2015年临沂市中考数学试卷及答案

绝密★启用前 试卷类型：A 2015 年临沂市初中学生学业考试试题 数 学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共 8 页，满分 120 分，考试时间 120 分钟．答 卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考 试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题 共 42 分） 一、选择题（本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1． 1 2  的绝对值是 (A) 1 2 . (B) 1 2  . (C) 2. (D)  2. 2．如图，直线 a∥b，∠1 = 60°，∠2 = 40°，则∠3 等于 (A) 40°. (B) 60°. (C) 80°. (D) 100°. 3．下列计算正确的是 (A) 2 2 42a a a  . (B) 2 3 6 3( )a b a b   . (C) 2 3 6a a a  . (D) 8 2 4a a a  . 4．某市 6 月份某周内每天的最高气温数据如下（单位：℃）：24 26 29 26 29 32 29 则这组数据的众数和中位数分别是 (A) 29，29. (B) 26，26. (C) 26，29. (D) 29，32. 5．如图所示，该几何体的主视图是 a b 1 3 2 （第 2 题图） (A) (B) (C) (D) 6．不等式组 2 6 2 0x x      , ≤ 的解集，在数轴上表示正确的是 (A) (B) (C) (D) 7．一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和 茶杯随机地搭配在一起. 则其颜色搭配一致的概率是 (A) 1 4 . (B) 1 2 . (C) 3 4 . (D) 1. 8．如图 A，B，C 是 Oe 上的三个点，若 100AOC  o ，则 ABC 等于 (A) 50°. (B) 80°. (C) 100°. (D) 130°. 9．多项式 2mx m 与多项式 2 2 1x x  的公因式是 (A) 1x  . (B) 1x  . (C) 2 1x  . (D)  21x  . 10．已知甲、乙两地相距 20 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间 t（单位：小时）关 于行驶速度 v（单位：千米／小时）的函数关系式是 (A) 20t v . (B) 20t v . (C) 20 vt  . (D) 10t v . 11．观察下列关于 x 的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…. 按照上述规律，第 2015 个单项式是 (A) 2015x2015. (B) 4029x2014. (C) 4029x2015. (D) 4031x2015. 12．如图，四边形 ABCD 为平行四边形，延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 EB，EC，DB. 添加一个条件，不能．．使四边形 DBCE 成为矩形的是 －3 －2 －1 0 1 2 －3 －2 －1 0 1 2 －3 －2 －1 0 1 2 －3 －2 －1 0 1 2 O A B C （第 8 题图） A D E C B （第 12 题图） （第 5 题图） (A) AB=BE. (B) BE⊥DC. (C) ∠ADB=90°. (D) CE⊥DE. 13．要将抛物线 2 2 3y x x   平移后得到抛物线 2y x ，下列平移方法正确的是 (A) 向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位. (B) 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位. (C) 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位. (D) 向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位. 14．在平面直角坐标系中，直线 y =－x＋2 与反比例函数 1y x  的图象有唯一公共点. 若直线 y x b   与反比例函数 1y x  的图象有 2 个公共点，则 b 的取值范围是 (A) b﹥2. (B) －2﹤b﹤2. (C) b﹥2 或 b﹤－2. (D) b﹤－2. 第Ⅱ卷（非选择题 共 78 分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷分填空题和解答题． 2．第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用 0.5 毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在试卷上答题不 得分． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 15．比较大小：2_______ 3 （填“﹤”，“＝”，“﹥”）. （第 14 题图） x y O 2 2 16．计算： 2 4 2 2 a a a a    ____________. 17．如图，在Y ABCD 中，连接 BD， AD BD , 4AB  , 3sin 4A  ，则Y ABCD 的面积是________. B CD A O B C DE A （第 17 题图） （第 18 题图） 18．如图，在△ABC 中，BD，CE 分别是边 AC，AB 上的中线，BD 与 CE 相交于点 O，则 OB OD  _________. 1 9 ． 定 义 ： 给 定 关 于 x 的 函 数 y ， 对 于 该 函 数 图 象 上 任 意 两 点 （ x 1 ， y 1 ），（ x 2 ， y 2 ）， 当 x1﹤x2 时，都有 y1﹤y2，称该函数为增函数. 根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有 ______________（填上所有正确答案的序号）. ① y = 2x； ② y =  x＋1； ③ y = x2 (x＞0)； ④ 1y x   . 三、解答题（本大题共 7 小题，共 63 分） 20．（本小题满分 7 分） 计算： ( 3 2 1)( 3 2 1)    . 21．（本小题满分 7 分） “保护环境，人人有责”，为了了解某市的空气质量情况，某校环保兴趣小组，随机抽取了 2014 年内 该市若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未 给出）. 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）估计该市这一年（365 天）空气质量达到“优”和“良”的总天数； （3）计算随机选取这一年内的某一天，空气质量是“优”的概率. 某市若干天空气质量情况扇形统计图 轻微污染 轻度污染 中度污染 重度污染 良 优 5% 某市若干天空气质量情况条形统计图 36 30 24 18 12 6 0 优 良 天数 空气质 量类别 重度 污染 轻微 污染 轻度 污染 中度 污染 12 36 3 2 1 （第 21 题图） 22．（本小题满分 7 分） 小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为 30°，看这栋楼底部的俯角为 60°，小强家与这栋楼的 水平距离为 42m，这栋楼有多高？ C A B D α β （第 22 题图） 23．（本小题满分 9 分） 如图，点 O 为 Rt△ABC 斜边 AB 上的一点，以 OA 为半径的⊙O 与 BC 切于点 D，与 AC 交于点 E，连 接 AD. （1）求证：AD 平分∠BAC； （2）若∠BAC = 60°，OA = 2，求阴影部分的面积（结果保留 ）. 24．（本小题满分 9 分） 新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售. 某楼盘共 23 层，销售价格如下：第八层楼房售价为 4000 元／米 2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高 50 元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价 降低 30 元，已知该楼盘每套楼房面积均为 120 米 2. 若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案： 方案一：降价 8%，另外每套楼房赠送 a 元装修基金； 方案二：降价 10%，没有其他赠送. （1）请写出售价 y（元／米 2）与楼层 x（1≤x≤23，x 取整数）之间的函数关系式； （2）老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算. B C E A O D （第 23 题图） 25．（本小题满分 11 分） 如图 1，在正方形 ABCD 的外侧，作两个等边三角形 ADE 和 DCF，连接 AF，BE. （1）请判断：AF 与 BE 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）如图 2，若将条件“两个等边三角形 ADE 和 DCF”变为“两个等腰三角形 ADE 和 DCF，且 EA=ED=FD=FC”，第（1）问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明； （3）若三角形 ADE 和 DCF 为一般三角形，且 AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论都能成立吗？请 直接写出你的判断. 26.（本小题满分 13 分） 在平面直角坐标系中，O 为原点，直线 y =－2x－1 与 y 轴交于点 A，与直线 y =－x 交于点 B, 点 B 关于 原点的对称点为点 C. （1）求过 A，B，C 三点的抛物线的解析式； （2）P 为抛物线上一点，它关于原点的对称点 为 Q. ①当四边形 PBQC 为菱形时，求点 P 的坐标； ②若点 P 的横坐标为 t（－1＜t＜1），当 t 为何 值时，四边形 PBQC 面积最大，并说明理由. 参考答案及评分标准 说明：解答题给出了部分解答方法，考生若有其它解法，应参照本评分标准给分. 一、选择题（每小题 3 分，共 42 分） （第 25 题图） B A E F C D 图 1 备用图 B A C D 图 2 B A E C D F （第 26 题图） O x y A C B 2 1y x   y x  题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 A C B A D C B D A B C B D C 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 15．>； 16． 2a a  ； 17． 3 7 ； 18．2； 19．①③. 三、解答题 20．解：方法一： ( 3 2 1)( 3 2 1)    = [ 3 ( 2 1)  ][ 3 ( 2 1)  ]··············································1 分 = 2 2( 3) ( 2 1)  ································································3 分 3 (2 2 2 1)    ································································5 分 3 2 2 2 1    ··································································6 分 2 2 .············································································· 7 分 方法二： ( 3 2 1)( 3 2 1)    2 2( 3) 3 2 3 1 2 3 ( 2) 2 1 1 3 1 2 1 1                ··········3 分 3 6 3 6 2 2 3 2 1         ··················································· 5 分 2 2 .······························································································ 7 分 21．解：（1）图形补充正确.·········································································2 分 （2）方法一：由（1）知样本容量是 60， ∴该市 2014 年（365 天）空气质量达到“优”、“良”的总天数约为： 12 36 365 29260    （天）.············································································5 分 方法二：由（1）知样本容量是 60， ∴该市 2014 年（365 天）空气质量达到“优”的天数约为： 12 365 7360   （天）.·················································································· 3 分 该市 2014 年（365 天）空气质量达到“良”的天数约为： 36 365 21960   （天）.·················································································4 分 ∴该市 2014 年（365 天）空气质量达到“优”、“良”的总天数约为： 73+219=292（天）.···················································································· 5 分 （3）随机选取 2014 年内某一天，空气质量是“优”的概率为： 12 1.60 5 ····································································································7 分 22．解：如图，α = 30°，β = 60°，AD = 42. 某市若干天空气质量情况条形统计图 36 30 24 18 12 6 0 优 良 天数 空气质 量类别 重度 污染 轻微 污染 轻度 污染 中度 污染 12 36 3 2 1 6 A B Dα β ∵ tan BD AD   ， tan CD AD   ， ∴BD = AD·tanα = 42×tan30° = 42× 3 3 = 14 3 .···························· 3 分 CD＝AD tanβ＝42×tan60° ＝42 3 .··········································6 分 ∴BC＝BD＋CD＝14 3 ＋42 3 ＝56 3 (m). 因此，这栋楼高为 56 3 m.··········································································7 分 23．（1）证明：连接 OD. ∵BC 是⊙O 的切线，D 为切点， ∴OD⊥BC.····································1 分 又∵AC⊥BC， ∴OD∥AC，································· 2 分 ∴∠ADO=∠CAD.···························3 分 又∵OD=OA， ∴∠ADO=∠OAD，··················································································· 4 分 ∴∠CAD=∠OAD，即 AD 平分∠BAC.··························································· 5 分 （2）方法一：连接 OE，ED. ∵∠BAC=60°，OE=OA， ∴△OAE 为等边三角形， ∴∠AOE=60°， ∴∠ADE=30°. 又∵ 1 302OAD BAC     ， ∴∠ADE=∠OAD， ∴ED∥AO，···································· 6 分 ∴S△AED＝S△OED， ∴阴影部分的面积 = S 扇形 ODE = 60 4 2 360 3     .·············································· 9 分 方法二：同方法一，得 ED∥AO，································································ 6 分 ∴四边形 AODE 为平行四边形， ∴ 1S S 2 3 3.2AED OAD    V V ··································································7 分 又 S 扇形 ODE－S△OED= 60 4 23 3.360 3       ··················································8 分 ∴阴影部分的面积 = (S 扇形 ODE－S△OED) + S△AED = 2 23 33 3    .····················9 分 24．解：（1）当 1≤x≤8 时，y＝4000－30（8－x） ＝4000－240＋30 x ＝30 x＋3760；················································ 2 分 B C E A O D B C E A O D 当 8＜x≤23 时，y＝4000＋50（x－8） ＝4000＋50 x－400 ＝50 x＋3600. ∴所求函数关系式为 30 3760 50 3600 xy x    ························4 分 （2）当 x＝16 时， 方案一每套楼房总费用： w1＝120（50×16＋3600）×92%－a＝485760－a；····································5 分 方案二每套楼房总费用： w2＝120（50×16＋3600）×90%＝475200.··············································· 6 分 ∴当 w1＜w2 时，即 485760－a＜475200 时，a＞10560； 当 w1＝w2 时，即 485760－a＝475200 时，a＝10560； 当 w1＞w2 时，即 485760－a＞475200 时，a＜10560. 因此，当每套赠送装修基金多于 10560 元时，选择方案一合算； 当每套赠送装修基金等于 10560 元时，两种方案一样； 当每套赠送装修基金少于 10560 元时，选择方案二合算.···································· 9 分 25．解：（1）AF=BE，AF⊥BE. ···································································2 分 （2）结论成立.························································································· 3 分 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴BA=AD =DC，∠BAD =∠ADC = 90°. 在△EAD 和△FDC 中， , , , EA FD ED FC AD DC      ∴△EAD≌△FDC. ∴∠EAD=∠FDC. ∴∠EAD+∠DAB=∠FDC+∠CDA，即∠BAE=∠ADF.······································· 4 分 在△BAE 和△ADF 中， , , , BA AD BAE ADF AE DF       ∴△BAE≌△ADF. ∴BE = AF，∠ABE=∠DAF.········································································· 6 分 ∵∠DAF +∠BAF=90°， ∴∠ABE +∠BAF=90°， ∴AF⊥BE.································································································9 分 （3）结论都能成立.··················································································11 分 26．解：（1）解方程组 2 1y x y x       ， ， 得 1 1. x y     ， ∴点 B 的坐标为（-1，1）.··········································································1 分 （1≤x≤8，x 为整数）， （8＜x≤23，x 为整数）. B A E C D F ∵点 C 和点 B 关于原点对称， ∴点 C 的坐标为（1，-1）.··········································································2 分 又∵点 A 是直线 y=-2x-1 与 y 轴的交点， ∴点 A 的坐标为（0，-1）.··········································································3 分 设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c， ∴ 1 1 1. a b c a b c c            ， ，解得 1 1 1. a b c        ， ， ∴抛物线的解析式为 y=x2-x-1.······································································5 分 （2）①如图 1，∵点 P 在抛物线上， ∴可设点 P 的坐标为（m，m2-m-1）. 当四边形 PBQC 是菱形时，O 为菱形的中心， ∴PQ⊥BC，即点 P，Q 在直线 y = x 上， ∴m = m2-m-1，························································································7 分 解得 m = 1± 2 .·······················································································8 分 ∴点 P 的坐标为（1+ 2 ，1+ 2 ）或（1- 2 ，1- 2 ）.·································· 9 分 图 1 图 2 ②方法一： 如图 2，设点 P 的坐标为（t，t2 - t - 1）. 过点 P 作 PD∥y 轴，交直线 y = - x 于点 D，则 D（t，- t）. 分别过点 B，C 作 BE⊥PD，CF⊥PD，垂足分别为点 E，F. ∴PD = - t -( t2 - t -1) = - t2 + 1，BE + CF = 2，········································10 分 ∴S△PBC＝ 1 2 PD·BE + 1 2 PD·CF ＝ 1 2 PD·（BE + CF） ＝ 1 2 （- t2 + 1）×2 ＝- t2 + 1.····················································································12 分 ∴S PBQCY ＝-2t2+2. O x y P A C B Q F D E 2 1y x   y x  2 1y x x   O x y P A C B Q 2 1y x   y x  2 1y x x   ∴当 t＝0 时，S PBQCY 有最大值 2. ······························································· 13 分 方法二： 如图 3，过点 B 作 y 轴的平行线，过点 C 作 x 轴的平行线，两直线交于点 D，连接 PD. ∴S△PBC＝S△BDC-S△PBD-S△PDC ＝ 1 2 ×2×2- 1 2 ×2（t+1）- 1 2 ×2（t2-t-1+1） ＝-t2+1.······················································································· 12 分 ∴S PBQCY ＝-2t2+2. ∴当 t＝0 时，S PBQCY 有最大值 2. ······························································· 13 分 图 3 图 4 方法三：如图 4，过点 P 作 PE⊥BC，垂足为 E，作 PF∥x 轴交 BC 于点 F. ∴PE=EF. ∵点 P 的坐标为（t，t2-t-1）， ∴点 F 的坐标为（-t2+t+1，t2-t-1）. ∴PF=-t2+t+1-t=-t2+1. ∴PE＝ 2 2 （-t2+1）.················································································11 分 ∴S△PBC＝ 1 2 BC·PE＝ 1 2 × 2 2 × 2 2 （-t2+1） ＝-t2+1.······················································································· 12 分 ∴S PBQCY ＝-2t2+2. ∴当 t＝0 时，S PBQCY 有最大值 2. O x y P A C B Q D 2 1y x   y x  2 1y x x   O x y P A C B Q E 2 1y x   y x  2 1y x x   F