2015年荆州市中考数学试题解析

湖北省荆州市 2015 年中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题只有唯一正确答案，每小题 3 分，共 30 分） 1．﹣2 的相反数是（ ） A． 2 B． ﹣2 C． D． 考点： 相反数． 分析： 根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案． 解答： 解：﹣2 的相反数是 2， 故选：A． 点评： 此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义． 2．如图，直线 l1∥l2，直线 l3 与 l1，l2 分别交于 A，B 两点，若∠1=70°，则∠2=（ ） A． 70° B． 80° C． 110° D． 120° 考点： 平行线的性质． 分析： 根据平行线的性质求出∠3=∠1=70°，即可求出答案． 解答： 解： ∵直线 l1∥l2，∠1=70°， ∴∠3=∠1=70°， ∴∠2=180°﹣∠3=110°， 故选 C． 点评： 本题考查了平行线的性质，邻补角定义的应用，解此题的关键是求出∠3 的度 数，注意：两直线平行，同位角相等． 3．下列运算正确的是（ ） A． =±2 B． x2•x3=x6 C． + = D． （x2）3=x6 考点： 幂的乘方与积的乘方；实数的运算；同底数幂的乘法． 分析： 根据算术平方根的定义对 A 进行判断；根据同底数幂的乘法对 B 进行运算；根 据同类二次根式的定义对 C 进行判断；根据幂的乘方对 D 进行运算． 解答： 解：A. =2，所以 A 错误； B．x2•x3=x5，所以 B 错误； C. + 不是同类二次根式，不能合并； D．（x2）3=x6，所以 D 正确． 故选 D． 点评： 本题考查实数的综合运算能力，综合运用各种运算法则是解答此题的关键． 4．将抛物线 y=x2﹣2x+3 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度后，得到的 抛物线的解析式为（ ） A． y=（x﹣1）2+4 B． y=（x﹣4）2+4 C． y=（x+2）2+6 D． y=（x﹣4）2+6 考点： 二次函数图象与几何变换． 分析： 根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式． 解答： 解：将 y=x2﹣2x+3 化为顶点式，得 y=（x﹣1）2+2． 将抛物线 y=x2﹣2x+3 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度后，得到的抛物 线的解析式为 y=（x﹣4）2+4， 故选：B． 点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上 加下减． 5．如图，A，B，C 是⊙O 上三点，∠ACB=25°，则∠BAO 的度数是（ ） A． 55° B． 60° C． 65° D． 70° 考点： 圆周角定理． 分析： 连接 OB，要求∠BAO 的度数，只要在等腰三角形 OAB 中求得一个角的度数即 可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50°，然后根据等腰三 角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得． 解答： 解：连接 OB， ∵∠ACB=25°， ∴∠AOB=2×25°=50°， 由 OA=OB， ∴∠BAO=∠ABO， ∴∠BAO= （180°﹣50°）=65°． 故选 C． 点评： 本题考查了圆周角定理；作出辅助线，构建等腰三角形是正确解答本题的关键． 6．如图，点 P 在 △ ABC 的边 AC 上，要判断 △ ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的 是（ ） A． ∠ABP=∠C B． ∠APB=∠ABC C． = D． = 考点： 相似三角形的判定． 分析： 分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 解答： 解：A、当∠ABP=∠C 时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； B、当∠APB=∠ABC 时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； C、当 = 时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； D、无法得到 △ ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D． 点评： 此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键． 7．若关于 x 的分式方程 =2 的解为非负数，则 m 的取值范围是（ ） A． m＞﹣1 B． m≥1 C． m＞﹣1 且 m≠1 D． m≥﹣1 且 m≠1 考点： 分式方程的解． 专题： 计算题． 分析： 分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分 式方程分母不为 0 求出 m 的范围即可． 解答： 解：去分母得：m﹣1=2x﹣2， 解得：x= ， 由题意得： ≥0 且 ≠1， 解得：m≥﹣1 且 m≠1， 故选 D 点评： 此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为 0． 8．如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中 AB 线剪掉一个等腰直角三角形，展开 铺平得到的图形是（ ） A． B． C． D． 考点： 剪纸问题． 分析： 根据题意直接动手操作得出即可． 解答： 解：找一张正方形的纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到的图形如 图所示： 故选 A． 点评： 本题考查了剪纸问题，难点在于根据折痕逐层展开，动手操作会更简便． 9．如图，正方形 ABCD 的边长为 3cm，动点 P 从 B 点出发以 3cm/s 的速度沿着边 BC ﹣CD﹣DA 运动，到达 A 点停止运动；另一动点 Q 同时从 B 点出发，以 1cm/s 的速度 沿着边 BA 向 A 点运动，到达 A 点停止运动．设 P 点运动时间为 x（s）， △ BPQ 的面积 为 y（cm2），则 y 关于 x 的函数图象是（ ） A． B． C． D． 考点： 动点问题的函数图象． 分析： 首先根据正方形的边长与动点 P、Q 的速度可知动点 Q 始终在 AB 边上，而动 点 P 可以在 BC 边、CD 边、AD 边上，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1；②1＜x≤2； ③2＜x≤3；分别求出 y 关于 x 的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解． 解答： 解：由题意可得 BQ=x． ①0≤x≤1 时，P 点在 BC 边上，BP=3x， 则 △ BPQ 的面积= BP•BQ， 解 y= •3x•x= x2；故 A 选项错误； ②1＜x≤2 时，P 点在 CD 边上， 则 △ BPQ 的面积= BQ•BC， 解 y= •x•3= x；故 B 选项错误； ③2＜x≤3 时，P 点在 AD 边上，AP=9﹣3x， 则 △ BPQ 的面积= AP•BQ， 解 y= •（9﹣3x）•x= x﹣ x2；故 D 选项错误． 故选 C． 点评： 本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的面积，利用数形结 合、分类讨论是解题的关键． 10．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11， 13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式 Am=（i，j）表示正奇 数 m 是第 i 组第 j 个数（从左往右数），如 A7=（2，3），则 A2015=（ ） A． （31，50） B． （32，47） C． （33，46） D． （34，42） 考点： 规律型：数字的变化类． 分析： 先计算出 2015 是第 1008 个数，然后判断第 1008 个数在第几组，再判断是这 一组的第几个数即可． 解答： 解：2015 是第 =1008 个数， 设 2015 在第 n 组，则 1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1008， 即 ≥1008， 解得：n≥ ， 当 n=31 时，1+3+5+7+…+61=961； 当 n=32 时，1+3+5+7+…+63=1024； 故第 1008 个数在第 32 组， 第 1024 个数为：2×1024﹣1=2047， 第 32 组的第一个数为：2×962﹣1=1923， 则 2015 是（ +1）=47 个数． 故 A2015=（32，47）． 故选 B． 点评： 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．计算： ﹣2﹣1+ ﹣|﹣2|+（﹣ ）0= 3 ． 考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂． 专题： 计算题． 分析： 原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第 三项利用立方根定义计算，第四项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂 法则计算即可得到结果． 解答： 解：原式=3﹣ +2﹣2+1=3 ， 故答案为：3 点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．分解因式：ab2﹣ac2= a（b+c）（b﹣c） ． 考点： 提公因式法与公式法的综合运用． 专题： 计算题． 分析： 原式提取 a，再利用平方差公式分解即可． 解答： 解：原式=a（b2﹣c2）=a（b+c）（b﹣c）， 故答案为：a（b+c）（b﹣c） 点评： 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本 题的关键． 13．如图， △ ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线交边 AB 于 D 点，交边 AC 于 E 点，若 △ ABC 与 △ EBC 的周长分别是 40cm，24cm，则 AB= 16 cm． 考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 分析： 首先根据 DE 是 AB 的垂直平分线，可得 AE=BE；然后根据 △ ABC 的周长 =AB+AC+BC， △ EBC 的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，可得 △ ABC 的周长﹣ △ EBC 的周长=AB，据此求出 AB 的长度是多少即可． 解答： 解：∵DE 是 AB 的垂直平分线， ∴AE=BE； ∵△ABC 的周长=AB+AC+BC， △ EBC 的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC， ∴△ABC 的周长﹣ △ EBC 的周长=AB， ∴AB=40﹣24=16（cm）． 故答案为：16． 点评： （1）此题主要考查了垂直平分线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要 明确：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． （2）此题还考查了等腰三角形的性质，以及三角形的周长的求法，要熟练掌握． 14．若 m，n 是方程 x2+x﹣1=0 的两个实数根，则 m2+2m+n 的值为 0 ． 考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解． 专题： 计算题． 分析： 由题意 m 为已知方程的解，把 x=m 代入方程求出 m2+m 的值，利用根与系数的 关系求出 m+n 的值，原式变形后代入计算即可求出值． 解答： 解：∵m，n 是方程 x2+x﹣1=0 的两个实数根， ∴m+n=﹣1，m2+m=1， 则原式=（m2+m）+（m+n）=1﹣1=0， 故答案为：0 点评： 此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关 系是解本题的关键． 15．如图，小明在一块平地上测山高，先在 B 处测得山顶 A 的仰角为 30°，然后向山脚 直行 100 米到达 C 处，再测得山顶 A 的仰角为 45°，那么山高 AD 为 137 米（结果保 留整数，测角仪忽略不计， ≈1.414， ，1.732） 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 专题： 计算题． 分析： 根据仰角和俯角的定义得到∠ABD=30°，∠ACD=45°，设 AD=xm，先在 Rt △ ACD 中，利用∠ACD 的正切可得 CD=AD=x，则 BD=BC+CD=x+100，然后在 Rt △ ABD 中，利 用∠ABD 的正切得到 x= （x+100），解得 x=50（ +1），再进行近似计算即可． 解答： 解：如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m， 设 AD=xm， 在 Rt △ ACD 中，∵tan∠ACD= ， ∴CD=AD=x， ∴BD=BC+CD=x+100， 在 Rt △ ABD 中，∵tan∠ABD= ， ∴x= （x+100）， ∴x=50（ +1）≈137， 即山高 AD 为 137 米． 故答案为 137． 点评： 本题考查了解直角三角形﹣的应用﹣仰角俯角：解决此类问题要了解角之间的 关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，要善于读懂题意，把实际问题划归为直 角三角形中边角关系问题加以解决． 16．如图，矩形 ABCD 中，OA 在 x 轴上，OC 在 y 轴上，且 OA=2，AB=5，把 △ ABC 沿 着 AC 对折得到 △ AB′C，AB′交 y 轴于 D 点，则 B′ 点的坐标为 （ ， ） ． 考点： 翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质． 分析： 作 B′E⊥x 轴，设 OD=x，在 Rt △ AOD 中，根据勾股定理列方程，再由 △ ADO∽ △AB′E，求出 B′E 和 OE． 解答： 解：作 B′E⊥x 轴， 易证 AD=CD， 设 OD=x，AD=5﹣x， 在 Rt △ AOD 中，根据勾股定理列方程得：22+x2=（5﹣x）2， 解得：x=2.1， ∴AD=2.9， ∵OD∥B′E， ∴△ADO∽△AB′E， ∴ ， ∴ ， 解得：B′E= ， AE= ， ∴OE= ﹣2= ． ∴B′（ ， ）． 故答案为：（ ， ）． 点评： 本题主要考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，根据勾股 定理列方程求出 OD 是解决问题的关键． 17．如图，将一张边长为 6cm 的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成底面是正六边形的 棱柱，则这个六棱柱的侧面积为 36﹣12 cm2． 考点： 展开图折叠成几何体． 分析： 这个棱柱的侧面展开正好是一个长方形，长为 6，宽为 6 减去两个六边形的高， 再用长方形的面积公式计算即可求得答案． 解答： 解：∵将一张边长为 6 的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正六 边形的棱柱， ∴这个正六边形的底面边长为 1，高为 ， ∴侧面积为长为 6，宽为 6﹣2 的长方形， ∴面积为：6×（6﹣2 ）=36﹣12 ． 故答案为：36﹣12 ． 点评： 此题主要考查了正方形的性质、矩形的性质以及剪纸问题的应用．此题难度不 大，注意动手操作拼出图形，并能正确进行计算是解答本题的关键． 18．如图，OA 在 x 轴上，OB 在 y 轴上，OA=8，AB=10，点 C 在边 OA 上，AC=2，⊙P 的圆心 P 在线段 BC 上，且⊙P 与边 AB，AO 都相切．若反比例函数 y= （k≠0）的图象 经过圆心 P，则 k= ﹣ ． 考点： 切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征． 专题： 计算题． 分析： 作 PD⊥OA 于 D，PE⊥AB 于 E，作 CH⊥AB 于 H，如图，设⊙P 的半径为 r， 根据切线的性质和切线长定理得到 PD=PE=r，AD=AE，再利用勾股定理计算出 OB=6， 则可判断 △ OBC 为等腰直角三角形，从而得到 △ PCD 为等腰直角三角形，则 PD=CD=r， AE=AD=2+r，通过证明 △ ACH∽△ABO，利用相似比计算出 CH= ，接着利用勾股定理 计算出 AH= ，所以 BH=10﹣ = ，然后证明 △ BEH∽△BHC，利用相似比得到即 = ，解得 r= ，从而易得 P 点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特 征求出 k 的值． 解答： 解：作 PD⊥OA 于 D，PE⊥AB 于 E，作 CH⊥AB 于 H，如图，设⊙P 的半径 为 r， ∵⊙P 与边 AB，AO 都相切， ∴PD=PE=r，AD=AE， 在 Rt △ OAB 中，∵OA=8，AB=10， ∴OB= =6， ∵AC=2， ∴OC=6， ∴△OBC 为等腰直角三角形， ∴△PCD 为等腰直角三角形， ∴PD=CD=r， ∴AE=AD=2+r， ∵∠CAH=∠BAO， ∴△ACH∽△ABO， ∴ = ，即 = ，解得 CH= ， ∴AH= = = ， ∴BH=10﹣ = ， ∵PE∥CH， ∴△BEP∽△BHC， ∴ = ，即 = ，解得 r= ， ∴OD=OC﹣CD=6﹣ = ， ∴P（ ，﹣ ）， ∴k= ×（﹣ ）=﹣ ． 故答案为﹣ ． 点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线不 确定切点，则过圆心作切线的垂线，则垂线段等于圆的半径．也考查了勾股定理、相似 三角形的判定与性质和反比例函数图象上点的坐标特征． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分） 19．（7 分）解方程组： ． 考点： 解二元一次方程组． 专题： 计算题． 分析： 方程组利用加减消元法求出解即可． 解答： 解：②×3﹣①得：11y=22，即 y=2， 把 y=2 代入②得：x=1， 则方程组的解为 ． 点评： 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元 法与加减消元法． 20．（8 分）某校八年级（1）班语文杨老师为了了解学生汉字听写能力情况，对班上 一个组学生的汉字听写成绩按 A，B，C，D 四个等级进行了统计，并绘制了如下两幅不 完整的统计图： （1）求 D 等级所对扇形的圆心角，并将条形统计图补充完整； （2）该组达到 A 等级的同学中只有 1 位男同学，杨老师打算从该组达到 A 等级的同学 中随机选出 2 位同学在全班介绍经验，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两位同 学恰好是 1 位男同学和 1 位女同学的概率． 考点： 列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图． 分析： （1）根据 C 等级的人数及所占的比例即可得出总人数，进而可得出 D 级学生 的人数占全班总人数的百分数及扇形统计图中 D 级所在的扇形的圆心角；根据 A、B 等 级的人数=总数×所占的百分比可补全图形． （2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． 解答： 解：（1）总人数=5÷25%=20， ∴D 级学生的人数占全班总人数的百分数为： ×100%=15%， 扇形统计图中 D 级所在的扇形的圆心角为 15%×360°=54°． 由题意得：B 等级的人数=20×40%=8（人），A 等级的人数=20×20%=4． （2）根据题意画出树状图如下： 一共有 12 种情况，恰好是 1 位男同学和 1 位女同学有 7 种情况， 所以，P（恰好是 1 位男同学和 1 位女同学）= ． 点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统 计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数 据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，直线 AB 分别与 x 轴、y 轴交于 B 和 A，与反比例函数的图象交于 C、D，CE⊥x 轴于点 E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2． （1）求直线 AB 和反比例函数的解析式； （2）求 △ OCD 的面积． 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 分析： （1）根据已知条件求出 A、B、C 点坐标，用待定系数法求出直线 AB 和反比 例的函数解析式； （2）联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点 D 的坐标，从而根据三角 形面积公式求解． 解答： 解：（1）∵OB=4，OE=2， ∴BE=2+4=6． ∵CE⊥x 轴于点 E，tan∠ABO= = = ． ∴OA=2，CE=3． ∴点 A 的坐标为（0，2）、点 B 的坐标为 C（4，0）、点 C 的坐标为（﹣2，3）． 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，则 ， 解得 ． 故直线 AB 的解析式为 y=﹣ x+2． 设反比例函数的解析式为 y= （m≠0）， 将点 C 的坐标代入，得 3= ， ∴m=﹣6． ∴该反比例函数的解析式为 y=﹣ ． （2）联立反比例函数的解析式和直线 AB 的解析式可得 ， 可得交点 D 的坐标为（6，﹣1）， 则 △ BOD 的面积=4×1÷2=2， △ BOD 的面积=4×3÷2=6， 故 △ OCD 的面积为 2+6=8． 点评： 本题是一次函数与反比例函数的综合题．主要考查待定系数法求函数解析式．求 A、B、C 点的坐标需用正切定义或相似三角形的性质，起点稍高，部分学生感觉较难． 22．（9 分）如图 1，在正方形 ABCD 中，P 是对角线 BD 上的一点，点 E 在 AD 的延 长线上，且 PA=PE，PE 交 CD 于 F． （1）证明：PC=PE； （2）求∠CPE 的度数； （3）如图 2，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连 接 CE，试探究线段 AP 与线段 CE 的数量关系，并说明理由． 考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质． 分析： （1）先证出 △ ABP≌△CBP，得 PA=PC，由于 PA=PE，得 PC=PE； （2）由 △ ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由 PA=PC，得到∠ DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论； （3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论． 解答： （1）证明：在正方形 ABCD 中，AB=BC， ∠ABP=∠CBP=45°， 在 △ ABP 和 △ CBP 中， ， ∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC， ∵PA=PE， ∴PC=PE； （2）由（1）知， △ ABP≌△CBP， ∴∠BAP=∠BCP， ∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PC， ∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E， ∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E， 即∠CPF=∠EDF=90°； （3）在正方形 ABCD 中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°， 在 △ ABP 和 △ CBP 中， ∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC，∠BAP=∠BCP， ∵PA=PE， ∴PC=PE， ∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PC， ∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E ∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E， 即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°， ∴△EPC 是等边三角形， ∴PC=CE， ∴AP=CE； 点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等 角的性质，熟记正方形的性质确定出∠ABP=∠CBP 是解题的关键． 23．（10 分）荆州素有“鱼米之乡”的美称，某渔业公司组织 20 辆汽车装运鲢鱼、草鱼、 青鱼共 120 吨去外地销售，按计划 20 辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种鱼， 且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题： 鲢鱼 草鱼 青鱼 每辆汽车载鱼量（吨） 8 6 5 每吨鱼获利（万元） 0.25 0.3 0.2 （1）设装运鲢鱼的车辆为 x 辆，装运草鱼的车辆为 y 辆，求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）如果装运每种鱼的车辆都不少于 2 辆，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？ 并求出最大利润． 考点： 一次函数的应用． 分析： （1）设装运鲢鱼的车辆为 x 辆，装运草鱼的车辆为 y 辆，则由（20﹣x﹣y）辆 汽车装运青鱼，由 20 辆汽车的总运输量为 120 吨建立等式就可以求出结论； （2）根据建立不等装运每种鱼的车辆都不少于 2 辆，列出不等式组求出 x 的范围，设 此次销售所获利润为 w 元， w=0.25x×8+0.3（﹣3x+20）×6+0.2（20﹣x+3x﹣20）×5=﹣1.4x+36，再利用一次函数的性 质即可解答． 解答： 解：（1）设装运鲢鱼的车辆为 x 辆，装运草鱼的车辆为 y 辆，则由（20﹣x﹣y） 辆汽车装运青鱼，由题意，得 8x+6y+5（20﹣x﹣y）=120， ∴y=﹣3x+20． 答：y 与 x 的函数关系式为 y=﹣3x+20； （2），根据题意，得 ∴ ， 解得：2≤x≤6， 设此次销售所获利润为 w 元， w=0.25x×8+0.3（﹣3x+20）×6+0.2（20﹣x+3x﹣20）×5=﹣1.4x+36 ∵k=﹣1.4＜0， ∴w 随 x 的增大而减小． ∴当 x=2 时，w 取最大值，最大值为：﹣1.4×2+36=33.2（万元）． ∴装运鲢鱼的车辆为 2 辆，装运草鱼的车辆为 14 辆，装运青鱼的车辆为 4 辆时获利最 大，最大利润为 33.2 万元． 点评： 本题考查了一次函数的解析式的运用，一次函数的性质的运用，一元一次不等 式组的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 24．（12 分）已知关于 x 的方程 kx2+（2k+1）x+2=0． （1）求证：无论 k 取任何实数时，方程总有实数根； （2）当抛物线 y=kx2+（2k+1）x+2 图象与 x 轴两个交点的横坐标均为整数，且 k 为正整 数时，若 P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且 y1＞y2，请结合函数图象确 定实数 a 的取值范围； （3）已知抛物线 y=kx2+（2k+1）x+2 恒过定点，求出定点坐标． 考点： 抛物线与 x 轴的交点；根的判别式；二次函数图象上点的坐标特征． 分析： （1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程 为一元二次方程时，根的判别式 △ ≥0，方程总有实数根； （2）通过解 kx2+（2k+1）x+2=0 得到 k=1，由此得到该抛物线解析式为 y=x2+3x+2，结 合图象回答问题． （3）根据题意得到 kx2+（2k+1）x+2﹣y=0 恒成立，由此列出关于 x、y 的方程组，通过 解方程组求得该定点坐标． 解答： （1）证明：①当 k=0 时，方程为 x+2=0，所以 x=﹣2，方程有实数根， ②当 k≠0 时，∵△=（2k+1）2﹣4k×2=（2k﹣1）2≥0，即 △ ≥0， ∴无论 k 取任何实数时，方程总有实数根； （2）解：令 y=0，则 kx2+（2k+1）x+2=0， 解关于 x 的一元二次方程，得 x1=﹣2，x2=﹣ ， ∵二次函数的图象与 x 轴两个交点的横坐标均为整数，且 k 为正整数， ∴k=1． ∴该抛物线解析式为 y=x2+3x+2， ． 由图象得到：当 y1＞y2 时，a＞1 或 a＜﹣3． （3）依题意得 kx2+（2k+1）x+2﹣y=0 恒成立，即 k（x2+2x）+x﹣y+2=0 恒成立， 则 ， 解得 或 ． 所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）． 点评： 本题考查了抛物线与 x 轴的交点与判别式的关系及二次函数图象上点的坐标特 征，解答（1）题时要注意分类讨论． 25．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，平行四边形 ABCD 的边 BC 在 x 轴上，D 点在 y 轴上，C 点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点 E 是 AB 上一点， AE=3EB，⊙P 过 D，O，C 三点，抛物线 y=ax2+bx+c 过点 D，B，C 三点． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：ED 是⊙P 的切线； （3）若将 △ ADE 绕点 D 逆时针旋转 90°，E 点的对应点 E′会落在抛物线 y=ax2+bx+c 上 吗？请说明理由； （4）若点 M 为此抛物线的顶点，平面上是否存在点 N，使得以点 B，D，M，N 为顶点 的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 考点： 二次函数综合题． 专题： 综合题． 分析： （1）先确定 B（﹣4，0），再在 Rt △ OCD 中利用∠OCD 的正切求出 OD=2 ， D（0，2 ），然后利用交点式求抛物线的解析式； （2）先计算出 CD=2OC=4，再根据平行四边形的性质得 AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠ BCD=60°，AD=BC=6，则由 AE=3BE 得到 AE=3，接着计算 = ，加上∠DAE=∠DCB， 则可判定 △ AED∽△COD，得到∠ADE=∠CDO，而∠ADE+∠ODE=90°则∠CDO+∠ ODE=90°，再利用圆周角定理得到 CD 为⊙P 的直径，于是根据切线的判定定理得到 ED 是⊙P 的切线 （3）由 △ AED∽△COD，根据相似比计算出 DE=3 ，由于∠CDE=90°，DE＞DC，再 根据旋转的性质得 E 点的对应点 E′在射线 DC 上，而点 C、D 在抛物线上，于是可判断 点 E′不能在抛物线上； （4）利用配方得到 y=﹣ （x+1）2+ ，则 M（﹣1， ），且 B（﹣4，0），D （0，2 ），根据平行四边形的性质和点平移的规律，利用分类讨论的方法确定 N 点 坐标． 解答： 解：（1）∵C（2，0），BC=6， ∴B（﹣4，0）， 在 Rt △ OCD 中，∵tan∠OCD= ， ∴OD=2tan60°=2 ， ∴D（0，2 ）， 设抛物线的解析式为 y=a（x+4）（x﹣2）， 把 D（0，2 ）代入得 a•4•（﹣2）=2 ，解得 a=﹣ ， ∴抛物线的解析式为 y=﹣ （x+4）（x﹣2）=﹣ x2﹣ x+2 ； （2）在 Rt △ OCD 中，CD=2OC=4， ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6， ∵AE=3BE， ∴AE=3， ∴ = ， = = ， ∴ = ， 而∠DAE=∠DCB， ∴ △ AED∽△COD， ∴∠ADE=∠CDO， 而∠ADE+∠ODE=90° ∴∠CDO+∠ODE=90°， ∴CD⊥DE， ∵∠DOC=90°， ∴CD 为⊙P 的直径， ∴ED 是⊙P 的切线； （3）E 点的对应点 E′不会落在抛物线 y=ax2+bx+c 上．理由如下： ∵△AED∽△COD， ∴ = ，即 = ，解得 DE=3 ， ∵∠CDE=90°，DE＞DC， ∴△ADE 绕点 D 逆时针旋转 90°，E 点的对应点 E′在射线 DC 上， 而点 C、D 在抛物线上， ∴点 E′不能在抛物线上； （4）存在． ∵y=﹣ x2﹣ x+2 =﹣ （x+1）2+ ∴M（﹣1， ）， 而 B（﹣4，0），D（0，2 ）， 如图 2， 当 BM 为平行四边形 BDMN 的对角线时，点 D 向左平移 4 个单位，再向下平移 2 个 单位得到点 B，则点 M（﹣1， ）向左平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位得到 点 N1（﹣5， ）； 当 DM 为平行四边形 BDMN 的对角线时，点 B 向右平移 3 个单位，再向上平移 个 单位得到点 M，则点 D（0，2 ）向右平移 3 个单位，再向上平移 个单位得到点 N2（3， ）； 当 BD 为平行四边形 BDMN 的对角线时，点 M 向左平移 3 个单位，再向下平移 个 单位得到点 B，则点 D（0，2 ）向右平移 3 个单位，再向下平移 个单位得到点 N3（﹣3，﹣ ）， 综上所述，点 N 的坐标为（﹣5， ）、（3， ）、（﹣3，﹣ ）． 点评： 考查了二次函数综合题：熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性 质和相似三角形的判定与性质；掌握平行四边形的性质点平移的规律；会证明圆的切线