2015年南宁市中考数学试题解析

南宁市 2015 年中考数学试卷 本试卷分第 I 卷和第 II 卷，满分 120 分，考试时间 120 分钟 第 I 卷（选择题，共 36 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）每小题都给出代号为（A）、（B）、（C）、（D）四个 结论，其中只有一个是正确的.请考生用 2B 铅笔在答题卷上将选定的答案标号涂黑. 1．3 的绝对值是（ ）. （A）3 （B）-3 （C） 3 1 （D） 3 1 考点：绝对值．. 专题：计算题． 分析：直接根据绝对值的意义求解． 解答：解：|3|=3． 故选 A． 点评：本题考查了绝对值：若 a＞0，则|a|=a；若 a=0，则|a|=0；若 a＜0，则|a|=﹣a． 2．如图 1 是由四个大小相同的正方体组成的几何体，那么它的主视图是（ ）. 考点：简单组合体的三视图．. 专题：计算题． 分析：从正面看几何体得到主视图即可． 解答：解：根据题意 的主视图为： ， 故选 B 点评：此题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3．南宁快速公交（简称：BRT）将在今年底开始动工，预计 2016 年下半年建成并投入试运营，首条 BRT 西 起南宁火车站，东至南宁东站，全长约为 11300 米，其中数据 11300 用科学记数法表示为（ ）. A．0.113×105 B．1.13×104 C．11.3×103 D．113×102 考点：科学记数法—表示较大的数．. 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变 成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当 原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答：解：将 11300 用科学记数法表示为：1.13×104． 故选 B． 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整 数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 正面 图 1 （A） （B） （C） （D） 图 2 4．某校男子足球队的年龄分布如图 2 条形图所示，则这些队员年龄的众 数是（ ）. （A）12 （B）13 （C）14 （D）15 考点：众数；条形统计图． . 分析：根据条形统计图找到最高的条形图所表示的年龄数即为众数． 解答：解：观察条形统计图知：为 14 岁的最多，有 8 人， 故众数为 14 岁， 故选 C． 点评：考查了众数的定义及条形统计图的知识，解题的关键是能够读懂条形统计图及了解众数的定义，难 度较小． 5．如图 3，一块含 30°角的直角三角板 ABC 的直角顶点 A 在直线 DE 上，且 BC//DE，则∠CAE 等于（ ）. （A）30° （B）45° （C）60° （D）90° 考点：平行线的性质． . 分析：由直角三角板的特点可得：∠C=30°，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠CAE 的度数． 解答：解：∵∠C=30°，BC∥DE， ∴∠CAE=∠C=30°． 故选 A． 点评：此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等； 两直线平行同旁内角互补． 6．不等式 132 x 的解集在数轴上表示为（ ）. （A） （B） （C） （D） 考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．. 专题：数形结合． 分析：先解不等式得到 x＜2，用数轴表示时，不等式的解集在 2 的左边且不含 2，于是可判断 D 选项正确． 解答：解：2x＜4， 解得 x＜2， 用数轴表示为： ． 故选 D． 图 3 点评：本题考查了在数轴上表示不等式的解集：用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点， 一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心；二是定方向，定方向的原 则是：“小于向左，大于向右”． 7．如图 4，在△ABC 中，AB=AD=DC，  B=70°，则  C 的度数为（ ）. （A）35° （B）40° （C）45° （D）50° 考点：等腰三角形的性质． . 分析：先根据等腰三角形的性质求出∠ADB 的度数，再由平角的定义得出∠ADC 的度数，根据等腰三角形 的性质即可得出结论． 解答：解：∵△ABD 中，AB=AD，∠B=70°， ∴∠B=∠ADB=70°， ∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°， ∵AD=CD， ∴∠C=（180°﹣∠ADC）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°， 故选：A． 点评：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键． 8．下列运算正确的是（ ）. （A） abaab 224  （B） 632 9)3( xx  （C） 743 aaa  （D） 236  考点：整式的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；二次根式的乘除法． . 专题：计算题． 分析：A、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断； B、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断； C、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断； D、原式利用二次根式的除法法则计算得到结果，即可做出判断． 解答：解：A、原式=2b，错误； B、原式=27x6，错误； C、原式=a7，正确； D、原式= ，错误， 故选 C 点评：此题考查了整式的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，以及二次根式的乘除法，熟练掌 握运算法则是解本题的关键． 9．一个正多边形的内角和为 540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）. （A）60° （B）72° （C）90° （D）108° 考点：多边形内角与外角． . 分析：首先设此多边形为 n 边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，即可求得 n=5，再再由多边形的外角和 等于 360°，即可求得答案． 解答：解：设此多边形为 n 边形， 根据题意得：180（n﹣2）=540， 解得：n=5， 图 4 图 6 图 5 ∴这个正多边形的每一个外角等于： =72°． 故选 B． 点评：此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°，外角和等 于 360°． 10．如图 5，已知经过原点的抛物线 )0(2  acbxaxy 的对称轴是直线 1x 下列 结论中： 0ab ， 0 cba ，当 002  yx 时， ，正确的个数是（ ）. （A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）3 个 考点：二次函数图象与系数的关系． . 分析：①由抛物线的开口向上，对称轴在 y 轴左侧，判断 a，b 与 0 的关系，得到 ab＞0；故①错误； ②由 x=1 时，得到 y=a+b+c＞0；故②正确； ③根据对称轴和抛物线与 x 轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可． 解答：解：①∵抛物线的开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在 y 轴的左侧， ∴b＞0 ∴ ab＞0；故①正确； ②∵观察图象知；当 x=1 时 y=a+b+c＞0， ∴②正确； ③∵抛物线的对称轴为 x=﹣1，与 x 轴交于（0，0）， ∴另一个交点为（﹣2，0）， ∴当﹣2＜x＜0 时，y＜0；故③正确； 故选 D． 点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系， 以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 11．如图 6，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点 M 在⊙O 上，∠MAB=20°,N 是弧 MB 的中点,P 是 直径 AB 上的一动点，若 MN=1，则△PMN 周长的最小值为（ ）. （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 考点：轴对称-最短路线问题；圆周角定理． . 分析：作 N 关于 AB 的对称点 N′，连接 MN′，NN′，ON′，ON，由两点之间线段最短可知 MN′与 AB 的交点 P′ 即为△PMN 周长的最小时的点，根据 N 是弧 MB 的中点可知∠A=∠NOB=∠MON=20°，故可得出∠MON′=60°， 故△MON′为等边三角形，由此可得出结论． 解答：解：作 N 关于 AB 的对称点 N′，连接 MN′，NN′，ON′，ON． ∵N 关于 AB 的对称点 N′， ∴MN′与 AB 的交点 P′即为△PMN 周长的最小时的点， ∵N 是弧 MB 的中点， ∴∠A=∠NOB=∠MON=20°， ∴∠MON′=60°， ∴△MON′为等边三角形， ∴MN′=OM=4， ∴△PMN 周长的最小值为 4+1=5． 故选 B． 点评：本题考查的是轴对称﹣最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结 合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 12．对于两个不相等的实数 a、b，我们规定符号 Max{a，b}表示 a、b 中的较大值，如：Max{2，4}=4，按 照这个规定，方程   x xxxMax 12,  的解为（ ）. （A） 21 （B） 22  （C） 2121  或 （D） 121  或 考点：解分式方程．. 专题：新定义． 分析：根据 x 与﹣x 的大小关系，取 x 与﹣x 中的最大值化简所求方程，求出解即可． 解答：解：当 x＜﹣x，即 x＜0 时，所求方程变形得：﹣x= ， 去分母得：x2+2x+1=0，即 x=﹣1； 当 x＞﹣x，即 x＞0 时，所求方程变形得：x= ，即 x2﹣2x=1， 解得：x=1+ 或 x=1﹣ （舍去）， 经检验 x=﹣1 与 x=1+ 都为分式方程的解． 故选 D． 点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解 分式方程一定注意要验根． 第 II 卷（非选择题，共 84 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13．因式分解：  ayax ． 考点：因式分解-提公因式法． . 专题：因式分解． 分析：观察等式的右边，提取公因式 a 即可求得答案． 解答：解：ax+ay=a（x+y）． 故答案为：a（x+y）． 点评：此题考查了提取公因式法分解因式．解题的关键是注意找准公因式． 14．要使分式 1 1 x 有意义，则字母 x 的取值范围是 ． 考点：分式有意义的条件． . 分析：分式有意义，分母不等于零． y A B O C x 图 7 解答：解：依题意得 x﹣1≠0，即 x≠1 时，分式 有意义． 故答案是：x≠1． 点评：本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义 ⇔ 分母为零； （2）分式有意义 ⇔ 分母不为零； （3）分式值为零 ⇔ 分子为零且分母不为零． 15．一个不透明的口袋中有 5 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，5，随机提取一个小球， 则取出的小球标号是奇数的概率是 ． 考点：概率公式． . 分析：首先判断出 1，2，3，4，5 中的奇数有哪些；然后根据概率公式，用奇数的数量除以 5，求出取出的 小球标号是奇数的概率是多少即可． 解答：解：∵1，2，3，4，5 中的奇数有 3 个：1、3、5， ∴取出的小球标号是奇数的概率是：3÷5= ． 故答案为： ． 点评：此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件 A 的概率 P（A） =事件 A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 16．如图 7，在正方形 ABCD 的外侧，作等边△ADE，则  BED 的度数是 ． 考点：正方形的性质；等边三角形的性质．. 分析：根据正方形的性质，可得 AB 与 AD 的关系，∠BAD 的度数，根据等边三角形的性质，可得 AE 与 AD 的关系，∠AED 的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AEB 与∠ABE 的关系，根据三角形的内角和，可得 ∠AEB 的度数，根据角的和差，可得答案． 解答：解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°． ∵等边三角形 ADE， ∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°． ∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°， AB=AE， ∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°， ∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°， 故答案为：45°． 点评：本题考查了正方形的性质，先求出∠BAE 的度数，再求出∠AEB，最后求出答案． 17．如图 8，点 A 在双曲线 )0(32  xxy 上，点 B 在双曲线 )0(  xx ky 上（点 B 在点 A 的右 侧），且 AB// x 轴，若四边形 OABC 是菱形，且  AOC=60°，则 k ． 考点：菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征． . 分析：首先根据点 A 在双曲线 y= （x＞0）上，设 A 点坐标为（a， ），再利用含 30°直角三角形的 性质算出 OA=2a，再利用菱形的性质进而得到 B 点坐标，即可求出 k 的值． 解答：解：因为点 A 在双曲线 y= （x＞0）上，设 A 点坐标为（a， ）， 因为四边形 OABC 是菱形，且∠AOC=60°， 所以 OA=2a， 可得 B 点坐标为（3a， ）， 可得：k= ， 故答案为： 点评：此题主要考查了待定系数法求反比例函数，关键是根据菱形的性质求出 B 点坐标，即可算出反比例 函数解析式． 18．如图 9，在数轴上，点 A 表示 1，现将点 A 沿 x 轴做如下移动，第一次点 A 向左移动 3 个单位长度到达 点 A1，第二次将点 A1 向右移动 6 个单位长度到达点 A2，第三次将点 A2 向左移动 9 个单位长度到达点 A3， 按照这种移动规律移动下去，第 n 次移动到点 AN，如果点 AN 与原点的距离不小于 20，那么 n 的最小值 是 ． 考点：规律型：图形的变化类；数轴．. 分析：序号为奇数的点在点 A 的左边，各点所表示的数依次减少 3，序号为偶数的点在点 A 的右侧，各点所 表示的数依次增加 3，于是可得到 A13 表示的数为﹣17﹣3=﹣20，A12 表示的数为 16+3=19，则可判断点 An 与原点的距离不小于 20 时，n 的最小值是 13． 解答：解：第一次点 A 向左移动 3 个单位长度至点 A1，则 A1 表示的数，1﹣3=﹣2﹣2； 第 2 次从点 A1 向右移动 6 个单位长度至点 A2，则 A2 表示的数为﹣2+6=4； 第 3 次从点 A2 向左移动 9 个单位长度至点 A3，则 A3 表示的数为 4﹣9=﹣5； 第 4 次从点 A3 向右移动 12 个单位长度至点 A4，则 A4 表示的数为﹣5+12=7； 第 5 次从点 A4 向左移动 15 个单位长度至点 A5，则 A5 表示的数为 7﹣15=﹣8； …； 则 A7 表示的数为﹣8﹣3=﹣11，A9 表示的数为﹣11﹣3=﹣14，A11 表示的数为﹣14﹣3=﹣17，A13 表示的数 为﹣17﹣3=﹣20， 图 9 图 8 A6 表示的数为 7+3=10，A8 表示的数为 10+3=13，A10 表示的数为 13+3=16，A12 表示的数为 16+3=19， 所以点 An 与原点的距离不小于 20，那么 n 的最小值是 13． 故答案为：13． 点评：本题考查了规律型，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解决本题的关键． 考生注意：第三至第八大题为解答题，要求在答题卡上写出解答过程，如果运算结果含有根号， 请保留根号. 三、（本大题共 2 小题，每小题满分 6 分，共 12 分） 19．计算： 445tan2)1(2015 20  o . 考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值． . 专题：计算题． 分析：原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值 计算，最后一项利用算术平方根定义计算即可得到结果． 解答：解：原式=1+1﹣2×1+2 =2． 点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．先化简，再求值：（1+ x ）（1- x ）+ x （ x +2）-1，其中 x = 2 1 . 考点：整式的混合运算—化简求值．. 专题：计算题． 分析：先利用乘法公式展开，再合并得到原式=2x，然后把 x= 代入计算即可． 解答：解：原式=1﹣x2+x2+2x﹣1 =2x， 当 x= 时，原式=2× =1． 点评：本题考查了整式的混合运算﹣化简求值：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式 的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺 序相似． 四、（本大题共 2 小题，每小题满分 8 分，共 16 分） 21．如图 10，在平面直角坐标系中，已知  ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（－1,1），B（-3,1），C（-1,4）． （1）画出△ABC 关于 y 轴对称的； （2）将△ABC 绕着点 B 顺时针旋转 90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段 BC 旋转过程 中所扫过的面积（结果保留 ）. 图 10 考点：作图-旋转变换；作图-轴对称变换． . 专题：作图题． 分析：（1）根据题意画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1 即可； （2）根据题意画出△ABC 绕着点 B 顺时针旋转 90°后得到△A2BC2，线段 BC 旋转过程中扫过的面积为扇形 BCC2 的面积，求出即可． 解答：解：（1）如图所示，画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1； （2）如图所示，画出△ABC 绕着点 B 顺时针旋转 90°后得到△A2BC2， 线段 BC 旋转过程中所扫过得面积 S= = ． 点评：此题考查了作图﹣旋转变换，对称轴变换，以及扇形面积，作出正确的图形是解本题的关键． 22．今年 5 月份，某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试，为了了解该校九年级（1）班同学的中考体 育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表（图 11-1）和扇形 统计图（图 11-2），根据图表中的信息解答下列问题: （1）求全班学生人数和 m 的值； （2）直接写出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段； （3）该班中考体育成绩满分（60 分）共有 3 人，其中男生 2 人，女生 1 人，现需从这 3 人中随机选取 2 人到八年级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率. 考点：列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图；中位数．. 分析：（1）利用 C 分数段所占比例以及其频数求出总数即可，进而得出 m 的值； 分组 分数段（分） 频数 A 36≤x＜41 2 B 41≤x＜46 5 C 46≤x＜51 15 D 51≤x＜56 m E 56≤x＜61 10 图 11-2图 11-1 （2）利用中位数的定义得出中位数的位置； （3）利用列表或画树状图列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解． 解答：解：（1）由题意可得：全班学生人数：15÷30%=50（人）； m=50﹣2﹣5﹣15﹣10=18（人）； （2）∵全班学生人数：50 人， ∴第 25 和第 26 个数据的平均数是中位数， ∴中位数落在 51﹣56 分数段； （3）如图所示： 将男生分别标记为 A1，A2，女生标记为 B1 A1 A2 B1 A1 （A1，A2） （A1，B1） A2 （A2，A1） （A2，B1） B1 （B1，A1） （B1，A2） P（一男一女）= = ． 点评：此题主要考查了列表法求概率以及扇形统计图的应用，根据题意利用列表法得出所有情况是解题关 键 五、（本大题满分 8 分） 23．如图 12，在□ABCD 中，E、F 分别是 AB、DC 边上的点，且 AE=CF， （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若  DEB=90°，求证四边形 DEBF 是矩形. 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定． . 专题：证明题． 分析：（1）由在▱ ABCD 中，AE=CF，可利用 SAS 判定△ADE≌△CBF． （2）由在▱ ABCD 中，且 AE=CF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形 DEBF 是 平行四边形，又由∠DEB=90°，可证得四边形 DEBF 是矩形． 解答：证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD=CB，∠A=∠C， 在△ADE 和△CBF 中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）． （2）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∵AE=CF， ∴BE=DF， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∵∠DEB=90°， 图 12 ∴四边形 DEBF 是矩形． 点评：此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意有一个角是 直角的平行四边形是矩形，首先证得四边形 ABCD 是平行四边形是关键． 六、（本大题满分 10 分） 24．如图 13-1，为美化校园环境，某校计划在一块长为 60 米，宽为 40 米的长方形空地上修建一个长方形 花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为 a 米. （1）用含 a 的式子表示花圃的面积； （2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 8 3 ，求出此时通道的宽； （3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价 1y （元）、 2y （元）与修建面积 )( 2mx 之间的函数关系如 图 13-2 所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于 2 米且不超过 10 米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？ 考点：一次函数的应用；一元二次方程的应用．. 分析：（1）用含 a 的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可； （2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，列出方程进行计算即可； （3）根据图象，设出通道和花圃的解析式，用待定系数法求解，再根据实际问题写出自变量的取值范围即 可． 解答：解：（1）由图可知，花圃的面积为（40﹣2a）（60﹣2a）； （2）由已知可列式：60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）= ×60×40， 解以上式子可得：a1=5，a2=45（舍去）， 答：所以通道的宽为 5 米； （3）设修建的道路和花圃的总造价为 y， 由已知得 y1=40x， y2= ， 则 y=y1+y2= ； 图 13-2图 13-1 x 花圃=（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400； x 通道=60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）=﹣4a2+200a， 当 2≤a≤10，800≤x 花圃≤2016，384≤x 通道≤1600， ∴384≤x≤2016， 所以当 x 取 384 时，y 有最小值，最小值为 2040，即总造价最低为 23040 元， 当 x=383 时，即通道的面积为 384 时，有﹣4a2+200a=384， 解得 a1=2，a2=48（舍去）， 所以当通道宽为 2 米时，修建的通道和花圃的总造价最低为 23040 元． 点评：本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽． 七、（本大题满分 10 分） 25．如图 14，AB 是⊙O 的直径，C、G 是⊙O 上两点，且 AC = CG，过点 C 的直线 CD  BG 于点 D，交 BA 的延 长线于点 E，连接 BC，交 OD 于点 F. （1）求证：CD 是⊙O 的切线. （2）若 3 2 FD OF ,求  E 的度数. （3）连接 AD，在（2）的条件下，若 CD= 3 ，求 AD 的长. 考点：圆的综合题．. 分析：（1）如图 1，连接 OC，AC，CG，由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG，根据同圆的半径相等得到 OC=OB， 于是得到∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OCB=∠CBG，根据平行线的判定得到 OC∥BG，即可得到结论； （2）由 OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到 ， ，根据直角三角形的 性质即可得到结论； （3）如图 2，过 A 作 AH⊥DE 于 H，解直角三角形得到 BD=3，DE=3 ，BE=6，在 Rt△DAH 中， AD= = = ． 解答：（1）证明：如图 1，连接 OC，AC，CG， ∵AC=CG， ∴ ， ∴∠ABC=∠CBG， ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC， ∴∠OCB=∠CBG， ∴OC∥BG， ∵CD⊥BG， ∴OC⊥CD， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）解：∵OC∥BD， ∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD， ∴ ， 图 14 ∴ ， ∵OA=OB， ∴AE=OA=OB， ∴OC= OE， ∵∠ECO=90°， ∴∠E=30°； （3）解：如图 2，过 A 作 AH⊥DE 于 H， ∵∠E=30° ∴∠EBD=60°， ∴∠CBD= EBD=30°， ∵CD= ， ∴BD=3，DE=3 ，BE=6， ∴AE= BE=2， ∴AH=1， ∴EH= ， ∴DH=2 ， 在 Rt△DAH 中，AD= = = ． 点评：本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理相似三角形的判定和性质，圆周角定理， 正确的作出辅助线是解题的关键． 八、（本小题满分 10 分） 26．在平面直角坐标系中，已知 A、B 是抛物线 )0(2  aaxy 上两个不同的点，其中 A 在第二象限，B 在 第一象限. （1）如图 15-1 所示，当直线 AB 与 x 轴平行，  AOB=90°，且 AB=2 时，求此抛物线的解析式和 A、B 两点的横坐标的乘积. （2）如图 15-2 所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线 AB 与 x 轴不平行， AOB 仍为 90°时，A、B 两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. （3）在（2）的条件下，若直线 22  xy 分别交直线 AB，轴于点 P、C，直线 AB 交 y 轴于点 D，且  BPC= OCP，求点 P 的坐标. 考点：二次函数综合题．. 分析：（1）如图 1，由 AB 与 x 轴平行，根据抛物线的对称性有 AE=BE=1，由于∠AOB=90°，得到 OE= AB=1， 求出 A（﹣1，1）、B（1，1），把 x=1 时，y=1 代入 y=ax2 得：a=1 得到抛物线的解析式 y=x2，A、B 两点的横 坐标的乘积为 xA•xB=﹣1 （2）如图 2，过 A 作 AM⊥x 轴于 M，BN⊥x 轴于 N 得到∠AMO=∠BNO=90°，证出△AMO∽△BON，得到 OM•ON=AM•BN，设 A（xA，yA），B（xB，yB），由于 A（xA，yA），B（xB，yB）在 y=x2 图象上，得到 yA= ， yB= ，即可得到结论； （3）设 A（m，m2），B（n，n2）．作辅助线，证明△AEO∽△OFB，得到 mn=﹣1．再联立直线 m：y=kx+b 与抛物线 y=x2 的解析式，由根与系数关系得到：mn=﹣b，所以 b=1；由此得到 OD、CD 的长度，从而得到 PD 的长度；作辅助线，构造 Rt△PDG，由勾股定理求出点 P 的坐标． 解答： 解：（1）如图 1，∵AB 与 x 轴平行， 根据抛物线的对称性有 AE=BE=1， ∵∠AOB=90°， ∴OE= AB=1， ∴A（﹣1，1）、B（1，1）， 把 x=1 时，y=1 代入 y=ax2 得：a=1， ∴抛物线的解析式 y=x2， A、B 两点的横坐标的乘积为 xA•xB=﹣1 图 15-1 图 15-2 （2）xA•xB=﹣1 为常数， 如图 2，过 A 作 AM⊥x 轴于 M，BN⊥x 轴于 N， ∴∠AMO=∠BNO=90°， ∴∠MAO+∠AOM=∠AOM+∠BON=90°， ∴∠MAO=∠BON， ∴△AMO∽△BON， ∴ ， ∴OM•ON=AM•BN， 设 A（xA，yA），B（xB，yB）， ∵A（xA，yA），B（xB，yB）在 y=x2 图象上， ∴，yA= ，yB= ， ∴﹣xA•xB=yA•yB= • ， ∴xA•xB=﹣1 为常数； （3）设 A（m，m2），B（n，n2）， 如图 3 所示，过点 A、B 分别作 x 轴的垂线，垂足为 E、F，则易证△AEO∽△OFB． ∴ ，即 ，整理得：mn（mn+1）=0， ∵mn≠0，∴mn+1=0，即 mn=﹣1． 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，联立 ，得：x2﹣kx﹣b=0． ∵m，n 是方程的两个根，∴mn=﹣b． ∴b=1． ∵直线 AB 与 y 轴交于点 D，则 OD=1． 易知 C（0，﹣2），OC=2，∴CD=OC+OD=3． ∵∠BPC=∠OCP，∴PD=CD=3． 设 P（a，﹣2a﹣2），过点 P 作 PG⊥y 轴于点 G，则 PG=﹣a，GD=OG﹣OD=﹣2a﹣3． 在 Rt△PDG 中，由勾股定理得：PG2+GD2=PD2， 即：（﹣a）2+（﹣2a﹣3）2=32，整理得：5a2+12a=0， 解得 a=0（舍去）或 a=﹣ ， 当 a=﹣ 时，﹣2a﹣2= ， ∴P（﹣ ， ）． 点评：本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理、相似三角形的 判定和性质、一元二次方程等知识点，有一定的难度．第（3）问中，注意根与系数关系的应用．