞0 且 x≠2 的实数
2.在 12 、
32x 、 5.0 中、
22 yx 、 x73 中，最简二次根式的个数有（ ）
Ａ.４ Ｂ.３ C.2 D.1
3.如图，已知点 A 是函数 y=x 与 y=
x
4
的图象在第一象限内的交点，点 B 在 x 轴负半轴上，且
OA=OB，则△AOB 的面积为（ ）
A．2 B． 2 C．2 2 D．4
4.如图，直线 y=kx（k＞0）与双曲线 y=
x
1
交于 A、B 两点，BC⊥x 轴于 C，连接 AC 交 y 轴于
D，下列结论：①A、B 关于原点对称；②△ABC 的面积为定值；③D 是 AC 的中点；④S△AOD= 2
1
.
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
5.如图：正比例函数y＝x与反比例函数
x
y 1
的图像相交于点A、C，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于
D，则四边形ABCD的面积为（ ）
A.1 B.
2
3
C.2 D.
2
5
6.直角三角形有一条直角边为 6，另两条边长是连续偶数，则该三角形周长为（ ）
A. 20 B. 22 C. 24 D. 26
7.如图，在□ABCD 的面积是 12，点 E，F 在 AC 上，且 AE=EF=FC，则△BEF 的面积为
（ ）
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
E
D
CB
A
8.如图,已知AB=3，BC=4，将矩形ABCD沿对角线BD折叠点C落在点E的位置，则AE的长度为（ ）
A.
5
8
B.
5
12
C.3 D.
5
7
8.如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，
作NP⊥BD于点P，连结NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP＝
2
1
BD；③BN＋DQ＝NQ；④
BM
BNAB 为
定值。其中一定成立的是( )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
9.如图，在梯形 ABCD 中，∠ABC=90º，AE∥CD 交 BC 于 E，O 是 AC 的中点，AB= 3 ，AD=2，
BC=3，下列结论：①∠CAE=30º；②AC=2AB；③S△ADC=2S△ABE；④BO⊥CD，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
10.如图，将非等腰 ABC△ 的纸片沿DE折叠后，使点 A落在 BC边上的点 F 处．若
点D为 AB边的中点，则下列结论：① BDF△ 是等腰三角形；② DFE CFE ；
③DE是 ABC△ 的中位线，成立的有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
11.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4cm，AD＝12cm，P 点在 AD 边上以每秒 1 cm 的速度从 A 向 D
运动，点 Q在 BC 边上，以每秒 4 cm 的速度从 C 点出发，在 CB 间往返运动，两点同时出发，
待 P 点到达 D 点为止，在这段时间内，线段 PQ 有 次平行于 AB （ ）
A．1 B. 2 C. 3 D. 4
12.如图，坐标系中，四边形 OABC 与 CDEF 都是正方形，OA=2，M、D 分别是 AB、BC 的中点，
当把正方形 CDEF 绕点 C 旋转某个角度或沿 y轴上下平移后，如果点 F 的对应点为 F ′，
且 O F ′=OM． 则点 F ′的坐标是_____________
13.将
nm
nm
2
4
分母有理化，其结果是
14.计算： 20022002 )562()562( ___________
15.已知 31
a
a ，则
2
24 1
a
aa
16.已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数是 x，方差是S2，则数据3x1-2，3x2-2，…，3xn-2的
平均数是 ，方差是
17.如果直角三角形的两边分别为3、 4，那么第三边的长为
18.已知梯形的中位线长10cm，它被一条对角线分成两段，这两段的差为4cm，则梯形的两底
长分别为
19.已知直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A（10，0），点C（0，4），点D是OA的中点，
点P是BC边上的一个动点，当△POD是等腰三角形时，点P的坐标为_______
20.如图，直角梯形OABF中,∠OAB=∠B=90°,A点在x轴上,双曲线
ky
x
过点F,与AB交于E点，
连EF，若 2
3
BF
OA
， BEFS =4，则k=_______
21.如图所示，DE 为△ABC 的中位线，点 F 在 DE 上，且∠AFB=90°，若 AB=5，BC=8，则 EF
的长为____
22.符号“G”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1） (1) 1, (2) 3, (3) 5, (4) 7,G G G G ……
（2） 1 1 1 12, 4, 6, 8,
2 3 4 5
G G G G
……
利用以上规律计算： 12010 2010 __________
2010
G G
23.已知 x= 13 ，y= 13 ，求 22
22
xyyx
yx
的值.
24.如图所示，四边形 ABCD 中，∠A=900，∠B=600，∠C=1200，CD=BD=4cm，试求四边形 ABCD
的面积。
25.如图，AD平分∠BAC，BD⊥AD，E是BC的中点，求证：ED=
1
2
(AB-AC).
26.已知，如图在正方形OADC中，点C的坐标为（0，4），点A的坐标为（4，O），CD的延长线
交双曲线
x
y 32
于点B。（1）求直线AB的解析式;
(2)G为x轴的负半轴上一点连结CG，过G作GE⊥CG交直线AB于E。求证CG＝GE.
27.如图,已知：E为菱形ABOP的对角线的交点，C为AP上一点,连结BC交AO于D,且AD=AC.
（1）求证：AE＝ )(
2
1 ACAB ;（2）若AC＝3，AB＝5，求三角形ABD的面积。
28.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，
（1）如果P、E、F分别是BC、AC、BD的中点（如图1），求证：AB＝PE＋PF。
（2）如果P是BC上任意一点，（中点除外），过P作PE∥AB交AC于E，PF∥DC交BD于F，那么AB
＝PE＋PF还成立吗？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由。
29.如果P为BC的延长线上任意点，（2）中的其它条件不变（如图3），请你直接写出AB、PE、
PF三条线段的确定的数量关系。
30.如图所示，在四边形 ABCD 中，AD∥CB，且 AD>BC，BC=6cm，动点 P，Q 分别从 A，C 同
时出发，P 以 1cm/s 的速度由 A 向 D 运动，Q 以 2cm/s 的速度由 C 向 B 运动，几秒后四边形
ABQP 为平行四边形？
31.如图所示，在ΔABCD 中，点 O是 AC 边上的一个动点，过点 O 作直线 MN∥BC，设 MN 交∠
BCA 的平分线于点 E，交∠BCA 的外角平分线于点 F。①试说明 OE＝OF；②当点 O 运动到何处
时，四边形 AECF 是矩形？请简要说明理由。③当点 O 运动时，四边形 AECF 有可能是正方形
吗？请简要说明理由。
32.如图，一次函数 y=kx+b 的图像与反比例函数的图像交于 A、B 两点，与 x轴交于点 C，与
y轴交于点 D，已知 OA= 5 ，点 B 的坐标为(0.5，m)，过点 A 作 AH⊥x 轴，垂足为 H，HO=2AH
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函
数的值的 x 的取值范围。
33.如图，直线 y=x+b（b≠0）交坐标轴于 A、B 两点，交双曲线 y=
x
2
于点 D，过 D 作两坐标
轴的垂线 DC、DE，连接 OD．（1）求证：AD 平分∠CDE；（2）对任意的实数 b（b≠0），求
证 AD·BD 为定值；
（3）是否存在直线 AB，使得四边形 OBCD 为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；
若不存在，请说明理由．
34.如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10cm，CD=4cm，等腰直角三角形 PMN
的斜边 MN=10cm，A 点与 N点重合，MN 和 AB 在一条直线上，设等腰梯形 ABCD 不动，等腰直
角三角形 PMN 沿 AB 所在直线以 1cm/s 的速度向右移动，直到点 N 与点 B 重合为止。
（1）等腰直角三角形 PMN 在整个移动过程中与等腰梯形 ABCD 重叠部分的形状由______形变
化为________形；
（2）设当等腰直角△PMN 移动 x（s）时，等腰直角△PMN 与等腰梯形 ABCD 重叠部分的面积
为 y（cm2）。
① 当 x=6 时，求 y 的值；② 当 6＜x≤10 时，求 y 与 x 的函数关系。
35.如图，在四边形 ABCD 中，R、P 分别是 BC、CD 上的点，E、F 分别是 AP、RP 的中点，当
点 P 在 CD 上从 C 向 D 移动而点 R 不动时，下列结论成立的是 ( )
A．线段 EF 的长逐渐增大 B. 线段 EF 的长逐渐减小
C.线段 EF 的长不变 D.线段 EF 的长与点 P 的位置有关
36.D 为反比例函数： )0( k
x
ky 图象上一点.过 D 作 DC⊥y 轴于 C, DE⊥x 轴于 E,一次函
数 mxy 与 2
3
3
xy 的图象都过 C 点,与 x 轴分别交于 A、B 两点。若梯形 DCAE
的面积为 4，求 k的值.
37.已知：如图，△ABC 是等边三角形，D、E 分别是 BA、CA 的延长线上的点，且 AD=AE，连
接 ED 并延长到 F，使得 EF=EC，连接 AF、CF、BE．（1）求证：四边形 BCFD 是平行四边形；
（2）试指出图中与 AF 相等的线段，并说明理由。
讲义十七 八年级下册期末复习题二
1.如果
1
2
x
x 有意义，则 x 的取值范围为（ ）
A. x -2 且 x ≠-1 D. x ≤2 且 x ≠-1
2.若分式
1
x2-2x+m
不论 x 取何值总有意义,则 m 的取值范围是（ ）
A.m≥1 B.m>1 C.m
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