2015年莱芜市中考数学试题及答案

绝密★启用前 试卷类型 A 莱芜市 2015 年初中学业水平测试 数 学 试 题 题号 一 二 三 总分 18 19 20 21 22 23 24 分数 第 I 卷选择题答案栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 第Ⅰ卷（选择题 共 36 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题选对得 3 分，共 36 分。） 1. 3 1 的倒数是 A． 3 B． 3 1 C． 3 1 D．3 2.下列计算结果正确的是 A． 923 )( aa  B． 632 aaa  C． 22)2 1( 21  D． 1)2 160(cos 0  3.在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 A． B． C． D． 4.2010 年 4 月 20 日晚，“支援青海玉树抗震救灾义演晚会”在莱芜市政府广场成功举行，热 心企业和现场观众踊跃捐款 31083.58 元.将 31083.58 元保留两位有效数字可记为 A．3.1×106 元 B．3.11×104 元 C．3.1×104 元 D．3.10×105 元 5.如图，数轴上 A、B 两点分别对应实数 a、b，则下列结论正确的是 A． 0ab B． 0 ba C． 0 ba D． 0||||  ba 6.右图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是 10-1a b BA （第 5 题图） （第 6 题图） A. B. C. D. 7.已知反比例函数 xy 2 ，下列结论不正确．．．的是 A．图象必经过点(-1,2) B．y 随 x 的增大而增大 C．图象在第二、四象限内 D．若 x＞1，则 y＞-2 8.已知圆锥的底面半径长为 5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为 A．2.5 B．5 C．10 D．15 9.二次函数 cbxaxy  2 的图象如图所示，则一次函数 abxy  的 图象不经过 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10.已知      1 2 y x 是二元一次方程组      1 8 mynx nymx 的解，则 nm 2 的算术平方根为 A．4 B．2 C． 2 D． ±2 11.一个边长为 2 的正多边形的内角和是其外角和的 2 倍，则这个正多边形的半径是 A．2 B． 3 C．1 D．1 2 12.在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程 y（千米） 随时间 x（分）变化的图象（全程）如图，根据图象判定下 列结论不正确．．．的是 A．甲先到达终点 B．前 30 分钟，甲在乙的前面 C．第 48 分钟时，两人第一次相遇 D．这次比赛的全程是 28 千米 第Ⅱ卷（非选择题 共 84 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分，共 20 分） 13.分解因式：  xxx 23 2 ． 14.有一组数据如下：2，3，a，5，6，它们的平均数是 4，则这组数据的方差是 ． 15.某公司在 2009 年的盈利额为 200 万元，预计 2011年的盈利额将达到 242 万元，若每年比 上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在 2010 年的盈利额为________万元． 16.在平面直角坐标系中，以点 )3,4(A 、 )0,0(B 、 )0,8(C 为顶点的三角形向上平移 3 个单位， 得到△ 111 CBA （点 111 CBA 、、 分别为点 CBA 、、 的对应点），然后以点 1C 为中心将 △ 111 CBA 顺时针旋转 90 ，得到△ 122 CBA （点 22 BA 、 分别是点 11 BA、 的对应点），则 点 2A 的坐标是 . 17.已知： 321 232 3  C ， 10321 3453 5  C ， 154321 34564 6  C ，…， 得分 评卷人 x （第 9 题图） y O O 14 12 10 96866630 x/分 y/千米 A B C D （第 12 题图） 乙 甲 观察上面的计算过程，寻找规律并计算 6 10C ． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 64 分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 18.（本题满分 6 分） 先化简，再求值： 2 4)2 122(   x x xx ，其中 34 x . 19.（本题满分 8 分） 2010 年 5 月 1 日，第 41 届世博会在上海举办，世博知识在校园迅速传播. 小明同学就本班学生对世博知识的了解程度进行了一次调查统计，下图 是他采集数据后绘制的两幅不完整的统计图（A：不了解，B：一般了解，C：了解较多，D： 熟悉）.请你根据图中提供的信息解答以下问题： （1）求该班共有多少名学生； （2）在条形统计图中，将表示“一般了解”的部分补充完整； （3）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数； （4）从该班中任选一人，其对世博知识的了解程度为“熟悉”的概率是多少？ 20.（本题满分 9 分） 2009 年首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府广场进 行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到达离地面高度为 36 米的 A 处 时，仪器显示正前方一高楼顶部 B 的仰角是 37°，底部 C 的俯角是 60°.为了安全飞越高楼， 气球应至少再上升多少米？（结果精确到 0.1 米） （参考数据： ,75.037tan,80.037cos,60.037sin  73.13  ） 得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 A B C D 了解程度 人数 5 10 15 20 25 （第 19 题图） A10% B 30% D C B A C （第 20 题图） 21.（本题满分 9 分） 在 Rt△ACB 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以 BC 为直径作⊙O 交 AB 于点 D. （1）求线段 AD 的长度； （2）点 E 是线段 AC 上的一点，试问当点 E 在什么位置时，直线 ED 与⊙O 相切？请说明理 由. 22.（本题满分 10 分） 为打造“书香校园”，某学校计划用不超过 1900 本科技类书籍和 1620 本 人文类书籍，组建中、小型两类图书角共 30 个.已知组建一个中型图书 角需科技类书籍 80 本，人文类书籍 50 本；组建一个小型图书角需科技类书籍 30 本，人文类 书籍 60 本． （1）问符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来； （2）若组建一个中型图书角的费用是 860 元，组建一个小型图书角的费用是 570 元，试说明 在（1）中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 23.（本题满分 10 分） 在 ABCD 中，AC、BD 交于点 O，过点 O 作直线 EF、GH，分别交平 行四边形的四条边于 E、G、F、H 四点，连结 EG、GF、FH、HE. （1）如图①，试判断四边形 EGFH 的形状，并说明理由； （2）如图②，当 EF⊥GH 时，四边形 EGFH 的形状是 ； （3）如图③，在（2）的条件下，若 AC=BD，四边形 EGFH 的形状是 ； （4）如图④，在（3）的条件下，若 AC⊥BD，试判断四边形 EGFH 的形状，并说明理由. 得分 评卷人 得分 评卷人 O D C B A （第 21 题图） H G F E O D CB A 图① HG F E O D CB A 图② A B C D O E F G H 图③ A B C D O E F G H 图④ （第 23 题图） 24.（本题满分 12 分） 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 cbxaxy  2 交 x 轴于 )0,6(),0,2( BA 两点，交 y 轴于点 )32,0(C . （1）求此抛物线的解析式； （2）若此抛物线的对称轴与直线 xy 2 交于点 D，作⊙D 与 x 轴相切，⊙D 交 y 轴于点 E、 F 两点，求劣弧 EF 的长； （3）P 为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG 垂直于 x 轴，垂足为点 G，试确定 P 点的位 置，使得△PGA 的面积被直线 AC 分为 1︰2 两部分. 得分 评卷人 （第 24 题图） x y O A C B D E F 莱芜市 2015 年初中学业水平测试 数 学 试 题 答 案 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 A C B C D D B C D B A D 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分） 13. 2)1(  xx ； 14. 2； 15. 220； 16. )7,11( ； 17.210 三、解答题（本大题共 7 个小题，共 64 分） 18.（本小题满分 6 分） 解：原式= 2 4 2 12)2)(2(    x x x xx ………………………1 分 = x x x x    4 2 2 162 ………………………2 分 = )4 2(2 )4)(4(    x x x xx ………………………4 分 = 4 x ………………………5 分 当 34 x 时， 原式= 4)34(  = 434  = 3 ． ………………………6 分 19.（本小题满分 8 分） 解：（1）5÷10％=50（人） ………………………2 分 （2）见右图 ………………………4 分 （3）360°× 50 20 =144° ………………………6 分 （4） 5 1 50 2015550 P ． ………………………8 分 20.（本小题满分 9 分） 解：过 A 作 AD⊥CB，垂足为点 D． ………………………1 分 在 Rt△ADC 中，∵CD=36，∠CAD=60°． ∴AD= 312 3 36 60tan  CD ≈20.76． ……5 分 在 Rt△ADB 中，∵AD≈20.76，∠BAD=37°． ∴BD= 37tanAD ≈20.76×0.75=15.57≈15.6（米）． ………8 分 答：气球应至少再上升 15.6 米． …………………………9 分 A B C D 了解程度 人数 5 10 15 20 25 B A C D 21.（本小题满分 9 分） 解：（1）在 Rt△ACB 中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm． ……1 分 连结 CD，∵BC 为直径，∴∠ADC =∠BDC =90°． ∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴Rt△ADC ∽Rt△ACB． ∴ AC AD AB AC  ，∴ 5 92  AB ACAD ． …………………………4 分 （2）当点 E 是 AC 的中点时，ED 与⊙O 相切． ………………5 分 证明：连结 OD，∵DE 是 Rt△ADC 的中线． ∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD． ∵OC=OD，∴∠ODC =∠OCD． …………………7 分 ∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD =∠ACB =90°． ∴ED 与⊙O 相切． …………………………9 分 22.（本小题满分 10 分） 解：（1）设组建中型图书角 x 个，则组建小型图书角为（30-x）个． ………………1 分 由题意得      1620306050 1900303080 ）（ ）（ xx xx …………………………3 分 解这个不等式组得 18≤x≤20． 由于 x 只能取整数，∴x 的取值是 18，19，20． …………………………5 分 当 x=18 时，30-x=12；当 x=19 时，30-x=11；当 x=20 时，30-x=10． 故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角 18 个，小型图书角 12 个；方案二，组建中型 图书角 19 个，小型图书角 11 个；方案三，组建中型图书角 20 个，小型图书角 10 个．……7 分 （2）方法一：由于组建一个中型图书角的费用大于组建一个小型图书角的费用，因此组建中 型图书角的数量越少，费用就越低，故方案一费用最低， 最低费用是 860×18+570×12=22320（元）． …………………………10 分 方法二：①方案一的费用是：860×18+570×12=22320（元）； ②方案二的费用是：860×19+570×11=22610（元）； ③方案三的费用是：860×20+570×10=22900（元） 故方案一费用最低，最低费用是 22320 元． …………………………10 分 23.（本小题满分 10 分） 解：（1）四边形 EGFH 是平行四边形． …………………………1 分 证明：∵ ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O． ∴点 O 是 ABCD 的对称中心． ∴EO=FO，GO=HO． ∴四边形 EGFH 是平行四边形． …………………………4 分 （2）菱形． …………………………5 分 （3）菱形． …………………………6 分 （4）四边形 EGFH 是正方形． …………………………7 分 ∵AC=BD，∴ ABCD 是矩形． 又∵AC⊥BD， ∴ ABCD 是菱形．∴ ABCD 是正方形， ∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°．OB=OC．∵EF⊥GH ，∴∠GOF=90°． ∴∠BOG=∠COF．∴△BOG≌△COF．∴OG=OF，∴GH=EF． …………9 分 由（1）知四边形 EGFH 是平行四边形，又∵EF⊥GH，EF=GH. O D C B A E ∴四边形 EGFH 是正方形． ……………10 分 24. （本小题满分 12 分） 解：（1）∵抛物线 cbxaxy  2 经过点 )0,2(A ， )0,6(B ， )320( ，C ． ∴         32 0636 024 c cba cba ， 解得             32 33 4 6 3 c b a . ∴抛物线的解析式为： 3233 4 6 3 2  xxy . …………………………3 分 （2）易知抛物线的对称轴是 4x .把 x=4 代入 y=2x 得 y=8，∴点 D 的坐标为（4,8）． ∵⊙D 与 x 轴相切，∴⊙D 的半径为 8． …………………………4 分 连结 DE、DF，作 DM⊥y 轴，垂足为点 M． 在 Rt△MFD 中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF= 2 1 ． ∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°． …………………………6 分 ∴劣弧 EF 的长为：  3 168180 120 ． …………………………7 分 （3）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b. ∵直线 AC 经过点 )32,0(),0,2( CA . ∴      32 02 b bk ，解得      32 3 b k .∴直线 AC 的解析式为： 323  xy . ………8 分 设点 )0)(3233 4 6 3,( 2  mmmmP ，PG 交直线 AC 于 N， 则点 N 坐标为 )323,(  mm .∵ GNPNSS GNAPNA ::  . ∴①若 PN︰GN=1︰2，则 PG︰GN=3︰2，PG= 2 3 GN. 即 3233 4 6 3 2  mm = ）（ 3232 3  m . 解得：m1=－3， m2=2（舍去）. 当 m=－3 时， 3233 4 6 3 2  mm = 32 15 . ∴此时点 P 的坐标为 )32 15,3( . …………………………10 分 ②若 PN︰GN=2︰1，则 PG︰GN=3︰1， PG=3GN. x y O A C B D E F P G N M 即 3233 4 6 3 2  mm = ）（ 3233  m . 解得： 121 m ， 22 m （舍去）.当 121 m 时， 3233 4 6 3 2  mm = 342 . ∴此时点 P 的坐标为 )342,12( . 综上所述，当点 P 坐标为 )32 15,3( 或 )342,12( 时，△PGA 的面积被直线 AC 分成 1︰2 两部分． …………………12 分