2015年绵阳市中考数学试题解析

四川省绵阳市 2015 年中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，每小题只有一个选项最符合题目 要求） 1．（3 分）（2015•绵阳）±2 是 4 的（ ） A．平方根 B．相反数 C．绝对值 D．算术平方根 考点：平方根． . 分析：根据平方根的定义解答即可． 解答：解：±2 是 4 的平方根． 故选：A． 点评：本题考查了平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 2．（3 分）（2015•绵阳）下列图案中，轴对称图形是（ ） A． B． C． D． 考点：轴对称图形． . 分析：根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解． 解答：解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，故此选项正确； 故选；D． 点评：本题考查了轴对称图形，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，轴对称图形的关键是寻 找对称轴． 3．（3 分）（2015•绵阳）若 +|2a﹣b+1|=0，则（b﹣a）2015=（ ） A．﹣1 B．1 C．52015 D．﹣52015 考点：解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．. 专题：计算题． 分析：利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到 a 与 b 的值，即可确定出原式的 值． 解答：解：∵ +|2a﹣b+1|=0， ∴ ， 解得： ， 则（b﹣a）2015=（﹣3+2）2015=﹣1． 故选：A． 点评：此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关 键． 4．（3 分）（2015•绵阳）福布斯 2015 年全球富豪榜出炉，中国上榜人数仅次于美国，其中 王健林以 242 亿美元的财富雄踞中国内地富豪榜榜首，这一数据用科学记数法可表示为 （ ） A．0.242×1010 美元 B．0.242×1011 美元 C．2.42×1010 美元 D．2.42×1011 美元 考点：科学记数法—表示较大的数．. 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答：解：将 242 亿用科学记数法表示为：2.42×1010． 故选：C． 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 5．（3 分）（2015•绵阳）如图，在△ABC 中，∠B、∠C 的平分线 BE，CD 相交于点 F， ∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（ ） A．118° B．119° C．120° D．121° 考点：三角形内角和定理．. 分析：由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分线的性质得 ∠CBE+∠BCD=60°，再利用三角形的内角和定理得结果． 解答：解：∵∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°， ∵BE，CD 是∠B、∠C 的平分线， ∴∠CBE= ∠ABC，∠BCD= ， ∴∠CBE+∠BCD= （∠ABC+∠BCA）=60°， ∴∠BFC=180°﹣60°=120°， 故选：C． 点评：本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线的性质，综合运用三角形内角和定理和 角平分线的性质是解答此题的关键． 6．（3 分）（2015•绵阳）要使代数式 有意义，则 x 的（ ） A．最大值是 B．最小值是 C．最大值是 D．最小值是 考点：二次根式有意义的条件．. 分析：根据二次根式有意义的条件列出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可． 解答：解：∵代数式 有意义， ∴2﹣3x≥0，解得 x≤ ． 故选：A． 点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． 7．（3 分）（2015•绵阳）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 E，∠CBD=90°， BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形 ABCD 的面积为（ ） A．6 B．12 C．20 D．24 考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．. 分析：根据勾股定理，可得 EC 的长，根据平行四边形的判定，可得四边形 ABCD 的形状， 根据平行四边形的面积公式，可得答案． 解答：解：在 Rt△BCE 中，由勾股定理，得 CE= = =5． ∵BE=DE=3，AE=CE=5， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 四边形 ABCD 的面积为 BC•BD=4×（3+3）=24， 故选：D． 点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了勾股定理得出 CE 的长，又利用对角线 互相平分的四边形是平行四边形，最后利用了平行四边形的面积公式． 8．（3 分）（2015•绵阳）由若干个边长为 1cm 的正方体堆积成一个几何体，它的三视图如 图，则这个几何体的表面积是（ ） A．15cm2 B．18cm2 C．21cm2 D．24cm2 考点：由三视图判断几何体；几何体的表面积． . 分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 解答：解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有 2+1=3 个小正方体，第二层 应该有 1 个小正方体， 因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是 3+1=4 个． 所以表面积为 3×6=18cm2． 故选：B． 点评：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考 查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 9．（3 分）（2015•绵阳）要估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞了 50 条鱼，在每 条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞出 100 条鱼，发现只有两条鱼是 刚才做了记号的鱼．假设鱼在鱼塘内均匀分布，那么估计这个鱼塘的鱼数约为（ ） A．5000 条 B．2500 条 C．1750 条 D．1250 条 考点：用样本估计总体． . 分析：首先求出有记号的 2 条鱼在 100 条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所 占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数． 解答：解：由题意可得：50÷ =2500（条）． 故选：B． 点评：本题考查了统计中用样本估计总体，表示出带记号的鱼所占比例是解题关键． 10．（3 分）（2015•绵阳）如图，要在宽为 22 米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂 CD 长 2 米，且与灯柱 BC 成 120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线 DO 与灯臂 CD 垂直， 当灯罩的轴线 DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱 BC 高度应该 设计为（ ） A．（11﹣2 ）米 B．（11 ﹣2 ）米C．（11﹣2 ）米 D．（11 ﹣4）米 考点：解直角三角形的应用． . 分析：出现有直角的四边形时，应构造相应的直角三角形，利用相似求得 PB、PC，再相减 即可求得 BC 长． 解答：解：如图，延长 OD，BC 交于点 P． ∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11 米，CD=2 米， ∴在直角△CPD 中，DP=DC•cot30°=2 m，PC=CD÷（sin30°）=4 米， ∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90°， ∴△PDC∽△PBO， ∴ = ， ∴PB= = =11 米， ∴BC=PB﹣PC=（11 ﹣4）米． 故选：D． 点评：本题通过构造相似三角形，综合考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质，锐角 三角函数的概念． 11．（3 分）（2015•绵阳）将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中 的“○”的个数，若第 n 个“龟图”中有 245 个“○”，则 n=（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 考点：规律型：图形的变化类．. 分析：分析数据可得：第 1 个图形中小圆的个数为 5；第 2 个图形中小圆的个数为 7；第 3 个图形中小圆的个数为 11；第 4 个图形中小圆的个数为 17；则知第 n 个图形中小圆 的个数为 n（n﹣1）+5．据此可以再求得“龟图”中有 245 个“○”是 n 的值． 解答：解：第一个图形有：5 个○， 第二个图形有：2×1+5=7 个○， 第三个图形有：3×2+5=11 个○， 第四个图形有：4×3+5=17 个○， 由此可得第 n 个图形有：[n（n﹣1）+5 ] 个○， 则可得方程：[n（n﹣1）+5 ] =245 解得：n1=16，n2=﹣15（舍去）． 故选：C． 点评：此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的 规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形． 12．（3 分）（2015•绵阳）如图，D 是等边△ABC 边 AB 上的一点，且 AD：DB=1：2，现 将△ABC 折叠，使点 C 与 D 重合，折痕为 EF，点 E，F 分别在 AC 和 BC 上，则 CE：CF= （ ） A． B． C． D． 考点：翻折变换（折叠问题）． . 分析：借助翻折变换的性质得到 DE=CE；设 AB=3k，CE=x，则 AE=3k﹣x；根据余弦定理 分别求出 CE、CF 的长即可解决问题． 解答：解：设 AD=k，则 DB=2k； ∵△ABC 为等边三角形， ∴AB=AC=3k，∠A=60°； 设 CE=x，则 AE=3k﹣x； 由题意知： EF⊥CD，且 EF 平分 CD， ∴CE=DE=x； 由余弦定理得： DE2=AE2+AD2﹣2AE•AD•cos60° 即 x2=（3k﹣x）2+k2﹣2k（3k﹣x）cos60°， 整理得：x= ， 同理可求：CF= ， ∴CE：CF=4：5． 故选：B． 点评：主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是借助余弦定理分别求出 CE、 CF 的长度（用含有 k 的代数式表示）；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高 的要求． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13．（3 分）（2015•绵阳）计算：a（a2÷a）﹣a2= 0 ． 考点：整式的混合运算． . 分析：首先将括号里面利整式的除法运算法则化简，进而利用同底数幂的乘法以及合并同类 项法则求出即可． 解答：解：a（a2÷a）﹣a2=a2﹣a2=0． 故答案为：0． 点评：此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关法则是解题关键． 14．（3 分）（2015•绵阳）如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面 坐标分别为 A（﹣2，1）和 B（﹣2，﹣3），那么第一架轰炸机 C 的平面坐标是 （2，﹣1） ． 考点：坐标确定位置．. 分析：根据 A（﹣2，1）和 B（﹣2，﹣3）的坐标以及与 C 的关系进行解答即可． 解答：解：因为 A（﹣2，1）和 B（﹣2，﹣3）， 所以可得点 C 的坐标为（2，﹣1）， 故答案为：（2，﹣1）． 点评：此题考查坐标问题，关键是根据 A（﹣2，1）和 B（﹣2，﹣3）的坐标以及与 C 的关 系解答． 15．（3 分）（2015•绵阳）在实数范围内因式分解：x2y﹣3y= y（x﹣ ）（x+ ） ． 考点：实数范围内分解因式． . 专题：计算题． 分析：原式提取 y，再利用平方差公式分解即可． 解答：解：原式=y（x2﹣3）=y（x﹣ ）（x+ ）， 故答案为：y（x﹣ ）（x+ ）． 点评：此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 16．（3 分）（2015•绵阳）如图，AB∥CD，∠CDE=119°，GF 交∠DEB 的平分线 EF 于点 F， ∠AGF=130°，则∠F= 9.5° ． 考点：平行线的性质．. 分析：先根据平行线的性质求出∠AED 与∠DEB 的度数，再由角平分线的性质求出∠DEF 的度数，进而可得出∠GEF 的度数，再根据三角形外角的性质即可得出结论． 解答：解：∵AB∥CD，∠CDE=119°， ∴∠AED=180°﹣119°=61°，∠DEB=119°． ∵GF 交∠DEB 的平分线 EF 于点 F， ∴∠GEF= ×119°=59.5°， ∴∠GEF=61°+59.5°=120.5°． ∵∠AGF=130°， ∴∠F=∠AGF﹣∠GEF=130°﹣120.5°=9.5°． 故答案为：9.5°． 点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补，内错角 相等． 17．（3 分）（2015•绵阳）关于 m 的一元二次方程 nm2﹣n2m﹣2=0 的一个根为 2，则 n2+n ﹣2= 26 ． 考点：一元二次方程的解．. 专题：计算题． 分析：先根据一元二次方程的解的定义得到 4 n﹣2n2﹣2=0，两边除以 2n 得 n+ =2 ， 再利用完全平方公式变形得到原式=（n+ ）2﹣2，然后利用整体代入的方法计算． 解答：解：把 m=2 代入 nm2﹣n2m﹣2=0 得 4 n﹣2n2﹣2=0， 所以 n+ =2 ， 所以原式=（n+ ）2﹣2 =（2 ）2﹣2 =26． 故答案为：26． 点评：本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知 数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的 根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式的变形能力． 18．（3 分）（2015•绵阳）如图，在等边△ABC 内有一点 D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD 绕 A 点逆时针旋转，使 AB 与 AC 重合，点 D 旋转至点 E，则∠CDE 的正切值为 3 ． 考点：旋转的性质；等边三角形的性质；解直角三角形． . 专题：计算题． 分析：先根据等边三角形的性质得 AB=AC，∠BAC=60°，再根据旋转的性质得 AD=AE=5， ∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，于是可判断△ADE 为等边三角形，得到 DE=AD=5； 过 E 点作 EH⊥CD 于 H，如图，设 DH=x，则 CH=4﹣x，利用勾股定理得到 52﹣x2=62 ﹣（4﹣x）2，解得 x= ，再计算出 EH，然后根据正切的定义求解． 解答：解：∵△ABC 为等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵△ABD 绕 A 点逆时针旋转得△ACE， ∴AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6， ∴△ADE 为等边三角形， ∴DE=AD=5， 过 E 点作 EH⊥CD 于 H，如图，设 DH=x，则 CH=4﹣x， 在 Rt△DHE 中，EH2=52﹣x2， 在 Rt△DHE 中，EH2=62﹣（4﹣x）2， ∴52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，解得 x= ， ∴EH= = ， 在 Rt△EDH 中，tan∠HDE= = =3 ， 即∠CDE 的正切值为 3 ． 故答案为：3 ． 点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段 的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和解直角三 角形． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 86 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（16 分）（2015•绵阳）（1）计算：|1﹣ |+（﹣ ）﹣2﹣ + ； （2）解方程： =1﹣ ． 考点：实数的运算；负整数指数幂；解分式方程；特殊角的三角函数值．. 专题：计算题． 分析：（1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用负整数指数幂法则计算， 第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用立方根定义计算即可得到结果； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可 得到分式方程的解． 解答：解：（1）原式= ﹣1+4﹣ ﹣2=1； （2）去分母得：3=2x+2﹣2， 解得：x= ， 经检验 x= 是分式方程的解． 点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．（11 分）（2015•绵阳）阳泉同学参加周末社会实践活动，到“富乐花乡”蔬菜大棚中收集 到 20 株西红柿秧上小西红柿的个数： 32 39 45 55 60 54 60 28 56 41 51 36 44 46 40 53 37 47 45 46 （1）前 10 株西红柿秧上小西红柿个数的平均数是 47 ，中位数是 49.5 ，众数是 60 ； （2）若对这 20 个数按组距为 8 进行分组，请补全频数分布表及频数分布直方图 个数分组 28≤x＜36 36≤x＜44 44≤x＜52 52≤x＜60 60≤x＜68 频数 2 5 7 4 2 （3）通过频数分布直方图试分析此大棚中西红柿的长势． 考点：频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；加权平均数；中位数；众数．. 分析：（1）根据平均数的计算公式进行计算求出平均数，再根据中位数和众数的定义即可 得出答案； （2）根据所给出的数据分别得出各段的频数，从而补全统计图； （3）根据频数分布直方图所给出的数据分别进行分析即可． 解答：解：（1）前 10 株西红柿秧上小西红柿个数的平均数是 （32+39+45+55+60+54+60+28+56+41）÷10=47； 把这些数据从小到大排列：28、32、39、41、45、54、55、56、60、60， 最中间的数是（45+54）÷2=49.5， 则中位数是 49.5； 60 出现了 2 次，出现的次数最多，则众数是 60； 故答案为：47，49.5，60； （2）根据题意填表如下： 个数分组 28≤x＜36 36≤x＜44 44≤x＜52 52≤x＜60 60≤x＜68 频数 2 5 7 4 2 补图如下： 故答案为：5，7，4； （3）此大棚的西红柿长势普遍较好，最少都有 28 个； 西红柿个数最集中的株数在第三组，共 7 株； 西红柿的个数分布合理，中间多，两端少． 点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信 息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 21．（11 分）（2015•绵阳）如图，反比例函数 y= （k＞0）与正比例函数 y=ax 相交于 A（1， k），B（﹣k，﹣1）两点． （1）求反比例函数和正比例函数的解析式； （2）将正比例函数 y=ax 的图象平移，得到一次函数 y=ax+b 的图象，与函数 y= （k＞0） 的图象交于 C（x1，y1），D（x2，y2），且|x1﹣x2|•|y1﹣y2|=5，求 b 的值． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与几何变换． . 分析：（1）首先根据点 A 与点 B 关于原点对称，可以求出 k 的值，将点 A 分别代入反比例 函数与正比例函数的解析式，即可得解． （2）分别把点（x1，y1）、（x2，y2）代入一次函数 y=x+b，再把两式相减，根据|x1 ﹣x2|•|y1﹣y2|=5 得出|x1﹣x2|=|y1﹣y2|= ，然后通过联立方程求得 x1、x2 的值，代入 即可求得 b 的值． 解答：解：（1）据题意得：点 A（1，k）与点 B（﹣k，﹣1）关于原点对称， ∴k=1， ∴A（1，1），B（﹣1，﹣1）， ∴反比例函数和正比例函数的解析式分别为 y= ，y=x； （2）∵一次函数 y=x+b 的图象过点（x1，y1）、（x2，y2）， ∴ ， ②﹣①得，y2﹣y1=x2﹣x1， ∵|x1﹣x2|•|y1﹣y2|=5， ∴|x1﹣x2|=|y1﹣y2|= ， 由 得 x2+bx﹣1=0， 解得，x1= ，x2= ， ∴|x1﹣x2|=| ﹣ |=| |= ， 解得 b=±1． 点评：本题考查了反比例函数与正比例函数关于原点对称这一知识点，以及用待定系数法求 函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特点，利用对称性求出点的坐标是解题的关 键． 22．（11 分）（2015•绵阳）如图，O 是△ABC 的内心，BO 的延长线和△ABC 的外接圆相 交于点 D，连接 DC，DA，OA，OC，四边形 OADC 为平行四边形． （1）求证：△BOC≌△CDA； （2）若 AB=2，求阴影部分的面积． 考点：三角形的内切圆与内心；全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算．. 专题：计算题． 分析：（1）由于 O 是△ABC 的内心，也是△ABC 的外心，则可判断△ABC 为等边三角形， 所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，再根据平行四边形的性质得 ∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA=OB，则根据“SAS”证明△BOC≌△CDA； （2）作 OH⊥AB 于 H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到 ∠BOH=30°，根据垂径定理得到 BH=AH= AB=1，再利用含 30 度的直角三角形三边 的关系得到 BH=AH= AB=1，OH= BH= ，OB=2OH= ，然后根据三角形面 积公式和扇形面积公式，利用 S 阴影部分=S 扇形 AOB﹣S△AOB 进行计算即可． 解答：（1）证明：∵O 是△ABC 的内心，也是△ABC 的外心， ∴△ABC 为等边三角形， ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC， ∵四边形 OADC 为平行四边形， ∴∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA， ∴AD=OB， 在△BOC 和△CDA 中 ， ∴△BOC≌△CDA； （2）作 OH⊥AB 于 H，如图， ∵∠AOB=120°，OA=OB， ∴∠BOH= （180°﹣120°）=30°， ∵OH⊥AB， ∴BH=AH= AB=1， OH= BH= ， OB=2OH= ， ∴S 阴影部分=S 扇形 AOB﹣S△AOB = ﹣ ×2× = ． 点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三 角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的 内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了等边三角形的判定与性质和扇形 面积的计算． 23．（11 分）（2015•绵阳）南海地质勘探队在南沙群岛的一小岛发现很有价值的 A，B 两种 矿石，A 矿石大约 565 吨，B 矿石大约 500 吨，上报公司，要一次性将两种矿石运往冶炼厂， 需要不同型号的甲、乙两种货船共 30 艘，甲货船每艘运费 1000 元，乙货船每艘运费 1200 元． （1）设运送这些矿石的总费用为 y 元，若使用甲货船 x 艘，请写出 y 和 x 之间的函数关系 式； （2）如果甲货船最多可装 A 矿石 20 吨和 B 矿石 15 吨，乙货船最多可装 A 矿石 15 吨和 B 矿石 25 吨，装矿石时按此要求安排甲、乙两种货船，共有几种安排方案？哪种安排方案运 费最低并求出最低运费． 考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用． . 分析：（1）根据这些矿石的总费用为 y=甲货船运费+乙货船运费，即可解答； （2）根据 A 矿石大约 565 吨，B 矿石大约 500 吨，列出不等式组，确定 x 的取值范 围，根据 x 为整数，确定 x 的取值，即可解答． 解答：解：（1）根据题意得：y=1000x+1200（30﹣x）=36000﹣200x． （2）设安排甲货船 x 艘，则安排乙货船 30﹣x 艘， 根据题意得： ， 化简得： ， ∴23≤x≤25， ∵x 为整数， ∴x=23，24，25， 方案一：甲货船 23 艘，则安排乙货船 7 艘， 运费 y=36000﹣200×23=31400 元； 方案二：甲货船 24 艘，则安排乙货船 6 艘， 运费 y=36000﹣200×24=31200 元； 方案三：甲货船 25 艘，则安排乙货船 5 艘， 运费 y=36000﹣200×25=31000 元； 经分析得方案三运费最低，为 31000 元． 点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是关键题意得到函数解析式和不等式 组． 24．（12 分）（2015•绵阳）已知抛物线 y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与 y 轴相交于 A 点，顶点为 M， 直线 y= x﹣a 分别与 x 轴、y 轴相交于 B，C 两点，并且与直线 MA 相交于 N 点． （1）若直线 BC 和抛物线有两个不同交点，求 a 的取值范围，并用 a 表示交点 M，A 的坐 标； （2）将△NAC 沿着 y 轴翻转，若点 N 的对称点 P 恰好落在抛物线上，AP 与抛物线的对称 轴相交于点 D，连接 CD，求 a 的值及△PCD 的面积； （3）在抛物线 y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点 P，使得以 P，A，C，N 为顶点的四边 形是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题． . 分析：（1）先联立抛物线与直线的解析式得出关于 x 的方程，再由直线 BC 和抛物线有两 个不同交点可知△＞0，求出 a 的取值范围，令 x=0 求出 y 的值即可得出 A 点坐标， 把抛物线的解析式化为顶点式的形式即可得出 M 点的坐标； （2）利用待定系数法求出直线 MA 的解析式，联立两直线的解析式可得出 N 点坐标， 进而可得出 P 点坐标，根据 S△PCD=S△PAC﹣S△ADC 可得出结论； （3）分点 P 在 y 轴左侧与右侧两种情况进行讨论即可． 解答： 解：（1）由题意得， ，整理得 2x2+5x﹣4a=0． ∵△=25+32a＞0，解得 a＞﹣ ． ∵a≠0， ∴a＞﹣ 且 a≠0． 令 x=0，得 y=a， ∴A（0，a）． 由 y=﹣（x+1）2+1+a 得，M（﹣1，1+a）． （2）设直线 MA 的解析式为 y=kx+b（k≠0）， ∵A（0，a），M（﹣1，1+a）， ∴ ，解得 ， ∴直线 MA 的解析式为 y=﹣x+a， 联立得， ，解得 ， ∴N（ ，﹣ ）． ∵点 P 是点 N 关于 y 轴的对称点， ∴P（﹣ ，﹣ ）． 代入 y=﹣x2﹣2x+a 得，﹣ =﹣ a2+ a+a，解得 a= 或 a=0（舍去）． ∴A（0， ），C（0，﹣ ），M（﹣1， ），|AC|= ， ∴S△PCD=S△PAC﹣S△ADC= |AC|•|xp|﹣ |AC|•|x0| = • •（3﹣1） = ； （3）①当点 P 在 y 轴左侧时， ∵四边形 APCN 是平行四边形， ∴AC 与 PN 互相平分，N（ ，﹣ ）， ∴P（﹣ ， ）； 代入 y=﹣x2﹣2x+a 得， =﹣ a2+ a+a，解得 a= ， ∴P（﹣ ， ）． ②当点 P 在 y 轴右侧时， ∵四边形 ACPN 是平行四边形， ∴NP∥AC 且 NP=AC， ∵N（ ，﹣ ），A（0，a），C（0，﹣a）， ∴P（ ，﹣ ）． 代入 y=﹣x2﹣2x+a 得，﹣ =﹣ a2﹣ a+a，解得 a= ， ∴P（ ，﹣ ）． 综上所述，当点 P（﹣ ， ）和（ ，﹣ ）时，A、C、P、N 能构成平行四边形． 点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数与一次函数的交点问题、二次函数图 象上点的坐标特点、平行四边形的判定与性质等知识，难度较大． 25．（14 分）（2015•绵阳）如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，G 是 AD 延长线时的一 点，且 DG=AD，动点 M 从 A 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿着 A→C→G 的路线向 G 点匀速运动（M 不与 A，G 重合），设运动时间为 t 秒，连接 BM 并延长 AG 于 N． （1）是否存在点 M，使△ABM 为等腰三角形？若存在，分析点 M 的位置；若不存在，请 说明理由； （2）当点 N 在 AD 边上时，若 BN⊥HN，NH 交∠CDG 的平分线于 H，求证：BN=HN； （3）过点 M 分别作 AB，AD 的垂线，垂足分别为 E，F，矩形 AEMF 与△ACG 重叠部分 的面积为 S，求 S 的最大值． 考点：四边形综合题．. 分析：（1）四种情况：当点 M 为 AC 的中点时，AM=BM；当点 M 与点 C 重合时，AB=BM； 当点 M 在 AC 上，且 AM=2 时，AM=AB；当点 M 为 CG 的中点时，AM=BM；△ABM 为等腰三角形； （2）在 AB 上截取 AK=AN，连接 KN；由正方形的性质得出∠ADC=90°，AB=AD， ∠CDG=90°，得出 BK=DN，先证出∠BKN=∠NDH，再证出∠ABN=∠DNH，由 ASA 证明△BNK≌△NHD，得出 BN=NH 即可； （3）①当 M 在 AC 上时，即 0＜t≤2 时，△AMF 为等腰直角三角形，得出 AF=FM= t，求出 S= AF•FM= t2；当 t=2 时，即可求出 S 的最大值； ②当 M 在 CG 上时，即 2 ＜t＜4 时，先证明△ACD≌△GCD，得出 ∠ACD=∠GCD=45°，求出∠ACM=90°，证出△MFG 为等腰直角三角形，得出 FG=MG•cos45°=4﹣ t，得出 S=S△ACG﹣S△CMJ﹣S△FMG，S 为 t 的二次函数，即可 求出结果． 解答：（1）解：存在；当点 M 为 AC 的中点时，AM=BM，则△ABM 为等腰三角形； 当点 M 与点 C 重合时，AB=BM，则△ABM 为等腰三角形； 当点 M 在 AC 上，且 AM=2 时，AM=AB，则△ABM 为等腰三角形； 当点 M 为 CG 的中点时，AM=BM，则△ABM 为等腰三角形； （2）证明：在 AB 上截取 AK=AN，连接 KN；如图 1 所示： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ADC=90°，AB=AD， ∴∠CDG=90°， ∵BK=AB﹣AK，ND=AD﹣AN， ∴BK=DN， ∵DH 平分∠CDG， ∴∠CDH=45°， ∴∠NDH=90°+45°=135°， ∴∠BKN=180°﹣∠AKN=135°， ∴∠BKN=∠NDH， 在 Rt△ABN 中，∠ABN+∠ANB=90°， 又∵BN⊥NH， 即∠BNH=90°， ∴∠ANB+∠DNH=180°﹣∠BNH=90°， ∴∠ABN=∠DNH， 在△BNK 和△NHD 中， ， ∴△BNK≌△NHD（ASA）， ∴BN=NH； （3）解：①当 M 在 AC 上时，即 0＜t≤2 时，△AMF 为等腰直角三角形， ∵AM=t， ∴AF=FM= t， ∴S= AF•FM= × t× t= t2； 当 t=2 时，S 的最大值= ×（2 ）2=2； ②当 M 在 CG 上时，即 2 ＜t＜4 时，如图 2 所示： CM=t﹣AC=t﹣2 ，MG=4 ﹣t， 在△ACD 和△GCD 中， ， ∴△ACD≌△GCD（SAS）， ∴∠ACD=∠GCD=45°， ∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90°， ∴∠G=90°﹣∠GCD=45°， ∴△MFG 为等腰直角三角形， ∴FG=MG•cos45°=（4 ﹣t）• =4﹣ t， ∴S=S△ACG﹣S△CMJ﹣S△FMG= ×4×2﹣ ×CM×CM﹣ ×FG×FG =4﹣ （t﹣2 ）2﹣ （4﹣ ）2=﹣ +4 t﹣8 =﹣ （t﹣ ）2+ ， ∴当 t= 时，S 的最大值为 ． 点评：本题是相似形综合题目，考查了等腰三角形的判定、正方形的性质、全等三角形的判 定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数以及三角形面积的计算等知识； 本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过证明三角形全 等和等腰直角三角形才能得出结果．